模型介紹模型介紹一、如圖，點A坐標為（1,1），點B坐標為（4,3），在x軸上取點C使得△ABC是等腰三角形．【幾何法】“兩圓一線”得坐標（1）以點A為圓心，AB為半徑作圓，與x軸的交點即為滿足條件的點C，有AB=AC；（2）以點B為圓心，AB為半徑作圓，與x軸的交點即為滿足條件的點C，有BA=BC；（3）作AB的垂直平分線，與x軸的交點即為滿足條件的點C，有CA=CB．【注意】若有三點共線的情況，則需排除．作圖并不難，問題是還需要把各個點坐標算出來，可通過勾股或者三角函數來求．同理可求，下求．顯然垂直平分線這個條件并不太適合這個題目，如果A、B均往下移一個單位，當點A坐標為（1,0），點B坐標為（4,2）時，可構造直角三角形勾股解：而對于本題的，或許代數法更好用一些．【代數法】表示線段構相等（1）表示點：設點坐標為（m，0），又A點坐標（1,1）、B點坐標（4,3），（2）表示線段：，（3）分類討論：根據，可得：，（4）求解得答案：解得：，故坐標為．小結幾何法：（1）“兩圓一線”作出點；（2）利用勾股、相似、三角函數等求線段長，由線段長得點坐標．代數法：（1）表示出三個點坐標A、B、C；（2）由點坐標表示出三條線段：AB、AC、BC；（3）根據題意要求取①AB=AC、②AB=BC、③AC=BC；（4）列出方程求解．問題總結：（1）兩定一動：動點可在直線上、拋物線上；（2）一定兩動：兩動點必有關聯，可表示線段長度列方程求解；（3）三動點：分析可能存在的特殊邊、角，以此為突破口．二、【問題描述】如圖，在平面直角坐標系中，點A坐標為（1,1），點B坐標為（5,3），在x軸上找一點C使得△ABC是直角三角形，求點C坐標．【幾何法】兩線一圓得坐標（1）若∠A為直角，過點A作AB的垂線，與x軸的交點即為所求點C；（2）若∠B為直角，過點B作AB的垂線，與x軸的交點即為所求點C；（3）若∠C為直角，以AB為直徑作圓，與x軸的交點即為所求點C．（直徑所對的圓周角為直角）重點還是如何求得點坐標，求法相同，以為例：【構造三垂直】求法相同，以為例：構造三垂直步驟：第一步：過直角頂點作一條水平或豎直的直線；第二步：過另外兩端點向該直線作垂線，即可得三垂直相似．例題精講例題精講考點一：二次函數中的直角三角形存在性問題【例1】．如圖，二次函數y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，且A（﹣1，0），對稱軸為直線x＝2．（1）求該拋物線的表達式；（2）直線l過點A與拋物線交于點P，當∠PAB＝45°時，求點P的坐標；（3）在拋物線的對稱軸上是否存在一點Q，使得△BCQ是直角三角形？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．變式訓練【變1-1】．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+4經過點A（4，0），B（﹣1，0），交y軸于點C．（1）求拋物線的解析式；（2）點D是直線AC上一動點，過點D作DE垂直于y軸于點E，過點D作DF⊥x軸，垂足為F，連接EF，當線段EF的長度最短時，求出點D的坐標；（3）在AC上方的拋物線上是否存在點P，使得△ACP是直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，說明理由．考點二：二次函數中的等腰三角形存在性問題【例2】．如圖，拋物線y＝﹣x2+5x+n經過點A（1，0），與y軸交于點B．（1）求拋物線的解析式；（2）求拋物線的對稱軸和頂點坐標．（3）P是y軸正半軸上一點，且△PAB是以AB為腰的等腰三角形，試求點P的坐標．變式訓練【變2-1】．如圖．已知二次函數y＝﹣x2+bx+3的圖象與x軸的一個交點為A（4，0），與y軸交于點B．（1）求此二次函數關系式和點B的坐標；（2）在x軸的正半軸上是否存在點P．使得△PAB是以AB為底邊的等腰三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【變2-2】．如圖，拋物線y＝ax2+4x+c經過A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）兩點，點P是y軸左側且位于x軸下方拋物線上一動點，設其橫坐標為m．（1）直接寫出拋物線的解析式；（2）將線段AB繞點B順時針旋轉90°得線段BD（點D是點A的對應點），求點D的坐標，并判斷點D是否在拋物線上；（3）過點P作PM⊥x軸交直線BD于點M，試探究是否存在點P，使△PBM是等腰三角形？若存在，求出點m的值；若不存在，說明理由．1．如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣3，0），B（1，0）兩點，與y軸交于點C（0，3），連接AC，點P為第二象限拋物線上的動點．（1）求a、b、c的值；（2）連接PA、PC、AC，求△PAC面積的最大值；（3）在拋物線的對稱軸上是否存在一點Q，使得△QAC為直角三角形，若存在，請求出所有符合條件的點Q的坐標；若不存在，請說明理由．2．已知拋物線y＝﹣x2﹣x的圖象如圖所示：（1）將該拋物線向上平移2個單位，分別交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，則平移后的解析式為．（2）判斷△ABC的形狀，并說明理由．（3）在拋物線對稱軸上是否存在一點P，使得以A、C、P為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．3．如圖，拋物線y＝﹣x2+x+3與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，頂點為D，拋物線的對稱軸與x軸交于點E，連接AC，BD．（1）求點A，B，C，D的坐標；（2）點F為拋物線對稱軸上的動點，且△BEF與△AOC相似，請直接寫出符合條件的點F的坐標；（3）點P為拋物線上的動點，是否存在這樣的點P，使△BDP是直角三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．4．如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，其中A（﹣1，0），C（0，3）．