考點16直角三角形

在命題趨勢

數學中考中，直角三角形一直是一個較為重要的幾何考點，考察難度為中等偏上，常考考點為：直角

三角形的性質定理、勾股定理及其逆定理等，特別是含特殊角的直角三角形，更加是考察的重點。出題類

型可以是選擇填空題這類小題，也可以是各類解答題，以及融合在綜合壓軸題中，作為問題的幾何背景進

行拓展延伸。結合以上考察形式，需要考生在復習這一模塊時，準確掌握有關直角三角形的各種性質與判

定方法，以及特殊直角三角形常考的考察方向等。

在知緣導圖

直角二角形兩豌角百余

直角三角形30。角所對的直角邊等于斜邊長的一半

直角三角形斜邊上的中線等于斜邊長的一半

勾股定理:

勾股定理與勾股定理的逆定理

勾股定理逆定理:

:角形三邊為。、b、C,若aW,則三角形為宜用：角形

七勾股定理與弦圖、拼圖弦圖或拼圖的應用中，多聯系全等直角三角形，拼圖則基本考察七巧板間的等量關系

在重w考向

一、直角三角形的性質和判定

二、勾股定理及其逆定理

三、勾股定理與弦圖、拼圖

考向一：直角三角形的性質和判定

一.直角三角形的性質與判定

直角三角形的兩個銳角互余

性質直角三角形斜邊上的中線等于斜邊長的一半

在直角三角形中，如果有一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊長的一半

判定有一個角是90°的三角形時直角三角形

有兩個角互余的三角形是直角三角形

方法技巧

直角三角形攝影定理圖形常見的三個應用方向

1.如圖，在△A8C中，/AC8=90°,沿CO折疊△C8。，使點8恰好落在邊AC上點E處，若N8=65°,

則/4OE的大小為（）

A.40°B.50°C.65°D.75°

［分析］根據直角三角形兩銳角互氽可得NA=25°,再由折疊可得NCEO的度數，再根據三角形外角

的性質可得NAOE的度數.

【解答】解：在△45。中，NACB=90°,ZB=65°,

，/A=90°-65°=25°,

根據折疊可得NCEO=N8=65°,

???/AOE=65°-25°=40°,

故選：A.

2.如圖，在RtZkABC中，NA=90°,3D平分NA8C,交AC于點O,若點。恰好在邊BC的垂直平分線

上，則NC的度數為（）

【分析】根據線段垂直平分線的性質得到得到NO8C=/C,根據三角形內角和定理求出NC

=30°.

【解答】解：???點。恰好在邊3c的垂直平分線上，

：.DC=DB,

：./DBC=/C,

二,BO平分N48C,

:.4ABD=/DBC,

???乙DBC=NABD=ZC,

〈/A=90°,

AZABC+ZC=90°,

AZC=ZDBC=ZABD=30°,

故選：B.

3.如圖，在△ABC中，A8=AC=13,ZBAC=120°,AD是△ABC的中線，4E是NBA。的平分線，DF

〃48交AE的延長線于點尸，則。尸的長為（）

A.5.5B.6.5C.7.5D.6

【分析】根據等腰三角形三線合一的性質可得到AQ_L8C,ZBAD=ZCADf從而可得到N8W=60°,

NAOB=90°,再根據角平分線的性質即可得到NDAE=NE4B=3（r,從而可推出4。=。尸，根據直角

三角形30度角的性質即可求得A。的長，即得到了。尸的長.

【解答】解：:△ABC是等腰三角形，。為底邊的中點，

:.AD1BC,ZBAD=ZCAD,

???/BAC=120°,

/.ZBAD=60°,ZADB=90°,

??"E是NBA。的角平分線，

AZDAE=ZEAB=30°.

■:DF//AR,

AZF=ZBAE=30°.

/.ZDAF=ZF=30°,

：,AD=DF.

???48=13,ZB=30°,

.,.AD=6.5,

:.。尸=6.5.

故選：B.

4.如圖，一架梯子AB斜靠在豎直墻上，點M為梯子48的中點，當梯子底端向左水平滑動到CO位置時,

滑動過程中OM的變化規律是（）

A.變小B.不變C.變大D.先變小再變大

【分析】不變，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

【解答】解：???NAO8=90°,M為45的中點，

：.0M?加.

同理0M二劑.

