第24講空間直線、平面的平行的基本概念【題型目錄】題型一：直線與平面平行的基本概念題型二：直線與平面平行的軌跡問題【典型例題】題型一：直線與平面平行的基本概念【例1】直線與平面平行的充要條件是這條直線與平面內的（

）A．一條直線不相交 B．兩條直線不相交C．任意一條直線都不相交 D．無數條直線不相交【答案】C【分析】根據直線與平面平行的定義可得出合適的選項.【詳解】直線與平面平行的充要條件是這條直線與平面內的任意一條直線都沒交點，即都不相交.故選：C.【例2】如圖，在長方體中，M是棱的中點，則（

）A．平面 B．平面BDMC．平面 D．平面【答案】D【分析】作出過點的正方體的截面判斷A；作出過點的正方體的截面判斷B；作出過點的正方體的截面判斷C；作出過點的正方體的截面判斷D作答.【詳解】在長方體中，M是棱的中點，對于A，取中點N，連接，如圖，正方體的對角面是矩形，，即平面，而與BN相交，則與平面有公共點，A不正確；對于B，取中點P，連接，如圖，正方體的對角面是矩形，，而，又都在平面內，則與MP相交，因此與平面有公共點，B不正確；對于C，取中點Q，連接，如圖，，則，四邊形是平行四邊形，因此，又平面，則BM與平面相交，C不正確；對于D，取中點Q，中點O，連接，如圖，正方形中，，則四邊形是平行四邊形，有，正方形中，，即四邊形是平行四邊形，有，又，四邊形是平行四邊形，則，因平面，平面，平面，D正確.故選：D【例3】下列四個正方體圖形中，分別為正方體的頂點或其所在棱的中點，能得出平面的圖形是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由直線與平面的位置關系對選項逐一判斷【詳解】對于A，由題意得，，而，，平面，平面，平面，平面，故平面平面，而平面，故平面，故A正確，對于B，取的中點，底面中心，則，故與相交，故B錯誤，對于C，，故平面，則平面，故C錯誤，對于D，作平行四邊形，則與相交，故D錯誤，故選：A【例4】已知平面，直線，滿足，，則“∥”是“∥”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若，，∥，由線面平行的判定定理知∥．若∥，，，不一定推出∥，直線與可能異面，故“∥”是“∥”的充分不必要條件．故選A．【例5】下列命題：①一條直線與兩個平行平面中的一個平面相交，必與另外一個平面相交；②如果一個平面平行于兩個平行平面中的一個平面，必平行于另一個平面；③夾在兩個平行平面間的平行線段相等，其中正確命題的個數是（）A．1 B．2 C．3 D．0【答案】C【詳解】根據面面平行的性質，可得：對于①中，一條直線與兩個平行平面中的一個平面相交，則必與另外一個平面相交，所以是正確的；對于②中，如果一個平面平行于兩個平行平面中的一個平面，必平行于另一個平面，所以是正確的；對于③，若兩平面平行，則夾在兩個平行平面間的平行線段是相等的，所以是正確的.故選：C.【例6】平面與平面平行的充分條件是（

）A．內有無窮多條直線都與平行B．直線，直線，且C．內的任何一條直線都與平行D．直線，且直線不在內，也不在內【答案】C【分析】根據面面平行的判定來判斷即可.【詳解】C選項是面面平行的定義，A，B，D中，平面與平面相交時都有可能滿足.故選：C.【例7】下列命題中正確的是（

）A．如果一條直線與一個平面平行，那么這條直線與平面內的任意一條直線平行B．平面內有不共線的三個點A，B，C到平面的距離相等，則C．，，則D．，，，則【答案】D【分析】根據線面平行的判斷和性質理解辨析.【詳解】對于A：若一條直線與一個平面平行，這條直線與平面內的無數條直線平行，但不是任意一條，A錯誤；對于B：由題意可得：或與相交，B錯誤；對于C：根據題意可得：或，C錯誤；對于D：∵，則，使得，則∴∴，D正確；故選：D.【例8】下列能保證直線與平面平行的條件是（

