2024年中考第一次模擬考試（廣東省卷）

數(shù)學?全解全析

一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分.在每個小題給出的四個選項

中，只有一項符合題目要求的）

I.小戴同學的微信錢包賬單如圖所示，+5.20表示收入5.20元，下列說法正確的是

（）

賬單

①+5.20

②-1.00

A.-1.（X3表示收入1.00元B.-LCO表示支出1.00元

C.-1.00表示支出-1.00元D.收支總和為6.20元

【答案】B

【分析】明確“正”和“負”所表示的意義，有理數(shù)的加法逐項分析判斷即可.

【詳解】解：???+5.20表示收入5.20元,

????1.00表示支出1.00元，故B正確，A,C不正確；

收支總和為+5.20+（-1.00）=+4.20,收入4.20元,故D不正確;

故選：B.

【點睛】此題主要考查了正負數(shù)的意義，解題關(guān)鍵是理解“正”和“負”的相對性，明確什

么是一對具有相反意義的量.在一對具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個為正，則另

一個就用負表示.

2.下列四個圖案中是整I對稱圖形的個數(shù)是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【分析】這4個圖形各自沿著某條直線對折，直線兩旁的部分能夠完全重合，都是軸對

稱圖形.

【詳解】第二個，第四個是軸對稱圖形.

故選B.

【點睛】本題考查了軸對稱圖形，熟練掌握軸對稱圖形的定義，是解決此類問題的關(guān)鍵.

3.據(jù)中國新聞網(wǎng)消息，2023年我國將新建開通5G基站60萬個，總數(shù)將突破290萬個，

位居世界第一.將數(shù)據(jù)“290萬”用科學記數(shù)法表示為()

A.2.9xl08B.2.9xlO6C.2.9x10'D.290xlO4

【答案】B

【分析】科學記數(shù)法的表示形式為①的形式，其中1?同＜10,〃為整數(shù).確定〃的

值時，要看把原數(shù)變成。時，小數(shù)點移動了多少位，〃的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相

同.當原數(shù)絕對值之10時，”是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值時，”是負數(shù).

【詳解】解：290萬=2900000=2.9x1()6.

故選：B.

【點睛】本題主要考查科學記數(shù)法.科學記數(shù)法的表示形式為axlO"的形式，其中

〃為整數(shù).解題關(guān)鍵是正確確定a的值以及〃的值.

4.如圖，直線4〃4,在％之間放置一塊直角三角板，使三角板的銳角頂點4,B

分別在直線《，/2上.若4=65。，則/2等于()

A.115°B.65°C.26°D,25°

【答案】D

【分析】作6〃。，由平行線的性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：如圖，作C。則N1=NACQ,

：.CD//h,

：?/2=/DCB,

,/NACO+NDC8=90。,

AZ1+Z2=9O°,

VZ1=65°,

2

，N2=25。,

故選：D.

【點睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出平行線是解答此題

的關(guān)鍵.

5.化簡3結(jié)果正確的是()

aa

A.IB.aC.-D.--

aa

【答案】A

【分析】根據(jù)同分母分式加減運算法則進行計算即可.

【詳解】解："二1=1,故A正確.

aaa

故選：A.

【點睛】本題主要考查了分式加減，解題的關(guān)鍵是熟練掌握同分母分式加減運算法則，

準確計算.

6.神奇的自然界處處隱含著數(shù)學美！生物學家在向日葵圓盤中發(fā)現(xiàn)：向日葵籽粒成螺

線狀排列，螺線的發(fā)散角是137.5。.我們知道圓盤一周為360°,360。-137.5。=222.5。，

137.5。+222.5°。0.618.這體現(xiàn)了()

A.軸對稱B.旋轉(zhuǎn)C.平移D.黃金分割

【答案】D

【分析】根據(jù)黃金分割數(shù)的近似值為0.618可直接得出答案.

【詳解】解：137.5。-222.5。*0.618,黃金分割數(shù)的近似值為0.618,

???體現(xiàn)了“黃金分割

故選：D.