'：AB=CD.

???0M的長度不變.

故選：B.

5.如圖，在△ABC中，點。在A8邊上且CD=CB,8E_LAC于點E,AB=8,CE=6,NA8E=30°,則

AD的長等于（）

ADB

A.1B.1.5C.1.6D.2

【分析】過點。作CML48于M,根據等腰三角形的性質得8M=DM"】BD,由含30°角的直角三角

形的性質得AE'?AB=4,BE'^AE=4C利用勾股定理求出BC=2歷，利用面積法求出CM

=5Q利用勾股定理可求出8M=3,根據線段的和差即可求解.

【解答】解：過點。作CM_LA8于M,

?:CD=CB,

.1

:.BM=DM=2BD,

???/ABE=30°，BELAC,

：.AE?入8=4,BEw^AE=4Q

?：CMLAB,

?BC'H尸1

.1.1

'：S^ABC?“C?8E?)AB?CM,

:.(4+6)X46飛CM,

：.CM=5

??.BM

:?BD=2BM=6,

：.AD=AB-BD=2.

故選：O.

6.如弱所示，已知/AO8=60°,點尸在邊OA上，OP=13,點M,N在邊OB上，PM=PN,若MN=2,

則OM的長為（）

A.4B.5C.6D.5.5

【分析1首先過點P作尸。_L08于點D,利用直角三角形中30°所對邊筆于斜邊的一半得出的長,

再利用等腰二角形的性質求出OM的長.

【解答】解:過點P作PD1.OB于點D,

AZOPD=30°，

:.DO.丁*6.5,

VPM=PN,MN=2,PDLOB,

:,MD=ND=\,

：.MO=DO-MD=6.5-1=5.5.

故選：O.

7.如圖，在四邊形ABC。中，NA8C=NAOC=90°,E為對角線AC的中點，連接BE,ED,BD,若N

BAD=52°,則38°.

【分析】根據已知條件可以判斷EA=EB=EC=DE,根據三角形外角定理可得到：NDEC=NDAE+N

AQE=2NO4E,同理NBEC=2NBAE,ZDEB=2ZDAE+2ZBAE=2ZDAB=\04°,在等腰三角形BEO

中，已知頂角，即可求出底角NE8O的度數.

【解答】解：'：ZABC=ZADC=90°,

:,EA=EB=EC=DE,

:.乙DAE=4EDA,NBAE=NEBA,

在△AEO中,ZDEC=ZDAE+ZADE=2ZDAE,

同理可得到：4BEC=2/BAE,/DEB=/DEC+NBEC=2/DAE+2NBAE=2(/DAE+/BAE)=2X

52°=104°,

在等腰三角形8E。中，ROIT；

故答案是：38.

8.如圖，在RtZXABC中，ZB=90°，ZACB=15"，ZADB=30°，A8=3,則CD=6cm.

【分析】根據含30度角的直角三角形性質和三角形內角和定理求出CD=DA=2AB=6cm.

【解答】解：..?在△ABC中，NB=90°,ZACB=15°,ZADB=30°,

.,.ZC4D=15°，

：.CD=DA=2AB=6cm.

故答案為：6.

9.如圖，在△ABC中，。尸_LAB于點尸，BEL4C于點E,M為8。的中點.

(1)求證：是等腰三角形：

(2)若NEBC=30°，BC=\0cm,求CE的長度.

【分析】(1)利用直角三角形斜邊上的中線的性質即可得出結論.

(2)利用直角三角形中三十度角所對的宜角邊等于斜邊的一半即可得出.

【解答】(1)證明：'：CFLAB,BErAC,

:.ABFC與4BEC都為直角三角形，

為8c的中點，

???FW、區必為斜邊BC的中點，

￡“■加尸加

??，，

:?EM=FM,

???△ME/是等腰三角形；

(2)在RtZ^EBC中，VZEBC=30°,

■\BC?ix10■

：.CE225(cm).

