福建省廈門雙十中學2024屆高三第一次模擬考試數學試題

學校:..姓名:.班級:考號:

一、單選題

1.已知集合/={-2,-1,0,1,2},5={x|-2<x<2},則Nn8=()

A.{0,1,2}B.{-2,-1,0}C.{-1,0,1}D.0

2.復數蚯的虛部為，).

A.3B.-3C.-3iD.-1

3.已知等比數列｛4,｝為遞增數列，若生?4=6,a4+a5=5f則公比4=()

1-23

A.-B.6C.—D.一

632

/(x_])+，,x〉0滿足/13=1,則實數/的值為()

4.已知函數”x)='

sinx,x<0

Ai1

A，4B.一C.1D.2

2

5.在正六棱柱43CDE尸百中，AAX^2AB=6,。為棱的中點，以。為球心,

6為半徑的球面與該正六棱柱各面的交線總長為()

A.(3+V3)JIB.(6+73)71C.(3+2力)兀D.(6+26)兀

X

6.已知定義在(0,m)上的函數/(無)滿足X—)=W(x)-#00,且當X>1時，/(x)>0,則

y

()

A./(X2)>2/(X)B./(X3)/(X)>/2(X2)

C./(X2)<2/(X)D./(X3)/(X)</2(X2)

22

7.已知雙曲線C:=-==l(a>0,b>0)的焦距與其虛軸長之比為3：2,則C的離心率為

ab

()

A.V5B.—C.—D.—

552

8.某城市采用搖號買車的方式，有20萬人搖號，每個月搖上的人退出搖號，沒有搖上的人

繼續進入下月搖號，每個月都有人補充進搖號隊伍，每個季度第一個月搖上的概率為上：，

試卷第1頁，共4頁

第二個月為《，第三個月為:，則平均每個人搖上需要的時間為()個月.

9o

A.7B.8C.9D.10

二、多選題

9.中歐班列是推進“一帶一路”沿線國家道路聯通、貿易暢通的重要舉措.在中歐班列帶動

下，某外貿企業出口額逐年提升，以下為該企業近6個月的出口額情況統計，若已求得>關

于X的線性回歸方程為y=28x+3,則()

月份編號X123456

出口額y/萬元16254377102159

A.y與X成正相關B.樣本數據》的第40百分位數為34

C.當x=3時，殘差的絕對值最小D.用模型>=描述y與X的關系更合適

10.利用不等式“Inx-x+1V0,當且僅當久=1時，等號成立”可得到許多與〃22且“eN*)

有關的結論，則下列結論正確的是()

,,111,1111

A.+—+—+…+-----B.Inn>-+-+-+???+——

23n-\4562n

〃(〃+1)Q

c-(1+2)(1+4)---(l+2,,)>e-2^-D-1+2"+--?+?"

11.已知圓M:-2a尤+/=0(a>—萬)，過點尸(—1,0)向圓Af引斜率為左(左>0)的切線/,

切點為。，記。的軌跡為曲線C,貝！|()

A.C的漸近線為尤=1

13

B.點(不：)在C上

24

1-亞

C.C在第二象限的縱坐標最大的點對應的橫坐標為

2

D.當點(%,%)在C上時，盟4jp五

V-xo

三、填空題

12.已知數歹?。荩?｝滿足％+3%+94+…+3"一””=，設數列｛為｝的前幾項和為s〃，則滿

足S”〈左的實數左的最小值為__________.

試卷第2頁，共4頁

13.已知函數〃無)=/-1。&工(。>1]>1)有且只有一個零點，則/的取值范圍

為.

14.網絡安全是國家安全的重要組成部分，在信息課上，某同學利用計算機模擬網絡病毒的

傳播.已知在12x12的平面方陣中，若某方格相鄰方格中有2個及2個以上被病毒感染，則

病毒擴散至該方格，若使所有方格均被感染,則至少需要在__________個方格內投放病毒源;

拓展到三維空間內，已知在12x12x12的立體方陣中，若某方塊相鄰方塊中有3個及3個以

上被病毒感染，則病毒擴散至該方塊，若使所有方塊均被感染，則至少需要在個方塊

內投放病毒源.

