專題11集合一、知識梳理與二級結論二、熱考題型歸納【題型一】相等集合【題型二】判斷集合元素個數【題型三】元素個數與參數【題型四】子集與真子集【題型五】集合的子集求參數【題型六】集合的交集運算【題型七】交集運算求參數【題型八】集合的并集運算【題型九】并集運算求參數【題型十】補集與全集【題型十一】全集補集運算求參【題型十二】新定義三、高考真題對點練四、最新?？碱}組練知識梳理與二級結論一、集合的相關概念（1）集合元素的三個特性：互異、無序、確定性．（2）元素與集合的兩種關系：屬于，記為；不屬于，記為．（3）集合的四種表示方法：列舉法、描述法、韋恩圖法、符號法．二、并集的概念一般地，由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合，稱為集合A與B的并集，記作：（讀作“A并B”），即．用Venn圖表示如圖所示：由上述圖形可知，無論集合A，B是何種關系，恒有意義，圖中陰影部分表示并集．注意：并集概念中的“或”指的是只需滿足其中一個條件即可，這與生活中的“或”字含義不同．生活中的“或”字是或此或彼，必居其一，而并集中的“或”字可以是兼有的．三、交集的概念一般地，由屬于且屬于的所有元素組成的集合，稱為A與B的交集，記作：（讀作“A交B”），即．用Venn圖表示如圖所示：（1）A與B相交（有公共元素）；（2），則；（3）A與B相離（）.注意：（1）交集概念中的“且”即“同時”的意思，兩個集合的交集中的元素必須同時是兩個集合的元素．（2）定義中的“所有”是指集合A和集合B中全部的公共元素，不能是一部分公共元素．四、補集的概念對于一個集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集，簡稱為集合A的補集，記作，即．用Venn圖表示如圖所示：說明：（1）補集既是集合之間的一種關系，同時也是集合之間的一種運算．求集合A的補集的前提是A是全集U的子集，隨著所選全集的不同，得到的補集也是不同的，因此，它們是互相依存、不可分割的兩個概念．（2）若，則或，二者必居其一．五、Venn圖的概念我們經常用平面上封閉曲線的內部代表集合，這種圖稱為Venn圖．說明：（1）表示集合的Venn圖的邊界是封閉曲線，它可以是圓、矩形、橢圓，也可以是其他封閉曲線．（2）Venn圖表示集合時，能夠直觀地表示集合間的關系，但集合元素的公共特征不明顯．六、子集、真子集及其性質對任意的x∈A，都有x∈B，則AB(或BA)；若集合AB，但存在元素x∈B，且xA，則AB(或BA)；A；AA；AB，BCAC.若集合A含有n個元素，則A的子集有個，A的非空子集有個，A的非空真子集有個．八、補集的性質熱點考題歸納【題型一】相等集合【典例分析】1．（2023·高三模擬）已知集合，，，，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據集合的表示，確定集合中的元素，能化簡的集合要化簡后對比【詳解】解：∵是單元素集，集合中的元素是，，，，集合中的元素是點，.∴.故選：D.2．（2022秋·河北保定·高三河北省唐縣第一中學?？茧A段練習）下列集合中表示同一集合的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】根據集合的定義，依次分析選項即得.【詳解】對于A，兩個集合都為點集，與是不同點，故M、N為不同集合，故A錯誤；對于B，M是點集，N是數集，故M、N為不同集合，故B錯誤；對于C，M是數集，N是點集，故M、N為不同集合，故C錯誤；對于D，，，故M、N為同一集合，故D正確.故選：D.【提分秘籍】1.研究集合問題，要抓住元素，看元素應滿足的屬性。2.研究兩（多個）集合的關系時，關鍵是將兩集合的關系轉化為元素間的關系。3.集合相等，是所屬元素相同，與順序無關（互異性），與形式無關（數集中與表示數的范圍的字母無關）【變式演練】1．（2023·高三模擬）設是有理數，集合，在下列集合中；（1）；（2）；（3）；（4）；與相同的集合有（

）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】B【解析】將分別代入（1）、（2）、（3）中，化簡并判斷與是否一一對應，再舉反例判斷（4）.【詳解】對于（1），由，得，一一對應，則對于（2），由，得，一一對應，則對于（3），由，得，一一對應，則對于（4），，但方程無解，則與不相同故選：B2．（2023·高三模擬）下列各組集合中，M與P表示同一集合的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】根據相同集合的判定方法，逐項判斷，即可得出結果.【詳解】A選項，與所含元素不同，故不是同一集合，A錯；B選項，與所含元素不同，故不是同一集合，B錯；C選項，集合表示點集，集合表示數集，故不是同一集合，C錯；D選項，兩集合均表示大于等于的全體實數，是同一集合，故D正確；故選：D【點睛】本題主要考查同一集合的判定，屬于基礎題型.3．（2023·高三模擬）與集合表示同一集合的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由解得，即可得出結果.【詳解】由解得，所以.故選：D.【題型二】判斷集合元素個數【典例分析】1．（2022秋·山東·高三階段練習）已知集合有個真子集，集合有個真子集，那么的元素個數為（