【點睛】本題考查黃金分割的應用，解題的關(guān)鍵是牢記黃金比的近似值為0.618.

7.如圖，電路圖有4只未閉合的開關(guān)，一個電源和一個小燈泡，已知電路圖上的每個

部分都能正常工作，任意閉合其中兩只開關(guān)，使得小燈泡發(fā)光的概率為（）

【答案】A

【分析】用所求情況數(shù)除以總情況數(shù)即可解答.

【詳解】由題意可知，共有六種情況，而小燈泡不發(fā)光的情況只有S3、，關(guān)閉時,

，小燈泡發(fā)光的概率為|

O

故選A.

【點睛】本題考查了概率公式，熟練掌握概率公式是解答本題的關(guān)鍵.

2x-l>x+l

8.不等式組1的解集為（)

jr+8<4x-l

A.x>2B.x<3C.2<x<3D.x>3

【答案】D

【分析】先求出每個不等式的解集，再求出不等式組的解集即可.

2x-\>x+\?

【詳解】

x+8<4x-l@

解①得：x>2

解②得：x>3

不等式組的解集為：x>3,

故選擇：D

【點睛】本題主要考查解一元一次不等式組，解一元一次不等式組，先求出不等式組中

每一個不等式的解集，再利用口訣求出這些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大

小小大中間找，大大小小解不了（無解）.

4

9.如圖，C,。是。上直徑A8兩側(cè)的兩點.設NABC=25。，則如C=（）

【答案】D

【分析】先利用直徑所對的圓周角是直角得到N4CB=90。，從而求出NB4C,再利用同

弧所對的圓周角相等即可求出N8DC.

【詳解】解：?.?。,。是。0上直徑A8兩側(cè)的兩點，

NACB=90。，

,?NA4C=25。，

???N8AC=90°-25°=65°,

AZBDC=Z^AC=65O,

故選：D.

【點睛】本題考查了圓周角定理的推論，即直徑所對的圓周角是90。和同弧或等弧所對

的圓周角相等，解決本題的關(guān)鍵是牢記相關(guān)概念與推論，本題蘊含了屬性結(jié)合的思想方

法.

10.已知二次函數(shù)），=25+〃].如圖，此二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點（0,-4）,正方形ABCD

的頂點C、。在x軸I：,4、8恰好在二次函數(shù)的圖象上，則圖中陰彩部分的面積之和為

【答案】C

【分析】先把函數(shù)圖象經(jīng)過的點（0,-4）代入解析式求出機的值，再根據(jù)拋物線和正

方形的對稱性求出〃>=OC并判斷出鼠影=SR,形8COE，設點B的坐標為（〃,2n）（/7>0）,

把點n的坐標代入拋物線解析式求出〃的值得到點B的坐標，然后求解即可.

【詳解】解：二次函數(shù)y=2一+,〃的圖象經(jīng)過點（0,-4）,

m=-4.

???二次函數(shù)的解析式是：y=2x2-4.

???四邊形A8CO為正方形和拋物線都是軸對稱圖型，且），軸為它們的公共對稱軸，

??OD=OCt加影二S矩影網(wǎng)5；，

設點B的坐標為（小2四）（〃>0）,

???點8在二次函數(shù)），=2/-4的圖象上，

:.2n=2n2-4，

解得：勺=2,4=T（舍去），

???點B的坐標為：（2,4）,

：?S陰二S矩形"3=2x4=8.

故選C.

【點睛】本題考查不規(guī)則圖形的面積，求二次函數(shù)的解析式，正方形的性質(zhì)，二次函數(shù)

的圖象與性質(zhì)等知識，掌握割補法（面積和差運算）是解題的關(guān)鍵.

二、填空題（本大題共5個小題，每小題3分，共15分）

II.分解因式：X2-16/=.

【答案】（x+4），）（x-4y）

【分析】直接利用平方差公式進行分解因式即可.