（1）求該拋物線的函數表達式；（2）拋物線與直線y＝﹣x﹣1交于A、E兩點，P是x軸上點B左側一動點，當以P、B、C為頂點的三角形與△ABE相似時，求點P的坐標；（3）若F是直線BC上一動點，在拋物線上是否存在動點M，使△MBF為等腰直角三角形，若存在，請直接寫出點M的坐標；否則說明理由．5．如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣3（a≠0）與x軸交于A，B兩點（點A在點B左側），與y軸交于點C，且BO＝OC＝3AO．（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△PBC是等腰三角形？若存在，請直接寫出符合條件的點P坐標；若不存在，請說明理由．6．如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象交x軸于點A、B，交y軸于點C，其頂點為D，已知AB＝4，∠ABC＝45°，OA：OB＝1：3．（1）求二次函數的表達式及其頂點D的坐標；（2）點M是線段BC上方拋物線上的一個動點，點N是線段BC上一點，當△MBC的面積最大時，求：①點M的坐標，說明理由；②MN+BN的最小值；（3）在二次函數的圖象上是否存在點P，使得以點P、A、C為頂點的三角形為直角三角形？若存在，求出點P坐標；若不存在，請說明理由．7．如圖，拋物線y＝ax2+bx+4交x軸于A（﹣3，0），B（4，0）兩點，與y軸交于點C，連接AC，BC．M為線段OB上的一個動點，過點M作PM⊥x軸，交拋物線于點P，交BC于點Q．（1）求拋物線的表達式；（2）試探究點M在運動過程中，是否存在這樣的點Q，使得以A，C，Q為頂點的三角形是等腰三角形．若存在，請求出此時點Q的坐標；若不存在，請說明理由．8．如圖，已知拋物線y＝x2+bx+c經過A（﹣1，0）、B（3，0）兩點，且與y軸相交于點C，直線l是拋物線的對稱軸．（1）求拋物線的函數關系式；（2）設點P是直線l上的一個動點，當點P到點A、點C的距離之和最短時，求點P的坐標；（3）點M也是直線l上的動點，且△MAC為直角三角形，請直接寫出所有符合條件的點M的坐標．9．如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與一直線相交于A（﹣1，0），C（2，3）兩點，與y軸交于點N，其頂點為D．（1）求拋物線及直線AC的函數表達式；（2）在拋物線對稱軸上是否存在一點M，使以A，N，M為頂點的三角形是直角三角形？若存在，請求出M點的坐標．若不存在，請說明理由．10．拋物線y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，﹣3），頂點為D．（1）求此拋物線的解析式．（2）求此拋物線頂點D的坐標和對稱軸．（3）探究對稱軸上是否存在一點P，使得以P、D、A為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，請求出所有符合條件的P點的坐標，若不存在，請說明理由．11．如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C．（1）求拋物線的解析式；（2）若M為拋物線對稱軸上一動點，使得△MBC為直角三角形，請求出點M的坐標．（3）如圖1，P為直線BC上方的拋物線上一點，PD∥y軸交BC于D點，過點D作DE⊥AC于E點．設m＝PD+DE，求m的最大值及此時P點坐標．12．如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點A和B（5，0），與y軸交于點C（0，5）．（1）求拋物線的解析式；（2）拋物線的對稱軸與x軸交于點M，與BC交于點F，點D是對稱軸上一點，當點D關于直線BC的對稱點E在拋物線上時，求點E的坐標；（3）點P在拋物線的對稱軸上，點Q在直線BC上方的拋物線上，是否存在以O，P，Q為頂點的三角形是等腰直角三角形，若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．13．已知如圖1，在以O為原點的平面直角坐標系中，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C（0，﹣1），連接AC，AO＝2CO，直線l過點G（0，t）且平行于x軸，t＜﹣1．（1）求拋物線對應的二次函數的解析式；（2）若D（﹣4，m）為拋物線y＝x2+bx+c上一定點，點D到直線l的距離記為d，當d＝DO時，求t的值．（3）如圖2，若E（﹣4，m）為上述拋物線上一點，在拋物線上是否存在點F，使得△BEF是直角三角形，若存在求出點F的坐標，若不存在說明理由．14．如圖①，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸相交于O、A兩點，直線y＝﹣x+3與y軸交于B點，與該拋物線交于A，D兩點，已知點D橫坐標為﹣1．（1）求這條拋物線的解析式；（2）如圖①，在線段OA上有一動點H（不與O、A重合），過H作x軸的垂線分別交AB于P點，交拋物線于Q點，若x軸把△POQ分成兩部分的面積之比為1：2，請求出H點的坐標；（3）如圖②，在拋物線上是否存在點C，使△ABC為直角三角形？若存在，求出點C的坐標；若不存在，請說明理由．15．如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，OA＝OC＝3，頂點為D．（1）求此函數的關系式；（2））在AC下方的拋物線上有一點N，過點N作直線l∥y軸，交AC與點M，當點N坐標為多少時，線段MN的長度最大？最大是多少？（3）在對稱軸上有一點K，在拋物線上有一點L，若使A，B，K，L為頂點形成平行四邊形，求出K，L點的坐標．（4）在y軸上是否存在一點E，使△ADE為直角三角形，若存在，直接寫出點E的坐標；若不存在，說明理由．16．如圖1，已知拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于點A（1，0）和點B（﹣3，0），與y軸交于點C（1）求拋物線的解析式；（2）設拋物線的對稱軸與x軸交于點M，請問在對稱軸上是否存在點P，使△CMP為等腰三角形？