專題11雙變量方程類存在性、任意性問題

【方法點撥】

解決雙變量“存在性或任意性”問題關鍵就是將含有全稱量詞和存在量詞的條件“等價轉

化”為兩個函數值域之間的關系(或兩個函數最值之間的關系)，目的在于培養學生的邏輯推

理素養和良好的數學思維品質.

若於)，g(x)的值域分別為A,B,則有：

①\/為￡￡),3%2eE,使得於i)=g(%2)成立，則

②三次16。，3x2^E,使得人為)招(%2)成立，則APIBW0.

【典型題示例】

例1已知函數/(x)=—爐―6九—3：,g(x)=￡_±^實數加，〃滿足加<〃<0,若

ex

e[m,n\,叫e(0,+oo),使得/&)=g(%)成立，則〃一機的最大值為()

A4B.2石C.44D.2亞

【答案】A

xx

(e、e(x-\\

【解析】g'(x)=—+1'=2，則當0<x<l時，g'(x)<0；當龍〉1時，

、ex/ex

2

g1X)>0,,g(x)n,n=g(l)=2./(x)=-(x+3)+6<6,作函數y=/(x)的圖象

如圖所示，當/(司=2時，方程兩根分別為一5和—1,貝ij〃一機的最大值為—1—(—5)=4.

故選A.

軸對稱的點，則實數a的取值范圍是.

【答案】[1,e2-2]

【解析】函數gCr)=a-%2&爛e,e為自然對數的底數)

與/z(x)=21nx的圖象上存在關于x軸對稱的點，等價于a—1二一21nx在e上有解，即

—〃=21nx—x2在pe上有解.

設危)=21nx—x2,%￡e,

.2(1+x)(1—x)

則/a)=-------------------------.

.../(x)=0在，，e上有唯一的零點x=l.

故人尤)在仔，1)上單調遞增，在(1,e]上單調遞減.

?\Ar)max=AD=_l，

又娘=-2—E，y(e)=2-e2,知大0)C娟.

函數危)的值域為[2—e2,-1].

故方程一a=21nx—%2在：，e上有解等價于2—62三一七一1,即1±42—2,

實數a的取值范圍是[1,e2-2].

例3已知e為自然對數的底數，若對任意的xe1,1，總存在唯一的ye[—1,2],使

得Inx—x+1+a=Ve>成立，則實數a的取值范圍是.

【答案】4e2

【分析】令/(x)=lnx—x+l+a,xe-,1,1,2].利用導數可求前

者的值域和后者的單調性，最后根據方程的解的唯一性得到實數。的取值范圍.

【解析】令/(x)=lnx-x+l+a,xe-,1,g(x)=xIex,xG[-1,2].

當時，—l=F>0,故/(x)在為增函數，

故/(x)在-,1上的值域為a--,a

又當尤e(—1,0)時，g<x)=(x2+2x)e”<0,當xe(0,2)時,g'［x)=^x2+2xjex>0,

所以g(x)在［-1,0］上為減函數，在［0,2］上為增函數.

令/=/(%),因為對任意的xe1,1，總存在唯一的ye［—1,2］,使得

lnx-x+l+a=y%>成立,

故對直線s=,與函數s=g(y)的圖象有且只要一個公共點，

而g(—1)=：,g⑼=0,g⑵=4e?,且g(x)在［-1,0］上為減函數，在［0,2］上為增函數,

f11

故一</V4e~,所以1ee,即一<a〈4e2.

e［a<4e2e

故答案為：f1,4e2.

1317「

-X--X4--,-<X、1,

例4已知函數/(x)=<,3442g(x)=e"+QX—2(QWR),若存在石,

—,0WxWL

〔362

%2e［0,l］,使得“而)=8(々)成立，則實數a的取值范圍是.