【詳解】解：x2-16/=x2-（4y）2=（A：+4y）（x-4y）,

故答案為：（x+4y）（x-4y）.

【點睛】本題考查了利用平方差公式進行因式分解，熟凍掌握平方差公式是解題的關(guān)健.

12.計算：Jx（-V27）=.

【答案】-3

【分析】根據(jù)二次根式乘法法則計算即可.

【詳解】解：原式=一gx27=—囪=一3.

故答案為：-3.

【點睛】本題考查了二次根式的乘法，熟練掌握二次根式的乘法法則

6

&?揚=疝（〃>0,b>0）是解題的關(guān)鍵.

13.已知近視眼鏡的度數(shù)），（度）與鏡片焦距x（m）滿足的關(guān)系式為），=皿，則當近

x

視眼鏡為200度時，鏡片焦距為.

【答案】0.5m

【分析】令）=200,代入反比例函數(shù)，求得x的值即可，

【詳解】令y=200,

即：2。。二吧

x

解得：x=0.5,

故200度近視眼鏡鏡片的焦距為0.5米.

故答案為：0.5m.

【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的應用，解答該類問題的關(guān)鍵是確定兩個變量之間的函

數(shù)關(guān)系，然后利用待定系數(shù)法求出它們的關(guān)系式，本題已經(jīng)給出了解析式就使得難度大

大降低.

14.小亮借到一本72頁的圖書，要在10天之內(nèi)讀完，開始2天每天只讀5頁，在剩下

的時間里，小明每天至少要讀一頁.（假定小亮每天讀書頁數(shù)是整數(shù)）

【答案】8

【分析】設以后每天讀x頁，根據(jù)小明借到一本有72頁的圖書，要在10天之內(nèi)讀完,

開始2天每天只讀5頁，可列出不等式求解.

【詳解】解：設以后每天讀x頁，

2x5+（IO-2）x>72,

x>7-.

4

故小明每天至少讀8頁才能讀完.

故答案為：8

【點睛】本題考查一元一次不等式的應用，關(guān)鍵設出每天讀多少頁，以總頁數(shù)作為關(guān)系

式列不等式求解.

15.如圖：心A48C中，ZC=90°,BC=1,AC=2,把邊長分別為毛，々，4，

的〃個正方形依次放在M8C中：第一個正方形CM/A；的頂點分別放在R/AA8C的各邊

上；第二個正方形MMW小的頂點分別放在心的各邊上，…其他正方形依次放

入，則第2022個正方形的邊長.V2O22為

B

【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)就可以求出第一個正方形的邊長，同理求得其它正方形

的邊長，觀察規(guī)律即可求得第〃個正方形的邊長，即可求解.

【詳解】解：設第一個正方形的邊長是引，

VP}N}//AC,W//BC,

：,△RPN?&BAC,△工片“I~

弛=變=工

ACAB2

同理得到粵=臂二%，

BCAI3

兩式相加得到今+再=1,

9

解得4

同理求得：

第二個的邊長是電=(lj,

第三個的邊長是公=-

13/

8

Z9\2O22

故答案為：.

【點睛】本題考杳了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，考查了學生的觀察歸納

能力.解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應用.

三、解答題（一）（本大題共3小題，第16題10分，第17、18題個7分，共24分）

16.（1）計算：Vl8+＞；＜i2-2x/6x—4-572：

4

（2）已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點（2,6）和（-4,-9）,求這個函數(shù)的解析式.

【答案】⑴3立+2力-得；（2）y=2.5x+l

【分析】（1）根據(jù)實數(shù)的運算法則，先算乘除，在算加減，要合并同類二次根式，計算即

可，

⑵利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式.

【詳解】⑴原式=3忘+26一呼x孟

=3V2+2x/3--

（2）設一次函數(shù)的解析式為），=辰+3

2k+b=6

則LAC，

-4k+b=-9

僅=2.5

解得人?.

b=\

所以一次函數(shù)的解析式為y=2.5x+l.

【點睛】本題考查的是實數(shù)的運算，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)圖象

上點的坐標特征，熟記用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵.