若存在，請求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由；（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得△QAC的周長最小？若存在，求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由．17．如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，點A在x軸上，點B在y軸上，點C（3，1），二次函數y＝x2+bx﹣的圖象經過點C．（1）求二次函數的解析式，并把解析式化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）把△ABC沿x軸正方向平移，當點B落在拋物線上時，求△ABC掃過區域的面積；（3）在拋物線上是否存在異于點C的點P，使△ABP是以AB為直角邊的等腰直角三角形？如果存在，請求出所有符合條件的點P的坐標；如果不存在，請說明理由．18．如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+4（a≠0）與x軸交于點A（1，0）和B，與y軸交于點C，對稱軸為直線x＝．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，若點P是線段BC上的一個動點（不與點B，C重合），過點P作y軸的平行線交拋物線于點Q，連接OQ，當線段PQ長度最大時，判斷四邊形OCPQ的形狀并說明理由；（3）點N坐標為（0，2），點M在拋物線上，且∠NBM＝45°，直接寫出點M坐標；（4）如圖2，在（2）的條件下，D是OC的中點，過點Q的直線與拋物線交于點E，且∠DQE＝2∠ODQ．在y軸上是否存在點F，使得△BEF為等腰三角形？若存在，求點F的坐標；若不存在，請說明理由．19．如圖，已知直線y＝3x﹣3分別交x軸，y軸于A、B兩點，拋物線y＝x2+bx+c經過A、B兩點，點C是拋物線與x軸的另一個交點（與A點不重合）．（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線的對稱軸上求一點P，使△ABP的周長最小，并求出最小周長和P點的坐標；（3）在拋物線的對稱軸上，是否存在點M，使△ABM為等腰三角形？若不存在，請說明理由；若存在，求出點M的坐標．20．如圖，已知直線y＝3x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B，過A，B兩點的拋物線交x軸于另一點C（3，0）．（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△ABP是等腰三角形？若存在，求出符合條件的點P的坐標；若不存在，說明理由．（3）在拋物線上求一點Q，使得△ACQ為以AC為底邊的等腰三角形，并寫出Q點的坐標；（4）除（3）中所求的Q點外，在拋物線上是否還存在其它的點Q使得△ACQ為等腰三角形？若存在，請求出一共有幾個滿足條件的點Q（要求簡要說明理由，但不證明）；若不存在這樣的點Q，請說明理由．21．如圖，拋物線交x軸于A（﹣2，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，3），連接AC，BC．M為線段OB上的一個動點，過點M作PM⊥x軸，交拋物線于點P，交BC于點Q．（1）求拋物線的表達式；（2）過點P作PN⊥BC，垂足為點N．設M點的坐標為M（m，0），請用含m的代數式表示線段PN的長，并求出當m為何值時PN有最大值，最大值是多少？（3）試探究點M在運動過程中，是否存在這樣的點Q，使得以A，C，Q為頂點的三角形是等腰三角形．若存在，請求出此時點Q的坐標；若不存在，請說明理由．22．如圖，拋物線y＝ax2+x+c交x軸于A，B兩點，交y軸于點C．直線y＝﹣x﹣2經過點A，C．（1）求拋物線的解析式；（2）點P是拋物線上一動點，過點P作x軸的垂線，交直線AC于點M，設點P的橫坐標為m．①當△PCM是直角三角形時，求點P的坐標；②作點B關于點C的對稱點B'，則平面內存在直線l，使點M，B，B′到該直線的距離都相等．當點P在y軸右側的拋物線上，且與點B不重合時，請直接寫出直線l：y＝kx+b的解析式．（k，b可用含m的式子表示）23．如圖，直線y＝x+3與x軸交于點A，與y軸交于點C，拋物線y＝﹣x2﹣2x+3與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C．（1）如圖①，連接BC，在y軸上存在一點D，使得△BCD是以BC為底的等腰三角形，求點D的坐標；（2）如圖②，在拋物線上是否存在點E，使△EAC是以AC為底的等腰三角形？若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由；（3）如圖③，連接BC，在直線AC上是否存在點F，使△BCF是以BC為腰的等腰三角形？若存在，求出點F的坐標；若不存在，請說明理由；（4）如圖④，若拋物線的頂點為H，連接AH，在x軸上是否存在一點K，使△AHK是等腰三角形？若存在，求出點K的坐標；若不存在，請說明理由；（5）如圖⑤，在拋物線的對稱軸上是否存在點G，使△ACG是等腰三角形？若存在，求出點G的坐標；若不存在，請說明理由．

模型介紹模型介紹一、如圖，點A坐標為（1,1），點B坐標為（4,3），在x軸上取點C使得△ABC是等腰三角形．【幾何法】“兩圓一線”得坐標（1）以點A為圓心，AB為半徑作圓，與x軸的交點即為滿足條件的點C，有AB=AC；（2）以點B為圓心，AB為半徑作圓，與x軸的交點即為滿足條件的點C，有BA=BC；（3）作AB的垂直平分線，與x軸的交點即為滿足條件的點C，有CA=CB．【注意】若有三點共線的情況，則需排除．作圖并不難，問題是還需要把各個點坐標算出來，可通過勾股或者三角函數來求．同理可求，下求．顯然垂直平分線這個條件并不太適合這個題目，如果A、B均往下移一個單位，當點A坐標為（1,0），點B坐標為（4,2）時，可構造直角三角形勾股解：而對于本題的，或許代數法更好用一些．【代數法】表示線段構相等（1）表示點：設點坐標為（m，0），又A點坐標（1,1）、B點坐標（4,3），（2）表示線段：，（3）分類討論：根據，可得：，（4）求解得答案：解得：，故坐標為．