第22章一元二次方程綜合檢測(滿分100分，限時60分鐘)一、選擇題(每小題3分，共24分)1.(2023河南安陽林州太行國際學校月考)下列方程是一元二次方程的是()A.x+y=1 B.y=1+x2 C.x2-1=0 D.x-1x2.(2023山西臨汾期中)我們在解一元二次方程(x+1)2-9=0時，先將等號左邊利用平方差公式進行因式分解，得到(x+1+3)(x+1-3)=0，再把它轉化為兩個一元一次方程，即x+1+3=0或x+1-3=0，進而解得x1=-4，x2=2，這種解方程的過程體現出來的數學思想是()A.抽象思想 B.數形結合思想 C.公理化思想 D.轉化思想3.(2023四川樂山外國語學校月考)小明解方程12x2-2xA.第①步 B.第②步 C.第③步 D.第④步4.(2023河南開封祥符期中)全國各地積極開展“弘揚紅色文化，重走長征路”的主題教育學習活動，某市革命紀念館成為重要的活動基地，據了解，今年6月份該基地接待參觀人數10萬人，8月份接待參觀人數增加到12.1萬人，設這兩個月參觀人數的月平均增長率為x，則下面所列方程正確的是()A.10(1+x)2=12.1 B.12.1(1-x)2=10C.12.1(1-2x)=10 D.10(1+2x)=12.15.(2023山西晉城陵川期中)已知x=m是關于x的一元二次方程x2+2x+n-3=0的一個根，則m-n的最小值為()A.4 B.134 C.-154 6.如果關于x的方程kx2-2k+1x+1=0有實數根，那么A.k<12 B.k≤12且k≠0 C.-12≤k≤12 D.-12≤k7.(2023四川攀枝花米易期中)定義運算：a□b=a(1-b).若a，b是關x的方程x2-x+14m=0(m<0)的兩根，則b□b-a□aA.0 B.1 C.2 D.與m有關8.(2023福建泉州培元中學期中)歐幾里得在《幾何原本》中記載了用“圖解法”解方程x2+ax=b2的方法，類似地，我們可以用折紙的方法求方程x2+2x-4=0的一個正根，如圖，一張邊長為2的正方形紙片ABCD，先折出AD、BC的中點E、F，再沿過點C的直線折疊，使線段BC落在線段EC上，點B的對應點為點N，折痕為CM，點M在邊AB上，連結MN、EM，此時，在下列四個選項中，有一條線段的長度恰好是方程x2+2x-4=0的一個正根，則這條線段是()A.線段EM B.線段CM C.線段BM D.線段AM二、填空題(每小題4分，共20分)9.(2022四川資陽中考)若a是一元二次方程x2+2x-3=0的一個根，則2a2+4a的值是.

10.(2023四川遂寧射洪中學教育聯盟期中)三角形兩邊長分別為3和6，第三邊的長是方程x2-6x+8=0的解，則這個三角形的周長是.

11.(2023海南師范大學附中月考)以-2為一根且二次項系數是1的一元二次方程可寫為

(寫一個即可).

12.(2023山西太原杏花嶺期中)我們知道一元二次方程x2=-1沒有實數根，即不存在一個實數的平方等于-1.若規定一個新數“i”，使其滿足i2=-1，且進一步規定：一切實數可以與新數“i”進行四則運算，同時原有的運算法則和運算律仍然成立，則i+i2+i3+…+i2021的值是.

13.(2023山西運城萬榮月考)點A，B在數軸上的位置如圖所示，點A對應的數是x1，點B對應的數是x2，AB=1，且x1，x2是方程x2-4x+k=0的兩根，則k的值為.

三、解答題(共56分)14.(9分)(2023福建漳州實驗中學月考)選擇合適的方法解下列方程：(1)x2-49=0； (2)2x2+6x-8=0； (3)x2+2x-1=0.15.(7分)(2023河南南陽社旗期中)解方程：100(1-x)2=81.(1)你選用的解法是.

(2)直接寫出該方程的解是.