）A．，B．，，C．?，，，，且D．，，，【答案】B【分析】由線面平行的判定定理可知ACD不滿足條件.【詳解】A中，直線可能在平面內，A錯誤；B中，，，，根據線面平行的判定，可知，B正確；C中，，若點在內，則直線在平面內，C錯誤.D中，直線可能在平面內，D錯誤.故選：B【題型專練】1.如圖，在下列四個正方體中，，為正方體的兩個頂點，，，為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線與平面不平行的是A． B． C． D．【答案】A【解析】對于選項，由于，結合線面平行判定定理可知不滿足題意；對于選項，由于，結合線面平行判定定理可知不滿足題意；對于選項，由于，結合線面平行判定定理可知不滿足題意；所以選項滿足題意，故選．2.下面四個選項中一定能得出平面平面的是（）A．存在一條直線a，，B．存在一條直線a，，C．存在兩條平行直線a，b，，，，D．存在兩條異面直線a，b，，，，【答案】D【詳解】如圖，是長方體，平面ABCD為平面，平面ABB1A1為平面，對于A，直線C1D1為直線a，顯然，，而與相交，A不正確；對于B，直線CD為直線a，顯然，，而與相交，B不正確；對于C，直線CD為直線a，直線A1B1為直線b，顯然，，，，而與相交，C不正確；對于D，因a，b是異面直線，且，，過直線a作平面，如圖，則c//a，并且直線c與b必相交，而，于是得，又，即內有兩條相交直線都平行于平面，因此，平面平面.故選：D3.、、是直線，是平面，則下列說法正確的是（）A．平行于內的無數條直線，則B．不在面，則C．若，，則D．若，，則平行于內的無數條直線【答案】D【詳解】對于A，當平行于內的無數條直線，若，則與不平行，所以A錯誤，對于B，當不在面時，與有可能相交，所以B錯誤，對于C，當，時，若，則與不平行，所以C錯誤，對于D，當，時，由線面平行的性質可知平行于內的無數條直線，所以D正確，故選：D4．下列命題正確的是（

）A．若直線上有無數個點不在平面內，則直線和平面平行B．若直線與平面相交，則直線與平面內的任意直線都是異面直線C．若直線與平面有兩個公共點，則直線在平面內D．若直線與平面平行，則這條直線與平面內的直線平行【答案】C【分析】根據空間線線，線面的位置關系逐項分析即得.【詳解】對于A，若直線上有無數個點不在平面內，則直線可能與平面相交，故A錯誤；對于B，若直線與平面相交，則直線與平面內的任意直線可能相交，也可能是異面直線，故B錯誤；對于C，根據平面的基本性質可知若直線與平面有兩個公共點，則直線在平面內，故C正確；對于D，若直線與平面平行，則這條直線與平面內的直線平行或異面，故D錯誤.故選：C.5.正方體的棱長為1，是的中點，點在上，則等于多少時，平面（）A．1 B． C． D．【答案】B【詳解】解：如圖，連接，過點作交于，因為是的中點，所以是的中點，由正方體的性質易得，所以，因為平面，平面，所以平面，此時是的中點，故.故選：B6.設，表示不同的直線，，表示不同的平面，且，．則“”是“且”的（）A．充分但不必要條件 B．必要但不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】A【詳解】依題意，因，，，由平面與平面平行的性質可得且，即命題：“若，則且”是真命題，當，，且時，若直線，相交，必有，若，平面與可能相交，即命題“若且，則”是假命題，綜上得“”是“且”的充分但不必要條件.故選：A7.“平面內存在無數條直線與直線平行”是“直線平面”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【詳解】由平面內存在無數條直線與直線平行，則或，所以充分性不成立；反之：若直線平面，設過直線的平面與平面相交，且交線設為，由線面平行的性質定理，可得，則在平面內與直線平行的無數條直線都平行與直線，所以必要性成立，所以“平面內存在無數條直線與直線平行”是“直線平面”的必要不充分條件.故選：B.8.如圖，已知四棱柱的底面為平行四邊形，E，F，G分別為棱的中點，則下列各選項正確的是（）A．直線與平面平行，直線與平面相交B．直線與平面相交，直線與平面平行C．直線、都與平面平行D．直線、都與平面相交【答案】A【詳解】解：取的中點H，則從而四邊形為平行四邊形，所以．易知，則四邊形為平行四邊形，從而平面．又平面，所以平面．易知，則四邊形為平行四邊形，從而與相交，所以直線與平面相交.故選：A．9.已知a，b，c為三條不重合的直線，，，為三個不重合的平面其中正確的命題（）①，；②，；③，；④，；

