實數的概念與運算1．從考查的題型來看，涉及此板塊知識點的試題主要以選擇題、填空題的形式單獨考查，極少數試題會以解答題的形式考查，題型較簡單，基本屬于低檔或者中低檔題。2．從考查內容來看，主要以實數的概念與運算為核心進行考查。實數的概念與運算的重點：有理數，有理數的絕對值與比較大小，有理數的四則運算法則；平方根(立方根)，非負數，無理數及其估算，實數與數軸的關系。3．從考查熱點來看，涉及本知識點中的問題就是實數與生活生產相結合的問題：科學記數法，有理數正負表示，實數的加減乘除乘方法則在實際問題的應用等。1．數軸：規定了原點、單位長度和正方向的直線叫做數軸.數軸上所有的點與全體實數一一對應.2．相反數：只有符號不同，而絕對值相同的兩個數稱為互為相反數，若a、b互為相反數，則a+b=0.3．倒數：1除以一個不等于零的實數所得的商，叫做這個數的倒數.若a、b互為倒數，則ab=1.4．絕對值：數軸上表示數a的點與原點的距離，記作|a|.5．實數的分類：（1）按照定義分類（2）按照正負分類注意：0既不屬于正數，也不屬于負數.另外，在理解無理數時，要注意“無限不循環”，歸納起來有四類：（1）開方開不盡的數，如，等；（2）有特定意義的數，如圓周率π，或化簡后含有π的數，如等；（3）有特定結構的數，如0.1010010001…等；（4）某些三角函數，如sin60°等.6．科學記數法：科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．當原數絕對值大于10時，寫成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原數的整數位數減1；當原數絕對值小于1時，寫成a×10?n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原數左邊第一個非零的數字前的所有零的個數（包括小數點前面的零）.7．近似數：近似數與準確數的接近程度通常用精確度來表示，近似數一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就說這個近似數精確到哪一位.8．平方根：（1）算術平方根的概念：若x2＝a(x＞0)，則正數x叫做a的算術平方根.（2）平方根的概念：若x2＝a，則x叫做a的平方根.（3）表示：a的平方根表示為，a的算術平方根表示為.（4）9．立方根：（1）定義：若x3＝a，則x叫做a的立方根.（2）表示：a的立方根表示為.（3）.10．數的乘方：求個相同因數a的積的運算叫做乘方，乘方的結果叫冪.在an中，a叫底數，n叫指數.11．實數的運算：（1）有理數的運算定律在實數范圍內都適用，常用的運算定律有加法結合律、加法交換律、乘法交換律、乘法結合律、乘法分配律.（2）運算順序：先算乘方（開方），再算乘除，最后算加減；有括號的先算括號里面的.12．指數，負整數指數冪：a≠0，則a0=1；若a≠0，n為正整數，則.13．數的大小比較常用以下幾種方法：數軸比較法、差值比較法、絕對值比較法、乘方比較法、中間值比較法等等.一、選擇題1．（2022年浙江寧波市中考數學真題）的相反數等于（

）A． B．2022 C． D．【答案】B【分析】應用相反數的定義，只有符號不同的兩個數叫做互為相反數．進行計算即可得出答案．【詳解】解：的相反數等于2022．故選：B．【點睛】本題主要考查了相反數，熟練掌握相反數的定義進行求解是解決本題的關鍵．2．（2022年四川德陽市中考數學真試題）的絕對值是（）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】根據負數的絕對值是它的相反數即可得出答案．【詳解】解：故選A【點睛】本題考查求一個數的絕對值，根據絕對值的定義求解即可，比較簡單．3．（2022年四川省巴中市中考數學真題）下列各數是負數的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先將各選項的數進行化簡，再根據負數的定義進行作答即可【詳解】解：，是正數，故A選項不符合題意；，是正數，故B選項不符合題意；，是正數，故C選項不符合題意；，是負數，故D選項符合題意．【點睛】本題考查了負數的定義，涉及乘方，絕對值的化簡，立方根，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵．4．（2022年廣西玉林市中考數學真題）5的倒數是(

)A． B． C．5 D．【答案】A【分析】根據倒數的意義可直接進行求解．【詳解】解：5的倒數是；故選A．【點睛】本題主要考查倒數，熟練掌握求一個數的倒數是解題的關鍵．5．（2022年遼寧阜新市中考數學真題）在有理數，，0，2中，最小的是（）A． B． C．0 D．2【答案】B【分析】根據有理數比較大小的方法進行求解即可．【詳解】解：根據有理數比較大小的方法可知，∴最小的有理數是故選：B．【點睛】本題主要考查了有理數比較大小，熟知正數大于0，0大于負數，兩個負數比較大小絕對值越大其值越小是解題的關鍵．6．（2022年湖北襄陽中考數學真題）如果溫度上升2℃記作℃，那么溫度下降3℃記作（

）A．℃ B．℃C．℃ D．℃【答案】D【分析】根據正數與負數的表示方法，可得解．【詳解】解：上升2℃記作℃，下降3℃記作℃；故選：D．【點睛】本題考查正數和負數；能夠根據實際問題理解正數與負數的意義和表示方法是解題的關鍵．7．（2022·江蘇淮安·統考中考真題）年十三屆全國人大五次會議審議通過的政府工作報告中提出，今年城鎮新增就業目標為人以上．數據用科學記數法表示應為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】科學記數法的表示形式為的形式，其中，為整數．確定的值時，要看把原數變成時，小數點移動了多少位，的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值大于或等于時，是正整數；當原數的絕對值小于時，是負整數．【詳解】解：數據用科學記數法表示應為．故選：B.【點睛】本題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為的形式，其中，為整數，正確確定的值以及的值是解決問題的關鍵．二、填空題8．（2022年山東臨沂市中考數學真題）比較大小：______（填“”，“”或“”．【答案】【分析】根據實數的大小比較的方法，先將兩個無理數平方，根據正數平方越大，原實數就越大即可得．【詳解】解：∵，，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了實數的大小比較，靈活運用平方將無理數轉化為可比較大小的有理數是解題的關鍵．9．（2022年廣西柳州市中考數學真題）如果水位升高2m時水位變化記作+2m，那么水位下降2m時水位變化記作_____．【答案】﹣2m【分析】根據負數的意義，可得水位升高記作“+”，則水位下降記作“-”，水位不升不降時，記作0，據此解答即可．【詳解】解：如果水位升高2m時，水位變化記作+2m，那么水位下降2m時，水位變化記作-2m，故答案為：-2m．【點睛】本題主要考查了正負數的意義以及應用，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：水位升高記作“+”，則水位下降記作“-”，水位不升不降時，記作0．10．（2022年江蘇鎮江中考數學真題）“五月天山雪，無花只有寒”，反映出地形對氣溫的影響．大致海拔每升高100米，氣溫約下降．有一座海拔為2350米的山，在這座山上海拔為350米的地方測得氣溫是，則此時山頂的氣溫約為_________．【答案】－6或零下6【分析】根據題意“海拔每升高100米，氣溫約下降”，列出式子即可求解．【詳解】解：山頂的氣溫約為故答案為：－6或零下6．【點睛】本題考查了有理數混合運算（不帶乘方）的應用，正負數的意義，理解題意是解題的關鍵．