學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精2。2一次函數和二次函數1．一次函數的性質與圖象(1）一次函數的概念函數y＝kx＋b（k≠0)叫做一次函數，又叫做線性函數；它的定義域為R，值域為R。一次函數y＝kx＋b(k≠0)的圖象是直線，其中k叫做該直線的斜率,b叫做該直線在y軸上的截距．對一次函數的概念要注意以下三點：①k≠0.若k＝0，則函數就成為常數函數．②x的最高次項次數為1。否則,也不是一次函數．③b為任意常數．（2)一次函數的性質一次函數y＝kx＋b（k≠0）分類k＞0k＜0圖象定義域RR一次函數y＝kx＋b（k≠0)值域RR單調性在(－∞，＋∞)上遞增在（－∞，＋∞)上遞減奇偶性b＝0時為奇函數，b≠0時既不是奇函數也不是偶函數特殊點與x軸的交點為eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f(b,k），0)）,與y軸的交點為（0，b）斜率k＝eq\f（Δy，Δx)＝eq\f（y2－y1,x2－x1）（x2≠x1)(3）圖象的畫法因為兩點確定一條直線，所以畫一次函數的圖象時,只要描出兩個點，再連成直線即可．(4）圖象的特點①正比例函數y＝kx的圖象是經過原點(0,0）的一條直線．②一次函數y＝kx＋b的圖象是經過y軸上點（0，b)的一條直線．(5）畫法技巧①畫正比例函數y＝kx的圖象，通常取（0,0),(1，k）兩點，然后連線．②畫一次函數y＝kx＋b的圖象，通常取它與坐標軸的交點(0，b)，eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f（b，k），0)），然后連線．原因是上述兩點在坐標軸上,描點較準確．但由于－eq\f(b，k)多數情況下是分數,故在描點時，我們也可以取x和y都是整數的點．談重點對截距b含義的理解(1）b的取值范圍：b∈R。(2)b的幾何意義：直線y＝kx＋b與y軸的交點的縱坐標．(3）點(0，b）是直線y＝kx＋b與y軸的交點．當b＞0時，此交點在y軸的正半軸上；當b＜0時，此交點在y軸的負半軸上；當b＝0時，此交點在原點，此時的一次函數就是正比例函數．（4)截距與距離是兩個不同的概念．截距可正可負可以為零，但距離不可能為負．【例1－1】一次函數y＝kx－k，若y隨x的增大而增大,則它的圖象過（)A．第一、二、三象限B．第一、三、四象限C．第一、二、四象限D．第二、三、四象限解析：由題意知k＞0，所以－k＜0，故y＝kx－k的圖象過第一、三、四象限．答案：B【例1－2】函數的解析式為x－2y＋7＝0，則其對應直線的斜率與縱截距分別為（)A．B．1,－7C．1，D．解析：∵x－2y＋7＝0，∴,∴斜率，縱截距,故選A。答案:A【例1－3】在同一直角坐標系內畫出一次函數y＝2x＋1和y＝－2x＋1的圖象．解:列表．x…0－0。5…y…10…x…00。5…y…10…描點(0,1），（－0.5,0)，(0，1），(0。5,0)．連線，即得y＝2x＋1和y＝－2x＋1的圖象，如圖．【例1－4】已知一次函數的圖象經過A(3,5)和B(－4，－9）兩點，求該一次函數的解析式．分析：一次函數的圖象是一條直線，可設解析式為y＝kx＋b（k≠0)，又因為其圖象過A,B兩點,所以A,B兩點的坐標適合方程，由此解出k和b.解:設這個一次函數的解析式為y＝kx＋b（k≠0)．∵當x＝3時,y＝5；當x＝－4時,y＝－9，∴①－②，得7k＝14，∴k＝2.把k＝2代入①，得b＝－1。∴這個一次函數的解析式為y＝2x－1。2．二次函數的定義函數y＝ax2＋bx＋c（a≠0)叫做二次函數，它的定義域是R。特別地，當b＝c＝0，則函數變為y＝ax2（a≠0）．點技巧學習二次函數的定義應注意的兩點（1）對二次函數的定義,要特別注意a≠0這個條件．