第10講特殊三角形72道壓軸題型專項訓練（12大題型）

言【題型目錄】

壓軸題型一圖形的軸對稱、折疊等壓軸問題

壓軸題型二等腰三角形的性質(zhì)與判定壓軸問題

壓軸題型三等邊三角形的性質(zhì)與判定壓軸問題

壓軸題型四等腰三角形中的動點問題

壓軸題型五等邊三角形中的動點問題

壓軸題型六直角三角形壓軸問題（30度角、斜邊中線）

壓軸題型七直角三角形中的動點問題

壓軸題型八直角三角形全等的判定壓軸問題

壓軸題型九用勾股定理解三角形

壓軸題型十勾股定理與折疊問題

壓軸題型十一勾股定理的應用

壓軸題型十二勾股定理中的最短路徑問題

今【壓軸題型一圖形的軸對稱、折疊等壓軸問題】

1.在三角形紙片中，々=90。,/C=22。，點。為/C邊上靠近點C處一定點，點￡為3c邊上一動點,

沿。E折疊三角形紙片，點C落在點C'處.有以下四個結(jié)論：

①如圖1,當點C'落在BC邊上時，zADC'=44°；

②如圖2,當點C'落在A48C內(nèi)部時，/4DC'+/BEC'=44°；

③如圖3,當點C'落在ZU8C上方時，zBEC'-zADC'=44°；

④當C'E〃初時，NCDE=34?；騈CDE=124。，其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

2.如圖，在△ABC中，BD平分/ABC交AC于點、D,點N分別是線段8。、8c上一動點，AB>BD

且$4詆=10,AB=5,貝UCM+TW的最小值為

3.綜合與實踐課上，同學們動手折疊一張正方形紙片N8。，如圖1,點￡在邊/。上，點尸，G分別在

邊48,CD上，分別沿斯，EG把一。向內(nèi)折疊并壓平，點A,。分別落在點H和點。處.

小明同學的操作如圖2,點。在線段E2上；

小紅同學的操作如圖3,點H在EG上，點。在跖上.

(2)直接寫出圖2和圖3中NFEG的度數(shù)；

(3)若折疊后NAED'=〃。(〃w0),求ZFEG的度數(shù)(用含〃的代數(shù)式表示).

4.如圖，將長方形紙片N8CD沿跖折疊后，點C、。分別落在點C'、。的位置，C'D交8c于點G,再

將△CFG沿FG折疊，點C'落在C"的位置(C"在折痕即的左側(cè)).

⑴如果/尸￡。'=65。，求NEFC的度數(shù)；

(2)如果ZAED'=40°,則NEFC"=°;

(3)探究/EFC"與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

5.東東發(fā)現(xiàn)折紙中蘊含著豐富的數(shù)學問題，他將長方形紙片按如圖1所示折疊，點尸在邊8C上，點E,G

在其它三邊上，F(xiàn)E和FG為兩條折痕，且折疊后重疊的紙片最多不超過三層.東東在探究的過程中，發(fā)現(xiàn)

/B'FC'隨著點E,G的位置變化而變化，為了研究方便，把N5FE記為NCFG記為

圖1圖2備用圖

(1)如圖1,當“=30。1=40。時，求NBRC的度數(shù).

(2)如圖2,當點尸，B',C'在同一直線上(即/BNC=O。)時，探究。和力的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

(3)在NEFG和48NC中，當其中一個角是另一個角的3倍時，求&+月的度數(shù).

6.數(shù)學興趣小組利用直角三角形紙片開展了如下的連續(xù)探究活動，請幫助他們完成相關(guān)的計算和證明.

圖1圖2圖3

【探究一】如圖1,在RtZX/BC中，ZC=90°,沿過點8的直線折疊這個三角形，使點C落在邊上的

點E處，折痕為5D.同學們發(fā)現(xiàn)，若CO=3cm,AB+BC=16cm,借助S4BC=$刀助+，可以計算

出△ABC的面積.請你完成填空：S.3cm2；

【探究二】在“圖1”的基礎上，過點￡作Z8E。的平分線交2。于點尸，連接/P,如圖2.同學們發(fā)現(xiàn)，沿

直線NP折疊這個三角形，NBAP與NCAP重合,即/P是/C42的角平分線.請你證明：AP平分/C4B；

【探究三】在“圖2”的基礎上，過點尸作尸于點，，如圖3.同學們通過測量發(fā)現(xiàn)，與8〃的積

是NC與8c的積的一半.請你證明：AH-BH=^AC-BC.

