PAGE52第一章隨機事件及其概率概率論與數理統計是從數量化的角度來研究現實世界中一類不確定現象（隨機現象）規律性的一門應用數學學科，20世紀以來，廣泛應用于工業、國防、國民經濟及工程技術等各個領域.本章介紹的隨機事件與概率是概率論中最基本、最重要的概念之一.【教學目的與要求】通過學習，使學生理解隨機事件和樣本空間的概念；熟練掌握事件間的關系與基本運算。理解事件頻率的概念；了解隨機現象的統計規律性。知道概率的公理化定義；理解古典概型的概念；了解幾何概率；掌握概率的基本性質（特別是加法定理），會應用這些性質進行概率計算。理解條件概率的概念；掌握乘法定理、全概率公式和貝葉斯公式，并會應用這些公式進行概率計算。理解事件獨立性的概念，會應用事件的獨立性進行概率計算。掌握貝努里概型及有關事件概率的計算。【教學重點】事件的關系與運算；概率的公理化體系；古典概型的計算；概率的加法公式、乘法公式與全概率公式；條件概率與事件的獨立性。貝努里概型。【教學難點】古典概率的計算；全概公式與貝葉斯公式的應用；【計劃課時】8【教學內容】第一節隨機事件一.隨機現象從亞里士多德時代開始,哲學家們就已經認識到隨機性在生活中的作用,但直到20世紀初,人們才認識到隨機現象亦可以通過數量化方法來進行研究.概率論就是以數量化方法來研究隨機現象及其規律性的一門數學學科.而我們已學過的微積分等課程則是研究確定性現象的數學學科.二.隨機現象的統計規律性由于隨機現象的結果事先不能預知,初看似乎毫無規律.然而人們發現同一隨機現象大量重復出現時,其每種可能的結果出現的頻率具有穩定性,從而表明隨機現象也有其固有的規律性.人們把隨機現象在大量重復出現時所表現出的量的規律性稱為隨機現象的統計規律性.概率論與數理統計是研究隨機現象統計規律性的一門學科.為了對隨機現象的統計規律性進行研究,就需要對隨機現象進行重復觀察,我們把對隨機現象的觀察稱為隨機試驗,并簡稱為試驗，記為.例如,觀察某射手對固定目標進行射擊;拋一枚硬幣三次,觀察出現正面的次數;記錄某市120急救電話一晝夜接到的呼叫次數等均為隨機試驗.隨機試驗具有下列特點:1.可重復性:試驗可以在相同的條件下重復進行;2.可觀察性:試驗結果可觀察,所有可能的結果是明確的;3.不確定性:每次試驗出現的結果事先不能準確預知.三.樣本空間盡管一個隨機試驗將要出現的結果是不確定的,但其所有可能結果是明確的,我們把隨機試驗的每一種可能的結果稱為一個樣本點,記為（或）；它們的全體稱為樣本空間,記為(或).基本事件的稱謂是相對觀察目的而言它們是不可再分解的、最基本的事件，其它事件均可由它們復合而成，一般地，我們稱由基本事件復合而成的事件為復合事件.四.事件的集合表示按定義,樣本空間是隨機試驗的所有可能結果(樣本點)的全體,故樣本空間就是所有樣本點構成的集合,每一個樣本點是該集合的元素.一個事件是由具有該事件所要求的特征的那些可能結果所構成的,所以一個事件對應于中具有相應特征的樣本點(元素)構成的集合,它是的一個子集.于是,任何一個事件都可以用的某一子集來表示,常用字母等表示.五.事件的關系與運算因為事件是樣本空間的一個集合,故事件之間的關系與運算可按集合之間的關系和運算來處理.六.事件的運算規律事件間的關系及運算與集合的關系及運算是一致的，為了方便，給出下列對照表：表1.1例題選講：例1在管理系學生中任選一名學生,令事件A表示選出的是男生,事件B表示選出的是三年級學生,事件C表示該生是運動員.(1)敘述事件的意義;(2)在什么條件下成立?(3)什么條件下?(4)什么條件下成立?例2考察某一位同學在一次數學考試中的成績,分別用A,B,C,D,P,F表示下列各事件(括號中表示成績所處的范圍):則是兩兩不相容事件與是互為對立事件，即有均為的子事件，且有例3甲，乙，丙三人各射一次靶，記“甲中靶”“乙中靶”“丙中靶”則可用上述三個事件的運算來分別表示下列各事件：(1)“甲未中靶”：(2)“甲中靶而乙未中靶”：(3)“三人中只有丙未中靶”(4)“三人中恰好有一人中靶”：(5)“三人中至少有一人中靶”(6)“三人中至少有一人未中靶”或(7)“三人中恰有兩人中靶”(8)“三人中至少兩人中靶”(9)“三人均未中靶”(10)“三人中至多一人中靶(11)“三人中至多兩人中靶”或注：用其他事件的運算來表示一個事件,方法往往不惟一，如上例中的(6)和(11)實際上是同一事件，讀者應學會用不同方法表達同一事件,特別在解決具體問題時,往往要根據需要選擇一種恰當的表示方法.例4指出下列各等式命題是否成立,并說明理由:(1);(2);(3);(4);(5)如果,則(6)如果,且,則;(7)如果,那么;(8)如果,那么例5化簡下列事件：(1)(2)思考題1.設當事件與同時發生時也發生,則().(A)是的子事件;(B)或(C)是的子事件;(D)是的子事件.2.設事件{甲種產品暢銷,乙種產品滯銷},則的對立事件為().(A)甲種產品滯銷,乙種產品暢銷;(B)甲種產品滯銷;(C)甲、乙兩種產品均暢銷;(D)甲種產品滯銷或者乙種產品暢銷.第二節隨機事件的概率對一個隨機事件，在一次隨機試驗中，它是否會發生，事先不能確定.但我們可以問，在一次試驗中，事件發生的可能性有多大？并希望找到一個合適的數來表征事件在一次試驗中發生的可能性大小.為此，本節首先引入頻率，它描述了事件發生的頻繁程度，進而引出表征事件在一次試驗中發生的可能性大小的數概率.一.頻率及其性質定義1若在相同條件下進行次試驗,其中事件發生的次數為,則稱為事件發生的頻率.易見,頻率具有下述基本性質:1.2.3.設是兩兩互不相容的事件,則.二.概率的統計定義定義2在相同條件下重復進行n次試驗，若事件發生的頻率隨著試驗次數n的增大而穩定地在某個常數(附近擺動，則稱為事件的概率，記為.頻率的穩定值是概率的外在表現,并非概率的本質.據此確定某事件的概率是困難的，但當進行大量重復試驗時,頻率會接近穩定值,因此，在實際應用時，往往是用試驗次數足夠大的頻率來估計概率的大小,且隨著試驗次數的增加,估計的精度會越來越高。三.概率的公理化定義任何一個數學概念都是對現實世界的抽象，這種抽象使得其具有廣泛的適用性.概率的頻率解釋為概率提供了經驗基礎,但是不能作為一個嚴格的數學定義,從概率論有關問題的研究算起,經過近三個世紀的漫長探索歷程,人們才真正完整地解決了概率的嚴格數學定義.1933年,前蘇聯著名的數學家柯爾莫哥洛夫,在他的“概率論的基本概念”一書中給出了現在已被廣泛接受的概率公理化體系,第一次將概率論建立在嚴密的邏輯基礎上.定義3設是隨機試驗,是它的樣本空間,對于的每一個事件賦于一個實數,記為,若滿足下列三個條件:1.非負性：對每一個事件,有;2.完備性：;3.可列可加性：設是兩兩互不相容的事件，則有則稱為事件的概率.四.概率的性質性質1--性質例題選講：頻率及其性質例1圓周率是一個無限不循環小數,我國數學家祖沖之第一次把它計算到小數點后七位,這個記錄保持了1000多年!以后有人不斷把它算得更精確.1873年,英國學者沈克士公布了一個的數值,它的數目在小數點后一共有707位之多!但幾十年后,曼徹斯特的費林生對它產生了懷疑.他統計了的608位小數,得到了下表:你能說出他產生懷疑的理由嗎?因為是一個無限不循環小數，所以，理論上每個數字出現的次數應近似相等，或它們出現的頻率應都接近于0.1，但7出現的頻率過小.這就是費林產生懷疑的理由.