17.為保護耕地，某地需要退林還耕1500畝.已知甲施工隊每天退林還耕的畝數(shù)是乙

施工隊的1.2倍：若單獨完成退林還耕任務，甲施工隊會比乙施工隊少用5天.求甲、

乙兩隊每天完成退林還耕多少畝.

【答案】甲隊每天退林還耕60畝，乙隊每天退林還耕50畝

【分析】本題考查了分式方程的應用，根據(jù)題意“單獨完成退林還耕任務，甲施工隊會

比乙施工隊少用5天”列出方程是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：設乙隊每天退林還耕工畝，根據(jù)題意得

1500「1500

---------5=-------.

x1.2x

解得x=50.

經(jīng)檢驗，x=50是原方程的解.

甲隊每天退林還耕的畝數(shù)是1.2x50=60（畝）.

答：甲隊每天退林還耕60畝，乙隊每天退林還耕50畝.

18.如圖，為了測量河流某一段的寬度，在河北岸選了一點A,在河南岸選了相距10Dm

的C兩點.現(xiàn)測得NA5c=60°,48=45。，求這段河流的寬度（結(jié)果精確到0.1m）.

【答案】63.4m

【分析】過A作于力，根據(jù)NA8C=60。，NACB=45。即可求出B。、C。與

AD關(guān)系，根據(jù)8C=10Dm,可以求得AD的長度.

【詳解】解：過A作于O,

在RbAQB中，ZB=60°,

ZBAD=30°,

.*.BD=AD?tan30°=立A。，

3

在RSAQC中，ZC=45°,

：,CD=AD,又BC=100m,

:?BD+CD=@AD+AD=100.

3

解得AD^63.4m.

答：這段河的寬約為63.4米.

10

【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，解題關(guān)鍵是恰當構(gòu)建直角三角形，利用三角

函數(shù)求解.

四、解答題（二）（本大題共3小題，每小題9分，共27分）

19.如圖，己知YA8CD,AC為對角線.

（1）請用尺規(guī)作圖法，過點。作4C的垂線，交AC于點￡；（不要求寫作法，保留作

圖痕跡）

（2）在（1）的條件下，若448=30°,4）=4,求點。到線段AC的距離.

【答案】（1）見解析；（2）點D到線段AC的距離是2,見解析.

【詳解】（1）解：過點。作AC的垂線如圖；

①任意取一點尸，使該點利點。在對角線AC的兩側(cè)；②以點。為圓心，OP的長為半

徑作弧，交對角線AC于EG兩點；③分別以點凡G為圓心，大于;/G的長為半徑

作弧，在點尸的同側(cè)交于點”；④過點。、“作直線，交4c尸點E直線DE即為所

求作的垂線.

（2）解答的關(guān)鍵是：①理解點D到線段AC的距離是點D到線段AC的垂線段的長度，

即為線段OE的長度;②根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出ND4C;③利用銳角三角函數(shù)求解.

解：???四邊形ABCD是平行四邊形，

/.AD//BC,

:.^DAC=ZACB=30°.

由（1）知OE1AC,

在Rt/\ADE中，DE=AD-sinZDAC=2,

即點。到線段AC的距離是2.

20.如圖，每個小正方形的邊長都為1.

(I)直接寫出A8的長為；

(2)請用無刻度的直尺畫圖：在格點上找點￡連接8E,使4￡＞，砒，垂足為H；

(3)NA8C是直角嗎？判斷并說明理由.

【答案】(1)2方

(2)見解析

(3)NA8C是直角，理由見解析

【分析】(1)運用勾股定理求解即可；

(2)如圖，可證明.AGDwEEB得NG4D=NEEB,由NEEB+NAEB=90。得

NE4H+NAm=90。，推出NA”E=90。，從而可得結(jié)論；

(3)運用勾股定理逆定理可判斷48c是直角三角形，可得出NA8C=90。

【詳解】(I)由勾股定理得：A8="7?=2后，

故答案為：275

(2)如圖所示：點E即為所求;

(3)NA8C是直角，理由如下：

如上圖,連接AC,AC?=32+42=25,

又G=4?+22=20,BC?=l+4=5,

，AB2+BC2=AC2，

???ZABC=90°,

???/ABC是直角.