【壓軸題型二等腰三角形的性質(zhì)與判定壓軸問題】

1.如圖，在△ABC中，AB=AC,AD,BE是△/BC的兩條中線，AD=5,BE=6,尸是4D上的一個動

點，連接PE,PC,則尸C+PE的最小值是（）

2.△/SC中，若過頂點2的一條直線把這個三角形分割成兩個三角形，其中一個為等腰三角形，另一個為

直角三角形，則稱這條直線為△48C的關(guān)于點2的二分割線.例如：如圖1,△NBC中，44=90。，

ZC-20°,若過頂點8的一條直線AC?交/C于點。，且/D8C=20。，則直線是△4BC的關(guān)于點8的

二分割線.如圖2,ZUBC中，ZC=18°,鈍角△4BC同時滿足：①NC為最小角；②存在關(guān)于點8的二分

割線，則/A4c的度數(shù)為.

3.如圖，在△ABC中，AD=BC,Z5=40°,為邊上的兩點，且CD=CE,ZBCD=60°,AADF

⑵求NC4D的度數(shù).

4.我們知道：如果兩個三角形全等，則它們的面積相等，而兩個不全等的三角形，在某些情況下，可通過

證明等底等高來說明它們的面積相等.已知A/BC與ADEC是等腰直角三角形，NACB=/DCE=90°,連

圖1圖2圖3

(1)如圖1,當4C￡=90。時，求證：S.ACD=S.BCK-

(2)如圖2,當0。</8?！?lt;90。時，(1)中的結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請給予證明；如果不成立，請

說明理由.

(3)如圖3,在(2)的基礎上，作延長FC交/。于點G,求證：點G為/。的中點.

5.如圖，/D是ZX/BC的角平分線，DE1AC,垂足為E,2尸〃/C交的延長線于點尸，若BC恰好平

分NABF.

(1)求證：△CDE三△ADF；

(2)若△ABC的面積是18,DF=3,求N2長.

6.AZBC和△D3E都是以點8為頂點的等腰直角三角形，NABC=NDBE=90°.

c

圖2

（1）如圖1,當△48C和如圖擺放，連接CD,4D,CE,其中力。與CE相交于點?那么4。與CE之間存在

著怎樣的位置關(guān)系，請說明理由;

（2）如圖2,當△/BC和AOBE如圖擺放，尸為NC的中點,連接ND,CE,￡D,并在ED的延長線上取一點C,

連接CG,使CG=CE.求證：ZFDA=ZCGF.

1壓軸題型三等邊三角形的性質(zhì)與判定壓軸問題】

1.如圖，點/,B,C在同一條直線上，AABD,均為等邊三角形，連接和CD,/￡分別交

CD、BD于點、M,P,CD交BE于點Q,連接尸0,BM,下面結(jié)論：①“BE咨ADBC；?ZDMA=60°；③

△尸8。為等邊三角形；④MB平分/4WC；⑤NPE0=3O。.其中結(jié)論正確的有（）

2.如圖，點C在線段AB上（不與點A、B重合），在AB的上方分別作△4DC和ABCE,S.AC=DC,BC=EC,

ZACD^ZBCE=a^AE,BD交于點P,下列結(jié)論正確的是（填序號）—.

AE=BD；②AD=BE；③N/P8=180°-（z；④尸C平分/DCE；

D

3.如圖，在等邊三角形/8C中，點￡在N3上，點。在C2的延長線上，且￡D=EC.

AAA

⑴如圖1,當E為48的中點時,則/￡DB（填“〈”或“=

（2）如圖2,當E為邊上任意一點時，（1）中的結(jié)論是否仍然成立，請說明理由.

（3）如圖3,當點￡在的延長線上時，若△ABC的邊長為2,AE=3,求CD的長.

4.如圖1,在△NBC中，=為線段8c上一動點（不與點2、C重合）.連接4D,作

NDAE=NBAC,且=連接CE.

圖2

⑴求證：4ABD義AACE.

（2）當CE平分乙1C歹時，若/氏10=32。，求NDEC的度數(shù).