函數y＝ax2＋bx＋c只有在a≠0的條件下才是二次函數,且x的最高次數是2,b，c可取任意實數．(2)任何一個二次函數的解析式都可化成y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的形式，因此把y＝ax2＋bx＋c(a≠0)叫做二次函數的一般形式．3．二次函數的圖象變換及參數a，b，c，h，k對其圖象的影響（1)函數y＝x2和y＝ax2（a≠0)的圖象之間的關系二次函數y＝ax2（a≠0）的圖象可由y＝x2的圖象各點的縱坐標變為原來的a倍得到，參數a的取值不同，函數及其圖象也有區別,a決定了圖象的開口方向和在同一直角坐標系中的開口大小．當a＞0時,二次函數y＝ax2的圖象開口向上，當a＜0時，圖象開口向下．而且,當a＞0時,a的值越大，函數y＝ax2的圖象開口越小，a的值越小，函數y＝ax2的圖象開口越大;當a＜0時，a的值越小,函數y＝ax2的圖象開口越小，a的值越大，函數y＝ax2圖象開口越大．也就是說,｜a｜越大,拋物線的開口越小；反之，｜a｜越小,拋物線的開口越大．(2)函數y＝ax2和y＝a(x＋h）2＋k（a≠0）的圖象之間的關系函數y＝a（x＋h)2＋k(a≠0）的圖象可以由函數y＝ax2（a≠0）的圖象向左（h＞0)或向右(h＜0）平移｜h｜個單位長度,再向上（k＞0）或向下（k＜0）平移｜k｜個單位長度得到．h決定了二次函數圖象的左右平移，而且“h正左移，h負右移"；k決定了二次函數圖象的上下平移，而且“k正上移，k負下移”．可簡記為“左加右減，上加下減"．由于只進行了圖象的平移變換，所以函數y＝a(x＋h）2＋k（a≠0）的圖象與函數y＝ax2(a≠0）的圖象形狀相同，只是位置不同．（3）函數y＝ax2和y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象之間的關系二次函數y＝ax2＋bx＋c（a≠0）通過配方可以得到其恒等形式y＝a(x＋h)2＋k（a≠0），從而可以知道，由y＝ax2的圖象如何平移就得到y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象．在二次函數y＝ax2＋bx＋c（a≠0)，即y＝aeq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（x＋\f（b，2a)）)2＋eq\f(4ac－b2，4a)(a≠0)中，二次項系數a決定著函數圖象的開口方向和在同一直角坐標系中的開口大小;b和a共同決定拋物線的對稱軸的位置，拋物線的對稱軸是直線x＝－eq\f(b，2a)，它是一條平行于y軸或與y軸重合的直線；a，b，c共同決定拋物線頂點eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f(b，2a），\f（4ac－b2,4a））)的位置，c的大小決定拋物線y＝ax2＋bx＋c與y軸交點的位置，當c＝0時,拋物線經過坐標原點，當c＞0時，拋物線與y軸的交點在y軸的正半軸，當c＜0時，交點在y軸的負半軸．【例3－1】（1）由y＝－2x2的圖象，如何得到y＝－2(x＋1）2－3的圖象?（2）把y＝2x2的圖象，向右平移3個單位長度,再向上平移4個單位長度，能得到哪個函數的圖象？(3）將函數y＝4x2＋2x＋1寫成y＝a（x＋h）2＋k的形式,并說明它的圖象是由y＝4x2的圖象經過怎樣的變換得到的？解：(1)把y＝－2x2的圖象向左平移1個單位長度,再向下平移3個單位長度就得到y＝－2(x＋1)2－3的圖象．（2）把y＝2x2的圖象，向右平移3個單位長度，再向上平移4個單位長度，就得到函數y＝2(x－3)2＋4，即y＝2x2－12x＋22的圖象．(3)y＝4x2＋2x＋1＝＝＝＝.把y＝4x2的圖象向左平移個單位長度,再向上平移個單位長度，就可得到函數y＝4x2＋2x＋1的圖象．