四、解答題

15.已知在銳角V/BC中，sin=2sin2C-sin(5-C),。為8C邊上一點，且麗=2麗.

⑴證明：4D平分/B4C；

7AF)

(2)已知cosZ.BAC=—,求---.

25BC

16.如圖所示，45是。O的直徑，點。是O。上異于A,PC_L平面Z5C,E、尸分別為尸4,

尸。的中點，

P

4\

…專…￡^8

(1)求證：E7U平面P3C；

(2)若尸C=2,AB=242,二面角3-尸/-C的正弦值為巫，求3C

3

17.在平面直角坐標系xOy中，點T到點尸(2,0)的距離與到直線》=1的距離之比為行，記

T的軌跡為曲線E,直線4交E右支于A,3兩點，直線4交E右支于C,。兩點，〃〃2.

(1)求E的標準方程；

⑵證明：OAOB=OCOD-,

⑶若直線4過點Q0),直線4過點(80),記CD的中點分別為尸，Q,過點。作￡兩

條漸近線的垂線，垂足分別為M,N,求四邊形尸面積的取值范圍.

試卷第3頁，共4頁

18.已矢口

(1)將sinx,cos尤，x,-g/+i按由小到大排列，并證明；

⑵令/(x)=xex+xcosx-2sinx-sin2x,求證：/(x)在xe］：,"內無零點.

19.已知有窮數列｛%｝的通項公式為%=〃("eN*),將數列｛%｝中各項重新排列構成新數列

也｝,則稱數列出｝是｛七｝的“重排數列”；若數列也｝各項均滿足2片。",則稱數列也｝是

｛??)的“完全重排數列”，記項數為〃的數列｛4｝的“完全重排數歹廣的個數為2.

⑴計算2，D｝,D4.

⑵寫出。用和Dn,01T(?>2)之間的遞推關系，并證明：數歹￡2-?￡>?.1)(?>2)是等比數

列；

(3)若從數列｛%｝及其所有“重排數歹廣中隨機選取一個數列匕｝,記數列匕,｝是｛4｝的“完全

重排數列”的概率為匕，證明：當〃無窮大時，勺趨近于1.(參考公式：

e

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

題號12345678910

答案CBDBDDCCADABD

題號11

答案ACD

1.C

【分析】利用兩集合的交集定義即得.

【詳解】由題意/={-2,-1,0,1,2},8=卜卜2（尤＜2},則/n5={T,0,l}.

故選：C.

2.B

【分析】利用復數的除法運算可得答案.

2-4i（24i）（「i）26i

【詳解】.??復數=—1—3i,

1+i（l+i）（l-i）2

所以z的虛部為-3

故選：B.

3.D

【分析】由等比數列的角標性質結合單調性得出公比.

f〃4=3

【詳解】由。4+。5=5,%=。4=6,解得＜5或

&=2

=23

,?,數列{4}是由正數組成的遞增數列，，喳，且夕〉0,.”二7.

%=32

故選:：D

4.B

【分析】將x的值依次代入解析式，解出，的值即可求解.

兀兀7171兀兀

【詳解】/+2/=/（0）+2.=1

2~4+t=f+t=f4~4

即sin0+2/=1,貝U%=L

2

故選：B.