11．（2022年湖北省黃石市中考數學真題）計算：____________．【答案】3【分析】根據有理數的乘法與零次冪進行計算即可求解．【詳解】解：原式＝．故答案為：3．【點睛】本題考查了實數的混合運算，掌握零次冪以及有理數的乘方運算是解題的關鍵．12．（2022年西藏中考數學真題試卷）已知，都是實數，若，則_____．【答案】【分析】根據絕對值，偶次冪的非負性求出，，再代入計算即可．【詳解】∵，∴，，即，，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了絕對值，偶次冪的非負性，求出，的值是解本題的關鍵．三、解答題13．（2022年廣西柳州市中考數學真題）計算：3×（﹣1）+22+|﹣4|．【答案】5【分析】先計算乘方運算，同步計算乘法運算，化簡絕對值，再合并即可．【詳解】解：原式＝﹣3+4+4＝5．【點睛】本題考查的是含乘方的有理數的混合運算，掌握“含乘方的有理數的混合運算的運算順序”是解本題的關鍵．14．（2022年內蒙古呼倫貝爾市、興安盟中考數學真題）計算：．【答案】【分析】根據負整數指數冪、30°角的余弦值、零次冪以及開立方的知識計算每一項，再進行實數的混合運算即可．【詳解】原式．【點睛】本題主要考查了含特殊角的三角函數值的實數的混合運算，牢記30°角的余弦值是解答本題的基礎．一、選擇題1．（2023·四川廣元·統考一模）的絕對值是（

）A． B．5 C． D．2．（2023·浙江紹興·統考一模）的相反數是（）A． B． C． D．3．（2023·江蘇宿遷·統考一模）的倒數是（）A． B．2 C． D．4．（2023·廣東·校聯考模擬預測）下列數中，最小的是（）A． B． C．0 D．25．（2023·吉林·統考一模）中國是世界上最早使用負數的國家，戰國時期李悝所著的《法經》中已使用負數．如果公元前500年記作年，那么公元2023年應記作（

）A．年． B．年． C．年． D．年．6．（2023·山東淄博·統考一模）太陽是太陽系的中心天體，離地球最近的恒星．太陽從中心向外可分為核反應區、輻射區、對流層和大氣層，太陽的年齡約億年現正處于“中年階段”．半徑為千米，是地球半徑的倍，千米用科學記數法表示為（）A．米 B．米 C．米 D．米7．（2023·浙江嘉興·統考一模）下列各式中，正確的是（

）A． B． C． D．二、填空題8．（2023·江蘇無錫·模擬預測）比較大小：3________．（填“”“”或“”）9．（2023·重慶·模擬預測）計算：________．10．（2023·黑龍江綏化·校聯考一模）某冷庫的溫度是，下降了，則變化后的冷庫的溫度是__________．11．（2023·浙江寧波·統考一模）若，則的值是_______．三、解答題12．（2023·浙江臺州·統考一模）計算：．13．（2023·浙江臺州·統考一模）計算：14．（2023·北京·校考模擬預測）計算：．一、選擇題1．下列四個數中，最小的數是（

）A．1 B．0 C． D．2．若實數的絕對值是，則的值是（

）A． B． C． D．3．與互為倒數的數是（

）A． B． C． D．4．如果規定收入為正，支出為負，收入3元記作3元，那么支出10元記作（

）A．5元 B．元 C．11元 D．元5．中國人使用負數最早可追溯到兩千多年前的秦漢時期，則的相反數為（

）A． B．2023 C． D．6．據悉，截至年底，中國高鐵營運里程約為米，數據用科學記數法可表示為（）A． B． C． D．7．南、北為兩個相反方向，如果表示一個物體向北移動5m，那么表示一個物體（）A．向北移動3m B．向南移動3m C．向北移動8m D．向南運動8m二、填空題8．4的算術平方根是____．9．______．10．計算：________．11．計算：______．三、解答題12．計算：．13．計算：．14．計算：名校預測1．D【分析】根據絕對值的性質，即可求解．【詳解】解：的絕對值是．故選：D【點睛】本題主要考查了求絕對值，熟練掌握正數的絕對值等于它本身，0的絕對值等于0，負負數的絕對值等于它的相反數是解題的關鍵．2．C【分析】只有符號不同的兩個數叫做互為相反數，根據相反數的定義即可得到答案．【詳解】解：的相反數是．故選：C【點睛】此題考查了相反數，熟練掌握相反數的定義是解題的關鍵．3．C【分析】根據倒數的定義求解即可．【詳解】解：的倒數是．故選C．【點睛】本題考查求一個數的倒數．掌握兩個數乘積是1的數互為倒數是解題關鍵．4．A【分析】根據有理數的大小比較法則，即可求解．【詳解】解：∵，∴，即最小的數是．故選：A．【點睛】本題主要考查了有理數的大小比較，絕對值，熟練掌握有理數的大小比較法則是解題的關鍵．5．C【分析】根據相反意義的量進行求解即可．【詳解】解：公元前500年記作年，公元前為“”，公元后為“”，公元2023年就是公元后2023年，公元2023年應記作年．故選：C．【點睛】本題考查了相反意義的量，理解相反意義的量是解題的關鍵．6．B【分析】科學記數法的表現形式為的形式，其中，n為整數，確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同，當原數絕對值大于等于10時，n是正數，當原數絕對值小于1時n是負數；由此進行求解即可得到答案．【詳解】解：千米米，故選B．【點睛】本題主要考查了科學記數法，解題的關鍵在于能夠熟練掌握科學記數法的定義．7．A【分析】根據冪的運算，算術平方根，平方根的意義計算即可．【詳解】A、，符合題意；B、，不符合題意；C、，不符合題意；D、，不符合題意；故選：A．【點睛】本題考查了冪的運算，算術平方根，平方根的意義，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．8．【分析】先分別計算兩個數的平方，然后進行比較即可解答．【詳解】解：∵，，∵，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了實數大小比較，算術平方根，熟練掌握平方運算比較大小是解題的關鍵．9．【分析】利用絕對值的定義，零指數冪計算．【詳解】解：故答案為：．【點睛】本題考查了實數的運算，解題的關鍵是掌握絕對值的定義，零指數冪．10．【分析】用冷庫的溫度減去下降的溫度，然后根據有理數的減法運算法則進行計算即可．【詳解】解：，∴變化后的冷庫的溫度是，故答案為：．【點睛】本題考查了有理數的減法運算，熟記運算法則是解題的關鍵．11．【分析】根據一個數的平方的非負性及算術平方根的非負性即可解答；【詳解】解：∵，∴，，∴，，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了一個數的平方的非負性及算術平方根的非負性，有理數的乘方運算，掌握一個數的平方的非負性及算術平方根的非負性是解題的關鍵．12．0【分析】先分別求算術平方根，絕對值，乘方，然后進行加減運算即可．【詳解】解：原式．【點睛】本題考查了算術平方根，絕對值，乘方．解題的關鍵在于正確的運算．13．【分析】根據求一個數的絕對值，零指數冪，特殊角的三角函數值進行計算即可求解．【詳解】解：．【點睛】本題考查了求一個數的絕對值，零指數冪，特殊角的三角函數值，熟練掌握求一個數的絕對值，零指數冪，特殊角的三角函數值是解題的關鍵．14．【分析】根據負整數指數冪，零次冪，化簡絕對值，特殊角的三角函數值進行計算即可求解．【詳解】解：．【點睛】本題考查了實數的混合運算，掌握負整數指數冪，零次冪，化簡絕對值，特殊角的三角函數值是解題的關鍵．專家押題1．D【分析】根據有理數比較大小的方法進行求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴四個數中最小的數是，故選D．【點睛】本題主要考查了有理數比較大小，熟知正數大于0，0大于負數，兩個負數比較大小，絕對值越大其值越小是解題的關鍵．2．