【例3－2】（1）在同一坐標系中作出下列函數的圖象：①y＝x2；②y＝x2－2;③y＝2x2－4x。（2)分析如何把y＝x2的圖象變換成y＝2x2－4x的圖象．分析：解答本題可就每個函數列表、描點連線,作出相應圖象，然后利用圖象以及二次函數的平移變換規律分析y＝x2與y＝2x2－4x的圖象之間的關系．解：(1）列表:x…－3－2－10123…y＝x2…9410149…y＝x2－2…72－1－2－127…y＝2x2－4x…301660－206…描點、連線即得相應函數的圖象，如圖所示．(2)y＝2x2－4x＝2（x2－2x）＝2(x2－2x＋1－1）＝2（x－1）2－2。由y＝x2到y＝2x2－4x的變化過程如下．方法一:先把y＝x2的圖象上的點的橫坐標不變，縱坐標變為原來的2倍得到y＝2x2的圖象，然后把y＝2x2的圖象向下平移2個單位長度得到y＝2x2－2的圖象，最后把y＝2x2－2的圖象向右平移1個單位長度得到y＝2(x－1）2－2，即y＝2x2－4x的圖象．方法二：先把y＝x2的圖象向右平移1個單位長度得到y＝（x－1）2的圖象，然后把y＝（x－1)2的圖象上的點的橫坐標不變,縱坐標變為原來的2倍得到y＝2(x－1)2的圖象,最后把y＝2（x－1)2的圖象向下平移2個單位長度便可得到y＝2（x－1)2－2，即y＝2x2－4x的圖象．析規律二次函數圖象的變換規律所有二次函數的圖象均可以由函數y＝x2的圖象經過變換得到,變換前，先將二次函數的解析式化為頂點式,再確定變換的步驟．常用的變換步驟如下:y＝x2eq\o(→,\s\up7(橫坐標不變)，\s\do5（縱坐標變為原來的a倍)）y＝ax2eq\o（→，\s\up7(k>0，上移k個單位長度），\s\do5(k〈0，下移|k｜個單位長度））y＝ax2＋keq\o(→,\s\up7（h〉0，左移h個單位長度),\s\do5（h<0,右移｜h｜個單位長度)）y＝a(x＋h）2＋k，其中a決定開口方向及開口大小(或縱坐標的拉伸)；h決定左、右平移,k決定上、下平移．【例3－3】已知二次函數f(x）＝ax2＋bx＋c與函數y＝－2x2＋3x有相同的開口方向和大小,與函數y＝x2－x＋1有相同的對稱軸，與函數y＝4x2－x－1在y軸上有相同的交點．(1)求f(x)．（2)由y＝x2的圖象能得到f（x）的圖象嗎？分析：(1）根據a，b，c對f（x)的圖象影響，由y＝－2x2＋3x確定a，由y＝x2－x＋1確定b，由y＝4x2－x－1確定c；(2）由y＝x2的圖象得f(x)的圖象要分步驟：y＝x2→y＝ax2→y＝a(x＋h)2→y＝a（x＋h)2＋k，因此先將f（x）的解析式化為f(x)＝a(x＋h）2＋k的形式．解：(1）∵f（x）與y＝－2x2＋3x有相同的開口方向和大小,∴a＝－2.∵f（x）與函數y＝x2－x＋1有相同的對稱軸,∴。又∵a＝－2，∴b＝1。∵f(x)與函數y＝4x2－x－1在y軸上有相同的交點（0,－1)，∴c＝－1。∴f（x)＝－2x2＋x－1.（2）f(x)＝。將函數y＝x2圖象上點的橫坐標保持不變,縱坐標變為原來的－2倍得到函數y＝－2x2的圖象；將函數y＝－2x2的圖象向右平移個單位長度，再向下平移個單位長度得到函數的圖象，即函數y＝－2x2＋x－1的圖象．析規律二次函數的圖象變換應先配方解決本題的關鍵是明確a，b，c對函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0）圖象的影響以及利用配方法將y＝ax2＋bx＋c化為y＝a(x＋h)2＋k的形式,這是一項基本要求，往往由于配方過程中出現錯誤導致后面解答全部錯誤．4．