考向二：勾股定理及其逆定理

勾股定理及其逆定理

勾股定理直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方

勾股定理逆定理如果三角形中兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形

能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數，成為勾股數

勾股數常見的勾股數：3,4,5及其倍數；5,12,13及其倍數；7,24,25及其倍數；8,15,17

及其倍數

☆:勾股定理是初中數學中求解長度非常重要的等量關系，故很多求長度的問題沒方向時，就往直角三角

形勾股定理方向去想。

典例引M

11aBM1aHM1HH9HHi

1.以下列各組線段為邊作三角形，不能作出直角三角形的是（）

瓜

A.1,2,B.5,12,13C.3,7,8D.0.3,0.4,0.5

【分析】先分別求出兩小邊的平方和和最長邊的平方，再看看是否相等即可.

【解答】解：A、i+22=（S）2,故A選項不符合題意；

B、52+122=132,故B選項能不符合題意；

C、32+72^82,故C選項符合題意；

D、0.32+0.42=0.52,故。選項不符合題意.

故選：C.

2.如果正整數4、仄C?滿足等式J+02=J,那么正整數八只C稱為勾股數.某同學將自己探究勾股數的

過程列成如表，觀察表中每列數的規律，可知x+y的值為（）

abC

435

6810

81517

102426

………

Xy65

A.47B.62C.79D.98

【分析】依據每列數的規律，即可得至b=2n.c=〃2+l,進而得出x+），的值.

【解答】解：由題可得,3=22-1,4=2X2,5=22+1,……

.*.fl=n2-1,b=2〃,c=/i2+l,

???當c=/+l=65時，n=8,

?*?x=63,y=16,

**?j+y=79,

故選：C.

3.如一個長為5m的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端離地面的垂直距離為4加，則梯子的底端離墻的距離

是（）

A.3mB.4mC.5mD.

【分析】根據勾股定理求解即可.

【解答】解：梯子的底端離墻的距離為符

故選：A.

4.美國數學家伽菲爾德在1876年提出了證明勾股定理的一種巧妙方法，如圖，在直角梯形A8CZ）中，AB

//CD,ZB=90°,E是邊BC上一點，且BE=CO=a,AB=EC=b.如果△48E的面積為1,且a

=1,那么△AOE的面積為（）

A.1B.2C.2.5D.5

【分析】根據全等三角形的性質得到AE=OE,/AEB=NEDC,推出△AEO是等腰直角三角形，求得

△ADE的面積一々d，根據完全平方公式和勾股定理即可得到結論.

【解答】解：*：AB//CDfZB=90°,

AZC=ZB=90°,

VRE=CD=a,AR=F.C=h,

:?△ABCQAECD(SAS),

：.AE=DE,NAEB=NEDC,

?；4EDC+NDEC=NAEB+/DEC=90°,

???/AEO=90°,

???△AE￡＞是等腰直角三角形，

1

二D

???△AOE的面積4石2,

??,△ABE的面積為1,

I

:.2ab=1,

：.ab=2,

?：a-b=\,

(a-b)2=cr+tr-2ab=1,

1

.'.(r+b=5t

1?5

*/X=7

???△AOE的面積，5,

故選：C.

5.在RtZ\4BC中，ZC=90°,BC=^cm,AC=4cm,在射線BC上一動點O,從點8出發，以1厘米每

秒的速度勻速運動，若點。運動，秒小.，以A、。、6為頂點的三角形恰為等腰三角形，則所用時間，為

5或4"」或或秒.

【分析】當△BCD為等腰三角形時應分當O是頂角頂點，當5是頂角頂點，當A是頂角的頂點三種情

況進行討論，利用勾股定理求得B。的長，從而求解.

【解答】解：①如圖1,當AD=8O時，

在RlZXACO中，根據勾股定理得：AD1=AC2+CD2,即初2=（8-5D）2+42,

解得W）=S（an）.則,=5（秒）：

當AB=8O時.在RtZvlBC中，根據勾股定理得到：

AB=而而=所示=4四則片45（秒）;

當AO=A8時，BD=2BC=16,則f=16（秒）；

綜上所述，，的值可以是5或4?或16.

故答案為：5或45或16.

6.如圖，在高為3米，斜坡長為5米的樓梯臺階上鋪地毯，則地毯的長度至少要（）

A

A.5米B.6米C.7米D.8米

【分析】先求出4C的長，利用平移的知識可得出地毯的長度.

【解答】解：在RtZXABC中，AC?"2?9?4米,

故可得地毯長度=AC+8C=7米，

故選：C.