12

【點睛】本題主要考查了勾股定理、勾股定理逆定理以及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟

練掌握書店同時也看見解答本題的關(guān)鍵.

21.甲，乙兩名隊員參加訓練，每人射擊10次的成績分別被制成下列兩個統(tǒng)計圖:

平均成績環(huán)眾數(shù)/環(huán)中位數(shù)/環(huán)方差/環(huán)2

甲a771.2

乙7bC4.6

⑴寫;H表格中〃，b,c的值：。=,b=

⑵根據(jù)以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)，你會選擇誰參加比賽，請說明理由.

【答案】（1）7,6,6,5

（2）派甲參賽，理由見解析.

【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、中位數(shù)的定義分別計算即可解決問題；

（2）甲選手的穩(wěn)定性較好，乙選手得高分的可能性較大，所以從保名次上說，應該派

甲選手；從爭取更高的名次來說，應該派乙選手（答案不唯一）.

【詳解】⑴。=噌（5+6+6+7+7+7+7+8+8+9）=7（環(huán)）；

乙的成績從小到大排列:3,5,6,6,6,7,8,9,10,10,

:?b=6（環(huán)）。=等=6.5（環(huán)）.

故答案為:7,6,6.5；

（2）應派甲選手參賽.

理由:由上一問可知，從眾數(shù)來說，甲選手高于乙選手；從中位數(shù)來說，甲選手好于乙

選手；從方差來說，中選手的穩(wěn)定性較好；

綜合以上情況，應該派甲選手參賽.

【點睛】本題考查條形統(tǒng)計圖、折線統(tǒng)計圖、平均數(shù)、中位數(shù)、方差等知識，解題的關(guān)

鍵是靈活運用所學知識解決問題.

五、解答題(三)(本大題共2小題，每小題12分，共24分)

22.在矩形ABCD中，AB=6cm,BC=I2cm,點P從點A出發(fā)，沿AB邊向點B以每

秒1cm的速度移動，同時點Q從點B出發(fā)沿BC邊向點C以每秒2cm的速度移動P、

Q兩點在分別到達B、C兩點后就停止移動，設兩點移動的時間為t秒，回答下列問題：

(1)如圖1，當t為幾秒時，APBQ的面積等于5cm2?

(2)如圖2,當1=1.5秒時，試判斷aDPQ的形狀，并說明理由；

(3)如圖3,以Q為圓心，PQ為半徑作。Q.在運動過程中，是否存在這樣的I值，

使。Q正好與四邊形DPQC的一邊所在的直線相切？若存在，求出I值；若不存在，請

說明理由.

【答案】(1)1秒或5秒；(2)ADPQ的形狀是直角三角形.(3)①t=0或t=-18+12直;

②0VIV6JI5-18.

【詳解】試題分析：(1)由題意可知PA=t,BQ=2t,從而得至I」PB=6-t,BQ=2t,然后

根據(jù)APQB的面積=5cn?列方程求解即可；

339

(2)由,可求得AP=-,QB=3,PB),CQ=9,由勾股定理可證明DQ2+PQ2=PD2,

222

由勾股定理的逆定理可知ADPQ為直角三角形；

(3)①當t=0時，點P與點A重合時，點B與點Q重合，此時圓Q與PD相切；當。

Q正好與四邊形DPQC的DC邊相切時，由圓的性質(zhì)可知QC=QP,然后依據(jù)勾股定理

列方程求解即可；

②先求得。Q與四邊形DPQC有兩個公共點時t的值，然后可確定出t的取值范圍.

試題解析：(1)???當運動時間為t秒時，PA=t,BQ=2t,

.*.PB=6-t,BQ=2t.

