第二課時構造函數證明不等式

題型一移項構造函數或直接利用函數的最值證明不等式

例1(2023?新高考I卷)已知函數火x)=a(ex+a)—x.

(1)討論人x)的單調性；

.3

(2)證明：當a>0時，兀v)>21n〃+/.

(1)解f(x)=aex~l,xeR.

當時，f(x)<0,

所以函數/(%)在(一8,十8)上單調遞減；

當a>0時，令了(1)>0,得無>—ln〃；

令了(X)<。,得％<一InQ,

所以函數/(x)在(一8,一Ina)上單調遞減，

在(一Ina,+8)上單調遞增.

綜上，當時，函數/(%)在(-8,+8)上單調遞減；

當〃>0時，函數/(x)在(一8,—ln〃)上單調遞減，在(一Ina,+8)上單調遞增.

(2)證明法一由(1)得當〃>0時，函數?x)的最小值為/(—lnQ)=l+Q2+lnQ.

31

令g(〃)=1+〃2+ln〃-21na--Ina-〃￡(0,+°°),

所以g，(a)=2a—

令g，(a)>0,得tz>；

令g'(a)<0,得0<a(坐，

所以函數g(a)在［o,當上單調遞減，

在惇，+8)上單調遞增，

所以函數g(a)的最小值為

g停1=閨f坐―八小>0,

3

所以當a>0時，?x)>21n〃+］成立.

法二當。>0時，由⑴得

火X)min=八一InQ)=1+4+]nd9

3

故欲證fix)>2lna+1成立，

八3

只需證l+/+ln〃>21n〃+],

即證次一，>lna.

構造函數u(a)=lna—(a—l)(a>0)9

I111-a

則ur(a)=~-1=~

所以當時，/⑷<0；

當Q<a<l時，u\a)>09

所以函數以〃)在(0,1)上單調遞增，在(1,十8)上單調遞減，

所以〃3)W〃(l)=0,即InaWa~1,

故只需證/一宙〉〃一1,即證屋一〃十，0.

(、2

因為屆―〃+義=(〃一§+|>0恒成立，

3

所以當a>0時，兀r)>21n〃+/成立.

感悟提升1.若待證不等式的一邊含有自變量，另一邊為常數，可直接求函數的

最值，利用最值證明不等式.

2.若待證不等式的兩邊含有同一個變量，一般地，可以直接構造“左減右”的函

數，有時對復雜的式子要進行變形，利用導數研究其單調性和最值，借助所構造

函數的單調性和最值即可得證.

訓練1(2023?新高考H卷節選)證明:當0<元<1時，x-^<sinx<x.

證明令h(x)=x—x2—sinx(0<x<1),

則h，(x)=1—2x—cosx(0<x<1).

令Xx)=l_2x—cosx(0<x<l),

則p3=-2+sinx<0,

所以p(x)即/(x)在(0,1)上單調遞減，

又砥0)=0,

所以當0<%<1時，/(x)<〃(0)=0,/z(x)單調遞減,

所以當0<%<1時,/z(x)</z(O)=O,

即%—x2<sinx.

令g(%)=sin%—x(0<%<1),

則g'(%)=cos%—lWO,

所以g(x)在(0,1)上單調遞減，又g(0)=0,

所以當0<%<1時,ga)〈g(0)=0,即sinx<x.

綜上，當0<%<1時，%—x2<sinx<x.

題型二分拆函數法證明不等式

例2(2024?長沙模擬節選)已知函數“XLQXIUJV+X2,g(x)=ex+x—L0<QW1,求

證：於)<g(x).

證明要證明,

只需證明adnx+x2<e-r+x—1,

只需證明"+1<立?，

令抬尸呼+1,g尸區F，

_a(1—Inx)一

又u'(x)=,0<aW1,

則0<x<e時，/(尤)>0,函數M(X)在(0,e)上單調遞增；

x>e時，u'(x)<0,函數M(X)在(e,+8)上單調遞減；

所以x=e時，M(X)取得最大值，最大值為T+1，

e%-1-%—1(%—2)(ex—1)

由v(x)=-2可得v'(x)—

Jix3

則0<%<2時,v'(x)<0,函數在(0,2)上單調遞減;

尤>2時,U(x)>0,函數o(x)在(2,+8)上單調遞增；

e2+l

則尤=時，取得最小值，且最小值為

2o(x)4

e2+l6-1中」>0,

又?4

e2+la..

所以

4

e%+x-1)

即'皿+[<1

、％/max、*Jmin

所以0<aWl時，J(x)<g(x).

感悟提升1.若直接求導比較復雜或無從下手時，或兩次求導都不能判斷導數的

正負時，可將待證式進行變形，構造兩個函數，從而找到可以傳遞的中間量，達

到證明的目標.含Inx與的混合式不能直接構造函數，要將指數與對數分離，分

別計算它們的最值，借助最值進行證明.