(3)請你結合生活經驗，設計一個問題，使它能利用建立方程模型“100(1-x)2=81”來解決.16.(8分)(2023湖南衡陽九中期中)關于x的一元二次方程x2-2x-m+2=0有兩個不相等的實數根x1，x2.(1)求實數m的取值范圍；(2)若方程兩實數根x1，x2滿足x12+x2217.(10分)(2023四川眉山洪雅實驗中學月考)試說明無論m，n為何值，代數式m2+n2-8m+4n+20的值總是非負數，并求出當m，n取何值時，這個代數式的值最小.18.(10分)(2023河南南陽宛城月考)我區某店銷售某品牌置物架，平時每天平均可售出20個，每個盈利40元.為了擴大銷售、增加盈利，該店在“雙十一”期間采取了降價促銷措施，在每個盈利不少于27元的前提下，經過一段時間銷售，發現銷售單價每降低1元，平均每天可多售出2件.(1)若每個降價3元，則平均每天的銷售量為件.

(2)當每個置物架降價多少元時，該商店每天的銷售利潤為1200元?19.(12分)(2021福建廈門九中期中)(12分)定義：若關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個實數根為x1，x2(x1<x2)，分別以x1，x2為橫坐標和縱坐標得到點M(x1，x2)，則稱點M為該一元二次方程的衍生點.(1)若關于x的一元二次方程為x2-2(m-1)x+m2-2m=0.①求證：無論m為何值，該方程總有兩個不相等的實數根，并求出該方程的衍生點M的坐標；②直線l1：y=x+5與x軸交于點A，直線l2過點B(1，0)，且l1與l2相交于點C(-1，4)，若由①得到的點M在△ABC的內部，求m的取值范圍；(2)是否存在b，c，使得無論k(k≠0)為何值，關于x的方程x2+bx+c=0的衍生點M始終在直線y=kx+3(2-k)上?若存在，請求出b，c的值；若不存在，請說明理由.