（3）如圖2,設/氏4。=1（90。＜々＜180。），在點。運動過程中，當。E1.8C時，乙DEC=（用

含口的式子表示）

5.如圖，點。是等邊△4BC內(nèi)一點，。是△/BC外的一點，ZA0B=110°,ZB0C=a,ABOCAADC,

ZOCD=60°,連接OO.

(1)求證：A。。。是等邊三角形；

(2)當a=150。時，試判斷的形狀，并說明理由;

⑶當好時,△4。。是等腰三角形.

6.如圖，在△4BC中,ZACB=90°,443c=30。，是等邊三角形，點。在邊48上.

(2)如圖2,當點E在△4BC內(nèi)部時，猜想即和班數(shù)量關(guān)系，并加以證明；

(3)如圖1,當點E在ZUBC外部時，EHLAB于點、H,過點￡作GE||/8,交線段/C的延長線于點G,

/G=5CG,BH=\.求CG的長.

【壓軸題型四等腰三角形中的動點問題】

1.如圖是樹枝的一部分，一只螞蟻〃■以2cm/s的速度從樹枝的/點處出發(fā)沿樹枝42方向向上爬行，另一

只螞蟻N從。點出發(fā)，以lcm/s的速度沿樹枝OC方向爬行，如果48,0c足夠長，CM=12cm,ZBOC=60°,

且兩只螞蟻同時出發(fā)，用小s)表示爬行的時間，當兩只螞蟻與點。恰好構(gòu)成等腰三角形時，f的值是()

A.4sB.12s

C.4s或12sD.4s或12s或16s

2.如圖，已知：在△4BC中，/C=8C=8,AACB=nQ°,將一塊足夠大的直角三角尺PAW

(ZM=90°,NMPN=30。)按如圖放置，頂點P在線段AB上滑動，三角尺的直角邊尸河始終經(jīng)過點C,

并且與C5的夾角NPC8=a,斜邊尸N交/C于點。.點尸在滑動時，?=時，的形狀是等腰

三角形.

3.如圖，在△4BC中，ZACB=90°,已知/C=3,3C=4,48=5,點。為邊上一點，連結(jié)CD且

AD=CD,動點尸從A出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿N-C-B運動，到點B運動停止，當點尸不與

△4BC的頂點重合時，設點尸的運動時間是/秒.

(1)用含有t的代數(shù)式表示”的長；

⑵求CD的長；

(3)當△CDP是以。為腰的等腰三角形時，求t的值；

(4)在點P的運動過程中，如果點P到△/BC的兩條邊距離相等，直接寫出/的值.

4.如圖，等邊△ABC的邊長為4cm,點M從點8出發(fā)沿2C運動，同時，點N從點/出發(fā)沿線段C4的延

長線運動，點M,N的速度均為1cm/秒，點M到達點C時，兩點停止運動.作于點。，連接〃N

交AB于點、E.設點M,N的運動時間為/秒.

(1)當△4EN為等腰三角形時，求才的值；

(2)線段?！甑拈L度是否為定值？若是，請求出其長度；若不是，請說明理由.

5.己知ZUBC是等腰三角形，且=點。是射線8c上的一動點，連接力。，以/。為腰在/。右側(cè)

作等腰使4D=/E,NDAE=NBAC.

(1)如圖1,當點。在線段8C上時，求證：BD=CE；

(2)如圖2,當點。在射線BC上運動時，取/C中點M,連接九ZE,且/ZME=/A4C=40。.當AMEC為等

腰三角形時，/CNE的度數(shù)為；

(3)如圖3,當點。在線段2C的延長線上，/D/E=/A4C=60。時，在線段CZ上截取CF,使

CF^CD+AF,并連接斯.求證：EFYAC.

6.如圖，在中，AB=AC=5,N8=35。，點。在線段8c上運動(點。不與點8,C重

合)，連接ND,作/ZDE=35。，交線段NC于點￡.

(1)當Z8D4=125。時，NDEC=°,NDAE=°.

(2)當線段。C的長度為何值時，AABD空ADCE?請說明理由.

(3)在點。的運動過程中，△/￡>￡的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請求出/瓦%的度數(shù)；若不可以,

請說明理由.

