學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精課堂探究探究一求線性回歸直線方程(1)散點圖是定義在具有相關關系的兩個變量基礎上的,對于性質不明確的兩組數據，可先作散點圖,在圖上看它們有無關系,關系的密切程度，然后再進行相關回歸分析．（2）求回歸直線方程，首先應注意到，只有在散點圖大致呈線性時,求出的回歸直線方程才有實際意義,否則,求出的回歸直線方程毫無意義．【典型例題1】某商場經營一批進價是30元/件的小商品，在市場試驗中發現，此商品的銷售單價x(x取整數)元與日銷售量y臺之間有如下關系x35404550y56412811（1）y與x是否具有線性相關關系？如果具有線性相關關系，求出回歸直線方程．(方程的斜率保留一個有效數字）（2）設經營此商品的日銷售利潤為P元，根據(1）寫出P關于x的函數關系式,并預測當銷售單價x為多少元時,才能獲得最大日銷售利潤．解：(1)散點圖如圖所示，從圖中可以看出這些點大致分布在一條直線附近，因此兩個變量線性相關．設回歸直線為eq\o（y,\s\up6（^))＝eq\o(b，\s\up6(^)）x＋eq\o（a，\s\up6（^）），由題知eq\x\to(x)＝42.5，eq\x\to（y)＝34，則求得eq\o(b,\s\up6（^))＝eq\f(\i\su（i＝1,4,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y)，\i\su（i＝1，4，)xi－\x\to（x）2）＝eq\f(－370，125)≈－3。eq\o（a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6（^））eq\x\to（x）＝34－(－3）×42.5＝161。5?！鄀q\o(y，\s\up6(^))＝－3x＋161。5。(2）依題意有P＝（－3x＋161.5）(x－30)＝－3x2＋251。5x－4845＝－3eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(x－\f(251。5,6)））2＋eq\f(251.52,12）－4845.∴當x＝eq\f(251.5，6)≈42時，P有最大值，約為426.即預測當銷售單價為42元時，才能獲得最大日銷售利潤．規律總結先根據所給數據畫出散點圖，判斷y與x是否具有線性相關關系，在此基礎上利用回歸方程系數的有關公式，求出相應的系數，然后結合函數知識求出日銷售利潤最大時的銷售單價．探究二線性回歸分析解答本類題目應先通過散點圖來分析兩變量間的關系是否線性相關，然后再利用求回歸方程的公式求解回歸方程，并利用殘差圖或相關指數R2來分析函數模型的擬合效果，在此基礎上,借助回歸方程對實際問題進行分析．【典型例題2】在一段時間內，某種商品的價格x元和需求量y件之間的一組數據為：x（元)1416182022y(件)1210753且知x與y具有線性相關關系，求出y對x的回歸直線方程，并說明擬合效果的好壞．解：eq\x\to（x）＝eq\f（1,5）×(14＋16＋18＋20＋22）＝18，eq\x\to（y）＝eq\f（1,5）×(12＋10＋7＋5＋3)＝7。4,eq\i\su(i＝1，5，x)eq\o\al（2,i）＝142＋162＋182＋202＋222＝1660，eq\i\su（i＝1，5,y)eq\o\al（2，i）＝122＋102＋72＋52＋32＝327，eq\i\su(i＝1，5,x）iyi＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620，∴eq\o（b，\s\up6（^））＝eq\f（\i\su(i＝1，5,x)iyi－5\x\to（x)\x\to（y），\i\su(i＝1，5,x)\o\al（2，i)－5\x\to(x2）)＝eq\f（620－5×18×7。4,1660－5×182)＝eq\f（－46,40）＝－1.15?！鄀q\o（a，\s\up6（^））＝7.4＋1.15×18＝28。1，∴回歸直線方程為eq\o（y，\s\up6（^）)＝－1.15x＋28。1.列出殘差表為yi－eq\o（y,\s\up6（^)）i00。3－0。4－0.10.2yi－eq\x\to（y）4。62.6－0.4－2.4－4.4∴eq\i\su（i＝1，5，)（yi－eq\o(yi，\s\up6（^)））2＝0。