7.圖1是第七屆國際數學教育大會（/CME-7）的會徽，主體圖案是由圖2的?連串直角三角形演化而成,

ttt=

其中.OAi=AiA2=A2A3=An\A?=\,則OA21的長為（）

=6,找到0A?=F的規律即可計算0A21的長度.

【分析】根據勾股定理得到042品,0A3

【解答】解：.?.04=1，0A2=VM+Vf0A3

：.0An

：.0A2\?抵,

故選：D.

8.如圖，矩形ABC。，AB=2,BC=4,點A在x軸正半軸上，點。在y軸正半軸上，當點A在x軸上運

動時，點。也隨之在），軸上運動，在這個運動過程中，點C到原點0的最大距離為（）

2匹+2B.20+1口2百

【分析】取A。的中點H,連接CH，0H,由勾股定理可求。〃的長，由直角三角形的性質可求。〃的

長，由三角形的三邊可求解.

【解答】解：如圖，取AO的中點從連接C〃，0H,

???矩形A5cO,AB=2,BC=4,

:?CD=AB=2,AD=BC=4,

???點，是4。的中點，

:?AH=DH=2,

:

??CH=+ci）=JFTT=2/9

VZ4OD=90°，點〃是AO的中點，

OH?^AD?2

??，

在△OC〃中，COVOH+CH,

當點”在OC上時，CO=OH+CH,

???CO的最大值為OH+C/Z=20+2,

故選：A.

9.如國，大正方形A8CO由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼接而成.點E為小正方形的頂點，延

長CE交AD于點尸,連結B尸交小正方形的一邊于點G,若△BC尸為等腰三角形，AG=5,則小正方形

的面積為（）

A.15B.16C.20D.25

【分析】由等腰三角形性質可得出8P=C/，利用HL可證得RtZXAB尸（皿），WfllAB=AD

=2A凡根據余角的性質得出/ZMG=NABP,進而推出C尸=8產=2AG=10,利用面積法求得8N=8,

再運用勾股定理求得CN=4,即可求得答案.

【解答】解：設小正方形為如圖，

,:四邊形ABCD和四邊形EHMN是正方形，

：?AB=AD=CD,ZBAD=90°,CF"AG,

?:△AC廣為等腰二角形，RF>AR=RC,CF>CD=RC.

；?BF=CF,

在RlAAfiF和RtADCF中,

(AB■CL

即=%

.*.RlAABF^RcADCF(HL),

：?4AFB=NCFD,AF=DF,

：.AB=AD=2AF,

,:CF〃AG,

：.4CFD=NDAG,

：.NAFB=NDAG,

:.AG=FG,

V^AFB+ZABF=9G°,NDAG+N8AG=90°,

BAG=NABF,

:?AG=BG,

：.CF=BF=2AG=\0,

112

在RtZ\A8尸中，AB+AF=BFf

???(2AF)2+AF2=102,

：.AF=2",

：.AB=BC=4O

?:S4BCF%C?ABXF?BN,

BCA84.-X4G

:?BN=~^=~=8,

.戶-HN：，J(W;T尸-

,,CNN4,

???'ABMg/XBCN,

:?BM=CN=4,

:.MN=BN-BM=8-4=4,

：?S正方形EHMN=(MN)2=42=16，

故選：B.

10.如圖，在一條繃緊的繩索一端系著一艘小船.河岸上一男孩拽著繩子另一端向右走，繩端從C移動到E,

同時小船從A移動到〃，且繩長始終保持不變.回答下列問題：

（1）根據題意可知：AC=BC+CE（填

（2）若C尸=5米，4"=12米，AB=8米，求小男孩需向右移動的距離.（結果保留根號）

【分析】（1）由繩長始終保持不變即可求解；

（2）由勾股定理求出AC、8C的長，然后根據CE=AC-BC即可求解.

【解答】解：（1）???AC的長度是男孩未拽之前的繩子長，（8C+CE）的長度是男孩拽之后的繩子長，繩

長始終保持不變，

：.AC=BC+CE,

故答案為：=;

（2）連接則點A、B、尸三點共線，

在中，"二線笆許’的于二i3（米）,

VBF=AF-AB=12-8=4（米）,

在RdCM中，=++d=6（米）,

'：AC=BC+CE,

C￡=4C-8Ci（13-rfTT）

（米）,

???男孩需向右移動的距離為（13一廂）米.