劣【壓軸題型五等邊三角形中的動點問題】

1.在△4BC中，ZACB=90°,NABC=30°,ACOE是等邊三角形.點。在邊上，點￡在Zk/BC外部,

EH；B于點、H,過點E作GE〃幺B,交線段/C的延長線于點G,AG=5CG,BH=3,則CG的長為

()

2.已知正方形N8CD,點￡是邊/。上的動點，以EC為邊作等邊三角形ECF,連接BF,交邊DC于點

G,當B尸最小時，NCGF=.

3.如圖，在等邊△4BC中，AB^AC=BC=8cm,點分別從點42同時出發(fā)，沿三角形的邊運動，

當點N第一次返回到達點8時，同時停止運動.已知點〃的速度是lcm/s,點N的速度是2cm/s.設

點N的運動時間為友.

c

(1)當/為何值時，兩點重合？

(2)當/為何值時，△/九W為等邊三角形？

(3)當點在邊上運動時，是否存在時間t,使得A/MN是以MN為底邊的等腰三角形，若存在，直

接寫出f的值；若不存在，請說明理由.

4.如圖，MBC中，AB=BC=AC=Ucm,M、N分別從點A、點B同時出發(fā)，按順時針方向沿三角形

的邊運動.已知點M的運動速度為lcm/s,點N的運動速度為2cm/s.當點N第一次到達B點時，M>N

同時停止運動.設運動時間為由>0).

(1)當M、N兩點重合時，求才的值.

(2)當為等邊三角形時，求才的值.

(3)點M、N運動過程中，點M、N能否與AABC中的某一頂點構(gòu)成等腰三角形，若能直接寫出對應的時間

f,若不能請說明理由.

5.如圖1,以△NBC的兩邊42,BC為邊向外作等邊三角形48。，BCE,連接CD,AE.

D.

⑵如圖2,CD與AE交于點M,連接BM,探究N/Affi的大小;

(3)如圖3,若/8=c,AC=b,BC=a,CD=d,射線■上是否存在一點P,使△/CP也是等邊三角形,

若存在，試探究8P滿足的條件；若不存在，請說明理由.

6.【初步感知】

(1)如圖1,已知A43c為等邊三角形，點。為邊8C上一動點(點。不與點8,點C重合).以40為邊向

右側(cè)作等邊AIDE,連接CE.求證：AABD\ACE；

【類比探究】

(2)如圖2,若點。在邊8c的延長線上，隨著動點。的運動位置不同，猜想并證明:

圖2

①與CE的位置關(guān)系為：；

②線段EC、AC.CD之間的數(shù)量關(guān)系為：、

【拓展應用】

（3）如圖3,在等邊AA8C中，43=3,點尸是邊NC上一定點且/P=l,若點。為射線8c上動點，以DP為

邊向右側(cè)作等邊ADPE,連接C￡、8E.請問：PE+8E是否有最小值？若有，請直接寫出其最小值；若沒

有，請說明理由.

圖3

J【壓軸題型六直角三角形壓軸問題（30度角、斜邊中線）】

1.如圖，在△NBC中，AC=BC,AACB=90°,AE平分NBAC交BC于點、E,_LZE交NE延長線于

點、D,交/C的延長線于點連接CD.則下列結(jié)論：①NADC=45。；②BD=；AE；③

BC+CE=AB；@AC+AB=2AM；⑤8。=CD其中不正確的結(jié)論有（）

2.如圖，點/是線段8c的垂直平分線上任意一點，連接48,AC,作4B的垂直平分線即分別交48、

125

于點G、H,若SABGH=7S△ABC，叱=7,則G”的長為_____.

66

3.如圖，△/呂。為等邊三角形，AE=CD,AD、相交于點尸，于。.

A

E

Q

B

DC

(1)求證：&ADC迫&BEA；

⑵若尸。=4,PE=1,求4D的長.

4.在△/8C中，BO_L/C于點O,AO=BO=3,0c=1.

①②

(1)如圖①，過點N作/“L8C于點X,交8。于點尸，連接。

①求線段。尸的長度；

②求證：/am=45。；

(2)如圖②，若。為的中點，點M為線段2。延長線上一動點，連接MD,過點。作。交線段C4

的延長線于點N,貝”ASM-S△制的值是否發(fā)生改變？若改變，求該式子的值的變化范圍；若不改變，求該

式子的值.

5.已知40為等邊△4BC的角平分線，動點E在直線40上(不與點A重合)，連接BE.以BE為一邊在BE

的下方作等邊48所，連接CF.

(1)如圖1,若點E在線段上，且DE=BD,則NCAF=度.