小結幾何法：（1）“兩圓一線”作出點；（2）利用勾股、相似、三角函數等求線段長，由線段長得點坐標．代數法：（1）表示出三個點坐標A、B、C；（2）由點坐標表示出三條線段：AB、AC、BC；（3）根據題意要求取①AB=AC、②AB=BC、③AC=BC；（4）列出方程求解．問題總結：（1）兩定一動：動點可在直線上、拋物線上；（2）一定兩動：兩動點必有關聯，可表示線段長度列方程求解；（3）三動點：分析可能存在的特殊邊、角，以此為突破口．二、【問題描述】如圖，在平面直角坐標系中，點A坐標為（1,1），點B坐標為（5,3），在x軸上找一點C使得△ABC是直角三角形，求點C坐標．【幾何法】兩線一圓得坐標（1）若∠A為直角，過點A作AB的垂線，與x軸的交點即為所求點C；（2）若∠B為直角，過點B作AB的垂線，與x軸的交點即為所求點C；（3）若∠C為直角，以AB為直徑作圓，與x軸的交點即為所求點C．（直徑所對的圓周角為直角）重點還是如何求得點坐標，求法相同，以為例：【構造三垂直】求法相同，以為例：構造三垂直步驟：第一步：過直角頂點作一條水平或豎直的直線；第二步：過另外兩端點向該直線作垂線，即可得三垂直相似．例題精講例題精講考點一：二次函數中的直角三角形存在性問題【例1】．如圖，二次函數y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，且A（﹣1，0），對稱軸為直線x＝2．（1）求該拋物線的表達式；（2）直線l過點A與拋物線交于點P，當∠PAB＝45°時，求點P的坐標；（3）在拋物線的對稱軸上是否存在一點Q，使得△BCQ是直角三角形？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．解：（1）設y＝（x﹣2）2+k，把A（﹣1，0）代入得：（﹣1﹣2）2+k＝0，解得：k＝﹣9，∴y＝（x﹣2）2﹣9＝x2﹣4x﹣5，答：拋物線的解析式為y＝x2﹣4x﹣5；（2）過點P作PM⊥x軸于點M，如圖：設P（m，m2﹣4m﹣5），則PM＝|m2﹣4m﹣5|，∵A（﹣1，0），∴AM＝m+1∵∠PAB＝45°∴AM＝PM，∴|m2﹣4m﹣5|＝m+1，即m2﹣4m﹣5＝m+1或m2﹣4m﹣5＝﹣（m+1），當m2﹣4m﹣5＝m+1時，解得：m1＝6，m2＝﹣1（不合題意，舍去），當m2﹣4m﹣5＝﹣（m+1），解得m3＝4，m4＝﹣1（不合題意，舍去），∴P的坐標是（6，7）或P（4，﹣5）；（3）在拋物線的對稱軸上存在一點Q，使得△BCQ是直角三角形，理由如下：在y＝x2﹣4x﹣5中，令x＝0得y＝﹣5，令y＝0得x＝﹣1或x＝5，∴B（5，0），C（0，﹣5），由拋物線y＝x2﹣4x﹣5的對稱軸為直線x＝2，設Q（2，t），∴BC2＝50，BQ2＝9+t2，CQ2＝4+（t+5）2，當BC為斜邊時，BQ2+CQ2＝BC2，∴9+t2+4+（t+5）2＝50，解得t＝﹣6或t＝1，∴此時Q坐標為（2，﹣6）或（2，1）；當BQ為斜邊時，BC2+CQ2＝BQ2，∴50+4+（t+5）2＝9+t2，解得t＝﹣7，∴此時Q坐標為（2，﹣7）；當CQ為斜邊時，BC2+BQ2＝CQ2，∴50+9+t2＝4+（t+5）2，解得t＝3，∴此時Q坐標為（2，3）；綜上所述，Q的坐標為（2，3）或（2，﹣7）或（2，1）或（2，﹣6）．變式訓練【變1-1】．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+4經過點A（4，0），B（﹣1，0），交y軸于點C．（1）求拋物線的解析式；（2）點D是直線AC上一動點，過點D作DE垂直于y軸于點E，過點D作DF⊥x軸，垂足為F，連接EF，當線段EF的長度最短時，求出點D的坐標；（3）在AC上方的拋物線上是否存在點P，使得△ACP是直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，說明理由．解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+4經過點A（4，0），B（﹣1，0），∴，解得：，∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2+3x+4；（2）連接OD，由題意知，四邊形OFDE是矩形，則OD＝EF，據垂線段最短，可知：當OD⊥AC時，OD最短，即EF最短．由（1）知，在Rt△AOC中，OC＝OA＝4，∴AC＝4．又∵D為AC的中點．∴DF∥OC，∴DF＝OC＝2，∴點D的坐標為（2，2）；（3）假設存在，設點P的坐標為（m，﹣m2+3m+4）．∵點A的坐標為（4，0），點C的坐標為（0，4），∴AP2＝（m﹣4）2+（﹣m2+3m+4﹣0）2＝m4﹣6m3+2m2+16m+32，CP2＝（m﹣0）2+（﹣m2+3m+4﹣4）2＝m4﹣6m3+10m2，AC2＝（0﹣4）2+（4﹣0）2＝32．分兩種情況考慮，①當∠ACP＝90°時，AP2＝CP2+AC2，即m4﹣6m3+2m2+16m+32＝m4﹣6m3+10m2+32，整理得：m2﹣2m＝0，解得：m1＝0（舍去），m2＝2，∴點P的坐標為（2，6）；②當∠APC＝90°時，CP2+AP2＝AC2，即m4﹣6m3+10m2+m4﹣6m3+2m2+16m+32＝32，整理得：m（m3﹣6m2+6m+8）＝0，∴m（m﹣4）（m2﹣2m﹣2）＝0，解得：m1＝0（舍去），m2＝4（舍去），（舍去），，∴點P的坐標為（1+，3+）．綜上所述，假設成立，即存在點P（2，6）或（1+，3+），使得△ACP是直角三角形．考點二：二次函數中的等腰三角形存在性問題【例2】．如圖，拋物線y＝﹣x2+5x+n經過點A（1，0），與y軸交于點B．（1）求拋物線的解析式；（2）求拋物線的對稱軸和頂點坐標．（3）P是y軸正半軸上一點，且△PAB是以AB為腰的等腰三角形，試求點P的坐標．解：（1）由題意得，﹣1+5+n＝0，解得，n＝﹣4，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+5x﹣4；（2）y＝﹣x2+5x﹣4＝﹣（x﹣）2+，拋物線對稱軸為：x＝，頂點坐標為（，）；（3）∵點A的坐標為（1，0），點B的坐標為（0，﹣4），∴OA＝1，OB＝4，在Rt△OAB中，AB＝＝，①當PB＝BA時，PB＝，∴OP＝PB﹣OB＝﹣4，此時點P的坐標為（0，﹣4），②當PA＝AB時，OP＝OB＝4此時點P的坐標為（0，4）．