【答案】Q22-e

【解析】當時，〃尤)單調遞減，0W〃x)wL

26

當3cxW1時，尸(同=尤2成立,

/(X)單調遞增,

63

所以“X)的值域為4=0,1

設g(x)的值域為5,因為存在玉，入2日。』使得/a)=g(%2)成立，

所以5ng(x)=e"+辦—2,=e+a

①a，-1,任意xw[0,l],Q(x)20成立,g(%)在[0,1]單調遞增,

所以g(無)皿=g(°)=T，g(xLx=g6=e+a-2,B=[-l,e+a-2].

因為BPIAW。，所以e+a—2,0,a，2—e；

②aW-e,任意尤E[0,1],g'(x)WO成立，g(%)在[0,1]單調遞減，

所以8(4*=8。)=6+。-2,g(x)01ax=g(O)=-l,B=[e+a-2,-l],

則3nA=0,不合題意；

(3)-e<6Z<-1,令g'(x)=e*+〃=0,x=ln(-a),

g(%)在(O,ln(-tz))遞減,(in(-〃)」)遞增,

g(x)min

所以=g(ln(-a))=-a-2+aln(-a),g(x)11Mx=max{g(0),g⑴},.

又g(0)=—l<0,g6=e+Q—2〈0,

則3nA=0,不合題意.

綜上所述，。三2-e.

點評：

存在性和恒成立混合問題注意理解題意，等量關系轉化為值域的關系.

例5已知人x)是定義在[—2,2]上的奇函數，且當xG(0,2]時，/(x)=2工一1,函數g(x)=

^~2x+m,且如果對于任意的尤id[—2,2],都存在尤2G[—2,2],使得g(X2)=/(xi),

則實數m的取值范圍是.

【答案】[-5,-2]

【分析】易得“力目-3,3],g(x)e[m-l,/n+8],若對于％e[-2,2],訓目一2,2],使得

g(9)=/(不)，只需/(X)的值域包含于g(X)的值域即可，即〃L1<—3且m+823,

解得一5V2.

【解析】尤6(0,2]時，人r)=2，-1為增函數，值域為(0,3],

因為人x)是定義在[-2,2]上的奇函數，所以/U)在[-2,2]上的值域為[—3,3],

函數g(x)三x2—2x+m在—2,2]上的值域為防一1,m+8].

因為對任意的制6[—2,2],都存在檢6[—2,2],使得g(X2)=/(xi),

所以汽尤)在[—2,2]上的值域是g(x)=/—2x+%在xd[—2,2]上的值域的子集，

..,,fm+8>3

所以《，解得—5<7〃<一2

即實數機的取值范圍是[—5,-2].

點評:

考查函數的單調性、奇偶性、最值、值域，以及恒成立，存在性問題，關鍵是理解題意，

轉化為值域之間的關系.

<X2+2X~1j_

?，x、一亍

例6已知函數/）=<i+x]^（x）=—X2—2x—2.若存在使得

logi2，%>一],

<2

1〃）+gS）=0,則實數b的取值范圍是.

【答案】（—2,0）

【解析】當立gI時，危2r—1

此時加）=1+2^r—^1=1+，?±1在（/一8,一1女~|上單調遞減，易求得加）￡[—7,1）；

當X〉一3時，y（x）=log1

2

此時段）在（一/+°°）上單調遞減，易求得汽x）e（-8,2）,

的值域為（-8,2）.

故存在aGR,使得大a）+g（6）=0n—g（b）=/（a）G（—8,2）^&2+2&+2<2^>Z?e（-2,0）.

jfacosx+2,x>0

例7已知函數/（無）=2-i,g（x）=<2-C（aeR）,若對任意%e[l,+oo）,

x"+2a,x<（J

總存在與€尺，使/（再）=8（%）,則實數a的取值范圍是（）

A.B.（|收）

C.D.U5,2

【答案】C

【解析】對任意為e[l,+8）,則/（x）=2"T22°=l,即函數/（七）的值域為[1,+8）,

若對任意石e[l，+°o）,總存在々6尺，使，（xP=g（X2），

設函數g（x）的值域為4則滿足[1，+8）UA,即可，

當犬<0時，函數g（%）=%2+2。為減函數，則此時gCx）>2a,

當xNO時，g（-X）=acosx+2G[2-14z|,2+1tz|],

①當2〃<1時，（紅色曲線），即。〈工時，滿足條件U，+8）qA,

2

②當42—時，止匕時2〃21,要使口，+8）qA成立，

2

則此時g（%）=acosx+2G[2-a,2+a],

2-a<\a>l

此時滿足（藍色曲線）即《,得K2,

2a<2+aa<2

例8若存在正數使得（3/y-x）（ln尤-lny）-〃y=0,其中e為自然對數的底數，則

實數。的取值范圍為.