C【分析】根據絕對值的意義即可求解．【詳解】解：實數的絕對值是，則的值是，故選：C．【點睛】本題考查了實數的性質，絕對值的意義，熟練掌握實數的性質是解題的關鍵．3．C【分析】根據乘積為1的兩個數互為倒數，可得答案．【詳解】解：與互為倒數的數是；故選：C．【點睛】本題考查了倒數，乘積為1的兩個數互為倒數．4．B【分析】根據正負數的意義收入為正，那么支出為負進行選擇即可．【詳解】解：由題意得：支出10元記作元；故選B．【點睛】本題主要考查正負數的意義，熟練掌握正負數的意義是解題的關鍵．5．D【分析】根據相反數的意義可得．【詳解】解：根據相反數的意義得出：的相反數是，故選：D．【點睛】本題考查的是相反數，解題的關鍵是掌握相反數的意義．6．A【分析】科學記數法的表現形式為的形式，其中，n為整數，確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同，當原數絕對值大于等于10時，n是正數，當原數絕對值小于1時n是負數；由此進行求解即可得到答案．【詳解】解：，故選：A．【點睛】本題主要考查了科學記數法，解題的關鍵在于能夠熟練掌握科學記數法的定義．7．B【分析】根據正數和負數的意義解答即可．【詳解】解：南、北為兩個相反方向，如果表示一個物體向北移動5m，那么表示一個物體向南移動3m，故選：B．【點睛】本題考查正數和負數，明確正數和負數，相反意義的量用正數和負數表示是解題的關鍵．8．【分析】根據算術平方根定義直接求解即可得到答案．【詳解】解：4的算術平方根是，故答案為：．【點睛】本題考查算術平方根定義，熟記算術平方根定義是解決問題的關鍵．9．3【分析】根據絕對值的性質和零指數冪的性質計算即可．【詳解】解：原式．故答案為：3．【點睛】本題考查實數的運算，熟練掌握實數的運算法則是解題關鍵．10．3【分析】原式先化簡，再進行減法運算即可．【詳解】解：＝3，故答案為：3．【點睛】本題主要考查了實數的運算，正確化簡是解答本題的關鍵．11．18【分析】分別計算負指數冪，零指數冪和乘方，再算加減法．【詳解】解：故答案為：18．【點睛】本題考查了實數的混合運算，解題的關鍵是掌握負指數冪，零指數冪和乘方的運算法則．12．【分析】根據有理數的混合運算進行計算即可求解．【詳解】解：原式＝．【點睛】本題考查了含乘方的有理數的混合運算，正確的計算是解題的關鍵．13．1【分析】先化簡二次根式、絕對值，負整數指數冪、特殊角三角函數值，再進行計算即可．【詳解】解：原式．【點睛】本題考查特殊角的三角函數值的計算．熟記特殊角的三角函數值，正確的計算，是解題的關鍵．14．【分析】先化簡二次根式、計算特殊角的正弦值、化簡絕對值、計算零指數冪，再計算實數的混合運算即可．【詳解】解：．【點睛】本題考查實數的混合運算，涉及化簡二次根式、特殊角的正弦值、化簡絕對值和零指數冪．掌握實數的混合運算法則是解題關鍵．中考中考倒計時19天代數式1．從考查的題型來看，涉及本知識點的問題多以填空題、選擇題為主的形式考查，部分涉及本知識點以解答題形式的出現，屬于中低檔題2．從考查內容來看，涉及本知識點主要的有整式：冪的運算(同底數冪相乘、冪的乘方、積的乘方、同底數冪相除)、合并同類項、整式的加減、整式的乘法法則；分式:分式的意義、分式的加減乘除化簡；二次根式：二次根式的混合運算、二次根式的意義與化簡；因式分解:因式分解與整式乘法的區別、選用適當的方法進行分解因式、分式的化簡中運用因式分解.3．從考查熱點來看,涉及本知識點主要有合并同類項、代數式的化簡求值、因式分解、分式的意義將成為中考命題的熱點.1）代數式代數式的書寫要注意規范，如乘號“×”用“·”表示或省略不寫；分數不要用帶分數；除號用分數線表示等.2）整式1．單項式：由數與字母或字母與字母相乘組成的代數式叫做單項式，所有字母指數的和叫做單項式的次數，數字因數叫做單項式的系數.注：①單項式是由系數、字母、字母的指數構成的，其中系數不能用帶分數表示，如，這種表示就是錯誤的，應寫成；②一個單項式中，所有字母的指數的和叫做這個單項式的次數。如是6次單項式。2．多項式：由幾個單項式相加組成的代數式叫做多項式，多項式里次數最高的項的次數叫做這個多項式的次數，其中不含字母的項叫做常數項.3．整式：單項式和多項式統稱為整式.4．同類項：多項式中所含字母相同并且相同字母的指數也相同的項，叫做同類項.5．整式的加減：一般地，幾個整式相加減，如果有括號就先去括號，然后再合并同類項.6．冪的運算：am·an=am+n；（am）n=amn；（ab）n=anbn；am÷an=.7．整式的乘法：（1）單項式與單項式相乘，把它們的系數、相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數作為積的一個因式.（2）單項式與多項式相乘：m（a+b+c）=ma+mb+mc.（3）多項式與多項式相乘：（m+n）（a+b）=ma+mb+na+nb.8．乘法公式：（1）平方差公式：.（2）完全平方公式：.9．整式的除法：（1）單項式除以單項式，把系數、同底數的冪分別相除，作為商的因式：對于只在被除式含有的字母，則連同它的指數作為商的因式.（2）多項式除以單項式：先把這個多項式的每一項除以單項式，再把所得的商相加.3）因式分解1．把一個多項式化成幾個因式積的形式，叫做因式分解，因式分解與整式乘法是互逆運算.2．因式分解的基本方法：（1）提取公因式法：.（2）公式法：運用平方差公式：.運用完全平方公式：.3．分解因式的一般步驟：（1）如果多項式各項有公因式，應先提取公因式；（2）如果各項沒有公因式，可以嘗試使用公式法：為兩項時，考慮平方差公式；為三項時，考慮完全平方公式；為四項時，考慮利用分組的方法進行分解；（3）檢查分解因式是否徹底，必須分解到每一個多項式都不能再分解為止。以上步驟可以概括為“一提二套三檢查”。4）分式1．分式的定義（1）一般地，整式A除以整式B，可以表示成的形式，如果除式B中含有字母，那么稱為分式．（2）分式中，A叫做分子，B叫做分母．【注】①若B≠0，則有意義；②若B=0，則無意義；③若A=0且B≠0，則=0．2．分式的基本性質分式的分子與分母都乘以（或除以）同一個不等于零的整式，分式的值不變．用式子表示為或，其中A，B，C均為整式．3．約分及約分法則（1）約分：把一個分式的分子和分母的公因式約去，這種變形稱為分式的約分．（2）約分法則：把一個分式約分，如果分子和分母都是幾個因式乘積的形式，約去分子和分母中相同因式的最低次冪；分子與分母的系數，約去它們的最大公約數．如果分式的分子、分母是多項式，先分解因式，然后約分．【注】約分的根據是分式的基本性質．約分的關鍵是找出分子和分母的公因式．4．最簡分式：分子、分母沒有公因式的分式叫做最簡分式．【注】約分一般是將一個分式化為最簡分式，分式約分所得的結果有時可能成為整式．5．通分及通分法則（1）通分：根據分式的基本性質，把幾個異分母的分式分別化為與原來的分式相等的同分母的分式，這一過程稱為分式的通分．（2）通分法則把兩個或者幾個分式通分：①先求各個分式的最簡公分母（即各分母系數的最小公倍數、相同因式的最高次冪和所有不同因式的積）；②再用分式的基本性質，用最簡公分母除以原來各分母所得的商分別去乘原來分式的分子、分母，使每個分式變為與原分式的值相等，而且以最簡公分母為分母的分式；③若分母是多項式，則先分解因式，再通分．【注】通分的根據是分式的基本性質．通分的關鍵是確定幾個分式的最簡公分母．6．最簡公分母：幾個分式通分時，通常取各分母系數的最小公倍數與所有字母因式的最高次冪的積作為公分母，這樣的分母叫做最簡公分母．7．分式的運算（1）分式的加減①同分母的分式相加減法則：分母不變，分子相加減．用式子表示為：．②異分母的分式相加減法則：先通分，變為同分母的分式，然后再加減．用式子表示為：．（2）分式的乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母．用式子表示為：．