變式訓練【變2-1】．如圖．已知二次函數y＝﹣x2+bx+3的圖象與x軸的一個交點為A（4，0），與y軸交于點B．（1）求此二次函數關系式和點B的坐標；（2）在x軸的正半軸上是否存在點P．使得△PAB是以AB為底邊的等腰三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．解：（1）把點A（4，0）代入二次函數有：0＝﹣16+4b+3得：b＝所以二次函數的關系式為：y＝﹣x2+x+3．當x＝0時，y＝3∴點B的坐標為（0，3）．（2）如圖：作AB的垂直平分線交x軸于點P，連接BP，則：BP＝AP設BP＝AP＝x，則OP＝4﹣x，在直角△OBP中，BP2＝OB2+OP2即：x2＝32+（4﹣x）2解得：x＝∴OP＝4﹣＝所以點P的坐標為：（，0）綜上可得點P的坐標為（，0）．【變2-2】．如圖，拋物線y＝ax2+4x+c經過A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）兩點，點P是y軸左側且位于x軸下方拋物線上一動點，設其橫坐標為m．（1）直接寫出拋物線的解析式；（2）將線段AB繞點B順時針旋轉90°得線段BD（點D是點A的對應點），求點D的坐標，并判斷點D是否在拋物線上；（3）過點P作PM⊥x軸交直線BD于點M，試探究是否存在點P，使△PBM是等腰三角形？若存在，求出點m的值；若不存在，說明理由．解：（1）把點A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）代入解析式y＝ax2+4x+c，得，解得，∴y＝x2+4x﹣1；（2）如圖，作AC⊥y軸于點C，作DH⊥y軸于點H，∵∠CAB+∠ABC＝90°，∠HBD+∠ABC＝90°，∴∠CAB＝∠HBD，在△ABC和△DBH中，，∴△ABC≌△BDH（AAS），∴HB＝AC＝3，DH＝BC＝3，∴OH＝2，∴D（﹣3，2），把D（﹣3，2）代入y＝x2+4x﹣1中，得（﹣3）2+4×（﹣3）﹣1＝﹣4≠2，∴點D不在拋物線上；（3）存在點P，∵D（﹣3，2），B（0，﹣1），∴直線BD的解析式為y＝﹣x﹣1，設P（m，m2+4m﹣1），則M（m，﹣m﹣1），由（2）知：∠BMP＝45°，當△PBM是等腰三角形，且45°為底角時，有∠MBP＝90°或∠MPB＝90°，若∠MBP＝90°，則P與A重合，即m＝﹣3，若∠MPB＝90°，則PB∥x軸，即P的縱坐標為﹣1，∴m2+4m﹣1＝﹣1，解得m＝0（舍）或m＝﹣4，∴m＝﹣4，若45°為頂角，即MP＝MB，∵MP＝﹣m﹣1﹣m2﹣4m+1＝﹣m2﹣5m，MB＝﹣＝﹣，∴﹣m2﹣5m＝﹣m，解得m＝0（舍）或m＝﹣5+，∴m的值為﹣3，﹣4，﹣5．1．如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣3，0），B（1，0）兩點，與y軸交于點C（0，3），連接AC，點P為第二象限拋物線上的動點．（1）求a、b、c的值；（2）連接PA、PC、AC，求△PAC面積的最大值；（3）在拋物線的對稱軸上是否存在一點Q，使得△QAC為直角三角形，若存在，請求出所有符合條件的點Q的坐標；若不存在，請說明理由．解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+c經過A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三點∴，解得：∴a＝﹣1，b＝﹣2，c＝3；（2）如圖1，過點P作PE∥y軸，交AC于E，∵A（﹣3，0），C（0，3），∴直線AC的解析式為y＝x+3，由（1）知，拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣2x+3，設點P（m，﹣m2﹣2m+3），則E（m，m+3），∴S△ACP＝PE?（xC﹣xA）＝×[﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）]×（0+3）＝﹣（m2﹣3m）＝﹣（m+）2+，∴當m＝﹣時，S△PAC最大＝；（3）存在，點Q的坐標為：（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，）或（﹣1，）．如圖2，∵A（﹣3，0），C（0，3），∴OA＝OC＝3，∴AC2＝OA2+OC2＝32+32＝18，∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴拋物線對稱軸為x＝﹣1，設點Q（﹣1，n），則AQ2＝[﹣1﹣（﹣3）]2+n2＝n2+4，CQ2＝[0﹣（﹣1）]2+（n﹣3）2＝n2﹣6n+10，∵△QAC為直角三角形，∴∠CAQ＝90°或∠ACQ＝90°或∠AQC＝90°，①當∠CAQ＝90°時，根據勾股定理，得：AQ2+AC2＝CQ2，∴n2+4+18＝n2﹣6n+10，解得：n＝﹣2，∴Q1（﹣1，﹣2）；②當∠ACQ＝90°時，根據勾股定理，得：CQ2+AC2＝AQ2，∴n2﹣6n+10+18＝n2+4，解得：n＝4，∴Q2（﹣1，4）；③當∠AQC＝90°時，根據勾股定理，得：CQ2+AQ2＝AC2，∴n2﹣6n+10+n2+4＝18，解得：n1＝，n2＝，∴Q3（﹣1，），Q4（﹣1，）；綜上所述，點Q的坐標為：（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，）或（﹣1，）．2．已知拋物線y＝﹣x2﹣x的圖象如圖所示：（1）將該拋物線向上平移2個單位，分別交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，則平移后的解析式為y＝﹣x2﹣x+2．（2）判斷△ABC的形狀，并說明理由．（3）在拋物線對稱軸上是否存在一點P，使得以A、C、P為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．解：（1）將該拋物線向上平移2個單位，得y＝﹣x2﹣x+2，故答案為：y＝﹣x2﹣x+2；（2）當y＝0時，﹣x2﹣x+2＝0，解得x1＝﹣4，x2＝1，即B（﹣4，0），A（1，0）．當x＝0時，y＝2，即C（0，2）．