概率的統計定義例2檢查某工廠一批產品的質量,從中分別抽取10件、20件、50件、100件、150件、200件、300件檢查,檢查結果及次品頻列入表1-21由表1看出,在抽出的n件產品中,次品數隨著n的不同而取不同值,從而次品頻率僅在0.05附近有微小變化.所以0.05是次品頻率的穩定值.例3從某魚池中取100條魚,做上記號后再放入該魚池中.現從該池中任意捉來40條魚,發現其中兩條有記號,問池內大約有多少條魚?概率的性質例4已知,求(1);(2);(3);(4).例5觀察某地區未來5天的天氣情況,記為事件:“有天不下雨”,已知求下列各事件的概率:(1)天均下雨;(2)至少一天不下雨;(2)至少一天不下雨;例6某城市中發行2種報紙A,B.經調查,在這2種報紙的訂戶中,訂閱A報的有45%,訂閱B報的有35%,同時訂閱2種報紙A,B的有10%.求只訂一種報紙的概率講解注意：思考題1.設,求事件的逆事件的概率.2.設求.3.設都出現的概率與都不出現的概率相等,且,求.第三節古典概型與幾何概型引例一個紙桶中裝有10個大小、形狀完全相同的球.將球編號為1—10.把球攪勻,蒙上眼睛從中任取一球.因為抽取時這些球被抽到的可能性是完全平等的,所以我們沒有理由認為這10個球中的某一個會比另一個更容易抽得,也就是說,這10個球中的任一個被抽取的可能性均為.這樣一類隨機試驗是一類最簡單的概率模型,它曾經是概率論發展初期主要的研究對象.一、古典概型我們稱具有下列兩個特征的隨機試驗模型為古典概型。1.隨機試驗只有有限個可能的結果;2.每一個結果發生的可能性大小相同.。因而古典概型又稱為等可能概型.在概率論的產生和發展過參程中，它是最早的研究對象，且在實際中也最常用的一種概率模型。它在數學上可表述為：在古典概型的假設下,我們來推導事件概率的計算公式.設事件包含其樣本空間中個基本事件,即則事件發生的概率稱此概率為古典概率.這種確定概率的方法稱為古典方法.這就把求古典概率的問題轉化為對基本事件的計數問題.二、計算古典概率的方法基本計數原理：1.加法原理：設完成一件事有種方式,其中第一種方式有種方法，第二種方式有種方法，……,第種方式有種方法，無論通過哪種方法都可以完成這件事,則完成這件事的方法總數為.2.乘法原理：設完成一件事有個步驟,其中第一個步驟有種方法，第二個步驟有種方法，……，第個步驟有種方法；完成該件事必須通過每一步驟才算完成，則完成這件事的方法總數為.3.排列組合方法：排列公式：(2)組合公式；(3)二項式公式.三、幾何概型古典概型只考慮了有限等可能結果的隨機試驗的概率模型.這里我們進一步研究樣本空間為一線段、平面區域或空間立體等的等可能隨機試驗的概率模型—幾何概型.（a）設樣本空間是平面上某個區域,它的面積記為;（b）向區域上隨機投擲一點,這里“隨機投擲一點”的含義是指該點落入內任何部分區域的可能性只與區域的面積成比例,而與區域的位置和形狀無關.向區域上隨機投擲一點,該點落在區域的的事件仍記為，則概率為,其中為常數，而，于是得，從而事件的概率為幾何概率注:若樣本空間為一線段或一空間立體,則向“投點”的相應概率仍可用式確定,但應理解為長度或體積.例題選講：例1一個袋子中裝有10個大小相同的球,其中3個黑球,7個白球,求從袋子中任取一球,這個球是黑球的概率;從袋子中任取兩球,剛好一個白球一個黑球的概率以及兩個球全是黑球的概率.例2將標號為1,2,3,4的四個球隨意地排成一行,求下列各事件的概率:(1)各球自左至右或自右至左恰好排成1,2,3,4的順序;(2)第1號球排在最右邊或最左邊;(3)第1號球與第2號球相鄰;(4)第1號球排在第2號球的右邊(不一定相鄰).例3將3個球隨機放入4個杯子中,問杯子中球的個數最多為1,2,3的概率各是多少?例4將15名新生(其中有3名優秀生)隨機地分配到三個班級中,其中一班4名,二班5名,三班6名,求:每一個班級各分配到一名優秀生的概率;3名優秀生被分配到一個班級的概率.例5在1~2000的整數中隨機地取一個數,問取到的整數既不能被6整除,又不能被8整除的概率是多少?例6一個袋子中裝有個球，其中個黑球，個白球，隨意的每次從中取出一個球（不放回），求下列各事件的概率：（1）第次取到的是黑球；（2）第次才取到黑球;（3）前次中能取到黑球.幾何概型例7某人午覺醒來,發覺表停了,他打開收音機,想聽電臺報時,設電臺每正點是報時一次,求他(她)等待時間短于10分鐘的概率.例8會面問題)甲、乙兩人相約在7點到8點之間在某地會面,先到者等候另一人20分鐘,過時就離開.如果每個人可在指定的一小時內任意時刻到達,試計算二人能夠會面的概率.思考題1.設有件產品,其中有件次品,現從中任取件,求其中有件次品的概率.第四節條件概率先由一個簡單的例子引入條件概率的概念.一、條件概率的概念在解決許多概率問題時,往往需要在有某些附加信息(條件)下求事件的概率.如在事件發生的條件下,求事件發生的條件概率,記作.定義1設是兩個事件,且,則稱(1)為在事件發生的條件下,事件的條件概率.相應地，把稱為無條件概率。一般地，.注:1.用維恩圖表達(1)式.若事件已發生,則為使也發生,試驗結果必須是既在中又在中的樣本點,即此點必屬于.因已知已發生,故成為計算條件概率新的樣本空間.2.計算條件概率有兩種方法:：a)在縮減的樣本空間中求事件的概率，就得到；b)在樣本空間中，先求事件和，再按定義計算。二、乘法公式由條件概率的定義立即得到:(2)注意到,及的對稱性可得到:(3)(2)和(3)式都稱為乘法公式,利用它們可計算兩個事件同時發生的概率.三、全概率公式全概率公式是概率論中的一個基本公式。它使一個復雜事件的概率計算問題，可化為在不同情況或不同原因或不同途徑下發生的簡單事件的概率的求和問題。定理1設是一個完備事件組,且則對任一事件,有注:全概率公式可用于計算較復雜事件的概率,公式指出:在復雜情況下直接計算不易時,可根據具體情況構造一組完備事件,使事件發生的概率是各事件發生條件下引起事件發生的概率的總和.四、貝葉斯公式利用全概率公式,可通過綜合分析一事件發生的不同原因、情況或途徑及其可能性來求得該事件發生的概率.下面給出的貝葉斯公式則考慮與之完全相反的問題,即,一事件已經發生,要考察該事件發生的各種原因、情況或途徑的可能性.例如,有三個放有不同數量和顏色的球的箱子,現從任一箱中任意摸出一球,發現是紅球,求該球是取自1號箱的概率.或問:該球取自哪號箱的可能性最大?定理2設是一完備事件組,則對任一事件,,有貝葉斯公式注:公式中,和分別稱為原因的驗前概率和驗后概率.是在沒有進一步信息(不知道事件是否發生)的情況下諸事件發生的概率.當獲得新的信息(知道發生),人們對諸事件發生的概率有了新的估計.貝葉斯公式從數量上刻劃了這種變化.特別地,若取,并記,則,于是公式成為例題選講：條件概率例1一袋中裝有10個球,其中3個黑球,7個白球,先后兩次從袋中各取一球(不放回)(1)已知第一次取出的是黑球,求第二次取出的仍是黑球的概率;(2)已知第二次取出的是黑球,求第一次取出的也是黑球的概率.例2袋中有5個球,其中3個紅球2個白球.現從袋中不放回地連取兩個.已知第一次取得紅球時,求第二次取得白球的概率.乘法公式例3一袋中裝10個球,其中3個黑球、7個白球,先后兩次從中隨意各取一球(不放回),求兩次取到的均為黑球的概率.分析：這一概率,我們曾用古典概型方法計算過,這里我們使用乘法公式來計算.