考向三：勾股定理與弦圖、拼圖

【方法提煉】

勾股定理與弦圖：

摩涉到弦圖時，所用的直角三角形皆是全等直角三角形，證明時一般依據面積相等來列式得結論;

勾股定理與拼圖：

多考察七巧板的變形，注意各個七巧板組成間的等量線段，再結合勾股定理來計算即可。

典銅引41

1.如圖①是美麗的弦圖，蘊含著四個全等的直角三角形.已知每個直角三角形較長的直角邊為①較短的

直角邊為4斜邊長為c如圖②，現將這四個全等的直角三角形緊密拼接，形成飛鏢狀，且外圍輪廓（實

線）的周長為24,0C=3,則該飛鏢狀圖案的面積（）

①②

A.6B.12C.16D.24

【分析】根據飛鏢狀圖案的周長求出力U+AC的長，在直角二角形40。中，利用勾股定理求出47的長,

進而確定出04的長，求出三角形A0B面積，即可確定出所求.

【解答】解：根據題意得：O8=OC=3,4（AB+AC）=24,即A8+AC=6,

在RlZ\A08中，根據勾股定理得：AB1=OA1+OB2,即（6-AC）2=32+C3+AC）2,

解得：AC=\,

.*.04=3+1=4,

Su”

??，

???該飛鏢狀圖案的面積=4S"OB=24,

故選：。.

2.七巧板起源于我國先秦時期，古算書《周髀算經》中有關于正方形的分割術，經過歷代演變而成七巧板,

加圖1所示.19世紀傳到國外，被稱為“唐圖”（意為“來自中國的拼圖"），圖2是由邊長為g的正方

形分割制作的七巧板拼擺成的“葉問髓”圖.則圖中抬起的“腿”（即陰影部分）的面積為12

圖1圖2

【分析】根據七巧板中各部分面積的關系可得答案.

???圖2是由邊長為8的正方形分割制作的七巧板拼擺成的,

，大正方形面積=64,

77XXX2+T7X64=

由圖形可知，陰影部分面積為161612,

故答案為：12.

3.用邊長為1的正方形做了一套七巧板，拼成如圖所示的一座橋，則橋中陰影部分的面積為原正方形面積

1

的2.

【分析】讀圖分析陰影部分與整體的位置關系，易得陰影部分的面積即為原正方形的面積的一半.

【解答】解：讀圖可得，陰影部分的面積為原正方形的面積的一半，則陰影部分的面積為1X1?2

是原正方形的面積的一半.

故答案為：2

4.七巧板被西方人稱為“東方魔術”，下面的兩幅圖是由同一個七巧板拼成的.已知七巧板拼成的正方形

（如圖1）邊長為acm，則圖2的“小狐貍”圖案中陰影部分面積是力刖2（用含。的代數式表示）.

圖1

【分析】根據圖中各部分面積之間的關系求解即可.

【解答】解:

圖1

由圖可知，陰影部分面積=大正方形面積-Si-S2-S3=a（“P）,

I

故答案為：,O2.

5.七巧板起源于我國先秦時期，古算書《周髀算經》中有關于正方形的分割術，經歷代演變而成七巧板.小

聰將一塊腰長為20cm的等腰直角三角形硬紙板（如圖①）切割成七塊，正好制成一副七巧板（如圖②）,

則圖中陰影部分的面積為（）

C.50cm2D.lOOc/772

【分析】畫出圖形，結合圖①和圖②可知3。=205?，再由正方形的性質求出03、OC的長，然后根據

等腰直角三角形的性質和正方形的性質求出EF和OF的長，即可求得正方形OFEG的面積，即陰影部

分的面積.

【解答】解：如圖②，結合圖①可知50=20。”，

???四邊形A8CD是正方形，

：.AC=BD=20cm,AC±BD,

???OBBD=10an,OC~AC=Wcm,NBOC=90°，

：.OB=OC,

：./FRF—/GCR=45°,

???四邊形OFEG是正方形,

：.EF//OC,

:?/BFE=NBOC=90°,

：?/FBE=NFEB=45°,

:?BF=EF=OF-7/0B=5cm,

???$正方形。尸￡6=后產=52=25(cm2),

???圖中陰影部分的面積為25cm2,

故選：B.