AB＝1﹣（﹣4）＝5，AB2＝25，AC2＝（1﹣0）2+（0﹣2）2＝5，BC2＝（﹣4﹣0）2+（0﹣2）2＝20，∵AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形；（3）y＝﹣x2﹣x+2的對稱軸是直線x＝﹣，設P（﹣，n），AP2＝（1+）2+n2＝+n2，CP2＝+（2﹣n）2，AC2＝12+22＝5當AP＝AC時，AP2＝AC2，+n2＝5，方程無解；當AP＝CP時，AP2＝CP2，+n2＝+（2﹣n）2，解得n＝0，即P1（﹣，0），當AC＝CP時AC2＝CP2，+（2﹣n）2＝5，解得n1＝2+，n2＝2﹣，P2（﹣，2+），P3（﹣，2﹣）．綜上所述：使得以A、C、P為頂點的三角形是等腰三角形，點P的坐標（﹣，0），（﹣，2+），（﹣，2﹣）．3．如圖，拋物線y＝﹣x2+x+3與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，頂點為D，拋物線的對稱軸與x軸交于點E，連接AC，BD．（1）求點A，B，C，D的坐標；（2）點F為拋物線對稱軸上的動點，且△BEF與△AOC相似，請直接寫出符合條件的點F的坐標；（3）點P為拋物線上的動點，是否存在這樣的點P，使△BDP是直角三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．解：（1）對于y＝﹣x2+x+3，令y＝﹣x2+x+3＝0，解得x＝6或﹣2，令x＝0，則y＝3，故點A、B、C的坐標分別為（﹣2，0）、（6，0）、（0，3），則函數的對稱軸為直線x＝（6﹣2）＝2，當x＝2時，y＝﹣x2+x+3＝4，即點D（2，4）；（2）tan∠CAO＝，當△BEF與△AOC相似時，則，即，解得：EF＝6或，故點F的坐標為：（2，6）或（2，﹣6）或或；（3）存在，理由：△BDP是直角三角形只要可能是∠DBP和∠BDP為直角，①當∠DBP為直角時，過點B作y軸的平行線，交過點P與x軸的平行線于點H，交過點D與x軸的平行線于點G，∵DG＝BG＝4，則△BDG為等腰三角形，∠DBG＝45°，則∠PBH＝45°，即△PBH為等腰直角三角形，則設PH＝BH＝m，則點P（6﹣m，﹣m），將點P的坐標代入拋物線表達式得：﹣m＝﹣（6﹣m）2+（6﹣m）+3，解得：m＝0（舍去）或12，故點P的坐標為（﹣6，﹣12）；②當∠BDP為直角時，∵AD＝BD＝3，AB＝64，則△ABD為等腰直角三角形，即∠ADB＝90°，即點P于點A重合，故點P（﹣2，0）；綜上，點P的坐標為（﹣2，0）或（﹣6，﹣12）．4．如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，其中A（﹣1，0），C（0，3）．（1）求該拋物線的函數表達式；（2）拋物線與直線y＝﹣x﹣1交于A、E兩點，P是x軸上點B左側一動點，當以P、B、C為頂點的三角形與△ABE相似時，求點P的坐標；（3）若F是直線BC上一動點，在拋物線上是否存在動點M，使△MBF為等腰直角三角形，若存在，請直接寫出點M的坐標；否則說明理由．解：（1）把A（﹣1，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：，解得：，∴拋物線的函數表達式為y＝﹣x2+2x+3；（2）聯立直線AE和拋物線的函數關系式成方程組，得：，解得：，，∴點E的坐標為（4，﹣5），∴AE＝＝5，在y＝﹣x2+2x+3中，令y＝0，得：﹣x2+2x+3＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣1，∴點B的坐標為（3，0），∵C（0，3），∴OB＝OC＝3，∵∠BOC＝90°，∴∠CBO＝45°，BC＝3，∵直線AE的函數表達式為y＝﹣x﹣1，∴∠BAE＝45°＝∠CBO．設點P的坐標為（m，0），則PB＝3﹣m，∵以P、B、C為頂點的三角形與△ABE相似，∴＝或＝，∴＝或＝，解得：m＝或m＝﹣，∴點P的坐標為（，0）或（﹣，0）；（3）∵∠CBO＝45°，∴存在兩種情況（如圖2）．①取點M1與點A重合，過點M1作M1F1∥y軸，交直線BC于點F1，∵∠CBM1＝45°，∠BM1F1＝90°，∴此時△BM1F1為等腰直角三角形，∴點M1的坐標為（﹣1，0）；②取點C′（0，﹣3），連接BC′，延長BC′交拋物線于點M2，過點M2作M2F2∥y軸，交直線BC于點F2，∵點C、C′關于x軸對稱，∠OBC＝45°，∴∠CBC′＝90°，BC＝BC′，∴△CBC′為等腰直角三角形，∵M2F2∥y軸，∴△M2BF2為等腰直角三角形．∵點B（3，0），點C′（0，﹣3），∴直線BC′的函數關系式為y＝x﹣3，聯立直線BC′和拋物線的函數關系式成方程組，得：，解得：，，∴點M2的坐標為（﹣2，﹣5），綜上所述：點M的坐標為（﹣1，0）或（﹣2，﹣5）．5．如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣3（a≠0）與x軸交于A，B兩點（點A在點B左側），與y軸交于點C，且BO＝OC＝3AO．（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△PBC是等腰三角形？若存在，請直接寫出符合條件的點P坐標；若不存在，請說明理由．解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx﹣3，∴c＝﹣3，∴C（0，﹣3），∴OC＝3，∵BO＝OC＝3AO，∴BO＝3，AO＝1，∴B（3，0），A（﹣1，0），∵該拋物線與x軸交于A、B兩點，∴，∴，∴拋物線解析式為y＝x2﹣2x﹣3，（2）存在，理由：設P（1，m），∵B（3，0），C（0，﹣3），∴BC＝3，PB＝，PC＝，∵△PBC是等腰三角形，①當PB＝PC時，∴＝，∴m＝﹣1，∴P（1，﹣1），②當PB＝BC時，∴3＝，∴m＝±，∴P（1，）或P（1，﹣），③當PC＝BC時，∴3＝，∴m＝﹣3±，∴P（1，﹣3+）或P（1，﹣3﹣），∴符合條件的P點坐標為P（1，﹣1）或P（1，）或P（1，﹣）或P（1，﹣3+）或P（1，﹣3﹣）．6．