）A．有個元素 B．至多有個元素C．至少有個元素 D．至多有10個元素【答案】B【分析】利用真子集的公式分別求出兩集合的元素的個數，然后分兩集合中的元素有個相等，個相等，互不相等三種情況討論兩集合并集元素的個數，得到正確答案即可．【詳解】解：根據真子集的公式解得；解得，所以集合中有個元素，集合中有個元素，當集合與的元素互不相等時，的元素個數為個；當集合與的元素有且只有一個相等時，的元素個數為個；當集合與的元素有且只有兩個相等時，的元素個數為個；所以的元素個數可能為個，個，個，所以的元素個數至多有個元素．故選：B．2．（2022秋·北京海淀·高三海淀實驗中學階段練習）已知、、為實數，，，記集合，，則下列命題為真命題的是（

）A．若集合的元素個數為2，則集合的元素個數也一定為2B．若集合的元素個數為2，則集合的元素個數也一定為2C．若集合的元素個數為3，則集合的元素個數也一定為3D．若集合的元素個數為3，則集合的元素個數也一定為3【答案】D【分析】利用一元二次方程根的判別式,結合函數的表達式,先考慮當集合的元素個數分別為2、3時,集合的元素個數情況；再考慮當集合的元素個數分別為2、3時,集合的元素個數情況,最后選出正確答案.【詳解】選項A：當時，集合的元素個數為2，此時,集合的元素個數為1,故本選項說法錯誤；選項B：當時,集合的元素個數為2,此時，集合的元素個數為3，故本選項說法錯誤；選項C：當時，集合的元素個數為3，此時,集合的元素個數為2,故本選項說法錯誤；選項D：若集合的元素個數為3，方程有三個不等實根,則有,在該條件下方程一定有這一個根，且不是的根，又，所以有兩個不等于的根，即集合的元素個數也一定為3.故選D【點睛】本題考查了通過方程根的情況求參數問題,考查了分類討論思想.【提分秘籍】集合中元素個數：1.點集多是圖像交點。2.數集，多涉及到一元二次方程的根?！咀兪窖菥殹?（2023·高三模擬）已知非空集合A，B滿足以下兩個條件：（1），；（2）A的元素個數不是A中的元素，的元素個數不是中的元素．則有序集合對的個數為（

）A．1 B．2 C．4 D．6【答案】B【分析】根據已知條件，按集合中得元素個數進行分類討論.【詳解】若集合A中只有1個元素，則集合中有3個元素，且，，所以，，此時有序集合對有1對；同理，若集合中只有1個元素，則集合A中有3個元素，此時有序集合對有1對；若集合A中有2個元素，則集合中有2個元素，且，，不滿足題意．所以滿足題意的有序集合對的個數為．故A，C，D錯誤.故選：B．2．（2023·河北·河北衡水中學?？寄M預測）若集合U有71個元素，且各有14，28個元素，則的元素個數最少是（

）A．14 B．30 C．32 D．42【答案】A【分析】根據集合中的元素以及交并補運算的性質即可求解.【詳解】設中有個元素，則,所以中的元素個數為，因此中的元素個數為中的元素減去中的元素個數，即為，由于，所以，故當時，有最小值14故選：A3．（2023·重慶九龍坡·高三重慶市楊家坪中學?？茧A段練習）對于非空數集，定義表示該集合中所有元素的和．給定集合，定義集合，則集合中元素的個數是（

）A．集合中有1個元素 B．集合中有個元素C．集合中有11個元素 D．集合中有15個元素【答案】B【分析】對的情況分別列出來，計算的取值情況，最后得出集合的元素個數.【詳解】1.當為單元集合時，集合A可取，可取;2.當中的元素個數為2時，集合可取，可?。?.當中的元素個數為3時，集合可取，可??；4.當時,.綜上所述，集合中有個元素.故選:B.【題型三】元素個數與參數【典例分析】1．（2023·高三模擬）由，，3組成的一個集合A，若A中元素個數不是2，則實數a的取值可以是（

）A． B．1 C． D．2【答案】D【分析】由題意判斷集合的元素個數，根據集合元素的互異性，可求得a的不可能取值，即得答案.【詳解】由題意由，，3組成的一個集合A，A中元素個數不是2，因為無解，故由，，3組成的集合A的元素個數為3，故，即，即a可取2，即A，B，C錯誤，D正確，故選：D2．（2023·全國·高三專題練習）已知是等差數列，，存在正整數，使得，.若集合中只含有4個元素，則的可能取值有（