在本例中,問題本身提供了兩步完成一個試驗的結構,這恰恰與乘法公式的形式相應,合理地利用問題本身的結構來使用乘法公式往往是使問題得到簡化的關鍵.例4設袋中裝有只紅球,只白球.每次自袋中任取一只球,觀察其顏色然后放回,并再放入只與所取出的那只球同色的球.若在袋中連續取球四次,試求第一,二次取到紅球且第三,四次取到白球的概率.例5設某光學儀器廠制造的透鏡,第一次落下時打破的概率為1/2,若第一次落下未打破,第二次落下打破的概率為7/10,若前兩次落下未打破,第三次落下打破的概率為9/10.試求透鏡落下三次而未打破的概率.例6)已知，試求 例7一袋中裝有10個球,其中3個黑球、7個白球，從中先后隨意各取一球（不放回），求第二次取到的是黑球的概率.全概率公式例8人們為了解一支股票未來一定時期內價格的變化,往往會去分析影響股票價格的基本因素,比如利率的變化.現假設人們經分析估計利率下調的概率為60%,利率不變的概率為40%.根據經驗,人們估計,在利率下調的情況下,該支股票價格上漲的概率為80%，而在利率不變的情況下,其價格上漲的概率為40%,求該支股票將上漲的概率.例9某商店收進甲廠生產的產品30箱，乙廠生產的同種產品20箱，甲廠每箱裝100個，廢品率為0.06,乙廠每箱裝120個,廢品率為0.05,求:(1)任取一箱，從中任取一個為廢品的概率；(2)若將所有產品開箱混放,求任取一個為廢品的概率.例10在例7中，我們將“第二次取到的球為黑球”這一事件分解為兩種情況下發生，那里利用全概率公式算得“第二次取到的球為黑球”的概率.現在的問題是,假設我們已經觀察到“第二次取到的球為黑球”，但我們不知道是在第一次取到的球為黑球的情況下第二次取的是黑球的可能性大，還是在第一次取到的球為白球的情況下第二次取到的是黑球的可能性大，現求“第一次取到的是黑球”這種“情況”發生的概率.例11對以往數據分析結果表明,當機器調整得良好時,產品的合格率為98%,而當機器發生某種故障時,其合格率為55%.每天早上機器開動時,機器調整良好的概率為95%.試求已知某日早上第一件產品是合格時,機器調整得良好的概率是多少?例12設某批產品中,甲,乙,丙三廠生產的產品分別占45%,35%,20%,各廠的產品的次品率分別為4%,2%,5%,現從中任取一件,(1)求取到的是次品的概率;(2)經檢驗發現取到的產品為次品,求該產品是甲廠生產的概率.例13根據以上的臨床記錄，某種診斷癌癥的是眼睛有如下的效果:若以表示事件“試驗反應為陽性”，以表示事件“被診斷者患有癌癥”，則有現在對自然人群進行普查,設備試驗的人患有癌癥的概率為0.005,即,試求思考題1.設某種動物由出生算起活到20年以上的概率為0.8,活到25年以上的概率為0.4.問現年20歲的這種動物,它能活到25歲以上的概率是多少?第五節事件的獨立性一、兩個事件的獨立性定義若兩事件,滿足(1)則稱,獨立,或稱,相互獨立.注:當,時,,相互獨立與,互不相容不能同時成立.但與既相互獨立又互不相容(自證).定理1設,是兩事件,且,若,相互獨立,則.反之亦然.定理2設事件,相互獨立,則下列各對事件也相互獨立:與,與,與.二、有限個事件的獨立性定義：為三個事件,若滿足等式則稱事件相互獨立.對個事件的獨立性,可類似寫出其定義:定義設是個事件,若其中任意兩個事件之間均相互獨立,則稱兩兩獨立.三、相互獨立性的性質性質1若事件相互獨立,則其中任意個事件也相互獨立;由獨立性定義可直接推出.性質2若個事件相互獨立,則將中任意個事件換成它們的對立事件,所得的個事件仍相互獨立;對時，定理2已作證明,一般情況可利用數學歸納法證之，此處略.性質3設是個隨機事件，則相互獨立兩兩獨立。即相互獨立性是比兩兩獨立性更強的性質,四、伯努利概型設隨機試驗只有兩種可能的結果:事件發生(記為)或事件不發生(記為),則稱這樣的試驗為伯努利(Bermourlli)試驗.設將伯努利試驗獨立地重復進行次,稱這一串重復的獨立試驗為重伯努利試驗,或簡稱為伯努利概型.注:重伯努利試驗是一種很重要的數學模型,在實際問題中具有廣泛的應用.其特點是:事件在每次試驗中發生的概率均為,且不受其他各次試驗中是否發生的影響.定理3（伯努利定理）設在一次試驗中,事件發生的概率為則在重貝努里試驗中,事件恰好發生次的概率為推論設在一次試驗中,事件發生的概率為則在重貝努里試驗中,事件在第次試驗中的才首次發生的概率為注意到“事件第次試驗才首次發生”等價于在前次試驗組成的重伯努利試驗中“事件在前次試驗中均不發生而第次試驗中事件發生”,再由伯努利定理即推得.例題選講：兩個事件的獨立性例1從一副不含大小王的撲克牌中任取一張,記{抽到},{抽到的牌是黑色的},問事件、是否獨立?注：從例1可見,判斷事件的獨立性,可利用定義或通過計算條件概率來判斷.但在實際應用中,常根據問題的實際意義去判斷兩事件是否獨立.相互獨立性的性質例2已知甲、乙兩袋中分別裝有編號為1,2,3,4的四個球.今從甲、乙兩袋中各取出一球,設{從甲袋中取出的是偶數號球},{從乙袋中取出的是奇數號球},{從兩袋中取出的都是偶數號球或都是奇數號球},試證兩兩獨立但不相互獨立.例3加工某一零件共需經過四道工序,設第一、二、三、四道工序的次品率分別是2%,3%,5%,3%,假定各道工序是互不影響的,求加工出來的零件的次品率.例4如圖是一個串并聯電路系統.都是電路中的元件.它們下方的數字是它們各自正常工作的概率.求電路系統的可靠性.例5甲,乙兩人進行乒乓球比賽,每局甲勝的概率為p,p≥1/2.問對甲而言,采用三局二勝制有利,還是采用五局三勝制有利.設各局勝負相互獨立.例6某種小數移栽后的成活率為90%,一居民小區移栽了20棵,求能成活18的概率.伯努利概型例7一條自動生產線上的產品,次品率為4%,求解以下兩個問題:(1)從中任取10件,求至少有兩件次品的概率;(2)一次取1件,無放回地抽取,求當取到第二件次品時,之前已取到8件正品的概率.例8一個醫生知道某種疾病患者自然痊愈率為0.25,為試驗一種新藥是否有效,把它給10個病人服用,且規定若10個病人中至少有四個治好則認為這種藥有效,反之則認為無效.求（1）雖然新藥有效，且把痊愈率提高到0.35，但通過實驗卻被否定的概率.（2）新藥完全無效，但通過實驗卻被認為有效的概率.例9一個袋中裝有10個球，其中3個黑球，7個白球，每次從中隨意取出一球，取后放回.（1）如果共取10次，求10次中能取到黑球的概率及10次中恰好取到3次黑球的概率.（2）如果未取到黑球就一直去下去，直到取到黑球為止，求恰好要取3次黑球的概率.例10一輛飛機場的交通車載有25名乘客途經9個站，每位乘客都等可能在這9站中任意一站下車（且不受其他乘客下車與否的影響），交通車只在有乘客下車時才停車，求交通車在第站停車的概率以及在第站不停車的條件下第站的概率，并判斷“第站停車”與“第站停車”兩個事件是否獨立.例11某型號高炮,每門炮發射一發炮彈擊中飛機的概率為0.6,現若干門炮同時各射一發,(1)問:欲以99%的把握擊中一架來犯的敵機至少需配置幾門炮?(2)現有3門炮,欲以99%的把握擊中一架來犯的敵機,問:每門炮的命中率應提高到多少?思考題：1.某工人一天出廢品的概率為0.2,求在4天中:(1)都不出廢品的概率;(2)至少有一天出廢品的概率;(3)僅有一天出廢品的概率;(4)最多有一天出廢品的概率;(5)第一天出廢品,其余各天不出廢品的概率.第二章隨機變量及其分布在隨機試驗中，人們除對某些特定事件發生的概率感興趣外，往往還關心某個與隨機試驗的結果相聯系的變量.