2.等價變形的目的是求導后簡單地找到極值點，一般地，e*與Inx要分離，常構

造非與Inx,x"與的積、商形式，便于求導后找到極值點.

訓練2(2024.鄭州模擬節選)已知函數火x)=e/—尤Inx,求證：當x>0時，於)<

,1

xe*十一.

e

證明要證兀0<朧*+；,

只需證ex—Inx<e^+^,

即ex—ex<lnx+^-.

ex

令h(x)=Inx+—(x>0),

ex

11ex—1

貝?]/z'(x)=或，

易知/z(x)在(0,3上單調遞減，在g,+8)上單調遞增，

則/2(X)mm=/7O=0,所以In尤+2三0.

再令0(x)=ex—e"則夕<x)=e—e*,

易知夕(x)在(0,1)上單調遞增，在(1,+8)上單調遞減，

則9(X)max=e(l)=0,所以ex—FWO.

因為h(x)與e(x)不同時為0,

所以ex—ex<lnx+1，故原不等式成立.

ex

題型三放縮后構造函數證明不等式

例3當x>0時，證明：ex—sinx—1>xlnx.

證明設/z(x)=x—sinx,

則Zf(x)=l—cosxNO,/z(x)單調遞增，

所以當%>0時，/z(x)>/z(O)=O,

即x>sinx(x>0).

所以ex—sin%—l>ex—%—1,

所以要證ex—sin%—l>xlnx,

只需證明ex—%—l>xlnx,

設/(x)=e%—x—1,則/(x)=e%—1,

則入￡(—8,o)時,/(x)<0,處0單調遞減；

%e(o,+8)時，/(x)>0,人1)單調遞增.

所以/(x)的最小值為八0)=0.

當工￡(0,1)時,?x)>0,xlnx<0,

所以ex—%—l>xlnx.

當工￡［1,+8)時，設F(x)=e%—%—l—xln%,

則F(x)=ex—In%—2,

設g(x)=ex—Inx—2,則g'(x)=e%一

因為g<X)在［1,+8)上單調遞增，

且g，(l)=e—1>0,

所以g<x)>0在［1,+8)上恒成立，

所以g(X)在［1,+8)上單調遞增，

又g(l)=e-2>0,

所以〃(x)>0在［1,+8)上恒成立，

故Hx)在［1,+8)上單調遞增，

產(%)2尸(l)=e-2>0在口,+8)上恒成立.

綜上，當x>0時，e^—sinx-l>xlnx.

感悟提升1.利用導數證明不等式時，若所證明的不等式中含有e》，Inx,sinx,

cosx,tanx,或其他多項式函數中的兩種或以上，可考慮先利用不等式進行放縮，

使問題簡化.然后再構造函數進行證明.

2.常見的放縮有：

(殆)

(l)tanx>x>sinx,不

(2)切線放縮：e^x+l>x~l^lnx,利用切線放縮可把指數式、對數式轉化為一

次式，有利于后續的求解.

訓練3(2024?濟南模擬節選)已知函數而c)=e1證明：當x>—2時，Hx)>ln(x+

2).

證明設g(x)=?x)—(x+l)=

ex—%—l(x>—2),

則g\x)=ex—l,

當一2<x<0時，g，(x)V0;

當x>0時，gf(x)>0,

即g(x)在(一2,0)上單調遞減，在(0,+8)上單調遞增，

于是當X=0時，g(X)min=g(0)=0,

因此人x)>x+l(當且僅當x=Q時取等號)，

令〃(x)=無+1—ln(x+2)(x>—2),

,1x+1

川/⑺=1-羊=羊’

則當一2<xV—1時，h'(x)<0；

當x>—1時，"(x)>0,

即有/z(x)在(一2,—1)上單調遞減，在(一1,+8)上單調遞增，

于是當》=-1時，A(X)min=A(—1)=0,

因此x+l>ln(x+2)(當且僅當x=-l時取等號)，

因為等號不同時成立，

所以當x>—2時，?>ln(x+2).

廠利用切線放縮法證明不等式微點突破

導數方法證明不等式中，最常見的是e*和Inx與其他代數式結合的問題，對于這

類問題，可以考慮先對e*和Inx進行放縮，使問題簡化，簡化后再構造函數進行

證明.常見的放縮公式如下：(1)3》1+尤，當且僅當x=0時取等號.(2)lnxWx—1,

當且僅當x=l時取等號.

例已知函數兀x)=ae，-lnx—1,證明：當時，?r)N0.

證明因為。三；，

所以八光)>亙一ln%—l=ex—i—lnx—1.

e

因為y=exr在x=l處的切線方程為y=x,

因此用切線放縮法可得不等式

當且僅當x=l時取等號，

所以得eLi—lnx—1三尤一lnx—1,

當且僅當x=l時取等號.

設g(x)=x—Inx—1,

1X—1

則g，(x)=l—1=二^.