（3）分式的除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后與被除式相乘．用式子表示為：．（4）分式的乘方法則：分式的乘方，把分子、分母分別乘方．用式子表示為：為正整數，．（5）分式的混合運算：含有分式的乘方、乘除、加減的多種運算叫做分式的混合運算．混合運算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減．有括號的，先算括號里的．5）二次根式1．二次根式的有關概念（1）二次根式的概念：形如的式子叫做二次根式．其中符號“”叫做二次根號，二次根號下的數叫做被開方數．【注】被開方數只能是非負數．即要使二次根式有意義，則a≥0．（2）最簡二次根式：被開方數所含因數是整數，因式是整式，不含能開得盡方的因數或因式的二次根式，叫做最簡二次根式．（3）同類二次根式：化成最簡二次根式后，被開方數相同的幾個二次根式，叫做同類二次根式．2．二次根式的性質（1）≥0（≥0）；（2）；（3）；（4）；（5）．3．二次根式的運算（1）二次根式的加減合并同類二次根式：在二次根式的加減運算中，把幾個二次根式化為最簡二次根式后，若有同類二次根式，可把同類二次根式合并成一個二次根式．（2）二次根式的乘除乘法法則：；除法法則：．（3）二次根式的混合運算二次根式的混合運算順序與實數的運算順序一樣，先乘方，后乘除，最后加減，有括號的先算括號內的．在運算過程中，乘法公式和有理數的運算律在二次根式的運算中仍然適用．一．選擇題1．（2022?攀枝花）下列各式不是單項式的為（）A．3 B．a C． D．x2y【分析】根據單項式的概念判斷即可．【解答】解：A、3是單項式，故本選項不符合題意；B、a是單項式，故本選項不符合題意；C、不是單項式，故本選項符合題意；D、x2y是單項式，故本選項不符合題意；故選：C．2．（2022?無錫）分式中x的取值范圍是（）A．x≠2 B．x≠﹣2 C．x≤﹣2 D．x≤2【分析】由分母不等于0列式計算即可．【解答】解：∵分式有意義，∴2﹣x≠0，解得x≠2，故選：A．3．（2022?西藏）下列計算正確的是（）A．2ab﹣ab＝ab B．2ab+ab＝2a2b2 C．4a3b2﹣2a＝2a2b D．﹣2ab2﹣a2b＝﹣3a2b2【分析】根據合并同類項法則進行一一計算．【解答】解：A、2ab﹣ab＝（2﹣1）ab＝ab，計算正確，符合題意；B、2ab+ab＝（2+1）ab＝3ab，計算不正確，不符合題意；C、4a3b2與﹣2a不是同類項，不能合并，計算不正確，不符合題意；D、﹣2ab2與﹣a2b不是同類項，不能合并，計算不正確，不符合題意．故選：A．4．（2022?濟寧）下面各式從左到右的變形，屬于因式分解的是（）A．x2﹣x﹣1＝x（x﹣1）﹣1 B．x2﹣1＝（x﹣1）2 C．x2﹣x﹣6＝（x﹣3）（x+2） D．x（x﹣1）＝x2﹣x【分析】根據因式分解的定義判斷即可．【解答】解：A選項不是因式分解，故不符合題意；B選項計算錯誤，故不符合題意；C選項是因式分解，故符合題意；D選項不是因式分解，故不符合題意；故選：C．5．（2022?安順）估計（+）×的值應在（）A．4和5之間 B．5和6之間 C．6和7之間 D．7和8之間【分析】直接利用二次根式的性質結合估算無理數的大小方法得出答案．【解答】解：原式＝2+，∵3＜＜4，∴5＜2+＜6，故選：B．二．填空題6．（2022?菏澤）若在實數范圍內有意義，則實數x的取值范圍是x＞3．【分析】根據二次根式的被開方數是非負數、分母不為0列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由題意得，x﹣3＞0，解得x＞3．故答案為：x＞3．7．（2022?遼寧）分解因式：3x2y﹣3y＝3y（x+1）（x﹣1）．【分析】先提公因式，再利用平方差公式繼續分解即可解答．【解答】解：3x2y﹣3y＝3y（x2﹣1）＝3y（x+1）（x﹣1），故答案為：3y（x+1）（x﹣1）．8．（2022?恩施州）因式分解：a3﹣6a2+9a＝a（a﹣3）2．【分析】先提公因式a，再利用完全平方公式進行因式分解即可．【解答】解：原式＝a（a2﹣6a+9）＝a（a﹣3）2，故答案為：a（a﹣3）2．9．（2022?襄陽）化簡分式：+＝m．【分析】根據分式的加減運算法則即可求出答案．【解答】解：原式＝＝＝m，故答案為：m．10．（2022?青海）木材加工廠將一批木料按如圖所示的規律依次擺放，則第n個圖中共有木料根．【分析】觀察圖形可得：第n個圖形最底層有n根木料，據此可得答案．【解答】解：由圖可知：第一個圖形有木料1根，第二個圖形有木料1+2＝3（根），第三個圖形有木料1+2+3＝6（根），第四個圖形有木料1+2+3+4＝10（根），.....．第n個圖有木料1+2+3+4+......+n＝（根），故答案為：．三．解答題11．（2022?河池）計算：|﹣2|﹣3﹣1﹣×+（π﹣5）0．【分析】先去絕對值，計算負整數指數冪，零指數冪和二次根式乘法，再合并即可．【解答】解：原式＝2﹣﹣2+1＝．12．（2022?安順）（1）計算：（﹣1）2+（π﹣3.14）0+2sin60°+|1﹣|﹣．（2）先化簡，再求值：（x+3）2+（x+3）（x﹣3）﹣2x（x+1），其中x＝．【分析】（1）先化簡各式，然后再進行計算即可解答；（2）先去括號，再合并同類項，然后把x的值代入化簡后的式子，進行計算即可解答．【解答】解：（1）（﹣1）2+（π﹣3.14）0+2sin60°+|1﹣|﹣＝1+1+2×+﹣1﹣2＝2++﹣1﹣2＝1；（2）（x+3）2+（x+3）（x﹣3）﹣2x（x+1）＝x2+6x+9+x2﹣9﹣2x2﹣2x＝4x，當x＝時，原式＝4×＝2．13．（2022?襄陽）先化簡，再求值：（a+2b）2+（a+2b）（a﹣2b）+2a（b﹣a），其中a＝﹣，b＝+．【分析】直接利用完全平方公式、平方差公式化簡，進而合并同類項，再把已知數據代入得出答案．【解答】解：原式＝a2+4b2+4ab+a2﹣4b2+2ab﹣2a2＝6ab，∵a＝﹣，b＝+，∴原式＝6ab＝6×（﹣）（+）＝6．14．（2022?內蒙古）先化簡，再求值：（﹣x﹣1）÷，其中x＝3．【分析】先通分算括號內的，把除化為乘，化簡后將x＝3代入計算即可．【解答】解：原式＝?＝﹣?＝﹣，當x＝3時，原式＝﹣＝﹣5．15．（2022?營口）先化簡，再求值：（a+1﹣）÷，其中a＝+|﹣2|﹣（）﹣1．【分析】先把括號內通分，再把除法運算化為乘法運算，接著把分子分母因式分解，則約分得到原式＝，然后根據算術平方根的定義、絕對值和負整數指數冪的意義計算出a的值，最后把a的值代入計算即可．【解答】解：原式＝?＝?＝?＝?＝，∵a＝+|﹣2|﹣（）﹣1＝3+2﹣2＝3，∴原式＝＝．一．選擇題1．（2023?楊浦區二模）下列單項式中，xy2的同類項是（）A．x3y2 B．x2y C．2xy2 D．2x2y32．（2023?呼和浩特一模）下列運算正確的是（）A． B．5y3?3y5＝15y15 C． D．3x2y+2xy2＝5x2y23．（2023?安慶模擬）下列分解因式正確的是（）A．x2+2x+1＝x（x+2）+1 B．x2+2x+1＝（x+1）（x﹣1） C． D．x2+x＝x（x+1）4．（2023?西青區一模）計算的結果是（）A． B． C．3 D．2二．填空題5．（2023?灞橋區校級三模）若代數式有意義，則實數x的取值范圍為．6．（2023?文山市一模）若代數式有意義，則實數x的取值范圍為．7．（2023?惠東縣一模）已知a2﹣a＝1，則代數式3+2a﹣2a2的值為．8．（2023?福安市二模）已知a+b＝7，a2+b2＝25，則ab＝．9．（2023?杏花嶺區校級模擬）有一組數依次為，，，…按此規律，第n個數為.（用含n的代數式表示）三．解答題10．（2023?城關區一模）計算：．11．（2023?未央區校級三模）因式分解：9（m+n）2﹣16（m﹣n）2．12．（2023?