二次函數的性質二次函數f(x)＝ax2＋bx＋c可以通過配方轉化為f(x)＝aeq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（x＋\f(b，2a）))2＋eq\f（4ac－b2，4a），結合圖象觀察得到其主要性質,如下表:函數二次函數y＝ax2＋bx＋c（a≠0）圖象a＞0a＜0函數二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0）性質（1)拋物線開口向上，并向上無限延伸（1)拋物線開口向下，并向下無限延伸（2)對稱軸是直線x＝－eq\f（b，2a）,頂點坐標是eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f(b，2a）,\f(4ac－b2,4a）））（2)對稱軸是直線x＝－eq\f(b，2a)，頂點坐標是eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f（b，2a）,\f(4ac－b2，4a））)(3）在區間eq\b\lc\(\rc\］（\a\vs4\al\co1(－∞，－\f（b,2a)）)上是減函數，在區間eq\b\lc\［\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f（b,2a),＋∞））上是增函數(3)在區間eq\b\lc\(\rc\]（\a\vs4\al\co1(－∞，－\f（b,2a））)上是增函數，在區間eq\b\lc\[\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f(b，2a)，＋∞）)上是減函數(4）拋物線有最低點,當x＝－eq\f（b，2a）時，y有最小值，ymin＝eq\f(4ac－b2，4a)（4)拋物線有最高點,當x＝－eq\f(b，2a)時，y有最大值，ymax＝eq\f(4ac－b2,4a)由上表可以看出,函數的性質就是函數圖象特征的具體描述，因此可借助于圖象特征來理解記憶二次函數的主要性質．以上大部分性質在初中都已了解，新增加的是單調區間，所以,教科書首先通過圖象觀察得到函數的單調區間，然后利用單調性的定義進行了嚴格的證明，用定義證明函數單調性的方法和步驟在前面已經學過．【例4－1】分別指出下列二次函數圖象的開口方向、頂點坐標、對稱軸方程，寫出函數的單調區間及最大值或最小值:(1）y＝x2－4x＋9；(2）y＝－2x2＋4x－3.分析：首先將所給的二次函數解析式配方化成頂點式，然后利用圖象研究其性質．解：（1）y＝x2－4x＋9＝(x－2）2＋5，由于x2的系數是正數，所以函數圖象開口向上；頂點坐標為（2，5)；對稱軸方程為x＝2;函數在區間（－∞，2］上是減函數，在區間［2，＋∞)上是增函數；函數有最小值，沒有最大值，函數的最小值是5。（2)y＝－2x2＋4x－3＝－2(x－1)2－1,由于x2的系數是負數，所以函數圖象開口向下；頂點坐標為（1，－1);對稱軸方程為x＝1;函數在區間（－∞，1]上是增函數，在區間[1，＋∞）上是減函數；函數有最大值，沒有最小值，函數的最大值是－1。談重點配方法的重要作用配方法是研究二次函數最值及對稱性、頂點坐標等的基本方法，在探究出二次函數y＝ax2＋bx＋c（a≠0)的對稱軸以后,其圖象的對稱性及其單調性可直觀的反應在大腦中，解題中應注意多總結這些性質,以便拓展自己的思維空間．【例4－2】拋物線y＝8x2－(m＋1)x＋m－7的頂點在x軸上，則m＝________。解析：因為拋物線y＝8x2－（m＋1)x＋m－7的頂點在x軸上,所以其頂點的縱坐標,即m2－30m＋225＝0，所以(m－15）2＝0，所以m＝15.答案：15點技巧牢記二次函數的性質是關鍵拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的頂點坐標為eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f（b,2a)，\f（4ac－b2,4a))），當頂點在x軸上時，其縱坐標eq\f（4ac－b2,4a）＝0；當頂點在y軸上時，其橫坐標－eq\f（b，2a)＝0.