Page18福建省福州市2024-2025學年高二數學上學期12月月考試題一、選擇題；本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．“方程表示橢圓”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分條件又不必要條件2．雙曲線的左焦點在拋物線（）的準線上，則雙曲線的漸近線方程為A． B． C． D．3．如圖，三棱錐中，，，，且，，則（

）A． B． C． D．4．等差數列中，若，則該數列的前項的和為（）A．2015 B．4030 C．6045 D．120905．已知圓與圓相交于，兩點，且，給出以下結論：①是定值；②四邊形的面積是定值；③的最小值為；④的最大值為，則其中正確結論的個數是（

）A． B． C． D．6．已知實數，滿意約束條件，則的最小值為（

）．A． B． C．2 D．37．已知拋物線C：（）的焦點為F，準線為l，設P是l上一點，Q是直線PF與拋物線C的一個交點，若，且，則p的值為（

）A．2 B．4 C．6 D．88．在矩形ABCD中，，，平面ABCD，，則PC與平面ABCD所成的角為（

）A．30° B．45° C．60° D．120°二、選擇題；本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．9．已知點到點的距離是點到點距離的2倍，記點的軌跡為，若直線：與曲線交于M，N兩點，則下列說法正確的是（

）A．曲線為圓 B．曲線為橢圓C．曲線與直線有交點 D．10．記為等差數列的前n項和.若，則以下結論肯定正確的是（

）A． B．的最大值為 C． D．11．如圖，在直三棱柱中，，分別是棱的中點，在線段上，則下列說法中正確的有（

）A．平面B．平面C．存在點，滿意D．的最小值為12．如圖，若正方體的棱長為1，點是正方體的側面上的一個動點(含邊界)，是棱的中點，全科免費下載公眾號《中學僧課堂》則下列結論正確的是（