⑤，，．A．①⑤ B．①② C．②④ D．③⑤【答案】A【詳解】①，，由平行公理4得，正確；②，，則與有可能平行、相交、異面，故錯誤；③，則或，故錯誤；④，；則或，故錯誤；⑤，，，由線面平行的判定定理可得．故選：A.10.如圖，在三棱柱中，，，過作一平面分別交底面三角形的邊，于點，，則（）A． B．C．四邊形為平行四邊形 D．四邊形為梯形【答案】D【詳解】由于三點共面，平面，平面，故為異面直線，故A錯由于三點共面，平面，平面，故為異面直線，故B錯又∵在平行四邊形中，，，∴，，故四邊形為平行四邊形∴.又平面，平面，∴平面.又平面，平面平面，∴，∴，顯然在中，∴，∴四邊形為梯形，故C錯，D對故選：D11.如圖所示，三棱柱ABC-A1B1C1的側面BCC1B1是菱形，設D是A1C1上的點且A1B∥平面B1CD，則A1D∶DC1的值為________．【答案】1【詳解】設BC1∩B1C＝O，連接OD.∵A1B∥平面B1CD且平面A1BC1∩平面B1CD＝OD，∴A1B∥OD，∵四邊形BCC1B1是菱形，∴O為BC1的中點，∴D為A1C1的中點，即A1D∶DC1＝1.故答案為：12.如圖，空間四邊形中，分別是△和△的重心，若，則___.

【答案】【詳解】連接并延長交于，連接并延長交于，再連接，，∴，∴，又∵，∴.故答案為：.13.在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D為AA1中點，點P在側面BCC1B1上運動，當點P滿足條件___________時，A1P平面BCD(答案不唯一，填一個滿足題意的條件即可)【答案】P是CC1中點【詳解】取CC1中點P，連結A1P，∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D為AA1中點，點P在側面BCC1B1上運動，∴當點P滿足條件P是CC1中點時，A1PCD，∵A1P?平面BCD，CD?平面BCD，∴當點P滿足條件P是CC1中點時，A1P平面BCD故答案為：P是CC1中點.14.如圖，點A，B，C，M，N為正方體的頂點或所在棱的中點，則下列各圖中，不滿足直線平面ABC的是（）A．B．C．D．【答案】D【詳解】對于A，由正方體的性質可得，可得直線平面ABC，能滿足；對于B，作出完整的截面ADBCEF，由正方體的性質可得MNAD，可得直線MN平面ABC，能滿足；對于C，作出完整的截面ABCD，由正方體的性質可得MNBD，可得直線MN平面ABC，能滿足；對于D，作出完整的截面，如下圖ABNMHC，可得MN在平面ABC內，不能得出平行，不能滿足.故選：D.題型一：直線與平面平行的軌跡問題【例1】在棱長為2的正方體中，點，分別是棱，的中點，動點在正方形（包括邊界）內運動.若平面，則的最小值是（）A．2 B． C． D．【答案】B【詳解】如上圖所示，取的中點,的中點，連接，因為分別是棱的中點，所以，，又因為,,，所以平面平面，平面，且點在右側面，所以點的軌跡是，且，，所以當點位于中點處時，最小，此時，.故選：B【例2】在棱長為2的正方體中，分別為的中點，點在底面內，若直線與平面沒有公共點，則線段長的最小值是_________．P的軌跡長度為_____________．【答案】【詳解】連接，，AC，則因為分別為的中點，所以，因為∥，所以四邊形是平行四邊形，所以∥，因為平面，平面，所以∥平面，又因為分別為的中點，所以是三角形ABC的中位線，所以∥，因為平面，平面，所以∥平面，因為，平面，平面，所以平面∥平面，點P在線段AC上時，能夠滿足直線與平面沒有公共點，點P的軌跡是線段AC，長度為，且當時，線段長度最小，此時由三線合一得：P為AC中點，因為，，所以，線段長的最小值為.故答案為：，【例3】如圖，在棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點E，F分別是棱BC，CC1的中點，P是側面BCC1B1內一點，若A1P∥平面AEF，則線段A1P長度的取值范圍是（）A．[1，] B．[，] C．[，] D．[，]【答案】B【詳解】如下圖所示，分別取棱，的中點、，連，，，，，分別為所在棱的中點，則，，，又平面，平面，平面.，，四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，平面，又，平面平面.是側面內一點，且平面，點必在線段上.在中，.同理，在中，可得，為等腰三角形.當點為中點時，，此時最短；點位于、處時，最長.由于，則,，.線段長度的取值范圍是.故選：B.【題型專練】1.正三棱柱的底面邊長是4，側棱長是6，，分別為，的中點，若是側面上一點，且平面，則線段的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由平面平面，確定點在線段上，進而由得出答案.【詳解】取的中點為，連接，因為，，所以由面面平行的判定可知，平面平面，則點在線段上，當時，線段最短，，即，，故，故故選：C2．正三棱柱的底面邊長是4，側棱長是6，M，N分別為，的中點，若點P是三棱柱內（含棱柱的表面）的動點，MP∥平面，則動點P的軌跡面積為（

）A． B．5 C． D．【答案】C【分析】取AB的中點Q，證