東營區一模）計算及先化簡，再求值：（1）計算：﹣2；（2）先化簡，再求值：，其中x從﹣3、﹣2、﹣1中選擇一個適當的數代入．13．（2023?南關區校級模擬）先化簡，再求值：（x+y）2﹣x（x+y）+（x﹣y）（x+y），其中x＝1，y＝．14．（2023?東莞市校級一模）先化簡，再求值：，其中．一．選擇題1．下列計算正確的是（）A．+＝ B．2+3＝5 C．×＝ D．2×3＝62．下列運算正確的是（）A．2x﹣y＝﹣xy B．x﹣2x＝﹣x C．x2+x2＝x4 D．（x﹣1）2＝x2﹣13．若x﹣2y＝3，則4﹣x+2y的值為（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣24．下列因式分解正確的是（）A．y2﹣x2＝（y+x）（x﹣y） B．x2﹣4x+2＝（x﹣2）2 C．9xy2+6xy+x＝x（3y+1）2 D．x2y﹣xy2＝x（x+y）（x﹣y）5．把黑色圓點按如圖所示的規律拼圖案，其中第①個圖案中有4個黑色圓點，第②個圖案中有6個黑色圓點，第③個圖案中有8個黑色圓點，…，按此規律排列下去，則第⑦個圖案中黑色圓點的個數為（）A．12 B．14 C．16 D．186．化簡的結果為（）A．a﹣b B．a+b C． D．二．填空題7．若代數式有意義，則實數x的取值范圍為．8．若分式的值為0，則x＝．9．因式分解：ax2﹣4ax+4a＝．10．如果多項式16a2+ma+9是一個完全平方式，那么常數m的值為．三．解答題11．計算：．12．因式分解：3a2﹣12ab+12b213．先化簡，再求值：，其中x從﹣1，0，1，2，3中選取一個合適的數．14．在計算題目：“已知：M＝3x2﹣4x+2，N＝■，求2M﹣N”時，嘉淇把“2M﹣N”看成“M﹣2N”，得到的計算結果是﹣x2+4x﹣4．（1）求整式N；（2）判斷2M﹣N的化簡結果是否能為負數，并說明理由．名校預測一．選擇題1．【分析】根據同類項的定義（所含字母相同，并且相同字母的指數也相同，這樣的項叫做同類項）即可作出判斷．【解答】解：A．x3y2與xy2所含字母相同，但相同字母的指數不同，不是同類項，故此選項不符合題意；B．x2y與xy2所含字母相同，但相同字母的指數不同，不是同類項，故此選項不符合題意；C．2xy2與xy2所含字母相同，相同字母的指數相同，是同類項，故此選項符合題意；D．2x2y3與﹣3xy2所含字母相同，但相同字母的指數不同，不是同類項，故此選項不符合題意．故選：C．2．【分析】根據算術平方根，單項式乘單項式、分母有理化以及同類項的運算法則判斷即可．【解答】解：A．，故本選項錯誤；B．5y3?3y5＝15y8，故本選項錯誤；C．，故本選項正確；D．3x2y與2xy2不是同類項，不能合并，故本選項錯誤；故選：C．3．【分析】因式分解要求寫成幾個因式乘積的形式，B選項應該運用完全平方公式而不是平方差，所以選D【解答】解：A分解的結果不是積的形式，故不符合題意．B分解的是積的形式，但它不是平方差公式的應用，故不符合題意．C選項結果不符合因式分解的定義，故不符合題意．D選項符合題意，故選：D．4．【分析】利用分式的加法的法則進行運算即可．【解答】解：＝＝＝2．故選：D．二．填空題5．【分析】根據二次根式及分式有意義的條件解答即可．【解答】解：∵代數式有意義，∴x﹣3＞0，解得x＞3．故答案為：x＞3．6．【分析】根據分式有意義的條件即分母不為0可直接進行求解．【解答】解：由代數式有意義可得：3﹣x≠0，解得：x≠3，故答案為：x≠3．7．【分析】將代數式適當變形后，利用整體代入的方法解答即可．【解答】解：∵a2﹣a＝1，∴原式＝3﹣2（a2﹣a）＝3﹣2×1＝3﹣2＝1．故答案為：1．8．【分析】根據完全平方公式變形求解即可．【解答】解：∵a+b＝7，a2+b2＝25，∴（a+b）2﹣（a2+b2）＝2ab＝72﹣25＝24，∴ab＝12．故答案為：12．9．【分析】通過觀察分別歸納出第n個數分子和分母的規律進行求解．【解答】解：∵第1個數＝，第2個數＝，第3個數＝，……∴第n個數為，故答案為：．三．解答題10．【分析】先算二次根式的乘法，再約分，最后進行加減運算即可．【解答】解：＝4﹣＝4﹣＝4﹣5＝﹣1．11．【分析】原式利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式＝[3（m+n）+4（m﹣n）][3（m+n）﹣4（m﹣n）]＝（7m﹣n）（﹣m+7n）．12．【分析】（1）先算零指數冪，負整數指數冪，去絕對值，用平方差公式，再合并；（2）先通分算括號內的，把除化為乘，再約分，化簡后將有意義的x的值代入計算即可．【解答】解：（1）原式＝1+2﹣2﹣（3﹣1）+9＝6+2；（2）原式＝?＝?＝，當x＝﹣2，x＝﹣1時，原式無意義，當x＝﹣3時，原式＝＝2．13．【分析】先用完全平方公式，平方差公式等展開，再將x，y的值代入計算即可．【解答】解：原式＝x2+2xy+y2﹣x2﹣xy+x2﹣y2＝x2+xy，當x＝1，y＝時，原式＝12+1×＝1+．14．【分析】根據分式的加法法則、除法法則把原式化簡，把x的值代入計算即可．【解答】解：原式＝（+）?＝?＝，當x＝+2時，原式＝＝．專家押題一．選擇題1．【分析】直接利用二次根式的加減運算法則以及二次根式的乘法運算法則計算，進而得出答案．【解答】解：A.+無法合并，故此選項不合題意；B.2+3＝5，故此選項符合題意；C.×＝，故此選項不合題意；D.2×3＝12，故此選項不合題意；故選：B．2．【分析】根據整式的運算法則即可求出答案．【解答】解：A、2x與y不是同類項，不能合并，故不符合題意；B、x﹣2x＝﹣x，符合題意；C、x2+x2＝2x2，故不符合題意；D、（x﹣1）2＝x2﹣2x+1，故不符合題意．故選：B．3．【分析】將代數式適當變形后，利用整體代入的方法解答即可．【解答】解：∵x﹣2y＝3，∴原式＝4﹣（x﹣2y）＝4﹣3＝1，故選：A．4．【分析】各式分解得到結果，即可作出判斷．【解答】解：A、原式＝（y+x）（y﹣x），不符合題意；B、原式不能分解，不符合題意；C、原式＝x（9y2+6y+1）＝x（3y+1）2，符合題意；D、原式＝xy（x﹣y），不符合題意．故選：C．5．【分析】第①個圖案中有4個黑色圓點，第②個圖案中有（4+2）個黑色圓點，第③個圖案中有（4+2+2）個黑色圓點，則可以總結出第n個圖形中黑色圓點的個數，代入n＝7計算即可．【解答】解：第①個圖案中有4個黑色圓點，第②個圖案中有（4+2）個黑色圓點，第③個圖案中有（4+2+2）個黑色圓點，第④個圖案中有（4+2+2+2）個黑色圓點，……則第n個圖形中黑色圓點的個數為4+2（n﹣1）＝2n+2，當n＝7時，2n+2＝2×7+2＝16，∴第⑦個圖案中黑色圓點的個數為16．故選：C．6．【分析】根據同分母的分式相加減法則進行計算即可．【解答】解：＝＝＝a+b，故選：B．二．填空題7．【分析】根據二次根式及分式有意義的條件解答即可．【解答】解：∵代數式有意義，∴x﹣3＞0，解得x＞3．故答案為：x＞3．8．【分析】直接利用分式的值為零，則分子為零，分母不為零，進而得出答案．【解答】解：∵分式的值為0，∴|x|﹣1＝0且x﹣1≠0，解得：x＝﹣1．故答案為：﹣1．9．【分析】此多項式有公因式，應先提取公因式，再對余下的多項式進行觀察，有3項，可采用完全平方公式繼續分解．【解答】解：ax2﹣4ax+4a＝a（x2﹣4x+4）＝a（x﹣2）2．故答案為：a（x﹣2）2．10．【分析】根據完全平方公式即可求出答案．【解答】解：∵（4a±3）2＝16a2±24a+9，∴m＝±24，故答案為：±24．三．解答題11．【分析】先算平方差，絕對值，二次根式的化簡，再算加減即可．【解答】解：＝（）2﹣22++2＝5﹣4++2＝1+3．12．【分析】觀察發現原式含有公因式3，故可將其變形為3（a2﹣4ab+4b2）；再結合完全平方公式對其進一步分解即可．