5.D

【分析】根據題意，畫出圖形，設G,"分別為CG，。。］的中點，連接

答案第1頁，共21頁

OCI，4G，OEI，4EI，OG,OH,由題意可知球0不與側面ABB^及側面/五與同相交，球。與

側面BCG4交于點G，C,與側面附耳交于點&,E,然后分別判斷與其余4個面的交線,

求出球面與正六棱柱各個面所交的弧線的長度之和即可

【詳解】因為球。的半徑為6,AB=3,所以球。不與側面N844及側面相交，

設G,〃分別為CC”的中點，連接oq,4G，。耳,4耳。G,

則由題意可得。4=3,=AlEl=3A/3,

所以Oq=y/OA；+>C；=J9+27=6,

所以球O與側面BCC內交于點GC,與側面瓦隹用交于點耳,￡,

在正六邊形4月CAE1片中，因為NBCQi=120。,///4=30°,所以乙4￡，=90°,

所以4G，G2，

因為CG，平面44G2EM,U平面4片02月大，所以cq14G,

因為GAcCq=G,CQ],CC]u平面CDD?,

所以4G，平面CDAG，所以。6，平面。。。6，且OG=3?,

所以?！?yloG2+GH2=J27+9=6，

所以球O與側面CDDtCt的交線是以CG為直徑的半圓，

同理可得球O與側面EDD圍的交線是以EE、為直徑的半圓，

因為NE/Ci=W,所以球O與上下底面的交線均為:個半徑為的圓，

36

所以球面與該正六棱柱各面的交線總長為

2兀x3+2x工x2兀義36=6兀+26兀

6

故選：D

答案第2頁，共21頁

【點睛】關鍵點點睛：此題考查球與棱柱表面的交線問題，解題的關鍵是畫出圖形，根據題

意找出球與各個面的交線，考查空間想象能力和計算能力，屬于較難題.

6.D

【分析】應用賦值法構造出/(X),/(f),的等量關系，再結合不等式性質判斷即可.

【詳解】由題意,x>0/>0,/(-)=#(x)-#(y).

y

賦值X=?=1,得/(D=/(；)=1-/(I)=0；

賦值x=l,得U=W⑴=,即O=-/(x),

當x〉l時，/(x)>0,

當0<x<l時，則->1，所以/(￡|=-/(x)>0,即〃x)<0；

賦值X=y2,得一//(以解得/(/)=.+

即“m=d)；

AC項，由/(mjx+j/a),x>o,

得/1)一2/(x)=(x+)2,(x),

其中由x〉0,可知入+工一2〉2、,?工一2二0，

xVx

2

當x>l時，/(x)>0,^+1-2^|/(x)>0,gp/(x)>2/(x);

當0<x<l時，/(X)<0,L+1-2V(X)<0,即/(X2)V2〃X)；故AC錯誤;

答案第3頁，共21頁

、

得/q=/■(3)=!/(*)-￡

BD項，x=x2,y=—）+*/（X；

x1XX

I"

32212

又/(/)=/(X),所以/(X)=-/(X)+x/(x)=[l+4+x|/(x),

XXX

則〃/）/（刈一尸（號=，+1+/k2?-/+>2小)=_/2@”0,

故/（一）/（無）＜/2（好），且/（X）不恒為o,故B錯誤，D正確.

故選：D.

7.C

【分析】設。=3"（相＞0）,由已知可得°=國，進而可求離心率.

【詳解】由題意可知，2c:2/?=3:2,貝!Jc:6=3:2,設。=3冽（加＞0）,貝！Jb=2加，

所以a=yjc2—b2=yj5m，故。的禺心率為e=—=土自.

a5

故選：C.

8.C

【分析】表示每個人搖上需要的時間及其對應概率后，借助期望公式與錯位相減法計算即可

得.

【詳解】設X表示搖上需要的時間，則X可能取1、2、3、L、〃、L

1a11

貝!j尸(X=l)=—,P(X=2]=—X—=—,

'710~710910

98717

P(X=3)=—x-x-=—,P(X=4)=——X—X—X——二

'7109810,)109810100

p(v_.x98791_7

'71098109100

L

尸(X=3左+1)=尸(X=3左+1)=尸國=3左+3〉IX—,化eN),

10

L

17

故￡(X)=RX(1+2+3)+標x(4+5+6)+…

IXjx(3左+1+3左+2+3左+3)+?一

4-

答案第4頁，共21頁

2k

「1?1701H----b（9左+6）x$x

=6x----F15X—x----F24x—x+…,

10101010￡

2

7?13...

則歷E（X）=6xlxL+15xLx+24xt+

101010101?

k+\

+（9左+6）x—x?+…,

2

33171

故一E（X）=—+9x——x——+9x——x+---+9x—x+???

10V7510101010

k-\

63

1-

左一1

3100132121二2721

二一+---—F------------X+…二---T+…

551010101010J0

（2721-1

即￡（X）=1x7Y、

----------------X+???

（1010110

7

當左f+oo時，E（x）f9,故平均每個人搖上需要的時間為9個月.

故選：C.

9.AD

【分析】A項由表中數據的變化及回歸方程中％項的系數可知；B項利用百分位數定義

及求解步驟即可得；C項由樣本中心點代入方程求出務，利用回歸方程求出估計值與相應樣

本數據作差求出殘差，再比較絕對值大小即可；D項由散點圖可知.