(2)如圖2,若點￡在/。的反向延長線上，且直線CF交于點、M.

①求//MC的度數(shù)；

②若△NBC的邊長為4,P,。為直線CF上的兩個動點，且2。=5.連接BP,BQ,判斷尸。的面積是

否為定值，若是，請直接寫出這個定值；若不是，請說明理由.

6.綜合與實踐:

A

A

DE

D

B

B

圖1圖2圖3

⑴【問題情境】在綜合與實踐課上，何老師對各學習小組出示了一個問題：如圖1,ZACB=90°,

AC=BC,ADYCD,BELCD,垂足分別為點。，E.請證明：AD=CE.

(2)【合作探究】“希望”小組受此問題的啟發(fā)，將題目改編如下：如圖2,ZCDF=90°,CD=FD,點、A是DF

上一動點，連接NC,作N/C2=90。且8C=/C,連接交CD于點G.若。G=l,CG=3,請證明：點

A為。尸的中點.

(3)【拓展提升】“創(chuàng)新”小組在“希望”小組的基礎上繼續(xù)提出問題：如圖3,NCDF=90。，CD=FD,點A

是射線。尸上一動點，連接/C,作4408=90。且8C=/C,連接跖交射線CD于點G.若FD=4AF,請

直接寫出笠的值.

L)CJ

$【壓軸題型七直角三角形中的動點問題】

1.如圖，在中，ZC=90°,AB=8cm,ZB=30°,若點尸從點B出發(fā)以2cm/s的速度向點A運動,

點。從點A出發(fā)以lcm/s的速度向點C運動，設P、。分別從點8、A同時出發(fā)，運動的時間為s時，△/尸0

是直角三角形()

C.2或3.2D.3或3.2

2.如圖，在4ABC中，NABC=60°,AB=6,D是邊48上的動點，過點。作。E〃8C交/C于點￡,將“DE

沿。E折疊，點/的對應點為點尸，當△AD尸是直角三角形時，4D的長為.

A

3.如圖，△ABC是邊長為6cm的等邊三角形，動點尸、0同時從N、8兩點出發(fā)，分別沿/8、8c方向勻

速移動.

(1)當點尸的運動速度是lcm/s,點0的運動速度是2cm/s,當0到達點C時，P、。兩點都停止運動，設

運動時間為f(s),當f=2時，判斷△BP。的形狀，并說明理由；

(2)當它們的速度都是lcm/s,當點尸到達點8時，P、。兩點停止運動，設點尸的運動時間為/(s),則當t

為何值時，APB。是直角三角形？

4.如圖1,點P、。分別是邊長為4cm的等邊△NBC邊43、3C上的動點，點尸從頂點A,點0從頂點B同

時出發(fā)，且它們的速度都為lcm/s.

AA

(1)連接N。、CP交于點Af,則在尸、。運動的過程中，/。兒@變化嗎？若變化，則說明理由，若不變，則

求出它的度數(shù)；

(2)試求何時4BQ是直角三角形？

(3)如圖2,若點P、。在運動到終點后繼續(xù)在射線43、上運動，直線Z。、CP交息為M,則/CM0變

化嗎？若變化，則說明理由，若不變，則求出它的度數(shù).

5.如圖1,△NBC是邊長為5厘米的等邊三角形，點尸、。分別從頂點8同時出發(fā)，沿線段42、BC

運動，且它們的速度都為1厘米/秒，當點尸到達點2時，尸、。兩點停止運動.設點P的運動時間為f(s).

(1)當運動時間為f秒時，8。的長為厘米，8P的長為厘米；(用含f的式子表示)

(2)當△臺尸。是直角三角形時，求f的值；

(3)如圖2,連接CP,相交于點則點尸、。在運動的過程中，會變化嗎？若變化，則說明

理由；若不變，請求出它的度數(shù).

6.如圖：等邊三角形48c中，D、E分別是BC、/C邊上的點，BD=CE,與BE相交于點P,

AP=6,。是射線尸￡上的動點.

A

(1)求證：AABD學ABCE；

⑵求的度數(shù)；

(3)若△NP0為直角三角形，求尸。的值.