）A．沿正方體的表面從點A到點的最短路程為 B．若保持，則點在側面內運動路徑的長度為C．三棱錐的體積最大值為 D．若點在上運動，則到直線的距離的最小值為三、填空題；本題共4小題，每小題5分，共20分13．直線的傾斜角為______．14．若向量，，，且向量，，共面，則______．15．已知數列中，，，則___________.16．過雙曲線：的左焦點作圓的切線，設切點為，延長交拋物線：于點，其中有一個共同的焦點，若，則雙曲線的離心率為_______.四、解答題；本題共6個小題，共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17．數列中，為其前項和，且．（1）求，；（2）若，求數列的其前項和．18．已知圓：，圓：，一動圓與圓和圓同時內切.(1)求動圓圓心的軌跡方程；(2)設點的軌跡為曲線，兩相互垂直的直線，相交于點，交曲線于，兩點，交圓于，兩點，求與的面積之和的取值范圍.19．如圖，在直三棱柱中，，分別為，，的中點，分別記，，為，，.(1)用，，表示，；(2)若，，求.20．已知拋物線的焦點為F，點是拋物線C上一點，點Q是PF的中點，且Q到拋物線C的準線的距離為．(1)求拋物線C的方程；(2)已知圓，圓M的一條切線l與拋物線C交于A，B兩點，O為坐標原點，求證：OA，OB的斜率之差的肯定值為定值．21．如圖，已知在矩形中，，，點是邊的中點，與相交于點，現將沿折起，點的位置記為，此時，是的中點.(1)求證：平面；(2)求證：面；(3)求二面角的余弦值.22．已知橢圓M：的左、右焦點分別為、，，點在橢圓M上．（1）求橢圓M的方程；（2）過的直線l與橢圓M交于P、Q兩點，且，求直線l的方程；（3）如圖，四邊形ABCD是矩形，AB與橢圓M相切于點F，AD與橢圓M相切于點E，BC與橢圓M相切于點G，CD與橢圓M相切于點H，求矩形ABCD面積的取值范圍．參考答案：1．A本題結合橢圓的定義與充分必要條件，依據橢圓的定義列不等式組解出，特殊要留意的就是橢圓的，這道題即可解決.由方程表示橢圓，則滿意條件為：，解得且所以由且，可以推出，但反過來不成立.故選：A2．C雙曲線的標準方程為，則雙曲線的左焦點拋物線的準線為∵雙曲線的左焦點在拋物線的準線上，，即則即解得即，則雙曲線的漸近線方程為.故選C.3．C依據空間向量的線性運算，可求得答案.由題意，，得，故選：C．4．D利用等差數列的性質與求和公式即可得出結果．由等差數列，，則，解得，則該數列的前2015項的和，故選．本題考查了等差數列的通項公式與求和公式及其性質，考查了推理實力與計算實力，屬于基礎題．5．D首先依據示意圖得到為等邊三角形，從而就可以推斷①，又可以計算四邊形的面積，進而推斷②，再依據得到，最終利用基本不等式求得，的最值.依據題意畫出示意圖：設直線AB與OM交于點C，則點C為AB中點且,因為,所以為等邊三角形，故,,故①正確；，而,所以為定值，故②正確；因為，所以，所以，利用基本不等式得：，所以，故③不正確；又，所以，故④正確；綜上：正確的有：①②④.故選：D.推斷兩圓的位置關系常用幾何法，由兩圓相交得到圓心連線與公共弦是垂直平分的，在處理線段長度，面積問題，數量積問題中常常會用到，須要嫻熟駕馭.6．B作出可行域，表示的幾何意義是可行域內的點到的斜率，找到取最小值的點代入即可.如下圖所示，陰影部分為可行域，結合圖像，當取可行域內點時，取最小值，，，，此時為點與點連線的斜率為.故選：B7．C依據題意，求得，結合拋物線定義，求得即可.依據題意，過作，記與軸交點為，如下所示：由拋物線定義可知，又因為，且，故可得，則，由，解得.故選：C.本題考查拋物線方程的求解，涉及拋物線的定義，屬中檔題.8．A建立空間直角坐標系，利用空間向量法求出線面角；解：以點A為坐標原點，AD，AB，AP所在的直線分別為x軸,y軸、z軸，建立空間直角坐標系，則，，，平面ABCD的一個法向量為，所以．又因為，所以，所以斜線PC與平面ABCD的法向量所在的直線所成的角為60°，所以斜線PC與平面ABCD所成的角為30°．故選：A9．AD對于AB，依據題意得，再利用兩點距離公式整理得，從而可知曲線為圓；對于C，利用圓心到直線的距離與半徑的比較，即可推斷兩者是否有交點；對于D，利用弦長公式即可得解.對于AB，設，而，故，則，即，即，所以曲線為圓，故A正確，B錯誤；對于C，圓心到直線的距離為，故曲線與直線相離，故C錯誤；對于D，圓心到直線：的距離為，則，故D正確.故選：AD.10．AC依據等差數列的定義及前項和公式可求得公差與的關系，再對各項進行逐一推斷即可.設等差數列的公差為，因為，可得，解得，又由，所以，所以A正確；因為公差的正負不能確定，所以可能為最大值最小值，故B不正確；由，所以，所以C正確；因為，所以，即，所以D錯誤.故選:AC.11．AD對于A，在平面找一條直線，使其與平行即可；對于B，先由證明四點共面，再證四點共面，進而能推斷直線與平面的位置關系；對于C，以為正交基底，建立空間直角坐標系，用坐標運算即可；對于D，把三棱錐的正面和上底面綻開，即能找到的最小值，構造直角三角形求解即可.對于A，連接，分別是棱的中點，且，四邊形為平行四邊形，，又平面，平面在平面內，所以平面，故A正確；對于B，易知，所以四點共面，又點，所以四點共面，平面，而平面，直線平面，故B不正確；對于C，以為正交基底，建立如圖1所示的空間直角坐標系.則，，，，，，，若，則，，在線段延長線上，而不在線段上，故C不正確；對于D，把圖1的正面和上底面綻開如圖2所示，連接即為所求，過做PG垂直于且與其相交于，與相交于，易得，，，，在中，，，故D正確.故選：AD12．ABD對于A，分析點M沿正方體的表面從點A到點的各種狀況即可推斷；對于B，取DD1中點E，連EM并求出EM=1即可計算推斷；對于C，利用等體積法轉化為求三棱錐的體積即可推斷；對于D，建立空間直角坐標系，借助空間向量建立函數關系求其最值即可推斷作答.對于A，點M沿正方體的表面從點A到點的最短路程，則點M應在點A與點P所在的兩個相鄰平面內從點A到點，由對稱性知，點M從點A越過棱DD1與越過棱BB1到點的最短路程相等，點M從點A越過棱DC與越過棱BC到點的最短路程相等，把正方形ABB1A1與正方形BCC1B1放在同一平面內，如圖，連接AP，AP長是點M從點A越過棱BB1到點的最短路程，，把正方形ABCD與正方形BCC1B1放在同一平面內，如圖，連接AP，AP長是點M從點A越過棱BC到點的最短路程，，而，于是得點M沿正方體的表面從點A到點最短路程為，A正確；對于B，取DD1中點E，連EM，PE，如圖，因是正方體的棱中點，則PE//CD，而CD⊥平面ADD1A1，則有PE⊥平面ADD1A1，平面ADD1A1，于是得PE⊥EM，由，PE=1得，EM=1，因此，點在側面內運動路徑是以E為圓心，1為半徑的圓在正方形內的圓弧，如圖，圓弧所對圓心角為，圓弧長為，B正確；對于C，因，而面積是定值，要三棱錐的體積最大，當且僅當點M到平面C1BD距離最大，如圖，點A1是正方形ADD1A1內到平面C1BD距離最大的點，，C不正確；對于D，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，令，則，又，直線PD1與直線PM夾角為，，令，則，當且僅當，即，時，取最大值，而，此時，取得最小值，又，點到直線的距離，于是得，所以到直線的距離的最小值為，D正確.故選：ABD關鍵點睛：涉及空間圖形中幾條線段和最小的問題，把相關線段所在的平面圖形綻開并放在同一平面內，再利用兩點之間線段最短解決是關鍵.13．把直線方程化為斜截式，再利用斜率與傾斜角的關系即可得出．設直線的傾斜角為．由直線化為，故，又，故，故答案為．一般地，假如直線方程的一般式為，那么直線的斜率為，且，其中為直線的傾斜角，留意它的范圍是．14．##由向量共面的性質列出方程組求解即可.因為，，共面，所以存在實數x，y，使得，得，解得∴