）個A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】考慮不符合題意，時，列舉出滿足條件的集合，再考慮時不成立，得到答案.【詳解】當時，，根據周期性知集合最多有3個元素，不符合；當時，，取，此時，滿足條件；當時，，即，，在單位圓的五等分點上不可能取到4個不同的正弦值，故不滿足；當時，，取，此時，滿足條件；當時，，取，此時，滿足條件；當時，，取，此時，滿足條件；故選：C【提分秘籍】集合元素個數求參，多涉及到數列，三角、解析幾何與函數等知識交匯處出題，難度較大，注意相關基礎知識的積累和應用?！咀兪窖菥殹?．（2023·山西·統考模擬預測）已知函數，集合中恰有3個元素，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用三角變換將函數轉化為.集合只含有3個元素，表示時在上只有三解，求出的根，從而得出的范圍.【詳解】因為函數，所以，因為集合含有個元素，所以時在上只有三解，即，解得：或，故或，要使其落在上，故只有、、，其他值均不在內，故，解得，故，故選：D.2．（2023·湖北武漢·高三校聯考）設集合，，若中有且只有一個元素，則所有取值組成的集合為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據集合描述的幾何意義，判斷集合N表示的圓與集合M表示的半圓只有一個交點時的取值范圍即可.【詳解】如下圖示，當集合N表示的圓與集合M表示的半圓相切，或集合N表示圓半徑變大過程中與集合M表示的半圓只有一個交點時，中有且只有一個元素，所以當它們相切，；當集合N表示的圓過時恰好有兩個交點，過時恰好有一個交點；綜上，時，中有且只有一個元素.故選：C.3．（2023·全國·高三專題練習）已知集合至多有1個真子集，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．或【答案】D【分析】根據真子集的個數可得或者為單元素集，進而根據方程的根可求解.【詳解】由于集合至多有1個真子集，則集合中的元素個數至多一個，故或者為單元素集，當時，則且，解得，當為單元素集，則中只有一個元素，當時，符合題意，當時，則，解得，綜上，或，故選：D【題型四】子集與真子集【典例分析】1．（2023·上海寶山·上海交大附中校考三模）已知，集合，若集合恰有8個子集，則的可能值有幾個（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據子集個數可得集合元素個數，再由正弦函數性質即可確定n的取值.【詳解】由題意易知，，均是集合中的元素，又集合恰有8個子集，故集合只有三個元素，有，則結合誘導公式易知，可取的值是4或5.故選：B2．（2023黑龍江·高三校考階段練習）給定全集，非空集合滿足，，且集合中的最大元素小于集合中的最小元素，則稱為的一個有序子集對，若，則的有序子集對的個數為A．48 B．49 C．50 D．51【答案】B【詳解】時，的個數是時，的個數是時，的個數是，時，的個數是1時，的個數是，時，的個數是時，的個數是1，時，的個數是時，的個數是1時，的個數是1時，的個數是時，的個數是1、時，的個數是1時，的個數是1時，的個數是1的有序子集對的個數為49個，【提分秘籍】元素與集合以及集合與集合子集關系的判斷，解題的關鍵是正確理解所給的定義及熟練運用分類討論的思想進行列舉公式法求有限集合的子集個數(1)含n個元素的集合有2n個子集．(2)含n個元素的集合有(2n－1)個真子集．(3)含n個元素的集合有(2n－1)個非空子集．(4)含n個元素的集合有(2n－2)個非空真子集．【變式演練】1．（2023春·河南新鄉·高三統考）已知集合，集合滿足，且中恰有三個元素，其中一個元素是另外兩個元素的算術平均數，則滿足條件的共有（

）A．380個 B．180個 C．90個 D．45個【答案】C【分析】設，，，則由題意可得，然后分，同為奇數或同為偶數兩種情況討論求解即可.【詳解】設，，，且是與的算術平均數，則，所以，同為奇數或同為偶數.當，同為奇數時，則必存在唯一確定的數，此時滿足條件的共有個.當，同為偶數時，則也必存在唯一確定的數，此時滿足條件的共有個.故滿足條件的共有90個.故選：C2．（2023·遼寧·校聯考三模）若為全體實數，集合．集合．則的子集個數為（

）A．5 B．6 C．16 D．32【答案】D【分析】先分別求出集合再根據補集及交集求解，最后應用子集公式計算即可.【詳解】由集合得且，由集合可得或，故子集個數為．故選:．3．（2023春·江蘇徐州·高三徐州高級中學?？茧A段練習）設集合，則的所有子集的個數為（