第22章一元二次方程綜合檢測答案全解全析1.Cx+y=1是二元一次方程，不是一元二次方程；y=1+x2，含有兩個未知數，不是一元二次方程；x-1x=1是分式方程，不是一元二次方程.故選C2.D這種解法體現的數學思想是轉化思想.3.C∵12x2-2x-1=0，∴x2-4x-2=0，∴x2-4x=2，則x2-4x+4=2+4，即(x-2)2=6，∴x-2=±6，∴x1=2+6，x2=2-6，∴他在解答過程中開始出錯的步驟是第③步4.A根據今年8月份該基地接待參觀人數=今年6月份該基地接待參觀人數×(1+這兩個月參觀人數的月平均增長率)2，即可列出方程為10(1+x)2=12.1.5.D依題意把x=m代入方程得m2+2m+n-3=0，整理得n=-m2-2m+3，則m-n=m+m2+2m-3=m+322-214.因為m+322≥0，所以m+326.C本題易想當然地認為方程kx2-2k+1x分情況求解如下：(1)當k≠0時，方程為一元二次方程，所以2k+1≥0,(?2k+1)2?4k≥0,(2)當k=0時，方程為-x+1=0，有實數根.綜上所述，k的取值范圍是-12≤k≤17.A(解法一)：[一般代入法]∵a，b是方程x2-x+14m=0(m∴a+b=1，∴b□b-a□a=b(1-b)-a(1-a)=b(a+b-b)-a(a+b-a)=ab-ab=0.(解法二)：[整體代入法]∵a，b是方程x2-x+14m=0(m<0)的兩根，∴a+b=1.∴b□b-a□a=b(1-b)-a(1-a)=b-b2-a+a2=(a2-b2)+(b-a)=(a+b)(a-b)-(a-b(a-b)(a+b-1)=0.(解法三)：[方程變形法]∵a，b是方程x2-x+14m=0(m∴a2-a=-14m，b2-b=-14∴b□b-a□a=b(1-b)-a(1-a)=-(b2-b)+(a2-a)=14m-14m8.C設BM=m，則AM=2-m，由題意可知△BCM≌△NCM，E是AD的中點，∴MN=BM=m，DE=AE=1，MN⊥CE，∴CE=DE2+CD2=5，∵S正方形ABCD=S△BCM+S△AEM+S△∴2×2=12×2×m+12×1×(2-m)+12×1×2+12×5×m，∴m=5-1.∵x2+2x-4=0的正根為x=59.6解析∵a是一元二次方程x2+2x-3=0的一個根，∴a2+2a-3=0，∴a2+2a=3，∴2a2+4a=2(a2+2a)=2×3=6.10.13解析x2-6x+8=0，(x-2)(x-4)=0，∴x-2=0或x-4=0，∴x1=2，x2=4.因為三角形兩邊的長分別為3和6，所以第三邊的長為4，故這個三角形的周長=3+6+4=13.11.答案不唯一，如x2+4x+4=0解析答案不唯一，如∵一元二次方程的二次項系數為1，且一個根為-2，∴方程為(x+2)(x+m)=0，令m=2，則方程為(x+2)(x+2)=0，即x2+4x+4=0.12.i解析由題意得i1=i，i2=-1，i3=i2·i=(-1)·i=-i，i4=(i2)2=(-1)2=1，i5=i4·i=i，i6=i5·i=-1，故可發現4次一循環，一個循環內的和為0，∵2021÷4=505……1，∴i+i2+i3+i4+…+i2021=i.13.15解析本題將一元二次方程根與系數的關系融入數軸中考查.∵AB=1，∴|x1-x2|=1，∴(x1-x2)2=1，∵x1，x2是方程x2-4x+k=0的兩根，∴x1+x2=-ba=4，x1x2=ca=∴(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=42-4k，∴42-4k=1，∴16-4k=1，∴k=15414.解析(1)x2-49=0，x2=49，∴x=±7，∴x1=7，x2=-7.(2)2x2+6x-8=0，x2+3x-4=0，∴(x+4)(x-1)=0，∴x+4=0或x-1=0，∴x1=1，x2=-4.(3)∵a=1，b=2，c=-1，∴Δ=b2-4ac=2-4×1×(-1)=6>0，∴x=?2±62×1=?2±62，即x115.解析(1)直接開平方法.(2)x1=0.1，x2=1.9.(3)答案不唯一，如：某種藥品的原價是100元/盒，經過兩次降價后的單價是81元，那么平均每次降價的百分率是多少?16.解析(1)∵關于x的一元二次方程x2-2x-m+2=0有兩個不相等的實數根x1，x2，∴Δ=(-2)2-4(-m+2)=4m-4>0，∴m>1.(2)∵x12+x22=10，∴(x1+x2)2-2x1x2=10，∵x1+x2=2，x1x∴22-2(-m+2)=10，解得m=5.17.證明m2+n2-8m+4n+20=m2-8m+16+n2+4n+4=(m-4)2+(n+2)2.∵(m-4)2≥0，(n+2)2≥0，∴(m-4)2+(n+2)2≥0，∴無論m，n為何值，代數式m2+n2-8m+4n+20的值總是非負數.當m-4=0，n+2=0，即m=4，n=-2時，這個代數式的值最小.18.解析(1)依題意可知，若每降價3元，則平均每天的銷售量為20+2×3=26(件).(2)設每個置物架降價x元時，該商店每天的銷售利潤為1200元.根據題意，得(40-x)(20+2x)=1200，整理得x2-30x+200=0，解得x1=10，x2=20.∵要求每個盈利不少于27元，∴x=10.答：當每個置物架降價10元時，該商店每天的銷售利潤為1200元.19.解析(1)①證明：∵x2-2(m-1)x+m2-2m=0，∴Δ=[-2(m-1)]2-4(m2-2m)=4>0，∴無論m為何值，該方程總有兩個不相等的實數根.由x2-2(m-1)x+m2-2m=0解得x1=m-2，x2=m，∴方程x2-2(m