由于這一變量的取值依賴于隨機試驗結果，因而被稱為隨機變量.與普通的變量不同，對于隨機變量，人們無法事先預知其確切取值，但可以研究其取值的統計規律性.本章將介紹兩類隨機變量及描述隨機變量統計規律性的分布.【教學目的與要求】通過學習，使學生了解隨機變量的概念；理解分布函數的概念和性質；掌握離散型隨機變量和連續型隨機變量的描述方法；理解分布律與概率密度的概念和性質。熟練掌握二項分布、泊松分布、均勻分布、指數分布和正態分布；會利用概率分布計算有關事件的概率。會求簡單的隨機變量函數的概率分布；【教學重點】離散型隨機變量的分布律與連續型隨機變量的概率密度的概念和性質；二項分布、泊松分布、均勻分布、指數分布和正態分布；隨機變量的函數的分布。【教學難點】連續型隨機變量函數的分布；【計劃課時】7【教學內容】第一節隨機變量的概念一、隨機變量概念的引入為全面研究隨機試驗的結果,揭示隨機現象的統計規律性,需將隨機試驗的結果數量化，即把隨機試驗的結果與實數對應起來.1.在有些隨機試驗中,試驗的結果本身就由數量來表示.2.在另一些隨機試驗中,試驗結果看起來與數量無關,但可以指定一個數量來表示之.二、隨機變量的定義定義：設隨機試驗的樣本空間為,稱定義在樣本空間上的實值單值函數為隨機變量.隨機變量與高等數學中函數的比較:(1)都是實值函數,但前者在試驗前只知道它可能取值的范圍,而不能預先肯定它將取哪個值;(2)試驗結果的出現有一定的概率,故前者取每個值和每個確定范圍內的值也有一定的概率.三、引入隨機變量的意義隨機變量的引入,使得隨機試驗中的各種事件可通過隨機變量的關系式表達出來.由此可見,隨機事件這個概念實際上是包容在隨機變量這個更廣的概念內.也可以說,隨機事件是從靜態的觀點來研究隨機現象,而隨機變量則以動態的觀點來研究之.其關系類似高等數學中常量與變量的關系.隨機變量概念的產生是概率論發展史上的重大事件.引入隨機變量后,對隨機現象統計規律的研究,就由對事件及事件概率的研究轉化為隨機變量及其取值規律的研究,使人們可利用數學分析的方法對隨機試驗的結果進行廣泛而深入的研究.隨機變量因其取值方式不同,通常分為離散型和非離散型兩類.而非非離散型隨機變量中最重要的是連續型隨機變量.今后，我們主要討論離散型隨機變量和連續型隨機變量.例題選講：例1在拋擲一枚硬幣進行打賭時,若規定出現正面時拋擲者贏1元錢,出現反面時輸1元錢,則其樣本空間為{正面,反面},記贏錢數為隨機變量,則作為樣本空間的實值函數定義為例2在將一枚硬幣拋擲三次,觀察正面、反面出現情況的試驗中,其樣本空間記每次試驗出現正面的總次數為隨機變量,則作為樣本空間上的函數定義為易見,使取值為的樣本點構成的子集為故類似地，有例3在測試燈泡壽命的試驗中,每一個燈泡的實際使用壽命可能是中任何一個實數,若用表示燈泡的壽命（小時），則是定義在樣本空間上的函數，即，是隨機變量.思考題：.一報童賣報,每份0.15元,其成本為0.10元.報館每天給報童1000份報,并規定他不得把賣不出的報紙退回.設為報童每天賣出的報紙份數,試將報童賠錢這一事件用隨機變量的表達式表示.第二節離散型隨機變量及其分布函數一、離散型隨機變量及其概率分布定義設離散型隨機變量的所有可能取值為,稱為的概率分布或分布律,也稱概率函數.常用表格形式來表示的概率分布:二、常用離散分布退化分布兩點分布個點上的均勻分布二項分布幾何分布超幾何分布泊松分布：泊松分布是概率論中最重要的幾個分布之一.實際問題中許多隨機現象都服從或近似服從泊松分布.三、二項分布的泊松近似定理1(泊松定理)在重伯努利試驗中,事件在每次試驗中發生的概率為(注意這與試驗的次數有關),如果時,(為常數),則對任意給定的,有.例題選講：離散型隨機變量及其概率分布例1某籃球運動員投中籃圈的概率是0.9,求他兩次獨立投籃投中次數的概率分布.例2設隨機變量的概率分布為:.確定常數.二項分布例3已知100個產品中有5個次品,現從中有放回地取3次,每次任取1個,求在所取的3個中恰有2個次品的概率.例4某人進行射擊,每次射擊的命中率為0.02,獨立射擊400次,試求至少擊中兩次的概率.例5有80臺同類型設備,各臺工作是相互獨立的,發生故障的概率都是0.01,且一臺設備的故障能由一個人處理.考慮兩種配備維修工人的方法,其一由4人維護,每人負責20臺;其二由3人共同維護80臺.試比較這兩種方法在設備發生故障時不能及時維修的概率的大小.幾何分布例6某射手連續向一目標射擊,直到命中為止,已知他每發命中的概率是,求所需射擊發數的概率分布.泊松分布例7某一城市每天發生火災的次數X服從參數的泊松分布,求該城市一天內發生3次或3次以上火災的概率.二項分布的泊松近似例8某公司生產的一種產品300件.根據歷史生產記錄知廢品率為0.01.問現在這300件產品經檢驗廢品數大于5的概率是多少?例9一家商店采用科學管理,由該商店過去的銷售記錄知道,某種商品每月的銷售數可以用參數的泊松分布來描述,為了以95%以上的把握保證不脫銷,問商店在月底至少應進某種商品多少件?例10自1875年至1955年中的某63年間,上海市夏季(5—9月)共發生大暴雨180次,試建立上海市夏季暴雨發生次數的概率分布模型.思考題1.某類燈泡使用時數在1000小時以上的概率是0.2,求三個燈泡在使用1000小時以后最多只有一個壞了的概率.2.一汽車沿一街道行駛,需要通過三個均設有紅綠信號燈的路口,每個信號燈為紅或綠與其它信號燈為紅或綠相互獨立,且紅綠兩種信號燈顯示的時間相等.以表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口的個數,求的概率分布.第三節隨機變量的分布函數要描述一個隨機變量時，不僅要說明它能夠取哪些值，而且還要指出它取這些值的概率.只有這樣，才能真正完整地刻畫一個隨機變量,為此，我們引入隨機變量的分布函數的概念.一.隨機變量的分布函數定義設是一個隨機變量,稱為的分布函數.有時記作或.分布函數的性質：1.單調非減.若,則；2.3.右連續性.即二、離散型隨機變量的分布函數設離散型隨機變量的概率分布為則的分布函數為.例題選講：隨機變量的分布函數例1等可能地在數軸上的有界區間上投點,記為落點的位置(數軸上的坐標),求隨機變量的分布函數.例2判別下列函數是否為某隨機變量的分布函數離散型隨機變量的分布函數例3設求.例4具有離散均勻分布,即求的分布函數.例5設隨機變量的分布函數為求的概率分布.思考題1．設隨機變量的概率分布為,求的的分布函數。第四節連續型隨機變量及其概率密度一、連續型隨機變量及其概率密度定義如果對隨機變量的分布函數,存在非負可積函數,使得對于任意實數有則稱為連續型隨機變量,稱為的概率密度函數,簡稱為概率密度或密度函數.關于概率密度的說明：1.對一個連續型隨機變量,若已知其密度函數,則根據定義,可求得其分布函數,同時,還可求得的取值落在任意區間上的概率:；2.連續型隨機變量取任一指定值的概率為0；3.若在點處連續,則(1)二、常用連續型分布均勻分布定義若連續型隨機變量的概率密度為則稱在區間上服從均勻分布,記為.指數分布定義若隨機變量的概率密度為則稱服從參數為的指數分布.簡記為正態分布定義若隨機變量的概率密度為其中和都是常數,則稱服從參數為和的正態分布.記為注:正態分布是概率中最重要的連續型分布,19世紀前葉由高斯加以推廣,又稱高斯分布.一般來說，一個隨機變量如果受到許多隨機因素的影響，而其中每一個因素都不起主導作用（作用微小），則它服從正態分布.