J【壓軸題型八直角三角形全等的判定壓軸問題】

Ap

1.如圖，ZUBC的角平分線/尸,8￡相交于點尸，若/3=/C=13,2C=10,則一的值為()

2.如圖，已知：四邊形/BCD中，對角線8。平分//8C,ZACB=72°,448c=50。，并且

ZBAD+ZCAD=1S0°,那么/BDC的度數(shù)為

3.夯實基礎：

(1)如圖1,點尸是/4BC的角平分線上AD的一點，PEL4B于點、E,PF_LBC與點、F,有以下結(jié)論：①

PE=PF；②BE=BF；③NBPE=/BPF,其中正確的是.

理解應用：

圖1

(2)圖2,點。是NEO9的平分線OC上一點，點/,點2分別在邊OE、。廠上，且

ZAOB+ZADB=1SO°,探究4D與。3之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明;

拓展延伸：

(3)如圖3,點。是NEO9的平分線0c上一點，點/，點2分別在邊?！?、。尸上，DA=DB,且

ZEOF=120°,探究04OB,0D之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由.

4.如圖，在△4BC中，8。是NC邊上的高線，已知/4=2/CBZ).

(1)如圖1,證明：AB=AC；

(2)點E是4D上一點，NABE=NCBD.

①若BD=DE,BD=\,如圖2,求CD的長;

②延長N3至點尸，使得CF=BE,如圖3,證明：NF=3NCBD.

5.如圖1,已知4ABC,NACB=90°,NABC=45°,分別VXAB.BC為邊向外作AABD與&BCE，且。/=,

EB=EC,ZADB=ZBEC=90°,連接交于點尸.

⑴探究：4尸與5尸的數(shù)量關(guān)系，請寫出你的猜想，并加以證明.

(2)如圖2,若/4BC=30。，ZADB=NBEC=60。，題目中的其他條件不變,(1)中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化?

請寫出你的猜想并加以證明;

(3)如圖3,若N4DB=NBEC=mN4BC,題目中的其他條件不變，使得(1)中得到的結(jié)論仍然成立，請直接

寫出加的值.

6.如圖，在銳角三角形/3C中，AB<AC,AD是角平分線，DM,DV分別是△NAD,A/CD的高，點E

在DC上，S.DE=DB,動點/在邊/C上(不包括兩端點)，連接FE,FD.

備用圖

【問題感知】

⑴填空：DMDN(填“>”，"=”或“<”)；

【探究發(fā)現(xiàn)】

(2)若/尸匹=/2,小杰經(jīng)過探究，得到結(jié)論：ZAFD=ZEFD.請你幫小杰證明此結(jié)論；

【類比探究】

(3)若/FEB+/8=180。，請判斷上述結(jié)論是否成立.若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由；

【拓展提升】

(4)已知48=5,BM=1,0M=3,若點￡關(guān)于。尸的對稱點夕落在邊NC上，連接。夕，請直接寫出△/中￡)

的面積.

j【壓軸題型九用勾股定理解三角形】

1.如圖，4403=30。，點跖N分別是射線0/,08上的動點，O尸平分且。尸=6,當“AW的

周長取最小值時，MN的長為()

C.1873-18D.12

2.如圖，△4BC中，AB=4,BC=而,NC=5也，點尸為NC邊上的動點，當A4B尸是等腰三解形時,

AP的長為.

3.在RtZ\/8C中，已知NA4c=90。，AB>AC,點。在射線5c上，連接NADB=2NB.

(1)如圖1,若AD的垂直平分線經(jīng)過點B,求/C的度數(shù);

⑵如圖2,當點。在邊3c上時，求證：8c=240；

(3)若NC=2,BD=5CD,請直接寫出CD的長.

4.如圖，RtA43C中，ZACB=90°,。為42中點，點￡在直線5c上(點￡不與點B,C重合)，連接

DE,過點。作。尸，ZJE交直線ZC于點R連接所.

(1)如圖1,當點尸與點/重合時，請直接寫出線段所與BE的數(shù)量關(guān)系；

(2)如圖2,當點尸不與點4重合時，請寫山線段4尸，EF,BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;

⑶若/C=10,BC=6,EC=2,請直接寫出線段/月的長.

5.在ZUBC中，NACB=90°,AC=BC,過點C作48的平行線/，點P是直線/上異于點C的動點，連接

AP,過點尸作4P的垂線交直線8c于點。.

