內蒙古呼和浩特市2024?2025學年高二上學期第一次月考數學試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知直線l的方向向量為，平面的法向量為，則“”是“”的（

）A．充要條件 B．既不充分也不必要條件C．充分不必要條件 D．必要不充分條件2．已知，為兩條不同的直線，，為兩個不同的平面，則下列命題中正確的是（

）A．若，，，，則B．若，，則C．若，，則D．若，，，則3．關于空間中的角，下列說法中正確的個數是（

）①空間中兩條直線所成角的取值范圍是

②空間中直線與平面所成角的取值范圍是③空間中二面角的平面角的取值范圍是

④空間中平面與平面所成角的取值范圍是A．1 B．2 C．3 D．44．已知三棱錐，點是的中點，點是的重心（三角形三條中線的交點叫三角形的重心）設，，，則向量用基底可表示為（

）

A． B．C． D．5．已知平面的法向量為，若平面外的直線的方向向量為，則可以推斷（

）A． B．C．與斜交 D．6．如圖，在平行六面體中，，，，則（

）A．12 B．8 C．6 D．47．如圖，已知大小為的二面角棱上有兩點A，B，，，若，則AB的長度（）A．22 B．40 C． D．8．已知，則下列說法錯誤的是（

）A．若分別是直線的方向向量，則所成角余弦值是B．若分別是直線l的方向向量與平面的法向量，則l與所成角正弦值是C．若分別是平面ABC、平面BCD的法向量，則二面角的余弦值是D．若分別是直線l的方向向量與平面的法向量，則l與所成角余弦值是.二、多選題（本大題共3小題）9．直線的方向向量為，兩個平面的法向量分別為，則下列命題為真命題的是（

）A．若，則直線平面B．若，則平面平面C．若，則平面所成銳二面角的大小為D．若，則直線與平面所成角的大小為10．關于空間向量，以下說法正確的是（

）A．若，則向量，的夾角是銳角B．空間中的三個向量，若有兩個向量共線，則這三個向量一定共面C．若對空間中任意一點O，有，則P，A，B，C四點共面D．若分別表示空間兩向量的有向線段所在的直線是異面直線，則這兩個向量不共面11．（多選）如圖，在棱長為1的正方體中，E，F分別為的中點，則下列結論正確的是（

）A．點F到點E的距離為 B．點F到直線的距離為C．點F到平面的距離為 D．平面到平面的距離為三、填空題（本大題共3小題）12．在空間直角坐標系中，點，2，關于軸的對稱點的坐標為13．已知空間，，，則＝．14．給定兩個不共線的空間向量與，定義叉乘運算：.規定：（i）為同時與，垂直的向量；（ii），，三個向量構成右手系（如圖1）；（iii）.如圖2，在長方體中，，.給出下列四個結論：①；②；③；④.其中，正確結論的序號是.四、解答題（本大題共5小題）15．在長方體中（如圖），，，點是棱的中點.(1)求異面直線與所成角的大小；(2)《九章算術》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑，試問四面體是否為鱉臑？并說明理由.16．如圖，在三棱柱中，四邊形是邊長為4的正方形.再從條件①、條件②、條件③中選擇兩個能解決下面問題的條件作為已知.并做答.條件①：；條件②：；條件③：平面平面.(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.17．如圖，四邊形為梯形，，四邊形為平行四邊形.(1)取中點，求證：平面平面；(2)若平面，，，，求：（i）平面與平面所成角的正弦值；（ii）點到平面的距離.18．如圖，在直三棱柱中，，，，，分別為，，的中點(1)求證：平面；(2)求證：、、、四點共面；(3)求二面角的余弦值.19．如圖，在長方體中，AD=1，，H，F分別是棱，的中點.(1)判斷直線HF與平面的位置關系，并證明你的結論；(2)求直線HF與平面ABCD所成角的正弦值；(3)在線段HF上是否存在一點Q，使得點Q到平面的距離是，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

參考答案1．【答案】D【詳解】若，則或，故充分性不成立，若，則，故必要性成立，所以“”是“”的必要不充分條件，故選：D.2．【答案】B【分析】根據空間線面位置關系依次判斷各選項即可得答案.【詳解】解：對于A，若，，，，，則，故錯誤；對于B，，，則，正確；對于C，，，則或，故錯誤；對于D，若，，，則或異面，故錯誤.故選：B3．【答案】C【分析】由空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面所成角范圍判斷即可.【詳解】對于①：由空間中兩條直線所成角的取值范圍是，可知①正確；對于②：由空間中直線與平面所成角的取值范圍是，可知②正確；對于③：空間中二面角的平面角的取值范圍是，可知③錯誤；對于④：空間中平面與平面所成角的取值范圍是，可知④正確；故選：C4．【答案】B【詳解】記BC的中點為E，連接AE，則，又，所以，由重心性質可知，所以，所以.故選：B