這是正態分布在實踐中得以廣泛應用的原因.例如,產品的質量指標,元件的尺寸,某地區成年男子的身高、體重,測量誤差,射擊目標的水平或垂直偏差,信號噪聲、農作物的產量等等,都服從或近似服從正態分布.標準正態分布正態分布當時稱為標準正態分布,此時,其密度函數和分布函數常用和表示:標準正態分布的重要性在于,任何一個一般的正態分布都可以通過線性變換轉化為標準正態分布.定理設則標準正態分布表的使用：（1）表中給出了時的數值,當時,利用正態分布的對稱性,易見有（2）若則（3）若,則故的分布函數例題選講：連續型隨機變量及其概率密度例1設隨機變量的密度函數為求其分布函數.例2設隨機變量X具有概率密度例3設隨機變量X的分布函數為求(1)概率;(2)X的密度函數.常用連續型分布均勻分布例4某公共汽車站從上午7時起,每15分鐘來一班車,即7:00,7:15,7:30,7:45等時刻有汽車到達此站,如果乘客到達此站時間是7:00到7:30之間的均勻隨機變量,試求他候車時間少于5分鐘的概率.指數分布例5某元件的壽命服從指數分布,已知其平均壽命為1000小時，求3個這樣的元件使用1000小時,至少已有一個損壞的概率.正態分布例6設,求例7設某項競賽成績（65,100），若按參賽人數的10%發獎，問獲獎分數線應定為多少？例8將一溫度調節器放置在內，調節器整定在℃，液體的溫度（以℃計）是一個隨機變量，且(1)若℃，求小于89℃的概率；(2)若要求保持液體的溫度至少為80℃的概率不低于0.99，問至少為多少？例9某企業準備通過招聘考試招收300名職工,其中正式工280人,臨時工20人;報考的人數是1657人,考試滿分是400分.考試后得知,考試總平均成績,即分,360分以上的高分考生31人.某考生B得256分,問他能否被錄取?能否被聘為正式工?例10在電源電壓不超過200伏，在200~240伏和超過240伏三種情形下，某種電子元件損壞的概率分別為0.1，0.001和0.2.假設電源電壓服從正態分布(220，25)，試求：(1)該電子元件損壞的概率;(2)該電子元件損壞時，電源電壓在200~240伏的概率.思考題1.已知，求(1)(2);(3)(4)2.某種型號電池的壽命近似服從正態分布,已知其壽命在250小時以上的概率和壽命不超過350小時的概率均為92.36%,為使其壽命在和之間的概率不小于0.9,至少為多少?第五節隨機變量函數的分布一、隨機變量的函數定義如果存在一個函數,使得隨機變量滿足,則稱隨機變量是隨機變量的函數.注:在微積分中,我們討論變量間的函數關系時,主要研究函數關系的確定性特征,例如:導數、積分等.而在概率論中,我們主要研究是隨機變量函數的隨機性特征,即由自變量的統計規律性出發研究因變量的統計性規律.一般地,對任意區間,令,則注:隨機變量與的函數關系確定,為從的分布出發導出的分布提供了可能.二、離散型隨機變量函數的分布設離散型隨機變量的概率分布為易見,的函數顯然還是離散型隨機變量。如何由的概率分布出發導出的概率分布?其一般方法是：先根據自變量的可能取值確定因變量的所有可能取值,然后對的每一個可能取值確定相應的從而求得的概率分布.三、連續型隨機變量函數的分布一般地,連續型隨機變量的函數不一定是連續型隨機變量,但我們主要討論連續型隨機變量的函數還是連續型隨機變量的情形,此時我們不僅希望求出隨機變量函數的分布函數,而且還希望求出其概率密度函數.設已知的分布函數或概率密度函數,則隨機變量函數的分布函數可按如下方法求得:其中而常常可由的分布函數來表達或用其概率密度函數的積分來表達:進而可通過的分布函數,求出的密度函數.定理1設隨機變量具有概率密度,又設處處可導且恒有(或恒有),則是一個連續型隨機變量,其概率密度為其中是的反函數,且例題選講：離散型隨機變量函數的分布例1設隨機變量具有以下的分布律,試求的分布律連續型隨機變量函數的分布例2對一圓片直徑進行測量,其值在[5,6]上均勻分布,求圓片面積的概率分布密度.例3設,求的概率密度.例4設,求的密度函數.例5已知隨機變量的分布函數是嚴格單調的連續函數,證明服從上的均勻分布.例6也服從正態分布.例7設隨機變量在上服從均勻分布,求的概率密度.例8(對數正態分布)隨機變量稱為服從參數為的對數正態分布,如果服從正態分布.試求對數正態分布的密度函數.注：在實際中,通常用對數正態分布來描述價格的分布,特別是在金融市場的理論研究中,如著名的期權定價公式（Black—Scholes公式）,以及許多實證研究都用對數正態分布來描述金融資產的價格.設某種資產當前價格為,考慮單期投資問題,到期時該資產的價格為一個隨機變量,記作,設投資于該資產的連續復合收益率為,則有從而注意到為當前價格,是已知常數,因而假設價格服從對數正態分布實際上等價于假設連續復合收益率服從正態分布.例9設隨機變量服從參數為的指數分布,求的分布函數.思考題1.設X的分布列為求:(1)2X的分布列;(2)的分布列.2.設隨機變量的概率密度為求的概率密度.第三章多維隨機變量及其分布在實際應用中,有些隨機現象需要同時用兩個或兩個以上的隨機變量來描述.例如,研究某地區學齡前兒童的發育情況時,就要同時抽查兒童的身高、體重,這里,和是定義在同一個樣本空間{某地區的全部學齡前兒童}上的兩個隨機變量.又如,考察某次射擊中彈著點的位置時，就要同時考察彈著點的橫坐標和縱坐標.在這種情況下，我們不但要研究多個隨機變量各自的統計規律，而且還要研究它們之間的統計相依關系，因而還需考察它們的聯合取值的統計規律，即多為隨機變量的分布.由于從二維推廣到多維一般無實質性的困難,故我們重點討論二維隨機變量.【教學目的與要求】通過學習，使學生了解隨機向量（多維隨機變量）的概念；了解二維隨機變量的聯合分布函數、聯合分布律、聯合分布密度的概念和性質，并會計算有關事件的概率。掌握二維隨機變量的邊緣分布與聯合分布的關系。理解隨機變量獨立性的概念，并會應用隨機變量的獨立性進行概率計算。會求簡單的二維隨機變量函數的分布。【教學重點】二維隨機變量的邊緣分布與聯合分布的關系與計算；隨機變量的獨立性。【教學難點】條件分布；二維隨機變量函數的分布；【計劃課時】5【教學內容】第一節多維隨機變量的分布一、二維隨機變量定義1設隨機試驗的樣本空間為,為樣本點，而是定義在上的兩個隨機變量,稱為定義在上的二維隨機變量或二維隨機向量.二、二維隨機變量的分布函數定義2設是二維隨機變量,對任意實數,二元函數稱為二維隨機變量的分布函數或稱為隨機變量和的聯合分布函數.聯合分布函數的性質:（1）且對任意固定的對任意固定的(2)關于和均為單調非減函數,即對任意固定的當對任意固定的當(3)關于和均為右連續,即三、二維離散型隨機變量及其概率分布定義3若二維隨機變量只取有限個或可數個值,則稱為二維離散型隨機變量.結論：為二維離散型隨機變量當且僅當均為離散型隨機變量.若二維離散型隨機變量所有可能的取值為則稱為二維離散型隨機變量的概率分布(分布律),或的聯合概率分布(分布律).與一維情形類似,有時也將聯合概率分布用表格形式來表示,并稱為聯合概率分布表:注：對離散型隨機變量而言,聯合概率分布不僅比聯合分布函數更加直觀,而且能夠更加方便地確定取值于任何區域上的概率，即,特別地,由聯合概率分布可以確定聯合分布函數:四、二維連續型隨機變量及其概率密度定義設為二維隨機變量,為其分布函數,若存在一個非負可積的二元函數,使對任意實數,有則稱為二維連續型隨機變量,為的概率密度(密度函數),或的聯合概率密度(聯合密度函數).