圖①圖②

6.習近平總書記提出的“綠水青山就是金山銀山”這一科學論斷，成為樹立生態文明觀、引領中國走向綠

色發展之路的理論之基.小張在數學活動課上用正方形紙片制作成圖1的“七巧板”，設計拼成了圖2

的水杉樹樹冠.如果已知圖1中正方形紙片的邊長為2cm,則圖2中水杉樹樹冠的高(即點A

到線段BC的距離）是（".I）cm.

（圖1）（圖2）

【分析】過A作AErMN于E,根據等腰直角三角形的性質得到AE1MN=1(cm),HF=

BF=rBE=C(an),于是得到結論.

【蟀答】解：如圖，過A作4E_LMN于E,

VMN=BH=2cm,

■1=G

：.AE=3MN=l(cm),HF=BFBE~~2(cm)>

???圖2中水杉樹樹冠的高=A4+M=:隹+1）cm,

故答案為：（a+i）.

(圖2)

7.七巧板是我國祖先的一項卓越創造，被譽為“東方魔板”.由邊長為20的正方形可以制作一副如圖1所

示的七巧板，現將這副七巧板拼成如圖2所示的造型恰好放入矩形ABC。中（其中點EF,G,H,K

都在矩形邊上），則A。長是13

因

圖1

【分析】如圖,設。產=x,DE=y,根據△AFGs/\￡）七凡可得出：AF=2yfAG=2x,同理：△CHKs

=7

△DEF,可得出：CH勺，CK4：再證明△AFGg/XBG”(A4S),可得：BG=AF=2y,BH=AG

▼7

=2x,AD=x+2y,BC=2xy,再由AO=BC,建立方程求解即可.

【解答】解：如圖，設。尸=x,DE=y,

在RtZXOE/中，EF=2,

VZA=ZD=ZEFG=90°,

；,/DFE+NAFG=90°,NDFE+NDEF=90°,

???4AFG=4DEF,

???△AFGs^DEF,

：,AF=2ytAG=2xf

同理：△CHKs^DEF,

CHCKHKCHCK1

—"■—■—

??.DEDFEFt即yx2t

11

=：/

：.CHy,CKx,

VZA=ZB=ZFGH=90°,

A/AGF+ZBGH=ZAGF+ZAFG=9Q°,

:.4BGH=NAFG,

?：FG=GH,

，自AFG@ABGH（AAS）,

，BG=A尸=2y,BH=AG=2jCt

；?AO=x+2y,BC=2xy,

'：AD=BC,

*.x+2y=2x'y,

3

?=2

在RtADEF中，J，DE2+DF2=EF2,

s33

2,2222

**..r+>=2,將x4代入，得：（2y）+J2=2,

6/n4n

解得：JF），=▽，

■久地xwaP_14/n

.9.AD=x+2yI，213仃,

14舊

故答案為：13.

圖I圖2

8.六巧板是一種類似七巧板的智力玩具，它是由一個正方形按如圖1方式分割而成，其中圖形①是正方形,

小明發現可以將六巧板拼搭成如圖2所示的“三角形”與“飛機”模型.在“飛機”模型中寬與高的比

【分析】利用圖1和圖2所示可得：MNHG為正方形，DE=EC=AF=FB?BC,設正方形MNHG的

-

邊長為〃，則AG=MG=GH=//N="B=NC=s通過說明得到》,利用拼圖與

原圖對比求得/與力的長，則結論可求.

■1

【解答】解：由題意得：MNHG為正方形,DE=EC=AF=FB，BC.

設上方形MNHG的邊長為小則AG=MG=GH=HN=HB=NC=a.

ZFBC=90°,

:?△CHBSABHF.

BHHF

而二麗

?：CH=2a,BH=a,

HF1

=一

,BH2

_1

：.HF4.

由題意：AE=CF.

=1

ME=HFZ.

：.l=GH+MN+NH=3a,h=HN+CH+HF=3.5a.

I_3a_(

?h=35a=7

???

6

故答案為：

在跟蹤訓練

1.（2022?紹興）如圖，把一塊三角板A8C的直角頂點B放在直線E尸上，ZC=30°,AC//EF,則N1:

）

A.30°B.45°C.60°D.75°

【分析】根據平行線的性質，可以得到NC8F的度數，再根據/A8C=90',可以得到N1的度數.

【解答】解：???AC〃E/，ZC=30°,

?"C=NCBF=30°,

VZABC=90°,

AZI=1800-ZABC-ZCBF=180°-90°-30°=60°,

故選：C.