【解答】解：3a2﹣12ab+12b2＝3（a2﹣4ab+4b2）＝3（a﹣2b）2．故答案為：3（a﹣2b）2．13．【分析】根據分式的混合運算進行計算，然后根據分式有意義的條件，取x＝0代入化簡結果進行計算即可求解．【解答】解：原式＝＝＝＝．∵x取﹣1，1，3時，原分式沒有意義，∴當x＝0時，原式＝．14．【分析】（1）根據題意列出關系式，去括號合并即可確定出N；（2）寫出正確的2M﹣N，即可得出結論．【解答】解：（1）根據題意得：N＝[3x2﹣4x+2﹣（﹣x2+4x﹣4）]＝2x2﹣4x+3；（2）2M﹣N＝2（3x2﹣4x+2）﹣（2x2﹣4x+3）＝6x2﹣8+4﹣2x2+4x﹣3＝4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2，∵（2x﹣1）2≥0．∴2M﹣N的化簡結果不能為負數．中考中考倒計時18天初中四大方程（組）1．從考查的題型來看，填空題或選擇題、解答題的形式都有考查，整式方程占比分相當大,難度有中檔難度附近，一般大多數考生能拿到分數.2．從考查內容來看。主要考查方程的相關定義、解方程，方程在實際問題中的應用.3．從考查熱點來看，涉及本知識點的有：①分式方程、一元二次方程及二次一次方程組的解法②一元二次方程根與系數的關系；③由實際問題列出方程或者方程組求解；④方程中含參求參數的值或者參數范圍.1、方程和方程的解的概念1）等式的性質（1）等式兩邊都加上（或減去）同一個數或同一個整式，所得的結果仍是等式．（2）等式兩邊都乘以（或除以）同一個不等于零的數，所得的結果仍是等式．2）方程:含有未知數的等式叫做方程．3）方程的解:使方程左右兩邊相等的未知數的值叫做方程的解；求方程的解的過程叫做解方程．2、一元一次方程及其解法1）一元一次方程:只含有一個未知數，并且未知數的次數為1，這樣的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式為．注意：x前面的系數不為0．2）一元一次方程的解：使一元一次方程左右兩邊相等的未知數的值叫做一元一次方程的解．3）一元一次方程的求解步驟變形名稱具體做法去分母在方程兩邊都乘以各分母的最小公倍數去括號先去小括號，再去中括號，最后去大括號移項把含有未知數的項都移到方程的一邊，其他項都移到方程的另一邊合并同類項把方程化成的形式系數化成1在方程兩邊都除以未知數的系數，得到方程的解為注意：解方程時移項容易忘記改變符號而出錯，要注意解方程的依據是等式的性質，在等式兩邊同時加上或減去一個代數式時，等式仍然成立，這也是“移項”的依據．移項本質上就是在方程兩邊同時減去這一項，此時該項在方程一邊是0，而另一邊是它改變符號后的項，所以移項必須變號．3、二元一次方程（組）及解的概念1）二元一次方程：含有2個未知數，并且含有未知數的項的次數都是1的整式方程叫做二元一次方程．2）二元一次方程的解:使二元一次方程左右兩邊相等的未知數的值叫做二元一次方程的解．3）二元一次方程組:由兩個二元一次方程組成的方程組叫二元一次方程組．方程組中同一個字母代表同一個量，其一般形式為．4）解二元一次方程組的基本思想解二元一次方程組的基本思想是消元，即將二元一次方程組轉化為一元一次方程．5）二元一次方程組的解法（1）代入消元法：將方程中的一個未知數用含有另一個未知數的代數式表示出來，并代入另一個方程中，消去一個未知數，化二元一次方程組為一元一次方程．（2）加減消元法：將方程組中兩個方程通過適當變形后相加（或相減）消去其中一個未知數，化二元一次方程組為一元一次方程．4、一次方程（組）的應用1）列方程（組）解應用題的一般步驟（1）審題；（2）設出未知數；（3）列出含未知數的等式——方程；（4）解方程（組）；（5）檢驗結果；（6）作答（不要忽略未知數的單位名稱）．2）一次方程（組）常見的應用題型（1）銷售打折問題：利潤售價-成本價；利潤率=×100％；售價=標價×折扣；銷售額=售價×數量．（2）儲蓄利息問題：利息=本金×利率×期數；本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期數)；貸款利息=貸款額×利率×期數．（3）工程問題：工作量=工作效率×工作時間．（4）行程問題：路程=速度×時間．（5）相遇問題：全路程=甲走的路程+乙走的路程．（6）追及問題（同地不同時出發）：前者走的路程=追者走的路程．（7）追及問題（同時不同地出發）：前者走的路程+兩地間距離=追者走的路程．（8）水中航行問題：順水速度=靜水速度+水流速度；逆水速度=靜水速度-水流速度．5、一元二次方程的概念1）一元二次方程：只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程叫做一元二次方程．2）一般形式：（其中為常數，），其中分別叫做二次項、一次項和常數項，分別稱為二次項系數和一次項系數．注意：（1）在一元二次方程的一般形式中要注意，因為當時，不含有二次項，即不是一元二次方程；（2）一元二次方程必須具備三個條件：①必須是整式方程；②必須只含有一個未知數；③所含未知數的最高次數是2．6、一元二次方程的解法1）直接開平方法：適合于或形式的方程．2）配方法：（1）化二次項系數為1；（2）移項，使方程左邊只含有二次項和一次項，右邊為常數項；（3）方程兩邊同時加上一次項系數一半的平方；（4）把方程整理成的形式；（5）運用直接開平方法解方程．3）公式法：（1）把方程化為一般形式，即；（2）確定的值；（3）求出的值；（4）將的值代入即可．4）因式分解法：基本思想是把方程化成的形式，可得或．7、一元二次方程根的判別式及根與系數關系1）根的判別式：一元二次方程是否有實數根，由的符號來確定，我們把叫做一元二次方程根的判別式．2）一元二次方程根的情況與判別式的關系（1）當時，方程有兩個不相等的實數根；（2）當時，方程有1個（兩個相等的）實數根；（3）當時，方程沒有實數根．3）根與系數關系：對于一元二次方程（其中為常數，），設其兩根分別為，，則，．8、利用一元二次方程解決實際問題列一元二次方程解應用題步驟和列一元一次方程(組)解應用題步驟一樣，即審、設、列、解、驗、答六步．列一元二次方程解應用題，經濟類和面積類問題是常考內容．1）增長率等量關系（1）增長率=增長量÷基礎量．（2）設為原來量，為平均增長率，為增長次數，為增長后的量，則；當為平均下降率時，則有．2）利潤等量關系：（1）利潤=售價－成本．（2）利潤率=×100％．3）面積問題（1）類型1：如圖1所示的矩形長為，寬為，空白“回形”道路的寬為，則陰影部分的面積為．（2）類型2：如圖2所示的矩形長為，寬為，陰影道路的寬為，則空白部分的面積為．（3）類型3：如圖3所示的矩形長為，寬為，陰影道路的寬為，則4塊空白部分的面積之和可轉化為．圖1圖2圖34）碰面問題（循環問題）（1）重疊類型（雙循環）：n支球隊互相之間都要打一場比賽，總共比賽場次為m。∵1支球隊要和剩下的（n－1）支球隊比賽，∴1支球隊需要比（n－1）場∵存在n支這樣的球隊，∴比賽場次為：n（n－1）場∵A與B比賽和B與A比賽是同一場比賽，∴上述求法有重疊部分.∴m=n（n－1）（2）不重疊類型（單循環）：n支球隊，每支球隊要在主場與所有球隊各打一場，總共比賽場次為m。∵1支球隊要和剩下的（n－1）支球隊比賽，∴1支球隊需要比（n－1）場∵存在n支這樣的球隊，∴比賽場次為：n（n－1）場.∵A與B比賽在A的主場，B與A比賽在B的主場，不是同一場比賽，∴上述求法無重疊.∴m=n（n－1）9．分式方程的概念：分母中含有未知數的方程叫做分式方程．注意：“分母中含有未知數”是分式方程與整式方程的根本區別，也是判定一個方程為分式方程的依據．10．分式方程的解法（1）解分式方程的基本思路是將分式方程化為整式方程，具體做法是去分母，即方程兩邊同乘以各分式的最簡公分母．（2）解分式方程的步驟：①找最簡公分母，當分母是多項式時，先分解因式；②去分母，方程兩邊都乘最簡公分母，約去分母，化為整式方程；③解整式方程；④驗根．