）A．3 B．4 C．8 D．16【答案】C【分析】解不等式得，再根據公式求解即可.【詳解】解：解不等式得，解不等式得，由于,所以，，所以，的所有子集的個數為個.故選：C【題型五】集合的子集求參數【典例分析】1．（2023安徽滁州·高三?？茧A段練習）已知非空集合，，，則集合可以是A． B． C． D．【答案】B【詳解】取，則，所以，又，所以，故排除ACD.故選：B.2．（2023秋·河南·高三統考）集合或，若，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據，分和兩種情況討論，建立不等關系即可求實數的取值范圍．【詳解】，①當時，即無解，此時，滿足題意．②當時，即有解，當時，可得，要使，則需要，解得．當時，可得，要使，則需要，解得，綜上，實數的取值范圍是．故選：A．【提分秘籍】集合子集求參題型，往往存在著思維和計算的一個“坑”，即若有，則要討論集合B是否是空集。所以思考子集，要有“從空集開始到自身結束”這個“順序感”。授課時講透徹這個“順序感”：子集是從“從空集開始，到自身結束”【變式演練】1．（2023·全國·高三專題練習）已知集合，若，則實數a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據并集關系得到，分和討論即可.【詳解】，當，符合題意；當，，解得，綜上.故選：A．2．（2023·湖南·校聯考模擬預測）已知非空集合，其中，若滿足，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】可設，根據題設條件可得滿足的條件，再根據根分布可求實數的取值范圍.【詳解】，因為非空，故可設，則為方程的兩個實數根.設，又，因為，故，所以，解得.故選：A.3．（2023春·北京·高三101中學校考階段練習）已知集合.若，且對任意的，，均有，則集合B中元素個數的最大值為A．25 B．49 C．75 D．99【答案】D【分析】先分析集合元素的特點，通過列舉可得.【詳解】當或的值較小時，集合B中元素個數最多，即共有99個元素.【點睛】本題主要考查集合的表示方法，抓住集合元素的特點是求解的關鍵.【題型六】集合的交集運算【典例分析】1．（2023·遼寧·高三遼寧實驗中學校考階段練習）已知，，且，其中，若，，且的所有元素之和為56，求（

）A．8 B．6 C．7 D．4【答案】A【分析】根據可得，可得，再根據可得，分和兩種情況來討論即可得解.【詳解】由得，所以，，所以，（1）若，由，所以，所以，，所以，即，從而，所以，所以，即或，與矛盾；（2）若，則，從而，所以，即，從而，所以，，所以或，又，所以，，又，所以，由代入可得：，所以或（舍），所以，故選：A2．（2023秋·上海黃浦·高三上海市向明中學?？茧A段練習）已知集合，則集合中元素的個數是（

）A．0 B．2 C．4 D．8【答案】A【分析】根據對稱性畫出圖像，計算圓心到直線的距離得到答案.【詳解】根據對稱性畫出圖像，如圖所示：考慮第一象限，圓心到直線的距離為，相離根據對稱性得到集合中元素的個數是故選【點睛】本題考查了直線和圓的位置關系，集合的交集，意在考查學生的綜合應用能力.【提分秘籍】交集：【變式演練】1．（2023春·浙江寧波·高三校聯考期末）設集合，，則中元素的個數為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】在同一坐標系下畫出兩集合對應函數圖象，交點個數即為交集元素個數【詳解】對于函數，當時，；當時，.對于函數，，則且端點處取最大值.兩函數圖象在同一坐標系下大致如下，則兩函數圖象有3個交點，即中元素的個數為3個.故選：B

2．（2023春·湖北省直轄縣級單位·高三湖北省仙桃中學校考階段練習）集合，集合，則的元素個數為（

）A．4 B．5 C．6 D．無數個【答案】A【分析】計算，，再計算交集得到答案.【詳解】，則，即，故，，故.故選：A3．（2023·江西·校聯考二模）已知，則為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據題意求集合，再結合交集運算求解.【詳解】由題意可知：，對于可知：，則，故，且，故.故選：C.【題型七】交集運算求參數【典例分析】1．（2023·浙江·高三?？迹┮阎希?，且中恰好有兩個整數解，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出中不等式的解集確定出,求出集合對應的一元二次方程的根,表示出B集合,由的范圍判斷出兩整數解為和,從而得到關于的不等式.【詳解】，令，由題意，，又，所以，設，又.所以要使中恰好有兩個整數解，則只能是和，所以應滿足,解得.故選A【點睛】本題考查利用集合間的交運算求參數的范圍;判斷出中的兩個整數解為4和5和結合一元二次函數圖象得出關于a的不等式是求解本題的關鍵;屬于難度大型試題.2．（2022秋·重慶·高三統考期末）設，，若中含有兩個元素，則實數的取值范圍是A． B． C． D．【答案】B【詳解】試題分析：表示以為圓心、半徑為2的上半圓，直線表示恒過點的直線；由題意，滿足要求的直線介于之間，；因為與圓相切，則，解得；所以．【提分秘籍】交集運算時，要注意交集運算的一些基本性質：①A∩B_A；②A∩BB；③A∩A＝A；