【答案】a<4e2

【分析】對（3/y—?（In尤-Iny）-砂=0進行“完全分參”，兩邊同時除以y、移項得

?=（3e2--）ln-,令土=/,問題轉化為存在正數r,使得a=（3e2T）hu成立，再設

yyy

f（x）=（3e2-x）lnx,只需aw/（x）的值域.

【解析】對（3/》一%）（1口1-111丁）-砂=0兩邊同時除以丁、移項得。=（3/一二）ln2,

yy

令土=7,問題轉化為存在正數f,使得。=（3e2T）lnr成立，

y

設/(x)=(3/-x)lnx,只需awf(x)的值域.

1o-2

ff(x)=-]nx+(3e2-x)—=-lnx-ld----

xx

猜根，往與e的方向猜,可得廣往，—!!^-1+岑=0

e

3/13e2

再設g(x)=—lnx-ld----，貝Ug\x)=-------F<0

XXX

故g(x)在區間(0,+oo)單減

2

所以y'(X)=0在區間(0,+oo)只有一個零點為e

且當xf+co時，f'(x)<0

故有當xe(0,e2],/(x)>0,/(無)單增；當尤e[/,+oo),尸(尤)40,/(x)單減

故當x=e2時，/0)取得極大值也就是最大值為73)=(302-02)11102=402,無最小值

故a〈4e2即為所求.

【鞏固訓練】

191

1.已知函數?X)=3X2+2X—/—2Q,g(x)=不一九一g，若對任意加￡[-1,1],總存在％2￡[0,2],

使得|電)=)?(X2)成立，則實數〃的取值范圍是.

2.已知函數危)=2%,%￡0,g,函數g(x)=fcv—2Z+2(*0),%￡0,與，若存在陽￡0,

-11

及12金[0,司，使得加1)=小2)成立，求實數上的取值范圍.

3.已知函數危)=#+x,g(x)=ln(x+l)一〃,若存在xi,松￡[0,2],使得/(xD=g(%2),求

實數〃的取值范圍.

—x~\~1

4已知函數本)=-x=]-(x22),g(x)=^(a>l,x22).

(1)若mxoG[2,+8),使式尤o)=機成立，則實數機的取值范圍為；

(2)若\/修晝[2,+co),3x2e[2,+℃),使得yUi)=g(尤2),則實數。的取值范圍為

5.已知函數/(力=一3；1,g(x)=x2-2x,若存在實數ae(-co,-2),使得f(a)+gS)=。

成立，則實數b的取值范圍是o

x2+2x-1,1

--------2------'x--7

6.已知函數[,gQAd-Zv-Z,若存在aGR,使得/(a)+g(b)=O,

log1(-^-)，x〉F

.222

則實數b的取值范圍是.

7.若Vx1G(0,+8),總玉2?2,+0。)使得%],一4一111(%1馬一%)=0成立，則實數a的取

值范圍是.

【答案或提示】

1.【答案】[-2,0]

【解析】於)=3f+2x—a(a+2),則，(x)=6x+2,由/(x)=0得x=-g.

當xC-1,一§時，f(x)<0;當無e(一1時，f(x)>0,

所以[/(x)]min=/(—g)=—a1—2a—1.

-11

又由題意可知，y(x)的值域是1―g,可的子集，

所以14―1戶6,—a2—2a—川)W6,

解得實數a的取值范圍是[-2,0].

2.【答案】「匕1，431

-3々~|

【解析】由題意，易得函數八x)的值域為[