【例4－3】若函數y＝x2＋2(a－1)x＋2在(－∞，4］上是減函數，則a的取值范圍是()A．(－∞，－3］B．［－3，＋∞)C．（－∞，5]D．[5,＋∞)解析：易知函數y＝x2＋2(a－1）x＋2是二次函數，其圖象的開口向上，對稱軸是直線x＝1－a,此函數在區間(－∞，1－a］上是減函數，若函數在(－∞，4］上是減函數,則1－a≥4，所以a≤－3.答案：A5．二次函數解析式的求法求二次函數的解析式,應根據已知條件的特點，靈活地運用解析式的形式,選取最佳方案，用待定系數法求之．(1）當已知拋物線上任意三點時，通常設所求二次函數為一般式y＝ax2＋bx＋c(a,b,c為常數，a≠0)，然后列出三元一次方程組求解．(2)當已知二次函數圖象的頂點坐標或對稱軸方程與最大（小）值，則設所求二次函數為頂點式y＝a（x＋h）2＋k(其頂點是（－h,k），a≠0)．(3）當已知二次函數圖象與x軸的兩個交點的坐標為(x1,0),（x2，0），則設所求二次函數為交點式y＝a（x－x1)（x－x2)（a≠0)．【例5－1】如圖，坐標系中拋物線是函數y＝ax2＋bx＋c的圖象，則下列式子能成立的是（）A．abc＞0B．b＜a＋cC．a＋b＋c＜0D．2c＜3b解析：圖中出現的點(1,0）和（－1，0)要注意觀察．A中,∵拋物線開口向下,∴a＜0.∵拋物線與y軸的交點（0，c）在x軸上方，∴c＞0.又∵，∴b＞0.∴abc＜0。因此A是錯誤的．B中，∵當x＝－1時，y＜0(拋物線上橫坐標為－1的點在x軸下方)，∴a－b＋c＜0（把x＝－1代入函數得y＝a（－1）2＋b（－1）＋c＝a－b＋c），∴b＞a＋c.因此B是錯誤的．C中，∵拋物線上橫坐標為1的點在x軸上方，即y＞0，又∵當x＝1時,函數y＝a·12＋b·1＋c＝a＋b＋c，∴a＋b＋c＞0。因此C是錯誤的．D中，由上得b＞a＋c.又∵，∴.∴2c＜3b.因此D正確．答案：D【例5－2】已知二次函數的圖象的頂點坐標是(1,－3)，且經過點P(2,0)，求這個函數的解析式．分析:本題已知圖象上兩點的坐標（1，－3）和（2，0),若不考慮已知點的特點，設二次函數的一般式y＝ax2＋bx＋c（a≠0）似乎差一個條件，但注意到點（1,－3）是拋物線的頂點，再利用對稱軸方程，就可以列出關于a,b，c的三元一次方程組,從而得解；根據頂點坐標是(1，－3)，也可設二次函數的頂點式y＝a(x－1)2－3(a≠0),只需將點P(2,0)的坐標代入，即可求出a；若看到P(2，0)點是圖象與x軸的交點，利用對稱性即可求出圖象與x軸的另一個交點，設二次函數的交點式y＝a（x－x1）(x－x2）也能求解．解：(方法1)設所求函數的解析式為y＝ax2＋bx＋c（a≠0)，由題意,得解得∴所求函數的解析式為y＝3x2－6x。（方法2)設所求函數的解析式為y＝a(x－1)2－3（a≠0)，由圖象經過點P（2,0)，得a(2－1）2－3＝0,解得a＝3。∴所求函數的解析式為y＝3（x－1)2－3，即y＝3x2－6x.(方法3)∵二次函數的圖象的頂點坐標為（1，－3）,∴其對稱軸為直線x＝1.又∵圖象與x軸的一個交點坐標為P(2,0)，∴由對稱性可知，圖象與x軸的另一個交點坐標為(0，0)．∴可設所求函數的解析式為y＝a(x－0）(x－2）（a≠0）．∵圖象的頂點坐標是(1，－3)，∴a（1－0)（1－2)＝－3,解得a＝3。∴所求函數的解析式為y＝3x(x－2)，即y＝3x2－6x。析規律由二次函數的圖象與x軸的交點求解析式若二次函數y＝f（x)的圖象與x軸的兩個交點坐標為（x1，0）和(x2，0)，則其對稱軸方程為x＝eq\f(x1＋x2,2）,由此可以看出，已知二次函數的對稱軸及其與x軸的一個交點坐標，即可求出另一個交點的坐標．