排列、組合與二項式定理

一、選擇題

1.甲同學計劃分別從3份不同的語文試卷、5份不同的數學試卷中各任選1份試卷練

習，則不同的選法共有（）

A.8種B.15種C.35種D.53種

2.J_2+116的展開式中,Q的系數為（）

（）Jb-

A.60B.120C.-60D.-120

3.一個三位自然數百位，十位，個位上的數字依次為瓦c,當且僅當a>b，〃<c時稱為

凹數”（如213,312等），若a,b,ce{l,2,3,4},且dc互不相同，則這個三位數為“凹數

的概率為（）

A，!B-i

、6

4.yfx--的展開式中有理項的項數為（）

I

A.0B.1C.2D.3

5.“四書五經”是我國9部經典名著《大學》《論語》《中庸》《孟子》《周易》《尚

書》《詩經》《禮記》《春秋》的合稱.為弘揚中國傳統文化，某校計劃在讀書節活動期

間舉辦“四書五經”知識講座,每部名著安排1次講座，若要求《大學》、《論語》、《周

易》均不相鄰，則排法種數為（）

A.A：A；B.A：A；C.A：A；A；D.A；A：

6.2024年3月22日國家文物局在北京公布2023年《全國十大考古新發現》，安徽省

皖南地區郎溪縣磨盤山遺址成功入選并排名第三，經初步確認，該遺址現存馬家浜文化區

、松澤文化區、良渚文化區、錢山漾文化區四大區域，總面積約6萬平方米.該遺址延續時

間長、譜系完整,是長江下游地區少有的連續時間近4000年的中心性聚落.對認識多元化

一體中華文明在皖南地區的演進方式具有重要的價值，南京大學歷史學院趙東升教授團

隊現在對該遺址四大區域進行考古發掘,現安排包含甲、乙在內的6名研究生同學到這4

個區域做考古志愿者，每人去1個區域，每個區域至少安排1個人，則甲、乙兩人安排在相

同區域的方法種數為（）

A.96B.144C.240D.360

二、多項選擇題

23

7.設（3%-2）（1+%）6=%+axx+a2x+a3x+…+%%‘,則下列結論正確的是（）

A.a0=—2

B.4=85

C.q+%+生+%=32

D.4+2q+2~g+2%3—,+2,%=2916

8.某人設計一項單人游戲，規則如下：先將一棋子放在如圖所示正方形ABCD（邊長

為2個單位）的頂點A處，然后通過擲骰子來確定棋子沿正方形的邊按逆時針方向行

走的單位，如果擲出的點數為幣=1,2,…,6）,則棋子就按逆時針方向行走，?個單位，

一直循環下去.某人拋擲三次骰子后棋子恰好又回到點A處，則（）

A.三次骰子后所走的步數可以是12

B.三次骰子的點數之和只可能有兩種結果

C.三次骰子的點數之和超過10的走法有6種

D.回到點A處的所有不同走法共有27種

三、填空題

9.已知［+x-￡|12x+J的展開式中常數項為80,則。=.

10.某學校開設了4門體育類選修課和4門藝術類選修課，學生需從這8門課中選修2

門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有種

（用數字作答）.

11.2024年7月14S13時,2024年巴黎奧運會火炬開始在巴黎傳遞，其中某段火炬傳

遞活動由包含甲、乙、丙在內的5名火炬手分四棒完成，若甲傳遞第一棒，最后一棒由2

名火炬手共同完成，且乙、丙不共同傳遞火炬，則不同的火炬傳遞方案種數為.

四、解答題

12.電影《志愿軍雄兵出擊》講述了在極其簡陋的裝備和極寒嚴酷環境下，中國人民志

愿軍憑著鋼鐵意志和英勇無畏的精神取得入朝作戰第一階段戰役的勝利,著名的“松骨

峰戰斗”在該電影中就有場景.現有3名男生和4名女生相約一起去觀看該影片,他們的

座位在同一排且連在一起.(列出算式，并計算出結果)

(1)女生必須坐在一起的坐法有多少種？

(2)女生互不相鄰的坐法有多少種？

(3)甲、乙兩位同學相鄰且都不與丙同學相鄰的坐法有多少種？

13.現有9件產品，其中4件一等品,3件二等品,2件三等品，從中抽取3件產品.