(1)如圖1,當點尸在點C的右側(cè)時,

①求證：PA=PD；

②試判定線段C4,CD,CP之間有何數(shù)量關(guān)系？寫出你的結(jié)論，并證明;

(2)若/C=3五,/P=5,求線段8。的長.

6.綜合與實踐.

數(shù)形結(jié)合思想可以借助于數(shù)的精確性來闡明形的某些屬性，或者借助形的幾何直觀來闡明數(shù)之間某種關(guān)系.

圖1圖2圖3圖4

(1)2002年世界數(shù)學家大會(/CM2002)在北京召開，這屆大會會標(如圖1)的中央圖案是經(jīng)過藝術(shù)處理

的“弦圖”(如圖2),它由4個全等的直角三角形拼成，請觀察“弦圖”，直接寫出a,b,。滿足的等量關(guān)系為

,并利用圖形的“等面積思想”加以證明.

(2)某數(shù)學興趣小組，采用數(shù)形結(jié)合思想解決了如下問題.

已知線段43=8,點C在線段N3上，/C=x,BC=y,求+4+//+二的最小值,他們解決問題的

思路是，如圖3,在線段的同側(cè)構(gòu)造了兩個Rt4/C。和RMBCE,ZCAD=ZCBE=90°,令

AD=2,BE=4,利用勾股定理，得出CA=Jf+4,CE=^y2+l6,從而將問題轉(zhuǎn)化成求“CD+CE最小

值”問題，再利用“將軍飲馬”模型，就完成了解答，請你寫出解答過程.

(3)如圖4,在ZUBC中，/C43=30。，點E分別為4B、8c上的動點，且

BD=CE,AC=2A/3,BC=2,求NE+。的最小值.

【壓軸題型十勾股定理與折疊問題】

1.如圖，已知在中，ZABC=90°,乙4=30。，2c=2,點M,N在/C邊上，將ABOV沿著3N

折疊，使點C的對應點C'恰好落在4c邊上，將沿著折疊，使點力的對應點H恰好落在8c的

延長線上，則器的值為()

Cy/~6+V2DV6+V3

A.V3B.V3+V2

23

2.如圖，在△4BC中，48=6石，/C=12,BC=6,將△23C折疊，得到折痕。￡,且頂點5恰好與點

/重合，點C落在點尸處，則CE的長為

3.在四邊形4BCD中,ZDAB=ZB=ZC=ZD=90°,AB=CD=10,BC=AD=S.

r

DE(7D(DC

ABAEAB

圖①圖②備用圖

(1)若P為邊2c上一點，如圖①將A/BP沿直線NP翻折至△/￡尸的位置，當點8落在CD邊上點￡處時,

求尸8的長;

(2)如圖②,點Q為射線DC上的一個動點，將△血。沿工。翻折，點。恰好落在直線8。上的點。處,求。。

的長.

4.在數(shù)學實驗課上，李同學剪了兩張直角三角形紙片，進行了如下的操作:

操作一：如圖1,將RtZi/BC紙片沿某條直線折疊，使斜邊兩個端點/與8重合，折痕為OE.

(1)如果/C=5.5cm,SC=6.5cm,可得A/CD的周長為；

(2)如果/C<D:484D=1:2,可得的度數(shù)為；

操作二：如圖2,李同學拿出另一張RtZUBC紙片，將直角邊/C沿直線。折疊，使點/與點E重合，若

^5=10cm,2c=8cm,請求出BE的長.

5.如圖、△4BC為一塊直角三角形紙片，ZC=90°.

AA

【問題初探工直角三角形紙片的對折問題，可以通過全等變換把所求線段轉(zhuǎn)化成直角三角形的邊，進而通

過勾股定理來解決，體現(xiàn)數(shù)學中的轉(zhuǎn)化思想.

(1)如圖1,現(xiàn)將紙片沿直線折疊，使直角邊NC落在斜邊42上，。的對應點為E,若

AC-6cm,BC-8cm,求CD的長.

【學以致用】

(2)如圖2,若將直角/C沿MN折疊，點C與中點a重合，點分別在NC,8c上，則

之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論.