【詳解】A項，由圖中表格數據可知，當次的值增加時，）的相應值也呈現增加的趨勢,

又由回歸方程》=28%+5中，]項的系數28〉0,也可以看出>與工成正相關，故A正確;

B項，樣本數據歹的6個取值從小到大依次是16,25,43,77,102,159,

由6x40%=2.4,則第40百分位數為第3個數據43,故B錯誤;

1+2+3+4+5+6716+25+43+77+102+159211

C項，x=

65'k63

將（鼠歹）代入y=28x+5,得6=-號，SPy=28x-y

八83I83、40

令x=3，得％=84凳，所以相應殘差的絕對值為43-[84-制=

33

答案第5頁，共21頁

令x=2,得％=56-望，所以相應殘差的絕對值為25-[56-1)=了<3，故C錯誤;

D項，如下圖作出散點圖，

可以看到相較“樣本點分布在某一條直線模型>=樂+。的周圍”，

“樣本點分布在某一條指數函數V=鏟+"'曲線的周圍”這樣的描述更貼切，

所以用模型V=e"'.描述N與x的關系更合適些，故D正確.

10.ABD

【分析】對于A：4%=1+-(?>2),代入可得+運算整理即可；對于B：可

n<n)n

得ln(i)W-x,令可得運算整理即可；對于C：取特值"=2檢

nynJn

驗即可；對于D：令尤=上，可得ln24上-1,結合等比數列求和公式分析證明.

nnn

【詳解】對于不等式InxKx-1,當且僅當x=l時，等號成立，

對于選項A：令x=l+\"22),Hl]lnfl+-|<l+--l=-,

nnJnn

可得ln(l+；)+ln[l+；]+…++<l+；+…+,

其中ln[l+；)+ln[l+；)d-----1-InfId——^)=ln2-Ini+ln3-ln2d-----

=ln(n)-lnl=ln(H),

所以ln(〃)<l+g+；+…+=,A正確;

對于選項B：將x替換為1—x,可得ln(l-x)Vl-x-1=-x,當且僅當x=0時等號成立.

令'='。0,可得上(1—J]<—!，整理可得in〃—ln(〃—1)〉工,

n\n)nn

答案第6頁，共21頁

故ln2-Ini+ln3-ln2H----bln2w-ln(2w-l)>—+-+???+—

'7232n

11

即ln(2〃)>；--------------

32n

所以—i------ln2H-----1-----1----->—i-----1-----,故B正確;

''2342n42n

對于選項C：令”=2,可得(l+2)(l+4)>e2,即15>8e,

這顯然不成立，故C錯誤;

等價于證明…+Qe

對于選項D：<-----，

e-1

將liuWx—1中的X替換為上，其中zNN*,則In上(上一1,Bpnln-<i-n,

nnnn

可得We-",當且僅當，=〃時，等號成立,

所以1+2"+…故D正確.

e-1

故選：ABD.

【點睛】方法點睛：對于已知不等式證明不等式的問題，常常利用代換的思想，結合數列求

和進而放縮證明.

II.ACD

【分析】先由相切性質得點0滿足關系式，與已知圓聯立消參得。軌跡方程，A項由方程形

式構造函數/(x),利用導函數研究單調性作出大致圖形即可得漸近線；B項坐標代入可知;

C項由形可得；D項由不等式性質與放縮法可得.

【詳解】圓M:(x-a)2+/=/,圓心A/(a,O),半徑卜|,且a>-g,且"0.

:(一1)2+2a+0=2a+1>0,則點尸(一1,0)在圓”外.

答案第7頁，共21頁

如圖，連接M。，由題意知尸。，

設0(x,y)，則MQPQ={x-a,y)-{x+\,y}=x2+y2+(l-a)x-a=0①,

又點。在圓M上，則/一2"+丁=0②,

①一②得，(1+a)x=a,解得-③，

1-X

由。>一工且解得一1<、<0,或0<x<l.

2

將③代入②消。得，產二,1：%〉0),xe(T0)U((M)即為曲線。的方程.

