專題5.5函數y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及其應用（真題測試）一、單選題1．（2022·青海·海東市第一中學模擬預測（理））函數在上的圖像大致是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】利用函數的單調性，奇偶性和特值點等性質來判斷圖像.【詳解】易知f(x)是偶函數，排除B，C項；當時，，所以，排除A項.故選：D2.（江西省贛州市20212022學年高一下學期期末考數學試題）將的圖象上各點的橫坐標縮短為原來的，縱坐標不變，再將圖象上各點向左平移個單位長度，則所得的圖象的函數解析式是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】直接利用三角函數的圖象的平移變換和伸縮變換的應用求出結果.【詳解】將的圖象上各點的橫坐標縮短為原來的，縱坐標不變，可得；再將圖象上各點向左平移個單位長度，可得.故選：C3．（2022·北京·人大附中高一期末）已知函數的最大值為4，最小值為0，且該函數圖象的相鄰兩個對稱軸之間的最短距離為，直線是該函數圖象的一條對稱軸，則該函數的解析式是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】由題意可得，求出，再由該函數圖象的相鄰兩個對稱軸之間的最短距離為，可求出，由直線是該函數圖象的一條對稱軸，可得，從而線結合已知條件可求出，進而可求得函數的解析式【詳解】因為函數的最大值為4，最小值為0，所以，解得，因為該函數圖象的相鄰兩個對稱軸之間的最短距離為，所以，所以，所以，得，所以，因為直線是該函數圖象的一條對稱軸，所以，得，因為，所以，所以，故選：B4．（廣西柳州市20212022學年高一下學期期末）將函數的圖象向左平移個單位，得到函數的圖象，若在上為增函數，則的最大值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】【分析】函數的圖象向左平移個單位，得到函數的表達式，然后利用在上為增函數，說明，利用周期公式，求出，得到的最大值.【詳解】函數的圖象向左平移個單位，得到函數，在上為增函數，所以，即，即，所以的最大值為1.故選：A.5．（2019·天津·高考真題（文））已知函數是奇函數，將的圖像上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），所得圖像對應的函數為.若的最小正周期為，且，則A． B． C． D．【答案】C【解析】只需根據函數性質逐步得出值即可．【詳解】因為為奇函數，∴；又，，又∴，故選C．6．（2017·全國·高考真題（理））已知曲線C1：y=cosx，C2：y=sin(2x+)，則下面結論正確的是A．把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C2B．把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線C2C．把C1上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C2D．把C1上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線C2【答案】D【解析】【詳解】把C1上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，得到函數y=cos2x圖象，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到函數y=cos2（x+）=cos（2x+）=sin（2x+）的圖象，即曲線C2，故選D．點睛：三角函數的圖象變換，提倡“先平移，后伸縮”，但“先伸縮，后平移”也常出現在題目中，所以也必須熟練掌握.無論是哪種變形，切記每一個變換總是對字母而言.函數是奇函數；函數是偶函數；函數是奇函數；函數是偶函數.7．（2018·天津·高考真題（文））將函數的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應的函數A．在區間上單調遞增 B．在區間上單調遞減C．在區間上單調遞增 D．在區間上單調遞減【答案】A【解析】【詳解】分析：首先確定平移之后的對應函數的解析式，然后逐一考查所給的選項是否符合題意即可.詳解：由函數圖象平移變換的性質可知：將的圖象向右平移個單位長度之后的解析式為：.則函數的單調遞增區間滿足：，即，令可得函數的一個單調遞增區間為，選項A正確，B錯誤；函數的單調遞減區間滿足：，即，令可得函數的一個單調遞減區間為，選項C，D錯誤；本題選擇A選項.8．（2019·全國·高考真題（理））關于函數有下述四個結論：①f(x)是偶函數

②f(x)在區間（,）單調遞增③f(x)在有4個零點

④f(x)的最大值為2其中所有正確結論的編號是A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③【答案】C【解析】【分析】化簡函數，研究它的性質從而得出正確答案．【詳解】為偶函數，故①正確．當時，，它在區間單調遞減，故②錯誤．當時，，它有兩個零點：；當時，，它有一個零點：，故在有個零點：，故③錯誤．當時，；當時，，又為偶函數，的最大值為，故④正確．綜上所述，①④

正確，故選C．【點睛】畫出函數的圖象，由圖象可得①④正確，故選C．二、多選題9．（2022·河北承德·高一階段練習）將函數圖像上所有點的縱坐標伸長為原來的3倍，橫坐標縮短為原來的，再將所得的圖像向右平移個單位長度，得到函數的圖像，則（

