特征根法和不動點(diǎn)法在求數(shù)列通項(xiàng)公式中的應(yīng)用_第1頁
特征根法和不動點(diǎn)法在求數(shù)列通項(xiàng)公式中的應(yīng)用_第2頁
特征根法和不動點(diǎn)法在求數(shù)列通項(xiàng)公式中的應(yīng)用_第3頁
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特征根法在求數(shù)列通項(xiàng)公式中的應(yīng)用吳繼崟楊成武山東省濱州市鄒平縣黃山中學(xué)各種數(shù)列問題在很多情形下，就是對數(shù)列通項(xiàng)公式的求解。特別是在一些綜合性比較強(qiáng)的數(shù)列問題中，數(shù)列通項(xiàng)公式的求解問題往往是解決數(shù)列難題的瓶頸.本文結(jié)合幾個例題進(jìn)行展示、探討，重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)求解數(shù)列通項(xiàng)公式過程中——特征根法的運(yùn)用，希望能對喜歡研究高中數(shù)學(xué)的朋友有所幫助.不動點(diǎn)法當(dāng)時，x的取值成為不動點(diǎn)，不動點(diǎn)是在較高要求測試中解決遞推式的基本方法。下面通過幾個例題，展示不同情況下的不動點(diǎn)的用法.類型一、已知a1=b，an+1=can+d（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.例1．已知數(shù)列滿足：求解：作方程則，整理得即數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列所以.類型二、已知=，對于，都有，求數(shù)列的通項(xiàng)公式?？勺魈卣鞣匠?（Ⅰ）當(dāng)特征方程有且僅有一根時,如果則；如果則是等差數(shù)列。（Ⅱ）當(dāng)特征方程有兩個相異的根、時，則是等比數(shù)列。例2.已知數(shù)列滿足：對于都有（1）若求（2）若求（3）若求（4）當(dāng)取哪些值時，無窮數(shù)列不存在？解：作特征方程變形得特征方程有兩個相同的特征根(1)∵對于都有(2)∵，；(3)∵∴∴(4)、顯然當(dāng)時，數(shù)列從第2項(xiàng)開始便不存在.由本題的第（1）小題的解答過程知，時，數(shù)列是存在的，當(dāng)時，則有令則得且≥2.∴當(dāng)（其中且N≥2）時，數(shù)列從第項(xiàng)開始便不存在。于是知：當(dāng)在集合或且≥2}上取值時，無窮數(shù)列都不存在.例3已知數(shù)列滿足性質(zhì)：對于且求的通項(xiàng)公式.解:數(shù)列的特征方程為變形得其根為故特征方程有兩個相異的根，則有則，從上面的解答不難看出特征根法在某些特殊的數(shù)列遞推題型中有比較輕巧靈活簡便的運(yùn)用，而離開特征根法，這些題目不僅難度較大

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