概率密度函數的性質:(3)設是平面上的區域,點落入內的概率為特別地,邊緣分布函數上式表明:是連續型隨機變量,且其密度函數為:同理,是連續型隨機變量,且其密度函數為:,分別稱和為關于和的邊緣密度函數.(4)若在點連續,則有進一步,根據偏導數的定義,可推得:當很小時,有即,落在區間上的概率近似等于五、二維均勻分布設是平面上的有界區域,其面積為.若二維隨機變量具有概率密度函數則稱在上服從均勻分布.六、二維正態分布若二維隨機變量具有概率密度其中均為常數,且,則稱服從參數為的二維正態分布.注：二維正態隨機變量的兩個邊緣分布都是一維正態分布，且都不依賴于參數，亦即對給定的，不同的對應不同的二維正態分布，但它們的邊緣分布都是相同的，因此僅由關于和關于的邊緣分布，一般來說不能確定二維隨機變量的聯合分布的例題選講：二維隨機變量的分布函數例1設二維隨機變量的分布函數為(1)試確定常數(2)求事件的概率.二維離散型隨機變量及其概率分布例2設隨機變量在1,2,3,4四個整數中等可能地取一個值，另一個隨機變量在1~中等可能地取一整數值，試求的分布律.例3把一枚均勻硬幣拋擲三次,設為三次拋擲中正面出現的次數,而為正面出現次數與反面出現次數之差的絕對值,求的概率分布及關于的邊緣分布.例4設二維隨機變量的聯合概率分布為YX010.30.10.110.050.2020.200.05求及二維連續型隨機變量及其概率密度例5的概率分布由表3—1B給出，求 表3—1B0200.10.2010.20.050.120.1500.1例6一整數等可能地在十值中取一個值.設是能整除的正整數的個數，是能整除的素數的個數（注意1不是素數）.試寫出和的聯合分布律.并求分布律.例7(1)求分布函數(2)求概率例8設的概率密度是求(1)的值;(2)兩個邊緣密度.二維均勻分布例9設隨機變量和具有聯合概率密度求邊緣概率密度.例10設服從單位圓域上的均勻分布,求X和Y的邊緣概率密度.二維正態分布例11設二維隨機變量的概率密度試求關于的邊緣概率密度函數.思考題1.將兩封信隨意地投入3個郵筒,設,分別表示投入第1,2號郵筒中信的數目,求和的聯合概率分布及邊緣概率分布.2.設向量的密度函數的密度函數為求(1)參數的值；（2）的邊緣密度.第二節條件分布與隨機變量的獨立性一、條件分布的概念設是一個隨機變量,其分布函數為若另外有一事件已經發生,并且的發生可能會對事件發生的概率產生影響,則對任一給定的實數,記稱為在發生的條件下,的條件分布函數.二、隨機變量的獨立性設是隨機變量所生成的事件:,且,則有.一般地,由于隨機變量之間存在相互聯系,因而一個隨機變量的取值可能會影響另一個隨機變量的取值統計規律性.在何種情況下,隨機變量之間沒有上述影響,而具有所謂的“獨立性”,我們引入如下定義.定義設隨機變量的聯合分布函數為,邊緣分布函數為,,若對任意實數,有即則稱隨機變量和相互獨立.關于隨機變量的獨立性,有下列兩個定理.定理1隨機變量與相互獨立的充要條件是所生成的任何事件與生成的任何事件獨立,即,對任意實數集,有定理2如隨機變量與相互獨立,則對任意函數均有相互獨立.三、離散型隨機變量的條件分布與獨立性設是二維離散型隨機變量,其概率分布為由條件概率公式,當,有稱其為在條件下隨機變量的條件概率分布.對離散型隨機變量,其獨立性的定義等價于:若對的所有可能取值有即則稱和相互獨立.四、連續型隨機變量的條件密度與獨立性定義設二維連續型隨機變量的概率密度為,邊緣概率密度為,則對一切使的,定義在的條件下的條件概率密度為.對一切使的,定義在的條件下的條件密度函數為.注:關于定義表達式內涵的解釋.以為例.在上式左邊乘以,右邊乘以即得換句話說,對很小的和,表示已知取值于和之間的條件下,取值于和之間的條件概率.對二維連續型隨機變量,其獨立性的定義等價于:若對任意的,有幾乎處處成立,則稱相互獨立.注:這里“幾乎處處成立”的含義是:在平面上除去面積為0的集合外,處處成立.例題選講：條件分布的概念例1設服從上的均勻分布,求在已知的條件下的條件分布函數.隨機變量的獨立性例2設與的聯合概率分布為YX0200.10.2010.30.050.120.1500.1(1)求時,的條件概率分布以及時,的條件概率分布;(2)判斷與是否相互獨立?例3設隨機變量X與Y相互獨立,下表列出了二維隨機變量聯合分布律及關于X和關于Y的邊緣分布律中的部分數值,試將其余數值填入表中的空白處.YX1/81/81/61例4一射手進行射擊,擊中目標的概率為,射擊進行到擊中目標兩次為止.以表示首次擊中目標所進行射擊次數,以表示總共進行的射擊次數.試求和的聯合分布及條件分布.連續型隨機變量的條件密度與獨立性例5設的概率密度為;問和是否獨立?例6設服從單位圓上的均勻分布，概率密度為 求例7設(1)求和.(2)證明與相互獨立的充要條件是.例8甲乙兩人約定中午12時30分在某地會面.如果甲來到的時間在12:15到12:45之間是均勻分布.乙獨立地到達,而且到達時間在12:00到13:00之間是均勻分布.試求先到的人等待另一人到達的時間不超過5分鐘的概率.又甲先到的概率是多少?例9設數在區間均勻分布，當觀察到時，數在區間上等可能隨機地取值.求的概率密度.例10設店主在每日開門營業時，放在柜臺上的貨物量為，當日銷售量為假定一天中不再上柜臺上補充貨物，于是.根據歷史資料，的概率密度函數為即服從直角三角形區域上的均勻分布,見圖3—2A.求(1)給定條件下,的條件分布.(2)假定某日開門時,件,求這天顧客買走件的概率.如果件呢?例11設隨機變量的概率密度為(1)求與的邊際概率密度,并判斷與是否相互獨立;(2)求在的條件下,的條件概率密度;(3)求概率思考題1.設的分布律如下YX12311/61/91/1821/3問為何值時,與相互獨立.2.設的概率密度是求3.設，試判斷與是否相互獨立.第三節多維隨機變量函數的分布在實際應用中，有些隨機變量往往是兩個或兩個以上隨機變量的函數.例如，考慮全國年齡在40歲以上的人群，用和分別表示一個人的年齡和體重，表示這個人的血壓，并且已知與，的函數關系式,現希望通過的分布來確定的分布.此類問題就是我們將要討論的兩個隨機向量函數的分布問題.在本節中，我們重點討論兩種特殊的函數關系:(i);(ii)和，其中與相互獨立.注：應指出的是，將兩個隨機變量函數的分布問題推廣到個隨機變量函數的分布問題只是表述和計算的繁雜程度的提高，并沒有本質性的差異.一、離散型隨機變量的函數的分布設是二維離散型隨機變量,是一個二元函數,則作為的函數是一個隨機變量,如果的概率分布為設的所有可能取值為,則的概率分布為二、連續型隨機變量的函數的分布設是二維連續型隨機向量,其概率密度函數為,令為一個二元函數,則是的函數.可用類似于求一元隨機變量函數分布的方法來求的分布.a)求分布函數其中,b)求其概率密度函數,對幾乎所有z,有定理1設是具有密度函數的連續型隨機向量.(1)設是到自身的一一映射,即存在定義在該變換的值域上的逆變換:(2)假設變換和它的逆都是連續的;(3)假設偏導數存在且連續;(4)假設逆變換的雅可比行列式,即對于在變換的值域中的是不為0的.則具有聯合密度定理2設相互獨立，且則仍然服從正態分布，且更一般地，可以證明：有限個相互獨立的正態隨機變量的線性組合仍然服從正態分布,即有定理3若且它們相互獨立，則對任意不全為零的常數，有.