A項，設/(x)=Y(l+x),xe[-l,l)

1-x

則八x)=_2x(；：l),

(1-x)

令r(x)=O解得x=或x=O,或x=(舍).

22

當_1<&<三5時，r(x)>o,〃x)單調遞增；

2

當匕"<x<0時，/'(x)<0,〃x)單調遞減；

2

當0<x<l時，/'(無)>0,/(x)單調遞增.

且〃-l)=OJ(O)=O,當x-1時，y-+oo.

且當V20時，函數g(x)=/而與〃x)單調性相同；

且g(-l)=O,g(O)=O,當x—1時，y—

故g(x)的大致圖象如下圖，

又由方程7=x；：：x)(y>o),故c的漸近線為工=1,A項正確；

1QQ

B項，令曲線C方程中x==,得/==,7*4,故B錯誤；

244

C項，由形可知，曲線C在第二象限的縱坐標最大的點對應的橫坐標,

答案第8頁，共21頁

即〃無)在(-1,0)的極值點匕好，故C正確;

2

D項，當點(%,%)在C上時，則M=年?^

1一%

由T<x°〈0,或0<x0<l.得0<x；<l,x1±^>0,

1一%

，則獷忌，

所以%4J;1成立，故D正確;

V-x?

故選：ACD.

【點睛】方法點睛：求動點軌跡方程的常見方法有：

(1)直接法：從條件中直接尋找到X，〉的關系，列出方程后化簡即可;

(2)代入法：所求點尸(x/)與某已知曲線尸(%,%)=。上一點。(尤。,％)存在某種關系，則

可根據條件用表示出然后代入到。所在曲線方程中，即可得到關于陽〉的方程;

(3)定義法：從條件中能夠判斷出點的軌跡為學過的圖形，則可先判定軌跡形狀，再通過

確定相關曲線的要素，求出曲線方程.

(4)參數法：從條件中無法直接找到X4的聯系，但可通過一輔助變量左，分別找到xj與

左的聯系，從而得到陽y和無的方程：即曲線的參數方程，消去參數上后即可得

\y=g(k)

到軌跡方程.

(5)交軌法：選擇適當的參數表示兩動曲線的方程，將兩動曲線方程中的參數消去，得到

不含參數的方程，即為兩動曲線交點的軌跡方程。

-5

12.一

6

【分析】先將〃=1代入題干表達式計算出q的值，當"W2時，由

-1,1-2

ax+3a2+9tz3H------1-3"an=~~>可得％+3a?+94H--------1-3an_x=y,兩式相減進一步計算

即可推導出數列｛%｝的通項公式，再根據數列｛??｝的通項公式及等比數列的求和公式推導出

前“項和￡的表達式，最后根據不等式的性質即可計算出實數上的最小值.

2

【詳解】由題意，當〃=1時，％=§,

答案第9頁，共21頁

〃+]

當幾22時，由4+3。2+9/+…+3"1=~-~,

XT%+3a2+9%---^3〃2?！╛]——,

兩式相減，可得3"-4=等-1=(,

解得巴="，

2

???當〃=1時，ax=§不滿足上式，

’21

—,n=l

「?〃〃={]，

—,?>2

13〃

2

則當〃=i時，E=%=§,

當幾22時，=/+%+%+…+?！?/p>

2llI

=—I——H--+...H-----

332333"

I____I

二2?.訶

「i-l

3

_5I

=6~Ty9

2

?.?當〃=1時，Sl=§也滿足上式，

，S〃=H^，〃EN*,

o2-3

且s“〈人對任意〃eN*恒成立，

o2-5o

.■.k>y,即實數發的最小值為:.

66

故答案為：j.

6

13.(ee,+oo)

【分析】由題意可得g‘a)=〃'(x)只有一個解，從而可得。=工，砧==，設

elnZ?elnZ?