當0<%<1時，g'(x)VO,

所以g(x)單調遞減；

當尤>1時,g，(x)>0,所以g(x)單調遞增.

所以x=l是g(x)的最小值點.

故當x>0時，g(x)》g(l)=O.

因此，當。三;時，1工)》0.

vlnVx

訓練已知函數Hx)=W,g(x)=/，證明：y(x)>2g(x)—L

證明設/小尸己一工一：!?！?。)，

則/?,(x)=ex—1>0,

...7z(x)在(0,+8)上單調遞增,

：.h(x)>h(0)=0,即秘>無+1>1,

」一

?,e%x+T

要證外)>2g(x)—1,即證^一1,

只需證用巳由一1,

x+lx+1

即證xlnx^x—1,

令m(x)=xln%—x+1,則mr(x)=lnx,

???當x￡(0,1)時，mr(x)<0；

當無￡(i,+8)時，加(X)>o,

??.皿x)在(0,1)上單調遞減，在(1,+8)上單調遞增，

m(x)min=m(1)=0,即m(x)^0,

1,貝1]y(x)>2g(x)—1得證.

■課時分層精練

【A級基礎鞏固】

InV

1.已知函數火X)=一二，求證：當x>0時，於)Wx—L

證明當%>0時，要證

即證Inx—x2+x^0,

令g(x)=ln%—x2+x(x>0),

1,l+x—2%2

則<?'(%)=1—2x+l=-----------

(x—1)(2x+l)

X

當OVxVl時,g'(x)>0,g(x)單調遞增;

當x>l時，g'(x)<0,g(x)單調遞減，

.?.g(x)Wg(l)=O,

即當x>0時，

2.(2024?唐山模擬)已知x>—l,證明：

(l)ex—12%21n(%+1)；

(2)(^—l)ln(x+1)W.

證明(1)令y(x)=x—ln(x+l),

Y

則/(x)=TPPX>-1,

當一14<0時,f(x)<0,於)單調遞減;

當x>0時，f(x)>0,/)單調遞增,

所以人》)>黃0)=0,等號僅當x=0時成立,

即x^ln(x+l),

ln(+1)

從而e^e^=x+1,所以e%—12%

綜上，ex—12x21n(%+1).

(2)顯然當x=0時，(ex—l)ln(x+l)=x2=0.

令g(%)=/、，%W0，

(1—%)e%—1

則g'a)=(ex—1)2―，光力0?

令71a)=(1—兀戶一1,則/(x)=—xeS

當x<0時,h'(x)>0,力⑴單調遞增；

當x>0時，h'(x)<0,7z(x)單調遞減,

所以/z(x)W/z(O)=O,等號僅當x=0時成立，

h(x)

從而g，(x)=五—1)2<0,xWO,

所以g(x)在(一8,0)和(0,+8)上單調遞減.

由(1)知，當一1<%<0時，0>x>ln(x+l)；

當x>0時，x>ln(x+1)>0,

所以g(x)<g[ln(x+l)],

口日xIn(x+1)In(x+1)

即^丁4E—1=X-

又當X>—1且xWO時，x(ex—1)>0,

所以(e%—l)ln(x+l)>x2.

綜上，當x>一1時，(e%—

3.已知函數j[x)=ax—sinx.

(1)若函數八元)為增函數，求實數〃的取值范圍；

(2)求證：當x>0時，ex>2sinx.

⑴解,:艮Q=QX—sin%,

.*./(x)=a—cosx,

由函數八￡)為增函數，

則了(%)=〃一cos冗20恒成立，

即42cos%在R上恒成立，

V)；=cosx^[—1,1],,

即實數。的取值范圍為[1,+8).

(2)證明由(1)知，當〃=1時，力》=冗一sinx為增函數,

當x>0時，=0=>x>sinx,

x

要證當x>0時,e>2sinx9

只需證當x>0時，e*>2%,

即證ex—2x>0在(0,+8)上恒成立,

設g(x)=e^—2x(x>0),則g'(x)=ex—2,

令，(x)=0解得x=ln2,

.?超。)在(0,1112)上單調遞減，在(In2,+8)上單調遞增,

...g(x)min=g(ln2)=*2—21n2=2(1—In2)>0,

:.g(x)2g(In2)>0,ex>2x成立,

故當尤>0時，e%>2sinx.

【B級能力提升】

4.設函數_/(x)=ln(a—x)—x+e.

⑴求函數人為的單調區間；

Y

(2)當a=e時，證明：J(e—x)<ex+7r.

11---V-1-//

(1)解由題意得函數人x)的定義域為{x|x<a},Xx)=±—1=;，

XClXCl

故函數ZU)的單調遞減區間為(一8,。)，無單調遞增區間.

YX

(2)證明法一當〃=e時，要證/(e—x)<e%+孤，即證ln%+%<e*+支(%>0),

即證皿+1〈竺+;

xx2e

設g(x)=￥+l(x>0),

I11—Inx

則g'(x)=