④A∩＝；⑤A∩B=B∩A.【變式演練】1．（2023·黑龍江綏化·高三統考）設集合，，若，則實數k的取值范圍是（

）A．或 B．C．或 D．【答案】C【分析】先算出集合，再根據，根據區間端點列出不等式即可獲解.【詳解】或,或，解得或，的取值范圍是或故選：C2（2023·福建寧德·高三統考）設集合，集合，若中恰含有一個整數，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先求出或，然后對分，，三類討論，利用數軸得到相關不等式，解出即可.【詳解】由中不等式變形得:,解得:或,即或，，即，令，則或，若，則，即，此時，此時，不合題意舍去，若，則不等式解集為，根據數軸分析得若恰有一個整數，則，解得，若，則不等式解集為，根據數軸分析得若恰有一個整數，則，解得，綜上，故選：C.3．（2023·全國·高三專題練習）設集合，（）.當有且只有一個元素時，則正數的所有取值為（

）A．或 B．C．或 D．或【答案】C【分析】依題畫出滿足題意的圖形，因為有且只有一個元素，所以圓N和圓M只有一個交點，所以圓N的位置為圓（1）和介于圓（2）、圓（3）之間兩種情況，然后分析計算即可得解.【詳解】，，即圓M：的上半部分，如圖：圓M的圓心坐標為，半徑為2，圓N的圓心坐標為，半徑為r，因為有且只有一個元素，所以圓N和圓M只有一個交點，所以圓N的位置為圓（1）和介于圓（2）、圓（3）之間兩種情況，①外切：，d為圓心距，，此時，②介于圓（2）、圓（3）之間：圓（2）處的半徑，圓（3）處的半徑，所以，綜上，正數的所有取值為或.故選：C.【點睛】關鍵點睛：本題的解題關鍵是由因為有且只有一個元素，所以圓N和圓M只有一個交點，進而分析計算.【題型八】集合的并集運算【典例分析】1．（2023·高三模擬）設全集，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先弄清的含義，再求，最后再求補集即可得答案.【詳解】由，可得，所以集合表示的是直線去掉點后的所有點的集合，集合表示的是坐標系內不在直線上的點的集合，所以.故選：B.2．（2023·四川成都·高三校聯考）已知正整數集合，，其中．若，且，則中所有元素之和為（

）A．52 B．56 C．63 D．64【答案】A【分析】由題意可得，從而可求的值，根據可求，由并集運算可得，從而可求元素之和.【詳解】解：因為，且，所以.所以.由，可得.故由可得.所以.故,.所以,所有元素之和為52.故選:A．【提分秘籍】并集：【變式演練】1．（2023·湖北·校聯考模擬預測）設、、、、是均含有個元素的集合，且，，記，則中元素個數的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設、、、是集合互不相同的元素，分析可知，然后對的取值由小到大進行分析，驗證題中的條件是否滿足，即可得解.【詳解】解：設、、、是集合互不相同的元素，若，則，不合乎題意.①假設集合中含有個元素，可設，則，，這與矛盾；②假設集合中含有個元素，可設，，，，，滿足題意.綜上所述，集合中元素個數最少為.故選：A.【點睛】關鍵點點睛：本題考查集合元素個數的最值的求解，解題的關鍵在于對集合元素的個數由小到大進行分類，對集合中的元素進行分析，驗證題中條件是否成立即可.2．（2022秋·河北衡水·高三統考期中）若，，定義，則A． B． C． D．【答案】B【詳解】試題分析：由題意，，所以,所以考點：新定義及集合的基本運算．【名師點睛】研究集合問題，一定要抓住元素，看元素應滿足的屬性．研究兩集合的關系時，關鍵是將兩集合的關系轉化為元素間的關系，本題實質求，即是集合A或B的元素，但不是集合A,集合B共有的元素,一般要在數軸上表示出來，形象直觀，一定要注意端點值，看是否包括，是易錯點．3．（2023河南·高三校聯考階段練習）已知集合，.若，則m的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由題意可得，，所以，將問題轉化為二次函數的兩根在和之內，由二次函數圖象性質及零點存在性定理求解即可.【詳解】解：由，得；因為，所以，令，結合二次函數圖象性質及零點存在性定理，得，即，解得，所以實數的取值范圍為.故選:D.【題型九】并集運算求參數【典例分析】1．（2023春·江西景德鎮·高三景德鎮一中校考期末）已知集合，集合，若，則實數不可以?。?/p>