0(6)==(l<b</),利用導數求解即可.

elnp

【詳解】依題意得g(x)=x〃與3)=1崛工只有一個交點，即兩曲線相切，

則g'(x)=〃(x)只有一個解，

答案第10頁，共21頁

11111

，辦1=丁7,化簡得x=(')"將其代入/(%)得-lo&ginb)=0,

x\nbahibamba

log6e+log^tzIn6)=0,gpea\nb=l,:.a=—^—.

a>1,/.

elnb

b

則ab=

設0(6)=-^-(l<6<e?則2'屹)=I：-［：<0,

OS)在(l,eD單調遞減，0(。)〉Q(d)=eeab>ee,

?,.而的取值范圍是ee,+coI

故答案為：|^ee,+ooj

【點睛】關鍵點點睛：由指對運算可得ealnb=l,進而可得仍=["，構造函數

11

0(6)=—9—(1<6<d),由導數求解即可.

eln6

14.12144

【分析】根據題意，結合歸納、類比法進行求解即可.

【詳解】在2x2的平面方陣中，如下圖：

O病毒源

□

病毒源

按對角線方向每行每列都有一個格子內投放病毒源，顯然，格子1,2都滿足要求，

在3x3的平面方陣中，如下圖：

按對角線方向每行每列都有一個格子內投放病毒源，顯然，格子1,234先滿足要求,

而后5,6馬上也滿足；

51病毒源

3病毒源2

病毒源46

由此可以推斷當在12x12的平面方陣中，按對角線方向每行每列都有一個格子內投放病毒源,

答案第11頁，共21頁

至少需要在12個方格內投放病毒源；

當拓展到三維空間時，

已知在2x2x2的立體方陣中，如圖所示:

當1,2投放病毒源時，要想3被感染，只需5投放病毒源，同理要想4被感染，只需6投放病

毒源，因此需要2+(4-2)xl=4個方格內投放病毒源，

因此已知在3x3x3的立體方陣中，面對我們的面有9個，其中一條對角線上有3個，

所以需要3+-3)x1=32個方格內投放病毒源，

所以可以類比在在12x12x12的立體方陣中，

需要12+(12?-12)x1=12?=144個方格內投放病毒源，

故答案為：12;144

【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是利用歸納和類比推理的方法進行求解.

15.(1)證明見解析.

力16質

---?

291

【分析】(1)由三角恒等變換及正弦定理6=2°,在中，由正弦定理得

cBDDC

，在中，由正弦定理得.,兩式結合即可

sinZADB~sinZBADsinZ.ADCsinZCAD

證明.

—?2—?1—?16

⑵在V45。中，由平面向量的基本定理得+兩邊同時平方得|40|二百c,

再由余弦定理得12cl=耳八然后計算即可.

【詳解】(1)由題意，sin^=2sia2C-sin(B-C),且4+3+。=兀，

所以sin(B+C)=2sin2C-sin(B-C),

即sinBcosC+cosBsinC=2sin2C-(sinBcosC-cosBsinC),

答案第12頁，共21頁

所以2sin5cosc=4sinCcosC,

又因為V4BC為銳角三角形，所以cosCwO,

所以sinB=2sinC,

由正弦定理得6=2c.

在△/口中’由正弦定理得曰r/黑石,

bDC

在△4。。中，由正弦定理得

sin/ADCsinACAD

因為N4O3+乙4。。=兀,

所以sinZADB=sinZADC,

..csin/.BADbsinZ.CAD

所以

又因為麗=2麗，BPCD=2DB,且6=2c,

所以sinNBAD=sinZ.CAD,

所以40平分N"C.

(2)由(1)知，ABAD=ACAD=-ABAC,

2

7

因為COS/A4C=M，且V45C為銳角三角形，

__,_____i__.____2__?i___

所以無5=在+前k

—?c4—?c4—?—?1—?_

即|AD『=川/c|-cosABAC+3/C/，

則|AD|2=—c2+—c-2c-——I--—(2c)2="S6',故|AD|=-c.

9925922515

在V48c中，由余弦定理得

|加+|何2收『_22

C+4C-|^C|\7

cosABAC-

2\AB\'\AC\2c2c25

解得,

16c

\AD\7T1616拒7

所以|5。廠歷0―3月

291

5

答案第13頁，共21頁

16.(1)證明見解析

(2)SC=2

【分析】(1)根據線面垂直的判斷定理證明NC，平面PBC,再證明/C//M,即可證明；

(2)以C為原點建立空間直角坐標系，分別求平面PNB和P4C的法向量，利用法向量夾角

公式，即可求解.