6.探究式學習是新課程提倡的重要學習方式，某興趣小組擬做以下探究.(注：長方形的對邊平行且相等,

四個角都是直角)

圖1圖2

【初步感知】

(1)如圖1,在三角形紙片48c中，ZC=90°,AC=18,BC=12,將其沿?！暾郫B，使點力與點8重

合，折痕與NC交于點E,求CE的長;

【深入探究】

(2)如圖2,將長方形紙片/BCD沿著對角線3。折疊，使點C落在C處，BC'交4D于E,若48=4,

BC=6,求4E■的長;

【拓展延伸】

(3)如圖3,在長方形紙片4BCD中，48=10,BC=16,點￡從點/出發(fā)以每秒2個單位長度的速度沿

射線4D運動，把沿直線BE折疊，當點力的對應點廠剛好落在線段5c的垂直平分線上時，直接寫

出運動時間t(秒)的值.

二j【壓軸題型十一勾股定理的應用】

1.如圖，鐵路MV和公路尸。在點。處交匯，NQON=30°.公路尸。上A處距。點240米，如果火車行駛

時，周圍200米以內(nèi)會受到噪音的影響.那么火車在鐵路上沿ON方向以20米/秒的速度行駛時，A處

受噪音影響的時間為（）

C.20秒D.30秒

2.某漁船上的漁民在/處觀測到燈塔M在北偏東60。方向處，這艘漁船以每小時40海里的速度向正東方

向航行，1小時后到達B處，在B處觀測到燈塔M在北偏東30。方向處.則B處與燈塔的距離是

3.如圖，四邊形/8CA為某街心公園的平面圖，經(jīng)測量48=8。=40=100米，CD=10（）6米，且

zS=90°.

（1）求/。48的度數(shù);

（2）若8/為公園的車輛進出口道路（道路的寬度忽略不計），工作人員想要在點。處安裝一個監(jiān)控裝置來

監(jiān)控道路山的車輛通行情況，已知攝像頭能監(jiān)控的最大范圍為周圍的100米（包含100米），求被監(jiān)控到

CB

4.《九章算術(shù)》卷九“勾股”中記載：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，適與岸齊，問水

深、葭長各幾何.大意是：如圖，水池底面的寬=1丈，蘆葦OC生長在N2的中點。處，高出水面的部

分CD=1尺.將蘆葦向池岸牽引，尖端達到岸邊時恰好與水面平齊，即OC=OE,求水池的深度和蘆葦?shù)?/p>

長度(1丈等于10尺).

(1)求水池的深度

(2)中國古代數(shù)學家劉徽在為《九章算術(shù)》作注解時，更進一步給出了這類問題的一般解法.他的解法用現(xiàn)

代符號語言可以表示為：若已知水池寬/8=2”，蘆葦高出水面的部分則水池的深度

2_2

(OD=6)可以通過公式6=4二L計算得到.請證明劉徽解法的正確性.

2n

5.(1)【閱讀理解】勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學定理之一，是用代數(shù)思想解決幾何問題的

最重要的工具之一，它不但因證明方法層出不窮吸引著人們，更因為應用廣泛而使人著迷.下面四幅圖中,

不能證明勾股定理的是「

(2)【實踐操作】如圖1,在數(shù)軸上找出表示2的點A,過點A作直線/垂直于在/上取點8,使

AB=\,以原點。為圓心，長為半徑作弧，則弧與數(shù)軸負半軸的交點C表示的數(shù)是」

(3)【延伸應用】如圖2,有一個小朋友拿著一根竹竿要通過一個長方形的門，如果把竹竿豎放就比門高出

2尺，斜放就恰好等于門的對角線(2。)，已知門寬6尺，求竹竿長.

圖1圖2

6.如圖，某區(qū)有/,B,C,。四個景點，景點/,D,C依次在東西方向的一條直線上，現(xiàn)有公路

AB,AD,BD,DC,己知N8=20km,AD=12km,BD=16km,CD=30km.

（1）通過計算說明公路8。是否與NO垂直；

（2）市政府準備在景點2,C之間修一條互通大道（即線段3C）,并在大道上的E處修建一座涼亭方便游

客休息，同時。，E之間也修建一條互通大道（即線段。￡）,且DEL8c.若修建互通大道2C,OE的費

用均是每千米17萬元，請求出修建互通大道2C,的總費用.

【壓軸題型十二勾股定理中的最短路徑問題】

1.如圖是放在地面上的一個長方體盒子，其中/3=9,BC=6,3/=5,點M在棱上，且NM=3,

點N是FG的中點，一只螞蟻沿著長方體盒子的表面從點M爬行到點N,它需要爬行的最短路程為（