6．二次函數圖象的草圖畫法畫二次函數的圖象時，重點體現拋物線的特征“三點一線一開口"．“三點”中有一個點是頂點,另兩個點是拋物線上關于對稱軸對稱的兩個點，常取與x軸的交點；“一線"是指對稱軸這條直線；“一開口"是指拋物線的開口方向．根據這些特征，在坐標系中可快速畫出拋物線的草圖，使畫圖的操作更簡便，使圖象更精確．【例6】畫出函數y＝2x2－4x－6的草圖．解：y＝2x2－4x－6＝2（x2－2x）－6＝2(x2－2x＋1－1)－6＝2［（x－1）2－1]－6＝2（x－1)2－8.函數圖象的開口向上,頂點坐標為(1，－8)，對稱軸為直線x＝1。令y＝0，得2x2－4x－6＝0，即x2－2x－3＝0,解得x＝－1或x＝3，故函數圖象與x軸的交點坐標為(－1，0)，(3,0）．畫法步驟：①描點畫線：在平面直角坐標系中，描出點（1，－8）,（－1，0），(3，0)，畫出直線x＝1；②連線：用光滑的曲線連點(1,－8），（－1,0），（3，0）,在連線的過程中,要保持關于直線x＝1對稱,即得函數y＝2x2－4x－6的草圖，如圖所示．7．待定系數法一般地，在求一個函數時，如果知道這個函數的一般形式，可先把所求函數寫為一般形式,其中系數待定，然后再根據題設條件求出這些待定系數，這種通過求待定系數來確定變量之間關系式的方法叫做待定系數法．待定系數法求解析式的基本步驟如下：(1）設出含有待定系數的解析式；（2)根據恒等條件，列出含待定系數的方程或方程組；(3)解方程或方程組求出待定系數，從而使問題得到解決．【例7】若f（x)為一次函數，且滿足f［f(x)］＝1＋2x，則f(x)的解析式為________．解析：已知f（x)為一次函數，可以使用待定系數法．設f(x）＝kx＋b(k≠0），則f［f(x)］＝f（kx＋b)＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b，利用對應系數相等即可求得，或，.答案：或8．給定區間上二次函數的最值或值域的求法求二次函數的最值或值域，基本的方法是配方法，當限定在某個閉區間上時，關鍵是確定函數圖象的開口方向和對稱軸與所給區間的相對位置，結合函數圖象確定該函數的單調性、最大值或最小值是在端點處取得還是在頂點處取得．一般地，二次函數f(x)＝ax2＋bx＋c（a＞0)在閉區間[p,q］上的最值有下列四種情況：（1)當－eq\f(b，2a)＜p,即對稱軸在區間[p，q］的左邊時，畫出草圖如圖①，從圖象上易得f（x）在[p，q]上是增函數，則f(x）min＝f（p)，f（x）max＝f（q)．(2）當p≤－eq\f(b，2a)≤eq\f（p＋q,2），即對稱軸在區間[p,q］的左端點與區間中點之間時,畫出草圖如圖②。從圖象上易得f（x)在[p，q］上的最值情況是f(x)min＝feq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f(b,2a）))＝eq\f（4ac－b2，4a），f（x）max＝f（q）．(3)當eq\f（p＋q，2）＜－eq\f(b，2a）≤q，即對稱軸在區間［p，q］的中點與右端點之間時，畫出草圖如圖③。從圖象上易得f（x)在［p，q]上的最值情況是f（x)min＝feq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f（b,2a）))＝eq\f(4ac－b2，4a)，f（x）max＝f（p)．（4）當－eq\f（b，2a)＞q,即對稱軸在區間[p，q]的右邊時,畫出草圖如圖④.從圖象上易得f(x)在[p，q］上是減函數，則f(x）min＝f（q)，f（x)max＝f(p）．【例8】已知函數f（x)＝x2＋2ax＋2，x∈［－5,5]．(1)當a＝－1時，求函數f（x)的最大值和最小值；（2)用a表示出函數在[－5,5］上的最值；(3）求實數a的取值范圍，使y＝f（x)在［－5，5］上是單調函數．