【詳解】(1)證明：因為尸平面/8C,/Cu平面/3C。所以尸CLZC,

因為N8是O。的直徑，知/C_L8C,

因為尸Cc3C=C,且尸C,BCu平面尸8C,所以/C_L平面P8C,

由瓦尸分別是尸4PC的中點，所以EF〃4C,所以昉_L平面P8C.

(2)以C為原點，C4,C2,CP所在直線分別為x軸、＞軸、z軸，建立如圖所示的空間直角

坐標系，

則尸(0,0,2),C(0,0,0),

設/(a,0,0),5(0,Z),0),且。2+/=8(a>0,6>0),

所以9=(a,0,-2),PB=(O,b,-2),

易知平面尸NC的一個法向量而=(0」,0),

設平面尸的一個法向量拓=(尤)/),則

nVPAn-PA=0ax-2z=0

則_,即.?［如，

nVPBnPB=o'-2z=0

取z=ab,得x=26,y=2a,則力=(242a,a6),

因為二面角8-C的正弦值為"，則其余弦值為史,

33

所以…在V3

化簡得-8a2+4/=0,

J4b2+4/T

答案第14頁，共21頁

又因為/+〃=8(。>0,Z>>0),所以/+4/-32=0,

解得：/=4,即。=2,

所以6=2,即8c=2.

22

17.⑴十一一=1

22

(2)證明見解析

(3)[24,+8)

【分析】(1)根據兩點間的距離和點到直線的距離公式即可列等式求解；

(2)根據直線與雙曲線聯立方程，得韋達定理%+3，X、，結合數量積坐標運算即可證明;

(3)依據題意得直線4和直線4的方程分別為》=叼+2、x=my+S,聯立直線《和曲線E

方程求得韋達定理演+%2，乂+%，從而利用中點坐標公式求出點尸坐標，同理求出點。坐

標，再利用點到直線距離公式分別求出點P和點。到兩漸近線的距離4,4,接

著根據SPMQN='矩形OMQN—SsOMP-SsONP計算結合變量取值范圍即可求解.

【詳解】(1)設點7(》/),因為點T到點廠(2,0)的距離與到直線x=l的距離之比為亞，

所以&：2)2：y2,整理得二一己=1,

|x-l|22

22

所以E的標準方程為土-匕=1.

22

(2)由題意可知直線4和直線4斜率若存在則均不為0且不為±1,

①直線43的斜率不存在時，則可設直線4方程為x=A(t,yi),

則8&-必)且由點/和點8在曲線￡上，故〃-才=2,

答案第15頁，共21頁

所以0403=r-弁=2,

同理可得3灣彷=2,所以次.礪=反?礪;

②直線48斜率存在時，則可設方程為>=丘+6（后片0,1）,力（亞,乃）、3（尤2，乃），

22

__y_=]

聯立2-2一^>（l-k2）x2-7.kbx-b2-2=Q,

y=kx+b

b2

則A=（-2kby-4（1-左②）（一/-2）=4/-8左2+8>0即1一/>-----

2

2kb口2kb廿+2b2+2

%+x?=匚記且>0,XyX=-且一>0,

1-F2\-k21-k2

22

所以CU?OB=XjX2+yxy2=xxx2+（丘]+6）（生+6）={^\+k\xxx2+泌（無]+x2^+b

b1+22kbb2+2+k2b2+2k22k2b2b2-b2k22,2+1）

（1+B+kb-+/=-

\-k2\-k21-Fl-k2]-k21-F

同理OC-OD=-2^k+1^>所以刀?麗=歷?歷，

l-k2

綜上，OAOB^OCOD.

（3）由題意可知直線4和直線4斜率若存在則斜率大于1或小于-1，

且曲線E的漸近線方程為x±y=0,

故可分別設直線/］和直線4的方程為》=啊+2和》=陽+8,且ow/<1,

y2+Amy+2=0,設4（%i，yi）、蟲町必），

則A=（4m）2-4（m2-l）x2=8m2+8>0,

答案第16頁，共21頁

4m2

%+%=_

m2—1

4mj,4

故%+%=加%+2+my+2=加（凹+歹2）+4=冽—+4=--

2m-1）m—\

西+x%十%22m

因為P是中點，所以尸2即尸一

22m2-Tm2—1

88