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求得范圍為，根據題意可得，逐項分析判斷即可得解.【詳解】對集合A解不等式，解得，由則，當時，，則，此時，符合題意；當時，，，符合題意，當時，，此時，符合題意，當時，此時，不符題意，故選：D2．（2023·浙江·高三專題練習）已知表示不超過的最大整數，例如，，方程的解集為，集合，且，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據題意可知，解絕對值不等式求出集合A，分類討論的取值范圍，求出集合B，由，列出滿足條件的不等式組，解不等式即可求解.【詳解】由題意可得，解得或，所以或，所以，當時，，由，則，解得；當時，，此時不成立，故不??；當時，，則，解得，綜上所述，實數的取值范圍是.故選：D【點睛】本題考查了絕對值不等式的解法、含參數的一元二次不等式的解法以及根據集合的運算結果求參數的取值范圍，屬于中檔題.【提分秘籍】集合并集運算的一些基本性質：(1)在進行集合運算時，若條件中出現A∪B＝B，應轉化為A?B，然后用集合間的關系解決問題，并注意A＝?的情況．(2)集合運算常用的性質：A∪B＝B?A?B；【變式演練】1．（2023·高三?？寄M）設集合，，若，則實數a的取值范圍是（）.A． B．C． D．【答案】D【分析】集合分別表示圓及其內部所有點組成的集合，由題意可知兩個圓內含或內切，列式求解即可.【詳解】集合表示以為圓心，半徑的圓及其內部所有點組成的集合，集合表示以為圓心，半徑的圓及其內部所有點組成的集合，因為，所以兩個圓內含或內切，從而，即，解得.故選：D．2．（2023·浙江·統考高考模擬）設集合S，T，SN*，TN*，S，T中至少有兩個元素，且S，T滿足：①對于任意x，yS，若x≠y，都有xyT②對于任意x，yT，若x<y，則S；下列命題正確的是（

）A．若S有4個元素，則S∪T有7個元素B．若S有4個元素，則S∪T有6個元素C．若S有3個元素，則S∪T有5個元素D．若S有3個元素，則S∪T有4個元素【答案】A【分析】分別給出具體的集合S和集合T，利用排除法排除錯誤選項，然后證明剩余選項的正確性即可.【詳解】首先利用排除法：若取，則，此時，包含4個元素，排除選項C；若取，則，此時，包含5個元素，排除選項D；若取，則，此時，包含7個元素，排除選項B；下面來說明選項A的正確性：設集合，且，，則，且，則，同理，，，，，若，則，則，故即，又，故，所以，故，此時，故，矛盾，舍.若，則，故即，又，故，所以，故，此時.若，則，故，故，即，故，此時即中有7個元素.故A正確.故選：A.【點睛】“新定義”主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運算五種，然后根據此新定義去解決問題，有時還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對新定義的透徹理解.但是，透過現象看本質，它們考查的還是基礎數學知識，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應萬變才是制勝法寶.3．（2023·全國·高三專題練習）已知不等式的解集為，關于x的不等式的解集為B，且，則實數a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】解出不等式可得集合，由可得，然后可得在上恒成立，然后分離參數求解即可.【詳解】由得，，解得，因為，所以所以可得在上恒成立，即在上恒成立，故只需，，當時，，故．故選：B【題型十】補集與全集【典例分析】1．（2023·福建福州·高三校聯考）已知不等式解集為，若不等式解集為B，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由不等式解集為可得，從而求出，再利用集合補集的定義求解即可.【詳解】因為不等式解集為，所以，所以可化為，則，所以，解得：，所以，故選：B.2．（2023·湖北襄陽·高三棗陽一中校考階段練習）設全集，集合，則集合（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】解不等式化簡集合A，B，再利用補集、交集的定義求解作答.【詳解】解不等式得：，即，則，解不等式得：，則，因此，，所以.故選：C【提分秘籍】全集(1)定義：如果一個集合含有所研究問題中涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集．(2)記法：全集通常記作U.補集自然語言對于一個集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集，記作?UA符號語言?UA＝{x|x∈U，且x?A}圖形語言【變式演練】1．（2023春·安徽滁州·高三?？奸_學考試）設集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出集合、，，再由交集的運算可得答案.【詳解】設集合，，則，所以.故選：D.2．（2023·高三模擬）設全集且，，若，，則這樣的集合共有（

）A．個 B．個C．個 D．個【答案】D【分析】先求出全集，再求出集合的子集即為，再進行補集運算可得集合，進而可得正確選項.【詳解】且，的子集有，，，，，，，，的子集有個，，所以有個，因為，所以存在一個即有一個相應的，所以，，，，，，，有個，故選：D.3．（2023·高三模擬）已知集合，．若，則實數的取值范圍為（