三、及的分布設隨機變量相互獨立,其分布函數分別為和,由于不大于z等價于和都不大于z,故有類似地,可得的分布函數例題選講：離散型隨機變量的函數的分布例1設隨機變量的概率分布如下表YX0120.20.150.10.320.100.10.05求二維隨機變量的函數Z的分布:例2設和相互獨立,求的分布.例3(若和相互獨立,它們分別服從參數為的泊松分布,證明服從參數為的泊松分布.連續型隨機變量的函數的分布例4設隨機變量與相互獨立,且同服從上的均勻分布,試求的分布函數與密度函數.例5設的密度函數為令試用表示和的聯合密度函數.和的分布：設和的聯合密度為,求的密度.卷積公式:當和獨立時,設關于的邊緣密度分別為則上述兩式化為以上兩個公式稱為卷積公式.例6設和是兩個相互獨立的隨機變量.它們都服從分布,其概率密度為例7設某種商品一周的需要量是一個隨機變量,其概率密度函數為如果各周的需要量相互獨立,求兩周需要量的概率密度函數.例8設與相互獨立,且均在區間上服從均勻分布,求的密度函數.例9設相互獨立且分別服從參數為的分布(分別記成的概率密度分別為試證明服從參數為的分布.商的分布：設二維隨機向量的密度函數為,求的密度函數.例10在一簡單電路中,兩電阻和串聯連接,設相互獨立,它們的概率密度均為求總電阻的概率密度.例11設X與Y相互獨立,它們都服從參數為的指數分布.求的密度函數.積的分布：設具有密度函數,則的概率密度為例12設二維隨機向量在矩形上服從均勻分布,試求邊長為和的矩形面積的密度函數.例13設隨機變量獨立,且有相同的幾何分布:，求的分布.例14設系統由兩個相互獨立的子系統聯接而成，聯接方式分別為串聯、并聯、備用（當系統損壞時，系統開始工作），如圖3—3—6所示.設的壽命分別為,已知它們的概率密度分別為其中且試分別就以上三種聯接方式寫出壽命的概率密度.思考題1.已知的分布律為01200.100.250.1510.150.200.15求:（1）（2）（3）（4）分布律.2.若和獨立,具有共同的概率密度求的概率密度.第四章隨機變量的數字特征前面討論了隨機變量的分布函數,從中知道隨機變量的分布函數能完整地描述隨機變量的統計規律性.但在許多實際問題中,人們并不需要去全面考察隨機變量的變化情況,而只要知道它的某些數字特征即可.例如,在評價某地區糧食產量的水平時,通常只要知道該地區糧食的平均產量;又如,在評價一批棉花的質量時,既要注意纖維的平均長度,又要注意纖維長度與平均長度之間的偏離程度,平均長度較大,偏離程度小,則質量就較好.等等實際上,描述隨機變量的平均值和偏離程度的某些數字特征在理論和實踐上都具有重要的意義,它們能更直接、更簡潔更清晰和更實用地反映出隨機變量的本質.本章將要討論的隨機變量的常用數字特征包括:數學期望、方差、相關系數、矩.【教學目的與要求】通過學習，使學生理解數學期望、方差的概念，掌握它們的性質與計算；會計算隨機變量函數的數學期望。熟記二項分布、泊松分布、均勻分布、指數分布和正態分布的數學期望與方差。了解協方差與相關系數的概念并掌握它的性質與計算。了解矩的概念。【教學重點】數學期望、方差、協方差、相關系數的概念、性質和計算。【教學難點】相關系數【計劃課時】5【教學內容】第一節數學期望一、離散型隨機變量的數學期望平均值是日常生活中最常用的一個數字特征,它對評判事物、作出決策等具有重要作用.定義設是離散型隨機變量的概率分布為如果絕對收斂,則定義的數學期望(又稱均值)為二、連續型隨機變量的數學期望定義設是連續型隨機變量,其密度函數為,如果絕對收斂,定義的數學期望為三、隨機變量函數的數學期望設是一隨機變量,為一實函數,則也是一隨機變量,理論上,雖然可通過的分布求出的分布,再按定義求出的數學期望.但這種求法一般比較復雜.下面不加證明地引入有關計算隨機變量函數的數學期望的定理.定理1設是一個隨機變量,,且存在,則（1）若為離散型隨機變量,其概率分布為則的數學期望為（2）若為連續型隨機變量,其概率密度為,則的數學期望為注:(i)定理的重要性在于:求時,不必知道的分布,只需知道的分布即可.這給求隨機變量函數的數學期望帶來很大方便;(ii)上述定理可推廣到二維以上的情形,即定理2設是二維隨機向量,,且存在,則（1）若為離散型隨機向量,其概率分布為則的數學期望為（2）若為連續型隨機向量,其概率密度為則的數學期望為四、數學期望的性質1.設是常數,則2．若是常數，則3.4.設獨立,則;注:(i)由不一定能推出獨立，例如，在例10中，已計算得，但，顯故與不獨立(ii)這個性質可推廣到有限個隨機變量之和的情形.例題選講：離散型隨機變量的數學期望例1甲,乙兩人進行打靶,所得分數分別記為,它們的分布律分別為試評定他們的成績的好壞.例2某種產品的每件表面上的疵點數服從參數的泊松分布,若規定疵點數不超過1個為一等品,價值10元;疵點數大于1個不多于4個為二等品,價值8元;疵點數超過4個為廢品.求(1)產品的廢品率;(2)產品價值的平均值.例3按規定，某車站每天8:00~9:00和9:00~10:00之間都恰有一輛客車到站,但到站的時刻是隨機的,且兩者到站的時間相互獨立.其規律為8:00~9:00到站時間9:00~10:00到站時間8:109:108:309:308:509:50概率1/63/62/6一旅客8:20到車站,求他候車時間的數學期望.連續型隨機變量的數學期望例4已知隨機變量X的分布函數,求例5某商店對某種家用電器的銷售采用先使用后付款的方式.記使用壽命為(以年計),規定: 設壽命服從指數分布,概率密度為試求該商店一臺電器收費的數學期望.例6設隨機變量且求a與b的值,并求分布函數.例7有2個相互獨立工作的電子裝置,它們的壽命服從統一指數分布,其概率密度為,若將這2個電子裝置串聯聯接組成整機,求整機壽命(以小時計)的數學期望.隨機變量函數的數學期望例8設的聯合概率分布為，求YX01231301/83/803/8001/8例9設隨機變量X在上服從均勻分布,求及例10設隨機變量的概率密度求數學期望例11設某商店經營一種商品,每周的進貨量X和顧客對該種商品的需求量Y是兩個相互獨立的隨機變量,均服從[10,20]上的均勻分布.此商店每售出一個單位的商品可獲利1000元,若需求量超過進貨量,可從其他商店調劑供應,此時售出的每單位商品僅獲利500元.求此商店經銷這種商品每周獲利的期望.例12設均存在，證明.例13若求數學期望的性質例14一民航送各車載有20位旅客自機場開出,旅客有10個車站可以下車.如到達一個車站沒有旅客下車就不停車.以X表示停車的次數,求E(X)(設每位旅客在各個車站下車是等可能的,并設各旅客是否下車相互獨立).思考題1.設甲、乙兩人玩必分勝負的賭博游戲,假定游戲的規則不公正,以致兩人獲勝的概率不等,甲為,乙為,.為了補償乙的不利地位,另行規定兩人下的賭注不相等,甲為,乙為,.現在的問題是:究竟應比大多少,才能做到公正?2.某種新藥在400名病人中進行臨床試驗有一半人服用，一班人未服，經過5天后，有210人痊愈，其中190人是服了新藥的.試用概率統計方法說明新藥的療效.3.把數字任意地排成一列,如果數字恰好出現在第個位置上,則稱為一個巧合,求巧合個數的數學期望.第二節方差隨機變量的數學期望是對隨機變量取值水平的綜合評價,而隨機變量取值的穩定性是判斷隨機現象性質的另一個十分重要的指標.一、方差的定義定義1設是一個隨機變量,若存在,則稱它為的方差,記為方差的算術平方根稱為標準差或均方差,它與具有相同的度量單位,在實際應用中經常使用.