第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年福建省高三（上）數學適應性試卷（二）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.設集合A={x|x>5}，B={x|x2?(a+1)x+a<0}，若A∩B=?，則a的取值范圍為A.(?∞,5] B.[5,+∞) C.(?∞,5) D.(5,+∞)2.若(1?2i)(z?i)=5，則|z|=(

)A.2 B.22 C.3.在△ABC中，點D是邊BC上一點，若AD=xAB+yAC，則2x+5yA.7?210 B.7+210 C.4.將函數f(x)=8sinx圖象向右平移π8后，再將所得圖象上各點橫坐標擴大為原來的4倍，得到g(x)的圖象，若方程g(x)=4在[0,8π]內有兩不等實根α，β，則cos(α+β+πA.?32 B.32 5.已知正四棱臺下底面邊長為42，若內切球的體積為323πA.49π B.56π C.65π D.130π6.設數列{an}的前n面和為Sn，若an+1=2A.a5<5 B.a5>10 C.7.設曲線D的方程為ax3+by3=xy(a,bA.曲線D一定經過第一象限B.當a=0，曲線D可能為拋物線

C.曲線D一定經過第三象限D.當a=b，曲線D一定關于直線y=x對稱8.已知函數f(x)的定義域為R，且f(x+3)為奇函數，f(2?x)為偶函數，記f(x)的導函數為f′(x)，則下列函數為奇函數的是(

)A.f(x?1) B.f′(?x+3) C.f(x+2) D.f(x)二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.設A，B是非空的實數集，若f：A→B，則(

)A.函數f(x)的定義域為A B.函數f(x)的值域為B

C.函數f(x)=ax3+bx值域為R D.10.已知一組數據的平均數、中位數、眾數依次成等差數列，現在丟失了其中一個數據，另外六個數據分別是7，9，10，7，15，7.將丟失數據的所有可能值從小到大排列成數列{an}，記X={aA.E(X)=8 B.D(X)=130 C.{an}是等差數列 11.若平面點集M滿足：任意點(x,y)∈M，存在t∈(0,+∞)，都有(tx,ty)∈M，則稱該點集M是t階聚合點集.下列命題為真命題的是(

)A.若M={(x,y)|x≥y}，則M是3階聚合點集

B.存在M對任意正數t，使M不是t階聚合點集

C.若M={(x,y)|x24+y2=1}，則M不是13階聚合點集

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.正八面體中，以其頂點為頂點的三棱錐的個數為______(用數字作答)．13.將一裝有適量水的圓柱容器斜靠在墻面，已知墻面與水平地面垂直，若圓柱軸線與水平地面所成角為60°，則液面所呈橢圓的離心率為______．14.已知函數f(x)=ln|1x?四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)

在△ABC，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知2sinA+3cosBcosC=4．

(1)證明：b=c；

(2)是否存在△ABC內一點D使得DA+DB+DC=0且16.(本小題12分)

如圖，在圓錐SO中，高SO=3，底面圓O的直徑AB=5，C是OA的中點，點D在圓O上，平面SAB⊥平面SCD．

(1)證明：CD⊥AB；

(2)若點P是圓O上動點，求平面SCD與平面SOP夾角余弦值的取值范圍．17.(本小題12分)

已知函數f(x)=xlnx?a(x2?1)．

(1)討論函數f(x)的零點個數；

(2)若f(x)有三個零點x1，x1，18.(本小題12分)

為慶祝祖國75周年華誕，某商場決定在國慶期間舉行抽獎活動.盒中裝有5個除顏色外均相同的小球，其中2個是紅球，3個是黃球.每位顧客均有一次抽獎機會，抽獎時從盒中隨機取出1球，若取出的是紅球，則可領取“特等獎”，該小球不再放回；若取出的是黃球，則可領取“參與獎”，并將該球放回盒中．

(1)在第2位顧客中“參與獎”的條件下，第1位顧客中“特等獎”的概率；

(2)記Pn?1為第n個顧客參與后后來參與的顧客不再有機會中“特等獎”的概率，求數列{Pn}的通項公式；

(3)設事件X為第k個顧客參與時獲得最后一個“特等獎”，要使X發生概率最大，求19.(本小題12分)

貝塞爾曲線是由法國數學家PierreBézier發明的，它為計算機矢量圖形學奠定了基礎.貝塞爾曲線的有趣之處在于它的“皮筋效應”，即隨著控制點有規律地移動，曲線會像皮筋一樣伸縮，產生視覺上的沖擊．