注意：解分式方程過程中，易錯點有：①去分母時要把方程兩邊的式子作為一個整體，記得不要漏乘整式項；②忘記驗根，最后的結果還要代回方程的最簡公分母中，只有最簡公分母不是零的解才是原方程的解．11．分式方程的應用（1）分式方程的應用主要涉及工程問題，有工作量問題、行程問題等．每個問題中涉及到三個量的關系，如：工作時間＝，時間＝等．（2）列分式方程解應用題的一般步驟：①設未知數；②找等量關系；③列分式方程；④解分式方程；⑤檢驗（一驗分式方程，二驗實際問題）；⑥答一．選擇題1．（2022?青海）根據等式的性質，下列各式變形正確的是（）A．若＝，則a＝b B．若ac＝bc，則a＝b C．若a2＝b2，則a＝b D．若﹣x＝6，則x＝﹣2【分析】根據等式的性質，進行計算逐一判斷即可解答．【解答】解：A、若＝，則a＝b，故A符合題意；B、若ac＝bc（c≠0），則a＝b，故B不符合題意；C、若a2＝b2，則a＝±b，故C不符合題意；D、﹣x＝6，則x＝﹣18，故D不符合題意；故選：A．2．（2022?百色）方程3x＝2x+7的解是（）A．x＝4 B．x＝﹣4 C．x＝7 D．x＝﹣7【分析】方程移項合并，即可求出解．【解答】解：移項得：3x﹣2x＝7，合并同類項得：x＝7．故選：C．3．（2022?淮安）若關于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0沒有實數根，則k的值可以是（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【分析】根據根的判別式列出不等式求出k的范圍即可求出答案．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0沒有實數根，∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣k）＝4+4k＜0，∴k＜﹣1，故選：A．4．（2022?黔西南州）小明解方程﹣1＝的步驟如下：解：方程兩邊同乘6，得3（x+1）﹣1＝2（x﹣2）①去括號，得3x+3﹣1＝2x﹣2②移項，得3x﹣2x＝﹣2﹣3+1③合并同類項，得x＝﹣4④以上解題步驟中，開始出錯的一步是（）A．① B．② C．③ D．④【分析】對題目的解題過程逐步分析，即可找出出錯的步驟．【解答】解：方程兩邊同乘6應為：3（x+1）﹣6＝2（x﹣2），∴出錯的步驟為：①，故選：A．5．（2022?營口）分式方程＝的解是（）A．x＝2 B．x＝﹣6 C．x＝6 D．x＝﹣2【分析】方程兩邊都乘x（x﹣2）得出3（x﹣2）＝2x，求出方程的解，再進行檢驗即可．【解答】解：＝，方程兩邊都乘x（x﹣2），得3（x﹣2）＝2x，解得：x＝6，檢驗：當x＝6時，x（x﹣2）≠0，所以x＝6是原方程的解，即原方程的解是x＝6，故選：C．6．（2022?六盤水）我國“DF﹣41型”導彈俗稱“東風快遞”，速度可達到26馬赫（1馬赫＝340米/秒），則“DF﹣41型”導彈飛行多少分鐘能打擊到12000公里處的目標？設飛行x分鐘能打擊到目標，可以得到方程（）A．26×340×60x＝12000 B．26×340x＝12000 C．＝12000 D．＝12000【分析】根據速度×時間＝路程列方程，時間單位換算成分，路程單位換算成公里即可得出答案．【解答】解：根據題意得：＝12000，故選：D．二．填空題（共5小題）7．（2022?雅安）已知是方程ax+by＝3的解，則代數式2a+4b﹣5的值為．【分析】把x與y的值代入方程計算得到a+2b的值，原式變形后代入計算即可求出值．【解答】解：把代入ax+by＝3得：a+2b＝3，則原式＝2（a+2b）﹣5＝2×3﹣5＝6﹣5＝1．故答案為：1．8．（2022?無錫）二元一次方程組的解是．【分析】用加減消元法先消去x，把二元轉化為一元，即可解得方程組．【解答】解：，②﹣①得：4y＝4，∴y＝1，把y＝1代入②得：2x+1＝5，∴x＝2，∴．故答案為：．9．（2022?上海）某公司5月份的營業額為25萬，7月份的營業額為36萬，已知5、6月的增長率相同，則增長率為．【分析】設平均每月的增長率為x，根據5月份的營業額為25萬元，7月份的營業額為36萬元，表示出7月的營業額，即可列出方程解答．【解答】解：設平均每月的增長率為x，由題意得25（1+x）2＝36，解得x1＝0.2，x2＝﹣2.2（不合題意，舍去）所以平均每月的增長率為20%．故答案為：20%．10．（2022?黃石）已知關于x的方程+＝的解為負數，則a的取值范圍是．【分析】先求整式方程的解，然后再解不等式組即可，需要注意分式方程的分母不為0．【解答】解：去分母得：x+1+x＝x+a，解得：x＝a﹣1，∵分式方程的解為負數，∴a﹣1＜0且a﹣1≠0且a﹣1≠﹣1，∴a＜1且a≠0，∴a的取值范圍是a＜1且a≠0，故答案為：a＜1且a≠0．11．（2022?日照）關于x的一元二次方程2x2+4mx+m＝0有兩個不同的實數根x1，x2，且x12+x22＝，則m＝．【分析】根據根與系數的關系得到x1+x2＝﹣2m，x1x2＝，再由x12+x22＝變形得到（x1+x2）2﹣2x1x2＝，即可得到4m2﹣m＝，然后解此方程即可．【解答】解：根據題意得x1+x2＝﹣2m，x1x2＝，∵x12+x22＝，∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝，∴4m2﹣m＝，∴m1＝﹣，m2＝，∵Δ＝16m2﹣8m＞0，∴m＞或m＜0，∴m＝不合題意，故答案為：﹣．三．解答題12．（2022?涼山州）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．【分析】通過觀察方程形式，本題可用因式分解法進行解答．【解答】解：原方程可以變形為（x﹣3）（x+1）＝0x﹣3＝0或x+1＝0∴x1＝3，x2＝﹣1．13．（2022?柳州）解方程組：．【分析】先消元，再求解．【解答】解：①+②得：3x＝9，∴x＝3，將x＝3代入②得：6+y＝7，∴y＝1．∴原方程組的解為：．14．（2022?隨州）已知關于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有兩個不等實數根x1，x2．（1）求k的取值范圍；（2）若x1x2＝5，求k的值．【分析】（1）根據判別式的意義得到Δ＝（2k+1）2﹣4（k2+1）＞0，然后解不等式即可；（2）根據根與系數的關系得到x1x2＝k2+1，再利用x1x2＝5得到k2+1＝5，然后解關于k的方程，最后利用k的范圍確定k的值．【解答】解：（1）根據題意得Δ＝（2k+1）2﹣4（k2+1）＞0，解得k＞；（2）根據題意得x1x2＝k2+1，∵x1x2＝5，∴k2+1＝5，解得k1＝﹣2，k2＝2，∵k＞，∴k＝2．15．（2022?赤峰）某學校建立了勞動基地，計劃在基地上種植A、B兩種苗木共6000株，其中A種苗木的數量比B種苗木的數量的一半多600株．（1）請問A、B兩種苗木各多少株？（2）如果學校安排350人同時開始種植這兩種苗木，每人每天平均能種植A種苗木50株或B種苗木30株，應分別安排多少人種植A種苗木和B種苗木，才能確保同時完成任務？【分析】（1）設A種苗木有x株，B種苗木有y株，根據“A、B兩種苗木共6000株，其中A種苗木的數量比B種苗木的數量的一半多600株”列二元一次方程組，求解即可；（2）設安排m人種植A種苗木，根據“確保同時完成任務”列分式方程，求解即可．【解答】解：（1）設A種苗木有x株，B種苗木有y株，根據題意，得，解得，答：A種苗木有2400株，B種苗木有3600株；（2）設安排m人種植A種苗木，根據題意，得，解得m＝100，經檢驗，m＝100是原方程的根，且符合題意，350﹣m＝350﹣100＝250（人），答：應安排100人種植A種苗木，250人種植B種苗木，才能確保同時完成任務．