分析：f(x)＝x2＋2ax＋2＝(x＋a）2＋2－a2。（1）當a＝－1時，由于對稱軸x＝1在區間[－5,5］內,則由圖象知函數f(x）的最大值是f（－5),最小值是f(1）；（2）中對稱軸x＝－a，要根據對稱軸與區間[－5，5]的相對位置來討論最值，因此要對對稱軸的位置分類討論；（3)切入點是單調函數，結合圖象可知對稱軸不能在區間［－5，5]內部，因此也要討論對稱軸的位置．解:(1）當a＝－1時，f（x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[－5，5］,當x＝1時，f（x）取得最小值，即f(x）min＝f（1)＝1。當x＝－5時，f（x)取得最大值，即f(x)max＝f（－5)＝（－5－1）2＋1＝37。所以函數f（x）的最大值為37，最小值為1.（2)函數y＝f（x)＝（x＋a）2＋2－a2圖象的對稱軸為x＝－a.當－a≤－5，即a≥5時，函數在區間[－5,5］上是增函數，所以f（x)max＝f（5)＝27＋10a,f（x)min＝f（－5)＝27－10a；當－5＜－a≤0，即0≤a＜5時，f(x）max＝f（5）＝27＋10a,f(x)min＝f（－a）＝2－a2；當0＜－a≤5，即－5≤a＜0時，f（x)max＝f(－5）＝27－10a，f（x)min＝f（－a)＝2－a2；當－a＞5，即a＜－5時,函數在區間［－5,5]上是減函數,所以f（x）min＝f(5)＝27＋10a，f(x）max＝f（－5)＝27－10a.故當a≥5時，f（x)max＝27＋10a，f(x）min＝27－10a；當0≤a＜5時，f（x）max＝27＋10a，f(x)min＝2－a2；當－5≤a＜0時，f(x)max＝27－10a，f(x)min＝2－a2；當a＜－5時，f（x）max＝27－10a，f(x)min＝27＋10a.（3)由(2）可知若函數f（x）在區間[－5,5］上是單調函數，則有a≤－5或a≥5.釋疑點如何在給定區間求二次函數的最值或值域當函數的解析式中含有參數或給定的區間不固定時,求二次函數在此區間上的最值,應按開口方向或對稱軸與所給區間的相對位置進行正確合理的討論,一要考慮二次函數的對稱軸在區間的某側還是在區間內,從而確定函數的單調區間；當對稱軸在區間內部時，還要考慮區間的兩個端點與對稱軸的距離的遠近，當開口向上時，離對稱軸越遠，函數值越大，離對稱軸越近，函數值越小；反之,當開口向下時，離對稱軸越遠,函數值越小，離對稱軸越近，函數值越大．9．一元二次方程與二次函數的關系一元二次方程與二次函數的關系是方程與函數關系的特例，是研究函數與方程關系的典范．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0）的根就是相應的二次函數y＝ax2＋bx＋c的函數值為0時的自變量x的值，從圖象上看，就是拋物線與x軸交點的橫坐標．當一元二次方程的判別式Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數根，此時對應的二次函數的圖象與x軸有兩個不同的交點,其解析式又可寫成兩根式的形式：y＝a(x－x1)·(x－x2)，拋物線與x軸的兩個交點間的距離｜x2－x1｜＝eq\r（（x2－x1）2)＝eq\r（（x1＋x2）2－4x1x2)＝eq\r(\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f(b，a))）2－\f(4c,a））＝eq\f（\r（b2－4ac），|a｜）。當Δ＝0時，方程有兩個相等的實數根,此時對應的二次函數的圖象與x軸只有一個公共點；當Δ＜0時，方程沒有實數根,此時對應的二次函數的圖象與x軸沒有交點．當a＞0時,它們之間的關系如下圖所示：Δ＞0