5．【答案】C【詳解】由與，得，即向量與不垂直，因此不平行于平面，即直線，直線與平面也不平行，直線與平面相交，AD錯誤；顯然向量與不共線，即直線與平面不垂直，與斜交，B錯誤，C正確.故選：C6．【答案】B【詳解】故選B.7．【答案】C【分析】過作且，連接，易得，通過線面垂直的判定定理可得平面，繼而得到，由勾股定理即可求出答案.【詳解】解：過作且，連接，則四邊形是平行四邊形，因為，所以平行四邊形是矩形，因為，即，而，則是二面角的平面角，即，因為，即為正三角形，所以，因為，即，平面，所以平面，因為平面，所以，所以在中，，所以，故選：C8．【答案】C【分析】根據向量法逐一判斷即可.【詳解】對于A：因為直線與直線所成角范圍為，所以所成角余弦值為，故A正確；對于B：因為直線與平面所成角范圍為，所以l與所成角正弦值，l與所成角余弦值為，故BD正確；對于C：因為二面角的平面角所成角范圍為，所以二面角的余弦值可能為負值，故C錯誤；故選：C9．【答案】BCD【分析】由，則直線平面或，可判斷；根據平面法向量的概念及空間角的求解方法，可判斷.【詳解】由，則直線平面或，故錯誤；由，則平面平面，故正確；若，設平面和平面所成角為，且，則，所以平面所成銳二面角的大小為，故正確；設直線與平面所成角為，則，且，所以直線與平面所成角的大小為，故正確.故選.10．【答案】BC【分析】根據空間向量共面定理即可判斷B；根據，得到，即可判斷A；根據判斷四點共面即可判斷C；根據異面直線的平行線即可判斷D.【詳解】對于A：若，則，則向量，的夾角可以為0不是銳角,故A錯誤；對于B：根據空間向量共面定理知，空間中三個向量，若有兩個向量共線，則這三個向量一定共面，故B正確.對于C：因為，且，所以四點共面,故C正確.對于D：分別表示空間兩向量的有向線段所在的直線是異面直線，則這兩個向量是異面直線的平行線可以共面，故D錯誤.故選BC.11．【答案】ABC【詳解】以D為原點，分別以的方向為x軸、y軸、z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系．由題意知，，，．設平面的法向量為，所以則可得平面的一個法向量為．點F到點E的距離，故A正確；點F到直線的距離為，故B正確；點F到平面的距離，故C正確；由正方體的性質可知，平面平面，平面到平面的距離即為點F到平面的距離．故D錯誤．故選：ABC．12．【答案】，，【解析】利用空間直角坐標系中點的對稱關系直接求解即可【詳解】空間直角坐標系中，點，2，關于軸的對稱點坐標為，，．故答案為：，，．13．【答案】【詳解】由，且，，則，解得，故.故答案為：.14．【答案】①③④【分析】由新定義逐一核對四個選項得答案．【詳解】解：，且分別與垂直，，故①正確；由題意，，，故②錯誤；，，且與共線同向，，與共線同向，，與共線同向，，且與共線同向，故③正確；，故④成立．故答案為：①③④．15．【答案】(1)(2)是，理由見解析【詳解】（1）解：作交于，聯結，因為是棱的中點.所以為的中點，則為異面直線與所成角，因為，所以，因為為正三角形，即，異面直線與所成角為.（2）解：是棱上的中點，則?均為等腰直角三角形，故，所以為直角三角形，由平面，面，所以平面平面，又，平面平面，平面，所以平面，平面，所以，所以為直角三角形，因為平面，平面，所以，，所以?均為直角三角形，故四面體四個面均為直角三角形為鱉臑.16．【答案】(1)證明見解析；(2).【詳解】（1）若選擇條件①②，則不能解決丙個問題，若選擇條件②③，則可以解決第（1）問，不能解決（2）問，若選擇條件①③，則可以解決兩個問題.因為平面平面，平面平面所以平面，又平面，所以.因為，所以，則，又且兩直線在平面內，所以平面.（2）由（1）知，選擇條件①③，則可以解決兩個問題.以為坐標原點，為x軸，為y軸，為z軸，建立空間直角坐標系，且，則，所以設平面的法向量為，則由，令，則，取.設直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.17．【答案】(1)證明見解析(2)（i）；（ii）【詳解】（1）如圖，在射線上取點，使，連接.由題設，得，所以四邊形為平行四邊形.所以且.又四邊形為平行四邊形，所以且.所以且..所以四邊形為平行四邊形,所以.因為平面平面所以平面.又，則，且平面，平面，所以平面，且，平面，所以平面平面.（2）（i）因為平面，平面，所以.又，所以，，兩兩相互垂直.如圖建立空間直角坐標系,則.所以,，設平面的法向量為，則，即，令，則，于是.設平面的法向量為，則，即，令，則，，于是.設平面與平面所成角為，則，所以所以平面與平面所成角的正弦值為.（ii）因為DC=1,0,0，平面的法向量為，則點到平面的距離為.18．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【詳解】（1）連接，因為分別為的中點，所以在三棱柱中，.所以四點共面.因為分別為的中點，所以.所以四邊形為平行四邊形.所以.因為平面平面，所以平面.（2）連接，因為為直三棱柱，且分別為的中點，所以，又，所以，所以、、、四點共面.（3）由題設平面，所以.因為，所以兩兩垂直.如圖建立空間直角坐標系.所以..平面的一個法向量是，設平面的法向量為，則即令，則.于是，設二面角的平面角為，則，由圖可知為銳角，所以.19．【答案】(1)面，證明見解析；(2)；(3)不存在，理由見解