2.（2022?荊州）如圖，在RlAABC中，/4CB=90°,通過尺規作圖得到的直線MN分別交48,AC于。,

3

E,連接CD.若CEAE=\t則CZ)=

【分析】如圖，連接BE,根據作圖可知MN為AB的垂直平分線，從而得到AE=5E=3,然后利用勾股

定理求出BC,AB,最后利用斜邊上的中線的性質即可求解.

【解答】解：如圖，連接BE,

VCEJAE=1,

???4E=3,4c=4,

而根據作圖可知MN為AB的垂直平分線,

:?AE=BE=3,

在RtZXECB中，BC=WE"=?

.='AO+BC2=瓜

??ADZ,

VCD為直角三角形ABC斜邊上的中線，

3.（2022?德州）將一副三角板（厚度不計）如圖擺放，使含30。角的三角板的斜邊與含45°角的三角板

的一條直角邊平行，則/a的角度為（）

A.100°B.105°C.110°D.120°

【分析】根據平行線的性質可得NA8C的度數，再根據三角形內角和定理可得Na的度數.

【解答】解：???含30°角的二角板的斜邊與含45°角的二角板的一條直角邊平行，如圖所示:

，/ABC=NA=45°,

VZC=30°,

/.Za=180°-45°-30°=105°,

故選:B.

4.（2022?金華）如圖，圓柱的底面直徑為48,高為AC,一只螞蟻在。處，沿圓柱的側面爬到3處，現將

圓柱側面沿AC“剪開”，在側面展開圖上畫出螞蟻爬行的最近路線，正確的是（）

線段可以得出結論.

【解答】解：將圓柱側面沿AC“剪開”，側面展開圖為矩形，

???圓柱的底面直徑為A3,

??.點B是展開圖的一邊的中點，

???螞蟻爬行的最近路線為線段，

???c選項符合題意，

故選：C.

5.（2022?百色）活動探究：我們知道，已知兩邊和其中一邊的對角對應相等的兩個三角形不一定全等.如

已知△48C中，ZA=30°,AC=3,NA所對的邊為‘，滿足已知條件的三角形有兩個（我們發現其中

如圖的△ABC是一個直角三角形），則滿足已知條件的三角形的第三邊長為（）

c

A.26B,2仃飛C.273或6D.26或273-3

【分析】根據題意知，CD=CB,作于”，再利用含30°角的直角三角形的性質可得C〃，AH

的長，再利用勾股定理求出B”,從而得出答案.

【解答】解：如圖，CO=C8,作CHL4B于H,

C

:?DH=BH,

VZA=30",

：.CH4ACAH、CH',

=彳BG-CH：wU=1n

在RlZXCB”中，由勾股定理得8H勺:9

=萼+/Q=苧_苧=6

：.AB=AH+BH2L2,AD=AH-DH

故選：C.

6.（2022?廣元）如圖，在△ABC中，BC=6,AC=8,NC=90°,以點8為圓心，8c長為半徑畫弧，與

1

交于點再分別以、。為圓心，大于引力的長為半徑畫弧

ABO,A,兩弧交于點M、N,作直線MM分

別交AC、A8于點七、F,則AE的長度為（）

<

S10

A.2B.3C.2、'D.

【分析】利用勾股定理求出A3,再利用相似三角形的性質求出AE即可.

【解答】解：在Rf/\4AC中，RC=6,4C=8,

二=..

AAB1fVT

VBD=CB=6,

：.AD=AB-BC=4,

由作圖可知EF垂直平分線段AD,

：.AF=DF=2,

???/A=NA,ZAFE=ZACB=90°,

???XAFEsRACB,

AEAF

?AB^AC

??9

4￡_2

??To-8，

5

：,AE

故選：A.