．故答案為：15．-9【解析】當為奇數時，，當為偶數時，，利用疊加法即得解.當為奇數時，，當為偶數時，，故故答案為:-9本題考查了利用疊加法求通項公式，考查了學生轉化劃歸，分類探討，數學運算的實力，屬于中檔題.16．依據圓心到切線的距離等于半徑求得，依據中位線求得且，利用等面積法求得點的縱坐標，代入切線方程求得橫坐標.求出拋物線的方程，將點的坐標代入拋物線方程，化簡后求得的值，進而求得雙曲線的離心率.由于直線和圓相切，故圓心到直線的距離等于半徑，而，故.所以直線的斜率為，故直線的方程為.由于是的中點，故是三角形的中位線，故且，由等面積法得，解得，代入直線的方程，求得，故.由于拋物線和雙曲線焦點相同，故，所以拋物線方程為，將點坐標代入拋物線方程并化簡得，即，解得，故雙曲線的離心率為.本小題主要考查直線和圓的位置關系，考查直線和拋物線的位置關系，考查雙曲線的離心率，屬于中檔題.17．（1）；；（2）.【解析】（1）由，得，進而得，再由即可得解；（2）由，利用錯位相減法即可求和.（1）當時，，則，則，當時，當時，適合上式，則，（2）由（1）可知，則兩式相減得，∴.本題主要考查了利用求數列通項公式，涉及錯位相減法求和，屬于基礎題.18．(1)(2)（1）依據動圓圓心到兩定點距離的關系可以推斷其為雙曲線；（2）分兩種狀況探討，每一種狀況中計算、，從而求得面積的表達式，再求范圍即可.(1)由：，得，可知，其半徑為，由：，得，可知，其半徑為.設動圓半徑為，動圓圓心到的距離為，到的距離為，則有或，即，得，又，所以動圓圓心的軌跡是以，為焦點的雙曲線，由，可得.所以動圓圓心的軌跡方程為.(2)①當直線的斜率存在時，由題意，，設：，與雙曲線聯立，由于其于雙曲線有兩個不同的交點，所以，得且，且.設：，即.設圓到直線的距離為，則，因為交圓于，兩點，故，得.且，由題意可知,所以，因為，可得.②當直線的斜率不存在時，，，所以，所以.19．(1)；.(2).（1）用空間向量的加減運算分別表示，，，，再轉化為，，表示即可；（2）先把用，，表示，然后平方，把向量的模和數量積分別代入，計算出結果后再進行開方運算求得.（1）連結.在直三棱柱中，，，，則..（2）如圖，在直三棱柱中，，，，所以，，又，所以，，.，所以.20．(1)；(2)2.（1）依據題意即可列出等式，即可求出答案；（2）當直線的斜率不存在時，，當直線的斜率存在時，設出直線的方程為即點的坐標，把直線與拋物線進行聯立，寫出韋達定理，利用到直線的距離等于半徑2，找到與之間的關系式，在計算OA，OB的斜率之差的肯定值，化簡即可求出答案.(1)依據題意可列故拋物線C的方程為.(2)①當直線的斜率不存在時，直線的方程為，，.

②當直線的斜率存在且不為0時，故設直線的方程為，圓M的一條切線l與拋物線C交于A，B兩點，故設把直線的方程與拋物線進行聯立..綜上所述：的斜率之差的肯定值為定值為2.21．(1)證明見解析(2)證明見解析(3)（1）取線段的中點，連接、，證明出平面平面，利用面面平行的性質可證得結論成立；（2）翻折前，利用勾股定理證明出，翻折后則有，，利用線面垂直的判定定理可證得結論成立；（3）過點在平面內作，垂足為點，連接，分析可知二面角的平面角為，證明出，計算出的長，即可求得的余弦值，即為所求.(1)證明：取線段的中點，連接、，翻折前，在矩形中，為的中點，，則，所以，，翻折后，在三棱錐中，、分別為、的中點，則，平面，平面，平面，為的中點，且，則，所以，為的中點，又因為為的