）A． B．C．或 D．【答案】C【解析】首先根據題意，求得或，由可以得到，根據子集的定義求得參數所滿足的條件，得到結果.【詳解】，∵．∴或，∵即，∴或．即或，?即實數的取值范圍是或．故選：C.【點睛】該題考查的是有關集合的問題，涉及到的知識點有集合的補集，根據子集求參數的取值范圍，屬于簡單題目.【題型十一】全集補集運算求參【典例分析】1．（2022·北京·高三專題練習）設集合，全集,若,則有（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先解不等式得到，再求出，利用數軸法即可得到.【詳解】由，解得，故因為，，所以，又因為，由數軸法得.故選：C.2．（2023·全國·高三專題練習）已知全集，集合，若的元素的個數為4，則的取值范圍為A． B． C． D．【答案】A【分析】根據集合補集的結果個數，即可容易求得參數范圍.【詳解】若的元素的個數為4，則故選：A.【點睛】本題考查由集合的補集元素個數求參數范圍，屬基礎題.【提分秘籍】全集與補集運算的性質：【變式演練】1．（2023·江蘇常州·高三統考階段練習）設全集，集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據補集的定義可得出關于的等式（組），即可解得實數的值.【詳解】因為，由題意可得，解得.故選：B.2．（2023春·江西南昌·高三進賢縣第一中學校考）已知集合，，若，則實數的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先化簡集合U、A，利用，借助于不等式的解集是用不等式對應的方程的解表示求出a.【詳解】∵，又，∴，又，∴?是方程的兩個根，∴.故選：A.【點睛】（1）集合的交并運算：①離散型的數集用韋恩圖；②連續型的數集用數軸；（2）不等式的解集是用不等式對應的方程的解表示的.3．（2023·全國·高三專題練習）不等式2ax<1解集為Q，P＝{x|x≤0}，若Q∩?RP＝，則實數a等于()A． B．C．4 D．2【答案】D【詳解】試題分析：∵,∴當時，，∴，∵，∴，∴.考點：1.集合的交集、補集運算；2.含參一元二次不等式.【題型十二】新定義【典例分析】1．（2023·江蘇·高三專題練習）用表示非空集合中元素個數，定義，則，，且，則實數的值范圍是（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】D【解析】先由方程，根據判別式判定；再由題中條件，得到或4，再由時，方程一定有根，推出集合中的方程有4個不同的根，得出方程以及必須都有兩不同的根，進而可求出結果.【詳解】集合中的方程，其，所以因為定義，且，所以或4，即集合中的方程，有0個根或者4個根，而當時，方程一定有根，所以集合中的方程，有4個不同的根，則需方程以及必須都有兩不同的根，從而得到，所以或.故選：D.【點睛】本題主要考查集合的新定義問題，考查由集合中元素個數求參數的問題，屬于中檔題型.2．（2023·高三課前預習）用表示非空集合中的元素的個數，定義，已知集合有三個真子集，，若，設實數的所有可能取值構成集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知條件求得，可得出或，然后對實數的取值進行分類討論，確定方程的解的個數，由此可求得實數的所有可能取值，即可得出的值.【詳解】由題意可知，集合的真子集個數為，解得，由題中定義可得，或.由題意可知，為關于的方程的一根.當時，則，則方程只有一個實根，可得，此時，方程無實根，則滿足條件；當時，則關于的方程有三個根，必有，此時，關于的方程的兩根分別為，，分以下兩種情況討論：①若是方程的一根時，則，解得.當時，則，合乎題意；當時，則，合乎題意；②當方程有兩個相等的實根，則，解得.當時，，合乎題意；當時，，合乎題意.因此，，即.故選：D.【點睛】以集合為載體的新定義問題，是高考命題創新型試題的一個熱點，常見的命題形式有新概念、新法則、新運算等，這類試題中集合只是基本的依托，考查的是考生創造性解決問題的能力．在解本題中，在求出實數的取值后，要代回原集合進行檢驗，以免產生錯解.【提分秘籍】新定義題型，多涉及到“韋恩圖”來釋義。韋恩圖思考時，要從四種位置關系來保證思考的“完備性”【變式演練】1．（2023·上海浦東新·高三上海市建平中學?？迹┒x集合運算且稱為集合與集合的差集；定義集合運算稱為集合與集合的對稱差，有以下4個命題：①

②③

④則個命題中是真命題的是（

）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④【答案】B【分析】利用題中定義可判斷①的正誤；利用韋恩圖法可判斷②④；利用題中定義與集合運算可判斷③的正誤.【詳解】對于①，，①對；對于②，且且，同理，則，所以，表示的集合如下圖中的陰影部分區域所示：同理也表示如上圖陰影部分區域所示，故，②對；對于③，，③對；對于④，如下圖所示：所以，，④錯.故選：B.【點睛】關鍵點點睛：本題考查集合中的新定義問題，解題的關鍵在于利用韋恩圖法來表示集合，利用數形結合思想來進行判斷.2．（2023·北京·高三東直門中學?？茧A段練習）設集合的最大元素為，最小元素為，記的特征值為，若集合中只有一個元素，規定其特征值為0.已知，，，…，是集合的元素個數均不相同的非空真子集，且，則的最大值為（