7.（2022?蘇州）如圖，點4的坐標為（0,2）,點8是x軸正半軸上的一點，將線段AB繞點A按逆時針

方向旋轉60°得到線段AC.若點C的坐標為Cm,3）,則機的值為（）

4V32VH5V34>/21

A.3B.3C.3D.3

【分析】過C作COJ_x軸于點O,CEJ_y軸于點E,根據將線段48繞點A按逆時針方向旋轉60°得到

線段AC,可得△ABC是等邊三角形，又A（0,2）,C（m,3）,即得AC='而十］=BC=AB,可得

BDOB=/2、°灰=而"7從而V峭-3+5二8=一即

=-5-G-

可解得m

【解答】解：過。作CQ_Lx軸于點。，CE_Ly軸于點E,如圖:

???CQ_Lx軸，CE_Ly軸，/。。E=90°,

???四邊形EOQC是矩形，

???將線段AB繞點A按逆時針方向旋轉60°得到線段AC,

：,AB=AC,ZBAC=60°,

???△ABC是等邊三角形，

.\AB=AC=BC,

*：A(0,2),C(m,3),

：,CE=ni=OD,CD=3,04=2,

：.AE=OE-OA=CD-OA=\t

=〃EE=^E=BC=AB

：.AC

在RtZXBCD中，BD~

在RlZXAOB中，OR

?.*OB+BD=OD=m,

.-3+Vm2—8=

??m,

化簡變形得：3/-22加2-25=0,

=5門=_5厘

解得加一丁或J一-r（舍去）,

??陽

故選：C.

8.（2022?湖州）如圖，已知在銳角△ABC中，AB=AC,AD是△ABC的角平分線，E是4。上一點，連結

EB,EC.若NEBC=45°,BC=6,則△E8C的面積是()

C.6D.3

【分析】根據等腰三角形的性質得到BD=CD=3,AD1BC,根據等腰直角三角形的性質求出ED,根

據三角形的面積公式計算，得到答案.

【解答】解：???A8=4C,A。是△ABC的角平分線,

：.BD=CD48c=3,AD1.BC,

在RlAEBD中,/EBC=45°,

：.ED=BD=3,

11一

:&EBCBC?ED/6X3=9,

故選：B.

9.（2022?達州）如圖，AB//CD,直線所分別交AB,CD于點M,N,將一個含有45°角的直角三角尺

按如圖所示的方式擺放，若NEMB=80°,則NPNM等于（）

A.15°B.25°C.35°D.45°

【分析】根據平行線的性質得到NONM=NBME=80°,由等腰直角三角形的性質得到N/WO=45°,

即可得到結論.

【解答】解：???A8〃CO,

:?/DNM=NBME=8O0,

VZP/VD=45°,

：?4PNM=NDNM-ZDNP=8O0-45°=35°,

故選：C.

10.（2022?黔西南州）如圖，在△ABC和aAOE中，N84C=ND4E=90°,ZB=60°,ZD=45°,AC

與DF相交于點F.若RC//AE,則/標的度數為105,

【分析】由三角形內角和定理可知，ZC=30°,NE=45°,再利用平行線的性質可知NC4E=30°,

最后利用三角形內角和定理可得結論.

【解答】解：在△ABC和△AOE中，NBAC=NOAE=90°,NB=60°,NO=45°,

AZC=180°-ZB-ZBAC=30°,ZE=180°-ZD-ZDAE=45°,

*：BC//AE,

??./C4E=NC=30°,

在尸中，NA尸石=180°-ZCAE-ZE=105°.

故答案為：105°.

11.（2022?綿陽）如圖，四邊形A8co中，NAOC=90°,AC1BC,NA8C=45°,AC與8。交于點E,

60

若AB=210,CD=2,則AABE的面積為7

【分析】過點。作OF_LAC于點R解RtZXABC求出AC、BC,再由勾股定理求得A。，根據三角形的

面積公式求得。尸，由勾股定理求得AF,再證明AOE尸S/XSEC,求得EF,進而求得AE,最后山三角

形面枳公式求得結果.

【解答】解：過點。作。尸_L4C于點凡

VAC1BC,ZABC=45°,

：.AC=BC~TA5=2巡,

VZADC=90°，CD=2,

y/AC2-CD2=4

：,AD

川09Cm

=-外尸=附

：.AF

：.CF

YDF//BC、

:??DEFSABEC,

EFDF

ECBC,即

60

故答案為：7.

12.（2022?嘉興）小曹同學復習時將幾種-:角形的關系整理如圖，請幫他在括號內填上一個適當的條件Z

8=60°（答案不唯一）

【分析】根據等邊三角形的判定定理填空即可.

【解答】解：有一個角是60°的等腰二角形是等邊二角形,

故答案為：/8=60°.（答案不唯一）

13.（20