）A． B．的圖像關于直線對稱C．的圖像關于點對稱 D．在上單調遞增【答案】BC【解析】【分析】由平移和伸縮變換判斷A；采用代入法判斷BC；由正弦函數的單調性判斷D.【詳解】由題意得，，A錯誤．，B正確．因為，所以的圖像關于點對稱，C正確．由，得，所以在上不單調遞增，D錯誤．故選：BC10.（2022·全國·模擬預測）將函數的圖象向右平移個單位，得到的圖象關于y軸對稱，則下列說法正確的是（

）A．最小正周期的最大值為B．最小正周期的最大值為C．當的最小正周期取最大值時，平移后的函數在上單調遞增D．當的最小正周期取最大值時，平移后的函數在上單調遞減【答案】AC【解析】【分析】先化簡，再根據平移法則可得的圖象關于y軸對稱，即可得到，，，從而可以判斷各選項的真假．【詳解】因為，所以其圖象向右平移個單位后得到函數的圖象，因為其函數圖象關于y軸對稱，所以，，所以，，，所以，所以．又因為，令，，所以，，當時，，所以在上單調遞增．故選：AC．11．（2022·貴州·六盤水市第二中學高一階段練習）已知函數的部分圖像如圖所示，則下列說法正確的是（

）A．的圖像關于點對稱 B．的圖像關于直線對稱C．在上為增函數 D．把的圖像向右平移個單位長度，得到一個奇函數的圖像【答案】ABC【解析】【分析】根據函數圖像求出函數解析式，然后利用三角函數的性質逐一判斷即可.【詳解】解：由已知，，，，，，又，，，對于A，，故A正確；對于B，令，得，，時，，故B正確；對于C，時，令，在上遞增，故C正確；對于D，把的圖像向右平移個單位長度，得函數表達式為，它是偶函數，故D錯誤.故選：ABC.12．（2022·全國·南京外國語學校模擬預測）若函數，則下列說法正確的是（