方差刻劃了隨機變量的取值與數學期望的偏離程度,它的大小可以衡量隨機變量取值的穩定性.從方差的定義易見:(1)若的取值比較集中,則方差較小;(2)若的取值比較分散,則方差較大;(3)若方差,則隨機變量以概率1取常數值,此時也就不是隨機變量了.二、方差的計算若是離散型隨機變量,且其概率分布為則若是連續型隨機變量,且其概率密度為則利用數學期望的性質,易得計算方差的一個簡化公式:.三、方差的性質1.設常數,則;2.若是隨機變量,若是常數,則3.設是兩個隨機向量,則特別地,若相互獨立,則注:對維:若相互獨立,則*四、條件數學期望和條件方差簡介由于隨機變量之間存在相互聯系,一個隨機變量的取值可能會對另一隨機變量的分布產生影響,這種影響會在數字特征上得到反映.下面要討論的是：在某個隨機變量取某值的條件下，求另一個與之相關的隨機變量的數字特征.作為簡介，我們直接給出它們的定義1.設是離散型隨機向量,其概率分布為定義2(i)稱（絕對收斂）為在條件下的條件數學期望.類似地，稱（絕對收斂）為在條件下的條件數學期望;(ii)稱（絕對收斂）為在條件下的條件方差.類似地，稱（絕對收斂）為在條件下的條件方差.2．設是連續型隨機向量,是在條件下的概率密度，是在條件下的概率密度.定義3(i)稱（絕對收斂）為在條件下的條件數學期望;類似地，稱（絕對收斂）為在條件下的條件數學期望;(ii)稱（絕對收斂）為在條件下的條件方差;類似地，稱（絕對收斂）為在條件下的條件方差.例題選講:方差的計算例1設隨機變量具有數學期望方差記則的數學期望為0,方差為1.稱為X的標準化變量.例2設隨機變量具有分布,其分布律為求例3設求例4設求例5設隨機變量服從指數分布,其概率密度為其中求例6設隨機變量服從幾何分布,概率函數其中,求.例7設隨機變量的聯合點分布在以點(0,1),(1,0),(1,1)為頂點的三角形區域上服從均勻分布,試求隨機變量的期望與方差.方差的性質例8設證明當時,達到最小值.注：本例子說明了數學期望是隨機變量X取值的集中位置,反映了X的平均值.例9(設,求例10設求例11設活塞的直徑（以cm計）,氣缸的直徑相互獨立,任取一只活塞,任取一只氣缸,求活塞能裝入氣缸的概率.例12隨機變量和相互獨立,證條件數學期望和條件方差簡介例13設，求.思考題1.設隨機變量的密度函數為 求2.設隨機變量的概率分布律為試求及的期望與方差.第三節協方差及相關系數對多維隨機變量,隨機變量的數學期望和方差只反映了各自的平均值與偏離程度，并沒能反映隨機變量之間的關系.本節將要討論的協方差是反映隨機變量之間依賴關系的一個數字特征.一、協方差的定義定義設為二維隨機向量,若存在,則稱其為隨機變量和的協方差,記為,即按定義,若為離散型隨機向量,其概率分布為則若為連續型隨機向量,其概率分布為則.此外,利用數學期望的性質,易將協方差的計算化簡.特別地,當與獨立時,有二、協方差的性質1.協方差的基本性質,其中是常數;為任意常數;(6)若與相互獨立時,則2.隨機變量和的方差與協方差的關系特別地,若與相互獨立時,則.三、相關系數的定義與性質定義設為二維隨機變量,稱為隨機變量和的相關系數.有時也記為.特別地，當時，稱與不相關.相關系數的性質1.2.若和相互獨立,則.3.若,則當且僅當存在常數使,而且當時,;當時,.注:相關系數刻畫了隨機變量Y與X之間的“線性相關”程度.的值越接近1,Y與X的線性相關程度越高;的值越近于0,Y與Y的線性相關程度越弱.當時,Y與X的變化可完全由X的線性函數給出.當時,Y與X之間不是線性關系.4.設稱為用來近似Y的均方誤差,則有下列結論.設則使均方誤差達到最小.注:可用均方誤差e來衡量以近似表示Y的好壞程度,e值越小表示與Y的近似程度越好.且知最佳的線性近似為而其余均方誤差.從這個側面也能說明.越接近1,e越小.反之,越近于0,e就越大.Y與X的線性相關性越小.四、矩的概念定義設和為隨機變量,為正整數,稱為階原點矩(簡稱階矩陣);為階中心矩;為階絕對原點矩;為階絕對中心矩;為和的階混合矩;為和的階混合中心矩;注:由定義可見:(1)的數學期望是的一階原點矩;(2)的方差是的二階中心矩;(3)協方差是和的二階混合中心矩.五、協方差矩陣將二維隨機變量的四個二階中心矩排成矩陣的形式:（對稱矩陣），稱此矩陣為的協方差矩陣.類似定義維隨機變量的協方差矩陣.若都存在,則稱為的協方差矩陣.六、n維正態分布的概率密度七、n維正態分布的幾個重要性質例題選講：協方差的性質例1已知離散型隨機向量的概率分布為，求.YX0200.10.2010.30.050.120.1500.1

例2設連續型隨機變量的密度函數為求和.相關系數的性質例3設(X,Y)的分布律為XY121401/41/401/4001/41/21/21/41/41/41/41易知于是不相關.這表示不存在線性關系.但知不是相互獨立的.事實上,和具有關系:的值完全可由的值所確定.例4設服從上的均勻分布,判斷與是否不相關,是否獨立.例5已知,且與的相關系數設求及例6設服從二維正態分布,它的概率密度為求和的相關系數.注：在上一章中我們已經得到：若服從二維正態分布,那么和相互獨立的充要條件為.現在知道即為與的相關系數,故有下列結論:“若服從二維正態分布，則與相互獨,立當且僅當與不相關”.n維正態分布的幾個重要性質例7設隨機變量和相互獨立且，試求的概率密度.思考題1.對不同品牌的某種機械的兩項重要指標評分,設為其所得分數(百分制).已知;現以服從正態分布的綜合分來決定各參評品牌的名次.(1)試求Y的分布;(2)如果對綜合分的品牌頒獎,試計算獲獎者的百分比.第五章大數定理與中心極限定理概率論與數理統計是研究隨機現象統計規律性的學科.而隨機現象的規律性在相同的條件下進行大量重復試驗時會呈現某種穩定性.例如,大量的拋擲硬幣的隨機試驗中,正面出現頻率;在大量文字資料中,字母使用頻率;工廠大量生產某種產品過程中,產品的廢品率等.一般地,要從隨機現象中去尋求事件內在的必然規律,就要研究大量隨機現象的問題.在生產實踐中,人們還認識到大量試驗數據、測量數據的算術平均值也具有穩定性.這種穩定性就是我們將要討論的大數定律的客觀背景.在這一節中，我們將介紹有關隨機變量序列的最基本的兩類極限定理大數定理和中心極限定理.【教學目的與要求】通過學習，使學生了解契比雪夫不等式的定義并會利用其進行概率估算，了解契比雪夫定理和伯努里定理。理解獨立同分布的中心極限定理和棣莫佛-拉普拉斯定理，并會利用其進行概率近似計算。【教學重點】契比雪夫不等式與中心極限定理。【教學難點】中心極限定理【計劃課時】3【教學內容】一、依概率收斂與微積分學中的收斂性的概念類似,在概率論中,我們要考慮隨機變量序列的收斂性.定義1設是一個隨機變量序列,為一個常數,若對于任意給定的正數,有則稱序列依概率收斂于,記為定理1設又設函數在點連續,則.二、切比雪夫不等式定理2設隨機變量有期望和方差,則對于任給,有.上述不等式稱切比雪夫不等式.注：(i)由切比雪夫不等式可以看出,若越小,則事件的概率越大,即,隨機變量集中在期望附近的可能性越大.由此可見方差刻劃了隨機變量取值的離散程度.(ii)當方差已知時,切比雪夫不等式給出了與它的期望的偏差不小于的概率的估計式.如取則有故對任給的分布,只要期望和方差存在,則隨機變量取值偏離超過的概率小于0.111.三、大數定理1．切比雪夫大數定律定理3(切比雪夫大數定律)設是兩兩不相關的隨