如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象交x軸于點A、B，交y軸于點C，其頂點為D，已知AB＝4，∠ABC＝45°，OA：OB＝1：3．（1）求二次函數的表達式及其頂點D的坐標；（2）點M是線段BC上方拋物線上的一個動點，點N是線段BC上一點，當△MBC的面積最大時，求：①點M的坐標，說明理由；②MN+BN的最小值；（3）在二次函數的圖象上是否存在點P，使得以點P、A、C為頂點的三角形為直角三角形？若存在，求出點P坐標；若不存在，請說明理由．解：（1）∵∠ABC＝45°，∴OB＝OC，∵OA：OB＝1：3，AB＝4，∴OA＝1，OB＝3，∴OC＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），將A、B、C代入y＝ax2+bx+c中，∴，解得，∴y＝﹣x2+2x+3，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴D（1，4）；（2）①設BC的解析式為y＝kx+b，∴，解得，∴y＝﹣x+3，過點M作MG∥y軸交BC于點G，設M（t，﹣t2+2t+3），則G（t，﹣t+3），∴PG＝﹣t2+2t+3+t﹣3＝﹣t2+3t，∴S△MBC＝×3×（﹣t2+3t）＝﹣（t﹣）2+，∵0＜t＜3，∴當t＝時，S△MBC有最大值，此時M（，）；②過點M作MH⊥x軸交于H，交BC于N，∵∠OBC＝45°，∴NH＝BN，∴MN+BN＝MN+NH≥MH，∵M（，），∴MH＝，∴MN+BN的最小值為，故答案為：；（3）存在點P，使得以點P、A、C為頂點的三角形為直角三角形，理由如下：設P（m，﹣m2+2m+3），如圖2，當∠ACP＝90°時，過點C作EF∥x軸，過點A作AE⊥EF交于E，過點P作PF⊥EF交于F，∴∠ECA+∠FCP＝90°，∵∠ACE+∠EAC＝90°，∴∠FCP＝∠EAC，∴△ACE∽△CPF，∴＝，∴＝，解得m＝0（舍）或m＝，∴P（，）；如圖3，當∠CAP＝90°時，過點A作MN⊥x軸，過點C作CM⊥MN交于M，過點P作PN⊥MN交于N，∵∠MAC+∠NAP＝90°，∠MAC+∠MCA＝90°，∴∠NAP＝∠MCA，∴△ACM∽△PAN，∴＝，∴＝，解得m＝﹣1（舍）或m＝，∴P（，﹣）；綜上所述：P點坐標為（，）或（，﹣）．7．如圖，拋物線y＝ax2+bx+4交x軸于A（﹣3，0），B（4，0）兩點，與y軸交于點C，連接AC，BC．M為線段OB上的一個動點，過點M作PM⊥x軸，交拋物線于點P，交BC于點Q．（1）求拋物線的表達式；（2）試探究點M在運動過程中，是否存在這樣的點Q，使得以A，C，Q為頂點的三角形是等腰三角形．若存在，請求出此時點Q的坐標；若不存在，請說明理由．解：（1）將A（﹣3，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+4，∴，解得，∴拋物線的表達式為：；（2）存在點Q，使得以A，C，Q為頂點的三角形是等腰三角形，理由如下：令x＝0，則y＝4，∴點C（0，4），∵A（﹣3，0）、C（0，4），∴AC＝5，設直線BC的解析式為y＝kx+b，∴，解得，∴y＝﹣x+4，設點M（m，0），則點Q（m，﹣m+4），①當AC＝CQ時，過點Q作QE⊥y軸于點E，連接AQ，∵CQ2＝CE2+EQ2，即m2+[4﹣（﹣m+4）]2＝25，解得：舍去負值），∴點；②當AC＝AQ時，則AQ＝AC＝5，在Rt△AMQ中，由勾股定理得：[m﹣（﹣3）]2+（﹣m+4）2＝25，解得：m＝1或m＝0（舍去0），∴點Q（1，3）；③當CQ＝AQ時，則2m2＝[m﹣（﹣3）]2+（﹣m+4）2，解得：舍去）；綜上所述，點Q的坐標為（1，3）或．8．如圖，已知拋物線y＝x2+bx+c經過A（﹣1，0）、B（3，0）兩點，且與y軸相交于點C，直線l是拋物線的對稱軸．（1）求拋物線的函數關系式；（2）設點P是直線l上的一個動點，當點P到點A、點C的距離之和最短時，求點P的坐標；（3）點M也是直線l上的動點，且△MAC為直角三角形，請直接寫出所有符合條件的點M的坐標．解：∵拋物線y＝x2+bx+c經過A（﹣1，0）、B（3，0）兩點，∴，∴，∴拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3，（2）如圖1，∵點A，B關于直線l對稱，∴連接BC交直線l于點P，由（1）知，拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3，∴直線l：x＝1，C（0，﹣3），∵B（3，0），∴直線BC的解析式為y＝x﹣3，當x＝1時，y＝﹣2，∴P（1，﹣2），（3）設點M（1，m），∵A（﹣1，0），C（0，﹣3），∴AC2＝10，AM2＝m2+4，CM2＝（m+3）2+1＝m2+6m+10，∵△MAC為直角三角形，∴當∠ACM＝90°時，∴AC2+CM2＝AM2，∴10+m2+6m+10＝m2+4，∴m＝﹣，∴M（1，﹣）當∠CAM＝90°時，∴AC2+AM2＝CM2，∴10+m2+4＝m2+6m+10，∴m＝，∴M（1，）當∠AMC＝90°時，AM2+CM2＝AC2，∴m2+4+m2+6m+10＝10，∴m＝﹣1或m＝﹣2，∴M（1，﹣1）或（1，﹣2），即：滿足條件的點M的坐標為（1，﹣）或（1，）或（1，﹣1）或（1，﹣2）．9．如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與一直線相交于A（﹣1，0），C（2，3）兩點，與y軸交于點N，其頂點為D．（1）求拋物線及直線AC的函數表達式；（2）在拋物線對稱軸上是否存在一點M，使以A，N，M為頂點的三角形是直角三角形？若存在，請求出M點的坐標．若不存在，請說明理由．解：（1）由拋物線y＝﹣x2+bx+c過點A（﹣1，0）及C（2，3）得，解得，故拋物線的函數表達式為y＝﹣x2+2x+3．設直線AC的函數表達式為y＝kx+n，將A（﹣1，0）、C（2，3）分別代入y＝kx+n中可得解得，故直線AC的函數表達式為y＝x+1．（2）存在，理由：由拋物線的表達式知，其對稱軸為x＝1，設點M（1，m），∵A（﹣1，0），M（1，m），N（0，3），∴AM2＝（1+1）2+m2＝4+m2，同理AN2＝10，MN2＝1+（m﹣3）2．