16．（2022?阜新）某公司引入一條新生產線生產A，B兩種產品，其中A產品每件成本為100元，銷售價格為120元，B產品每件成本為75元，銷售價格為100元，A，B兩種產品均能在生產當月全部售出．（1）第一個月該公司生產的A，B兩種產品的總成本為8250元，銷售總利潤為2350元，求這個月生產A，B兩種產品各多少件？（2）下個月該公司計劃生產A，B兩種產品共180件，且使總利潤不低于4300元，則B產品至少要生產多少件？【分析】（1）設生產A產品x件，B產品y件，根據題意列出方程組，求出即可；（2）設B產品生產m件，則A產品生產（180﹣m）件，根據題意列出不等式組，求出即可．【解答】解：（1）設生產A產品x件，B產品y件，根據題意，得解這個方程組，得，所以，生產A產品30件，B產品70件．（2）設B產品生產m件，則A產品生產（180﹣m）件，根據題意，得（100﹣75）m+（120﹣100）（180﹣m）≥4300，解這個不等式，得m≥140．所以，B產品至少生產140件．一．選擇題1．（2023?文山市一模）關于x的一元二次方程kx2﹣4x+2＝0有兩個實數根，則k的取值范圍是（）A．k＞4 B．k≤2 C．k＜4且k≠0 D．k≤2且k≠02．（2023?平陽縣一模）解方程，以下去分母正確的是（）A．4（x+2）+3（2x﹣1）＝12 B．4（x+2）+3（2x﹣1）＝1 C．x+2+2x﹣1＝12 D．3（x+2）+4（2x﹣1）＝123．（2023?佳木斯一模）黑龍江省中學生排球錦標賽共進行了110場雙循環比賽，則參加比賽的隊伍共有（）A．8支 B．9支 C．10支 D．11支4．（2023?駐馬店二模）若關于x的分式方程的解是2，則m的值為（）A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．45．（2023?張家口二模）《九章算術》是中國古代數學專著，它首先記錄了“盈不足”等問題．如有一道闡述“盈不足”的問題，原文如下：“今有共買雞，人出九，盈十一；人出六，不足十六．問人數、雞價各幾何？”意思是：“現有幾個人合伙出錢買雞，如果每人出9文錢，就會多11文錢；如果每人出6文錢，又會缺16文錢．問買雞的人數、雞的價格各是多少？”設合伙買雞者有x個人，雞的價格為y文錢，則可得方程組（）A． B． C． D．二．填空題6．（2023?甘井子區模擬）方程的解是．7．（2023?瀘縣校級二模）已知方程組中，x，y的值相等，則m＝．8．（2023?南關區校級模擬）把一些圖書分給某班學生閱讀，如果每人分3本，則剩余20本；如果每人分4本，則缺25本．設這個班有學生x人，則x的值為．9．（2023?儀征市一模）一元二次方程x2﹣2x+k＝0的兩根是x1和x2，則x1?x2的最大值為．三．解答題10．（2023?西安校級三模）用適當的方法解一元二次方程：x2﹣3x﹣2＝0．11．（2023?灞橋區校級二模）解方程組：．12．（2023?茅箭區一模）已知關于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m＝0．（1）求證：方程有兩個不相等的實數根；（2）如果方程的兩實根為x1、x2，且，求m的值．13．（2023?乾縣一模）在學校開展“勞動創造美好生活”主題系列活動中，八年級（1）班負責校園某綠化角的設計、種植與養護．同學們約定每人養護一盆綠植，計劃購買綠蘿和吊蘭兩種綠植共46盆．已知綠蘿每盆9元，吊蘭每盆6元．采購組計劃將預算經費390元全部用于購買綠蘿和吊蘭，求可購買綠蘿和吊蘭各多少盆．14．（2023?梁溪區一模）春夏之交正是農業用水高峰期，某地水利站有A，B兩臺泵機實施調水作業．如果單開A泵機，可以正好在預定時間內完成，總費用為1920元；如果單開B泵機，則要比預定時間多4天，總費用為2240元．水利站經過測算，如果A，B兩臺泵機同時開啟3天，然后由B泵機單獨完成余下的調水作業，這樣也能正好在預定時間內完成．（1）A，B兩臺泵機平均每天費用分別是多少元？（2）水利站接到上級部門要求提前3天完成調水作業，請問如何安排兩臺泵機作業才能完成任務？花費最少是多少元？（注：不足一天按照一天計算費用．）一．選擇題1．運用等式的性質變形正確的是（）A．如果a＝b，那么a+c＝b﹣c B．如果a＞0，那么a2＝2a C．如果a＝b，那么＝ D．如果＝，那么a＝b2．分式方程﹣＝1的解為（）A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝﹣2 D．x＝23．一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的根的情況是（）A．沒有實數根 B．有兩個相等的實數根 C．有兩個不相等的實數根 D．無法判斷4．我國古代有這樣一道數學題：“馬五匹，牛六頭，共價五十四兩（我國古代貨幣單位）；馬四匹，牛三頭，共價三十六兩．問馬、牛各價幾何？”設馬每匹x兩，牛每頭y兩，根據題意可列方程組為（）A． B． C． D．5．已知m，n是一元二次方程x2+2x﹣2022＝0的兩個實數根，則代數式m2+4m+2n的值等于（）A．2024 B．2022 C．2020 D．2018二．填空題6．關于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0的一個根是3，則另一個根是．7．若，則x+y＝．8．某學校在“讀一本好書”活動中，為學生購買了名著《三國演義》20套，《西游記》16套，共用了1820元，其中《三國演義》每套比《西游記》每套多1元，求《三國演義》和《西游記》每套各多少元？設《西游記》每套x元，可列方程為．9．關于x的分式方程的解為正數，則k的取值范圍是．三．解答題10．解方程（組）：（1）x2﹣6x＝1；（2）．11．解方程：．12．在2022年女足亞洲杯決賽中，中國女足以3：2逆轉韓國女足，時隔16年再奪亞洲杯冠軍！某學校掀起一股足球熱，舉行了班級聯賽，九（1）班開局11場保持不敗，共積23分，按照比賽規則，勝一場積3分，平一場積1分，負一場積0分，求該班獲勝的場數．13．某運輸公司有A、B兩種貨車，4輛A貨車與2輛B貨車一次可以運貨110噸，6輛A貨車與4輛B貨車一次可以運貨180噸．（1）請問1輛A貨車和1輛B貨車一次可以分別運貨多少噸？（2）目前有190噸貨物需要運輸該運輸公司計劃安排A、B兩種貨車將全部貨物一次運完（A、B兩種貨車均滿載），其中每輛A貨車一次運貨花費600元，每輛B貨車一次運貨花費500元．請你列出所有的運輸方案，并指出哪種運輸方案費用最少．14．端午節是我國的傳統節日，人們素有吃粽子的習俗．某商場在端午節來臨之際，用3000元購進A、B兩種粽子1100個，購買A種粽子與購買B種粽子的費用相同，已知A種粽子單價是B種粽子單價的1.2倍．（1）求A、B兩種粽子單價各多少？（2）商場準備再次購進A、B兩種粽子共2600個，要求B種粽子數量不超過A種粽子數量的3倍，那么要購進多少個A種粽子最省錢？（已知A、B兩種粽子進價不變）名校預測一．選擇題1．【分析】根據一元二次方程的定義得到k≠0，根據一元二次方程有兩個實數根得到Δ＝b2﹣4ac≥0，求出k的取值范圍．【解答】解：∵一元二次方程有兩個實數根，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×2k≥0，解得k≤2，又∵k≠0，∴k≤2且k≠0．故選：D．2．【分析】去分母時，可以等式兩邊同時乘以分母的最小公倍數，即可得出答案．【解答】解：方程兩邊同時乘以12，得4（x+2）+3（2x﹣1）＝12．故選：A．3．【分析】設參加比賽的隊伍共有x支，利用進行比賽的總場數＝參賽隊伍數×（參賽隊伍數﹣1），可得出關于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結論．【解答】解：設參加比賽的隊伍共有