）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】B【分析】根據題設描述只需保證各集合中（）盡量小，結合已知及集合的性質有最大時，進而分析的取值.【詳解】由題設，，，…，中都至少有一個元素，且元素個數互不相同，要使最大，則各集合中（）盡量小，所以集合，，，…，的元素個數盡量少且數值盡可能連續，所以，不妨設，有，當時，，當時，，只需在時，在上述特征值取最小情況下，使其中一個集合的特征值增加5即可，故的最大值為11.故選：B【點睛】關鍵點點睛：注意最大則各集合中（）盡量小，并求出該情況下特征值之和關于n的公式，再分析其最大取值.3．（2023·全國·高三專題練習）設A是任意一個n元實數集合，令集合，記集合B中的元素個數為，則（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】B【分析】利用排除選項D；利用排除選項AC；舉例驗證選項B正確.【詳解】當集合A中的元素兩兩互質時，．所以對于選項D，當時，，故選項D錯誤．當時，若，其中，有，故．對于選項A，，故．故選項A錯誤．對于選項C，，則.故選項C錯誤．對于選項B，，判斷正確（事實上，當時，要使最小，，記，其中，當時，有．）故選：B1．（2023·北京·統考高考真題）已知集合，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先化簡集合，然后根據交集的定義計算.【詳解】由題意，，，根據交集的運算可知，.故選：A2．（2023·全國·統考高考真題）已知集合，，則（

）A． B． C． D．2【答案】C【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根據交集的運算解出．方法二：將集合中的元素逐個代入不等式驗證，即可解出．【詳解】方法一：因為，而，所以．故選：C．方法二：因為，將代入不等式，只有使不等式成立，所以．故選：C．3．（2023·全國·統考高考真題）設全集，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用集合的交并補運算即可得解.【詳解】因為全集，集合，所以，又，所以，故選：A.4．（2023·全國·統考高考真題）設集合，，若，則（

）．A．2 B．1 C． D．【答案】B【分析】根據包含關系分和兩種情況討論，運算求解即可.【詳解】因為，則有：若，解得，此時，，不符合題意；若，解得，此時，，符合題意；綜上所述：.故選：B.5．（2023·天津·統考高考真題）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】對集合B求補集，應用集合的并運算求結果；【詳解】由，而，所以.故選：A6．（2023·全國·統考高考真題）設集合，集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題意逐一考查所給的選項運算結果是否為即可.【詳解】由題意可得，則，選項A正確；，則，選項B錯誤；，則或，選項C錯誤；或，則或，選項D錯誤；故選：A.7．（2023·全國·統考高考真題）設全集，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意可得的值，然后計算即可.【詳解】由題意可得，則.故選：A.8．（2023·全國·統考高考真題）設全集,集合，（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據整數集的分類，以及補集的運算即可解出．【詳解】因為整數集，，所以，．故選：A．9．（2023·全國·統考高考真題）已知等差數列的公差為，集合，若，則（

）A．－1 B． C．0 D．【答案】B【分析】根據給定的等差數列，寫出通項公式，再結合余弦型函數的周期及集合只有兩個元素分析、推理作答.【詳解】依題意，等差數列中，，顯然函數的周期為3，而，即最多3個不同取值，又，則在中，或，于是有，即有，解得，所以，.故選：B10．（2022·全國·統考高考真題）集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據集合的交集運算即可解出．【詳解】因為，，所以．故選：A.11．（2022·全國·統考高考真題）設集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據集合的交集運算即可解出．【詳解】因為，，所以．故選：A.12．（2022·全國·統考高考真題）設全集，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】解方程求出集合B,再由集合的運算即可得解.【詳解】由題意，，所以,所以.故選：D.最新模考真題一、單選題1．（2023·貴州黔東南·凱里一中?？既＃┮阎舷铝嘘P系正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據元素與集合的關系求解.【詳解】因為，所以A、C錯誤，因為，所以，所以B錯誤，又，所以，所以D正確，故選:D．2．（2023·福建福州·福建省福州第一中學?？级＃┮阎蠞M足，則可能是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據得集合的包含關系，進而判斷即可.【詳解】由則,進而,由于，所以可能是，故選：B3．（2023·江蘇鎮江·江蘇省鎮江中學?？既＃┮阎瑒t（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先化簡集合，再根據補集和交集運算法則進行計算即可.【詳解】由題意得，，，則或，所以.故選：A4．（2023·福建福州·福建省福州第一中學?？既＃┮阎希?，若，則實數b的值為（

）A．1 B．0或1 C．2 D．1或2【答案】D【分析】求出中不等式的整數解確定出，根據與的交集不為空集，求出b的值即可．【詳解】由中不等式解得：，因為，所以，，，，且，或2，故選：D．5．（2023·安徽·合肥一中校聯考模擬預測）設集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】解不等式化簡集合A，求出函數的值域化簡集合B，再利用交集、補集的定義求解作答.【詳解】解不等式，得，即，因此，當時，，則，因此，所以，.故選：C6．（2023·河南鄭州·統考模擬預測）若且，，則稱a為集合A的孤立元素．若集合，集合N為集合M的三元子集，則集合N中的元素都是孤立元素的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據題意列舉出滿足條件的集合，然后根據題意結合古典概型公式求解.【詳解】集合的三元子集有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共20個．滿足集合中的元素都是孤立元素的集合N可能為，，，，一共4種．由古典概率模型公式，可得集合N中的元素都是孤立元素的概率．故選：C．7．（2023·江蘇·金陵中學校聯考三模）已知集合，若A，B均為U的非空子集且，則滿足條