）A．函數的圖象可由函數的圖象向右平移個單位長度得到B．函數的圖象關于直線對稱C．函數的圖象關于點對稱D．函數在上為增函數【答案】BD【解析】【分析】由三角函數的恒等變換化簡，再由三角函數的平移變換可判斷A；求出可判斷B、C；先判斷在上為增函數，即可判斷在的單調性.【詳解】由題意，．函數的圖象向右平移個單位長度可得到，故A錯誤；，所以函數的圖象關于直線對稱，故B正確，C錯誤；函數在上為增函數，時，，故函數在上單調遞增，所以函數在上為增函數，故D正確．故選：BD．三、填空題13．（2020·江蘇·高考真題）將函數y=的圖象向右平移個單位長度，則平移后的圖象中與y軸最近的對稱軸的方程是____.【答案】【解析】【分析】先根據圖象變換得解析式，再求對稱軸方程，最后確定結果.【詳解】當時故答案為：14．（2021·長嶺縣第二中學高三三模）函數的圖象關于點_______成中心對稱，記函數的最大值為，最小值為，則_______．【答案】【分析】先將分離常數，找到與奇函數的關系，再利用平移求出對稱中心及最大值與最小值之和.【詳解】，記，是奇函數，其圖象關于坐標原點中心對稱.則的最大值和最小值之和為，把的圖象向上平移一個單位得到的圖象，即的圖象關于點對稱，且．故答案為：；.15．（2014·重慶·高考真題（文））將函數圖像上每一點的橫坐標縮短為原來的一半，縱坐標不變，再向右平移個單位長度得到的圖像，則______.【答案】【解析】【詳解】試題分析：由題意，所以所以答案應填：.16．（2021·山東高三月考）已知定義在上函數（）振幅為2，滿足，且．則上零點個數最少為______．【答案】16【分析】根據題意可得，要使零點個數最少，周期需最大，應為與兩個相鄰的交點，從而求出，進而求出周期，為了使區間零點最少，將第一個零點放在原點，得出，即可求解.【詳解】振幅為2，，，，要使零點個數最少，周期需最大，應為與兩個相鄰的交點，，，，，由，為了使區間零點最少，將第一個零點放在原點，，最后個零點恰好在處不在區間中，，所以上零點個數最少為16.故答案為：16四、解答題17．（2022·上海市嘉定區第二中學高一期末）已知函數的部分圖像如圖所示.(1)求的解析式及對稱中心；(2)先將的圖像縱坐標縮短到原來的倍，再向右平移個單位后得到的圖像，求函數在上的單調減區間和最值.【答案】(1)，對稱中心為，．(2)單調遞減區間為；，．【解析】【分析】（1）由函數的圖像的頂點坐標求出，由周期求出，由五點法作圖求出的值，可得的解析式，再利用三角函數的圖像的對稱性，得出結論．（2）由題意利用函數的圖像變換規律，求得的解析式，再利用余弦函數的單調性、余弦函數的定義域和值域，得出結論．(1)解：根據函數，，的部分圖像，可得，，．再根據五點法作圖，，，故有．根據圖像可得，是的圖像的一個對稱中心，故函數的對稱中心為，．(2)解：先將的圖像縱坐標縮短到原來的，可得的圖像，再向右平移個單位，得到的圖像，即，令，，解得，，可得的減區間為，，結合，可得在上的單調遞減區間為．又，故當，時，取得最大值，即；當，時，取得最小值，即．18.（2021·天津·靜海一中高三月考）已知函數為奇函數，且圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為.（1）求的解析式.（2）求的最大值.（3）將函數的圖象向右平移個單位長度，再把橫坐標縮小為原來的(縱坐標變)，得到函數的圖象，求的解析式.【答案】（1），（2），（3）【分析】（1）結合二倍角公式和輔助角公式將函數化簡為，再根據正弦函數的周期性奇偶性，分別求出和，從而可求得的解析式（2）令，則利用換元法可得，從而可求出其最大值，（3）利用三角函數圖象變換規律可求出函數解析式【詳解】（1），因為圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為所以，得，因為為奇函數，所以，即，因為，所以，所以，（2），令，則，因為對稱軸為，所以當時，取得最大值，（3）將函數的圖象向右平移個單位長度，可得，再把橫坐標縮小為原來的(縱坐標變)，得到函數19．（2022·上海市新場中學高一期末）已知函數，(1)求函數的最小正周期；(2)若求的值域；(3)將函數圖象向右平移個單位后，得到函數的圖象，求函數的零點.【答案】(1)；(2)；(3)或，.【解析】【分析】（1）應用降冪公式化簡，由正弦函數性質求最小正周期；（2）根據正弦型函數的性質求的區間值域；（3）由圖象平移得，令結合三角函數的性質求零點即可.(1)由，所以的最小正周期.(2)由，則，即，所以.(3)由題設，令，即，可得，所以或，，即或，.故的零點為或，.20．（2022·北京·北師大實驗中學高一期中）某游樂場的摩天輪示意圖如圖．已知該摩天輪的半徑為30米，輪上最低點與地面的距離為2米，沿逆時針方向勻速旋轉，旋轉一周所需時間為分鐘．在圓周上均勻分布12個座艙，標號分別為1～12（可視為點），現從圖示位置，即1號座艙位于圓周最右端時開始計時，旋轉時間為t分鐘．(1)當時，求1號座艙與地面的距離；(2)在前24分鐘內，求1號座艙與地面的距離為17米時t的值；(3)記1號座艙與5號座艙高度之差的絕對值為H米，若在這段時間內，H恰有三次取得最大值，求的取值范圍．【答案】(1)(2)或(3)【解析】【分析】（1）設1號座艙與地面的距離與時間的函數關系的解析式為，，根據所給條件求出、、、，即可得到函數解析式，再令代入計算可得；（2）由（1）中的解析式，結合正弦函數的性質計算可得；（3）依題意可得，，從而得到高度差函數，利用兩角和差的正弦公式化簡，再結合正弦函數的性質求出函數取得最大值時的值，即可得解；(1)解：設1號座艙與地面的距離與時間的函數關系的解析式為，，，則，，所以依題意，所以，當時，所以，故，所以，即當時，求1號座艙與地面的距離為；(2)解：令，即，所以，又，所以，所以或，解得或，即或時1號座艙與地面的距離為17米；(3)解：依題意，，所以令，解，所以當時取得最大值，依題意可得21.（2015·福建·高考真題（文））已知函數．（1）求函數的最小正周期；（2）將函數的圖象向右平移個單位長度，再向下平移（）個單位長度后得到函數的圖象，且函數的最大值為2．（ⅰ）求函數的解析式；

（ⅱ）證明：存在無窮多個互不相同的正整數，使得．【答案】（1）；（2）（ⅰ）；

（ⅱ）證明見解析.【解析】【詳解】（Ⅰ）因為．所以函數的最小正周期．（Ⅱ）（Ⅰ）將的圖象向右平移個單位長度后得到的圖象，再向下平移（）個單位長度后得到的圖象．又已知