???△PBQ的面積等于5cm2,

I1

???：PB?BQ=-x(6-t)*2t.

22

14

.\-(6-r)-2r=5.

2

解得：ti=l,t2=5.

答：當t為1秒或5秒時，APl^Q的面積等于5cm2.

(2)aDPQ的形狀是直角三角形.

33

理由：???當1=彳秒時，AP=K，QB=3,

22

39

APB=6--=一，CQ=12-3=9.

22

在RSPDA中，由勾股定理可知：PD?DA2+PA2=122+(-)2=—.

24

同理：在RSPBQ和RsDCQ中由勾股定理可得：DQ2=117,PQ2=^.

4

???U7+與箜，

44

ADQ2+PQ2=PD2.

所以aDPQ的形狀是直角三角形.

(3)①(I)由題意可知圓Q與AB、BC不相切.

(H)如圖1所示：當t=0時，點P與點A重合時，點B與點Q重合.

???ZDPQ=90°.

ADP1PQ.

???DP為圓Q的切線.

(III)當。Q正好與四紗形DPQC的DC邊相切時，如圖2所示.

由題意可知；PB=6-t,BQ=2t,PQ=CQ=I2-2t.

在R3PQB中,由勾股定理可知：PQ2=PB2+QB2,即(6-t)2+(2t)2=(12-2t)2.

解得：t產(chǎn)-18+126,攵=-18-12#(舍去).

綜上所述可知當1=0或t=-18+12石時，(DQ與四邊形DPQC的一邊相切.

②(I)當1=0時，如圖1所示：(DQ與四邊形DPQC有兩個公共點；

(II)如圖3所示：當圓Q經(jīng)過點D時，OQ與四邊形DPQC有兩個公共點.

圖3

由題意可知：PB=6-t,BQ=2t,CQ=12-2t,DC=6.

由勾股定理可知：DQ2=DC2+CQ2=62+(l2-2t)2,PQ2=PB2+QB2=(6-t)2+(2t)2.

VDQ=PQ,

???DQ?=PQ2,即6?+(I2-2t)2=(6-t)2+(2t)2.

整理得：t2+38-144=0.

解得：t產(chǎn)6J萬-18,t2=-6x/l3-18(舍去).

???當0VtV6jF-18時，OQ與四邊形DPQC有三人公共點.

考點：1、三角形的面積公式，2、勾股定理,3、勾股定理的逆定理

23.在》8c中，CA=CB,NAC8=a.點尸是平面內(nèi)不與點A,。重合的任意一點.連

接AP,將線段的繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)。得到線段OP,連接ADBD,CP.

圖2備用圖

⑴觀察證明如圖1,當。=60。時

①猜想BD與"的數(shù)量關(guān)系為,并說明理由.

②直線8。與直線。戶相交所成的較小角的度數(shù)是_____.

(2)類比猜想

如圖2,當。=90°時，請直接寫出要的值及直線B。與直線C尸相交所成的小角的度數(shù)

(3)解決問題

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當。=90°時、若點E,尸分別是C4,C8的中點，點。在直線門■上，請直接寫出點C,

AH

p,D在同一直線上時第的值，

L1

【答案】⑴①1；②60。

（2堞=夜；45。

（3）2+72^2-72

【分析】（1）觀察猜想：由“SAS”可證ACAP主兇4。，可得尸C=8。，ZACP=ZABD,

即可求解；

（2）類比探究：通過證明AD/WAPAC,可得/PC4=NO/M,鋁=空=夜,即

PCAC

可求解：

（3）分兩種情形：①當點O在線段PC上時，延長AD交的延長線于H.證明

A￡>="即可解決問題；②當點P在線段C。上時，同法可證：DA=￡）C解決問題.

【詳解】（1）解：AC=BC,Z4CB=60°,

.??AA8C是等邊三角形，

.?.ZC4B=60°,AC=AB,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，Z4PD=60°,AP=PD，

.?.AA尸。是等邊三角形，

.?./%￡>=60°=NC