(1)在平面直角坐標系中，已知點T1在線段AB上.若A(x1,y1)，B(x2,y2)，|AT1|=a|AB|，求動點T1坐標；

(2)在平面直角坐標系中，已知A(2,?4)，B(?2,0)，C(2,4)，點M，N在線段AB，BC上，若動點T2在線段MN上，且滿足|AM||AB|=|BN||BC|=|MT2||MN|=a，求動點T2的軌跡方程；

(3)如圖，已知A(?63參考答案1.A

2.D

3.B

4.A

5.C

6.C

7.D

8.A

9.AD

10.AC

11.ACD

12.12

13.1214.(115.(1)證明：由題意知，2sinA+32[cos(B+C)+cos(B?C)]=4，

所以4sinA+3cos(B+C)+3cos(B?C)=8，

所以4sinA?3cosA+3cos(B?C)=8，

所以5sin(A?φ)+3cos(B?C)=8，其中tanφ=34,sinφ=35,cosφ=45，

而sin(A?φ)和cos(B?C)的最大值為1，

所以上式只有當A?φ=π2,B=C時，等號成立，此時sinB=sinC，

由正弦定理得，bsinB=csinC，

所以b=c．

(2)解：因為DA+DB+DC=0，所以D為△ABC的重心，即D為各邊中線的交點，

由(1)知b=c，

所以AD⊥BC，

因為點D在16.(1)證明：以O為原點，OA，OS所在直線分別為x，z軸，過點O作Oy⊥AB，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則A(52,0,0),C(54,0,0),B(?52,0,0),S(0,0,3)，

所以SC=(54,0,?3)，

設CD=(a,b,0)，平面SCD的法向量為n1=(x1,y1,z1)，則n1?CD=ax1+by1=0n1?SC=54x1?3z1=0，

令x1=12b，則y1=?12a，z1=5b，所以n1=(12b,?12a,5b)，

而平面SAB的法向量為m=(0,1,0)，

因為平面SAB⊥平面SCD，所以m?n1=?12a=0，解得a=0，

所以CD=(0,b,0)，

而AB=(?5,0,0)，所以CD?AB=017.解：(1)f(x)=xlnx?a(x2?1)，定義域為(0,+∞)，則f′(x)=lnx+1?2ax，

令g(x)=lnx+1?2ax，則g′(x)=1x?2a，

(i)當2a≤0，即a≤0時，g′(x)>0，函數g(x)單調遞增，

函數y=lnx在(0,1)上的取值集合為(?∞,0)，而y=1?2ax在(0,1)上的取值集合為(1,1?2a)，

則存在x0∈(0,1)，使得f′(x0)=0，當0<x<x0時，f′(x)<0，當x>x0時，f′(x)>0，

則函數f(x)在(0,x0)上單調遞減，在(x0,+∞)上單調遞增，f(x0)<f(1)=0，

而當x趨近于0時，f(x)趨近于a≤0，因此f(x)只有一個零點x=1；

(ii)當0<2a<1，即0<a<12時，由g′(x)>0，得0<x<12a，由g′(x)<0，得x>12a，

函數g(x)，即f′(x)在(0,12a)上單調遞增，在(12a,+∞)上單調遞減，f′(12a)=ln12a>0，

由(i)知，存在x0∈(0,1)，使得f′(x0)=0，

而f′(8a2)=ln8a2+1?16a=1+ln8+2ln1a?16a，令t=1a>2，1+ln8+2lnt?16t<1+ln8+2(1+t)?16t=3+ln8?14t<3ln2?4<0，

又8a2?12a=16?a2a2>0，則存在x1>12a，使得f′(x1)=0，

即當0<x<x0或x>x1時，f′(x)<0，當x0<x<x1時，f′(x)>0，

函數f(x)在(0,x0)，(x1,+∞)上單調遞減，在(x0,x1)上單調遞增，顯然x0<1<x1，

因此f(x0)<0<f(x1)，又當x趨近于0時，f(x)趨近于a>0，因此f(x)在(0,x0)上有一個零點，

而1a2?12a=2?a2a2>0，f(1a2)=1a2ln1a2+a?1a18.解：(1)設第1位顧客中“特等獎”為事件A，第2位顧客中“參與獎”為事件B，

則P(AB)=25×34=310，P(B)=25×34+35×35=3350，

故P(A|B)=P(AB)P(B)=3103350=511；

(2)由題意得n≠0，n個顧客參與后后來的顧客不再有機會中“特等獎”表示最后一位顧客中“特等獎”，前n?1位顧客中有一位中“特等獎”，

所以Pn?1=25×(34)n?2×14+35×25×(34)19.解：(1)由題意可知A(x1,y1)，B(x2,y2)，設T1(x0,y0)，

則AB=(x2?x1,y2?y1)，AT1=(