(1)試問共有多少種不同的抽法？

(2)抽出的3件產品中一等品、二等品、三等品各1件的抽法共有多少種？

(3)抽出的3件產品中至少有1件二等品的抽法共有多少種？

參考答案

1.答案：B

解析：根據分步乘法計數原理，不同的選法共有3x5=15種.

故選：B

2.答案：A

解析：由題意"二+J中含4的項為則4的系數為60,

\b)b26\b)b2b2

故選：A.

3.答案：C

解析：試題解題思路：由于a,/?,CG{1,2,3,4},且瓦。互不相同,故可得4x3x2=24個三

位數.若人1,則“凹數”有:213,214,312,314,412,413共6個;若〃=2,則“凹數”有:

324,423共2個.所以這個三位數為“凹數”的概率為有p=色=’

243

4.答案：C

解析：(次-\612-5r

J3

的展開式的通項為4+1=C>(-=(-1)，C46

I7

當廠=0或r=6時，為有理項，

故選：C.

5.答案：B

解析：先排《中庸》《孟子》《尚書》《詩經》《禮記》《春秋》這6次經典名著的

講座，共有A。種排法;再從7個空位中選3個，排《大學》《論語》《周易》這3次講座,

有A；種排法，故總共有

A;A；種排法;故選:B.

6.答案：C

解析：先將6名同學分成4組:一種方式是甲、乙組成一組，再從另外4人任選2人組成

一組，其余的一人一組;另一種方式是甲、乙與另外4人中的1人組成一組,其余的一人一

組.再把4組人分到4個區域，所以安排方法種數為?+C；)A：=240.故選C.

7.答案：ACD

解析：令％=0,則/=-2,故選項A正確；

(1+》)6的展開式的通項為&1=(2"(廠=0,1,2廣.,6),

又7；=20d,心=15必,從而(3x-2)(1+%)6的展開式中x3的系數為3xl5+(-2)x20=5,

故選項B錯誤；

令x=1,1^%+q+a,H—?+ci-j=(3x1—2),(1+1)，=64,

令尤=一1,得4-4+/一47=0，

兩式相減得2(%+/+%+%)=64,所以％+/+“5+%=32，故選項C正確；

令尤=2得4+2q+22a2+2,3+…+27％=(3x2—2>(1+2)6=2916,故選項D正確；

8.答案：BCD

解析：A、B：由題意知正方形ABC。(邊長為2個單位)的周長是8,拋擲三次骰子

后棋子恰好又回到點A處的表示三次骰子的點數之和是8,16,故A錯誤，B正確；

C、D：列舉出在點數中三個數字能夠使得和為8,16的125,134,116,224,233,

466,556,

共有7種組合，前2種組合125,134,每種情況可以排列出A；=6種結果，共有

2A；=2x6=12種結果；，116,224,233,466,556各有3種結果，共有5x3=15種

結果，其中點數之和超過10的走法為466,556,共有3x2=6種，故C正確；根據分

類計數原理知共有12+15=27種結果，故D正確；

故選：BCD.

9.答案：-工

2

解析：由+展開式的通項公式為&=G(2x)5]1]=25-CF力，令

5-2r=0,無整數解,令5—2r=—1,解得r=3,7；=—,令5—2r=l,解得r=2,

X

l=80x,，+x-412/工]展開式中的常數項為40-80a=80,解得a=-故答

案為-L

2

10.答案：64

解析：法一：由題意，可分三類：第一類，體育類選修課和藝術類選修課各選修1

門，有C；C；種方案；第二類，在體育類選修課中選修1門，在藝術類選修課中選修2

門，有C；C；種方案；第三類，在體育類選修課中選修2門，在藝術類選修課中選修1

門，有C；C；種方案.綜上，不同的選課方案共有C；C；+C；C；+C；C；=64（種）.

法二：若學生從這8門課中選修2門課，則有C；-瑪-Cj=16（種）選課方案；若學

生從這8門課中選修3門課，則有C；-C；-C；=48（種）選課方案.綜上，不同的選課

方案共有16+48=64（種）.

11.答案：10

解析：共有（C—l）xA；=10（種）不同的傳遞方案.

12.答案：（1）576

（2）144

（3）960

解析：（1）先將4