3，eq\i\su(i＝1，5，)(yi－eq\x\to(y）)2＝53.2，R2＝1－eq\f(\i\su（i＝1，5，）yi－\o（yi,\s\up6（^））2，\i\su(i＝1，5,)yi－\x\to（y）2）≈0.994。故R2≈0。994，說明擬合效果較好．規律總結“相關指數R2、殘差圖"在回歸分析中的作用：（1）相關指數R2是用來刻畫回歸效果的，由R2＝1－eq\f（\i\su（i＝1,n，)yi－\o(yi，\s\up6（^))2，\i\su(i＝1,n,)yi－\x\to(y）2）可知R2越大，意味著殘差平方和越小，也就是說模型的擬合效果就越好．（2)殘差圖也是用來刻畫回歸效果的,判斷依據是：殘差點比較均勻地分布在水平帶狀區域中,帶狀區域越窄，說明模型擬合精度越高，回歸方程預報精度越高．探究三求非線性回歸方程非線性回歸問題有時并不給出經驗公式，這時我們可以畫出已知數據的散點圖．把它與必修模塊數學1中學過的各種函數（冪函數、指數函數、對數函數等）圖象作比較，挑選一種跟這些散點擬合得最好的函數，然后采用適當的變量置換，把問題化為線性回歸分析問題，使之得到解決．【典型例題3】假設關于某設備的使用年限x和支出的維修費用y(萬元），有如下表的統計資料：使用年限x23456維修費用y2.23。85。56.57.0若由資料知y與x具有線性相關關系，試求：(1)線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b，\s\up6（^）)x＋eq\o（a，\s\up6（^)）。（2）估計使用年限為10年時，維修費用是多少？（3)計算總偏差平方和、殘差平方和及回歸平方和．（4)求R2并說明模型的擬合效果．解：（1）將已知條件制成下表i12345合計xi2345620yi2。23。85。56.57.025xiyi4.411。422.032.542.0112。3xeq\o\al（2,i）4916253690eq\x\to(x）＝4;eq\x\to(y)＝5；eq\i\su(i＝1,5，x）eq\o\al（2，i）＝90；eq\i\su(i＝1，5,x)iyi＝112.3設回歸方程為eq\o(y,\s\up6（^））＝eq\o(b，\s\up6(^））x＋eq\o（a,\s\up6（^）)，于是有eq\o(b，\s\up6(^）)＝eq\f(\i\su（i＝1,5,x)iyi－5\x\to(x）\x\to(y），\i\su（i＝1,5，x）\o\al(2,i）－5\x\to（x2))＝eq\f（112.3－5×4×5，90－5×42）＝1.23，eq\o（a,\s\up6(^)）＝eq\x\to（y）－eq\o(b，\s\up6（^)）eq\x\to（x)＝5－1。23×4＝0.08，所以線性回歸方程是eq\o（y,\s\up6(^））＝1.23x＋0。08.（2)當x＝10時,eq\o(y，\s\up6（^）)＝1.23×10＋0.08＝12.38，即估計使用10年時維修費用是12。38萬元．(3）總偏差平方和:eq\i\su（i＝1，5,)（yi－eq\x\to(y))2＝15.78,殘差平方和：eq\o（y1，\s\up6（^))＝2.46＋0。08＝2.54，eq\o(y2，\s\up6(^））＝3。77，eq\o(y3,\s\up6（^）)＝5,eq\o（y4，\s\up6(^)）＝6.23，eq\o（y5,\s\up6（^））＝7.46,eq\i\su（i＝1，5，）(yi－eq\o（yi，\s\up6(^)））2＝0.651，回歸平方和：15.78－0。651＝15.129.（4）R2＝1－eq\f（\i\su(i＝1,5，)yi－\o（yi，\s\up6（^)）2,\i\su（i＝1,5，）yi－\x\to（y)2)＝1－eq\f(0。651，15.78）≈0。9587，模型的擬合效果較好，使用年限解釋了95.87％的維修費用支出．規律總結把非線性回歸問題轉化為線性回歸問題，拓展了解題思路．探究四易錯辨析易錯點殘差平方和與相關指數的理解不清致誤【典型例題4】對兩個變量y和x進行回歸分析,得到一組樣本數據：（x1,y1)，(x2，y2）,…，（xn，yn)，則下列說法中不正確的是（)A．由樣本數據得到的回歸方程eq\o(y，\s\up6（^））＝eq\o(b，\s\up6(^)）x＋eq\o（a，\s\up6（^