當AM是斜邊時，則4+m2＝10+1+（m﹣3）2，解得；當AN是斜邊時，4+m2+1+（m﹣3）2＝10，解得：m＝1或2；當MN是斜邊時，4+m2+10＝1+（m﹣3）2，解得：．故點M的坐標為或（1，1）或（1，2）或．10．拋物線y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，﹣3），頂點為D．（1）求此拋物線的解析式．（2）求此拋物線頂點D的坐標和對稱軸．（3）探究對稱軸上是否存在一點P，使得以P、D、A為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，請求出所有符合條件的P點的坐標，若不存在，請說明理由．解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于A（﹣1.0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，﹣3），∴，解得，即此拋物線的解析式是y＝x2﹣2x﹣3；（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴此拋物線頂點D的坐標是（1，﹣4），對稱軸是直線x＝1；（3）存在點P，使得以點P、D、A為頂點的三角形是等腰三角形，設點P的坐標為（1，y），當PA＝PD時，則＝，解得y＝﹣，當DA＝DP時，則＝，解得y＝﹣4±2，當AD＝AP時，則＝，解得，y＝±4（舍去﹣4），由上可得，以點P、D、A為頂點的三角形是等腰三角形時，點P的坐標為（1，﹣）或（1，﹣4﹣2）或（1，﹣4+2）或（1，4）．11．如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C．（1）求拋物線的解析式；（2）若M為拋物線對稱軸上一動點，使得△MBC為直角三角形，請求出點M的坐標．（3）如圖1，P為直線BC上方的拋物線上一點，PD∥y軸交BC于D點，過點D作DE⊥AC于E點．設m＝PD+DE，求m的最大值及此時P點坐標．解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）兩點代入解析式y＝ax2+bx+3，得，解得，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3．（2）如圖，當∠MCB＝90°時，延長MC交x軸于點G，∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），∴OB＝OC＝3，AB＝3﹣（﹣1）＝4∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∵∠MCB＝90°，∴∠GCB＝90°，∠GCO＝45°，∴∠GCO＝∠CGO＝45°，∴OG＝OC＝3，∴G（﹣3，0），設直線GC的解析式為y＝kx+3，∴0＝﹣3k+3，解得k＝1，∴直線GC的解析式為y＝x+3，∴x＝1時，y＝x+3＝4，此時M（1，4）；如圖，當∠MBC＝90°時，延長BM交y軸于點H，∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），∴OB＝OC＝3，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∵∠MBC＝90°，∴∠HBO＝45°，∴∠HBO＝∠BHO＝45°，∴OH＝OB＝3，∴H（0，﹣3），設直線BH的解析式為y＝px﹣3，∴0＝3p﹣3，解得p＝1，∴直線BH的解析式為y＝x﹣3，∴x＝1時，y＝x﹣3＝﹣2，此時M（1，﹣2）；當∠CMB＝90°時，設M（1，a），∵B（3，0），C（0，3），∴OB＝OC＝3，∴BC2＝32+32＝18，MC2＝1+（a﹣3）2，BM2＝4+a2，∵∠CMB＝90°，∴BC2＝MC2+BM2，∴18＝1+（a﹣3）2+4+a2，整理，得a2﹣3a﹣2＝0，解得，此時或；綜上所述，點M（1，4）或點M（1，﹣2）或點或點．（3）如圖，設PD與x軸的交點為F，點P（n，﹣n2+2n+3），∵B（3，0），C（0，3），設直線BC的解析式為y＝qx+3，∴0＝3q+3，解得q＝﹣1，∴直線BC的解析式為y＝﹣x+3，∴D（n，﹣n+3），∴PD＝﹣n2+2n+3﹣（﹣n+3）＝﹣n2+3n；∵A（﹣1，0），C（0，3），∴，∴，連接AD，∴，∵S△ADC＝S△ABC﹣S△ADB，AB＝3﹣（﹣1）＝4∴，∴，∴∵拋物線開口向下，∴m有最大值，且當時，取得最大值，且為，此時，故點．12．如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點A和B（5，0），與y軸交于點C（0，5）．（1）求拋物線的解析式；（2）拋物線的對稱軸與x軸交于點M，與BC交于點F，點D是對稱軸上一點，當點D關于直線BC的對稱點E在拋物線上時，求點E的坐標；（3）點P在拋物線的對稱軸上，點Q在直線BC上方的拋物線上，是否存在以O，P，Q為頂點的三角形是等腰直角三角形，若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．解：（1）∵點B（5，0），C（0，5）在拋物線y＝﹣x2+bx+c上，∴，解得，，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+4x+5；（2）設點M關于直線BC的對稱點為點M′，連接MM′，BM′，則直線FM′為拋物線對稱軸關于直線BC的對稱直線，∵點E是點D關于直線BC的對稱點，點E落在拋物線上，∴直線FM′與拋物線的交點E1，E2為D1，D2落在拋物線上的對稱點，∵對稱軸與x軸交于點M，與BC交于點F，∴，∴點M的坐標為（2，0），∵點C的坐標為（0，5），點B的坐標為（5，0），∴OB＝OC，∴△OBC是等腰直角三角形，∴∠OBC＝45°，∴△MBF是等腰直角三角形，∴MB＝MF，∴點F的坐標為F（2，3），∵點M關于直線BC的對稱點為點M′，∴BM′＝BM，∠MBM′＝90°，∴△MBM′是等腰直角三角形，∴BM′＝BM＝3，∴點M′的坐標為（5，3），∴FM′∥x軸，∴﹣x2+4x+5＝3，解得，x1＝，x2＝，∴E1（，3），E2（，3），∴點E的坐標為（，3）或（，3）；（3）存在，Q1（，），Q2（，），Q3（，2）．設Q（m，﹣m2+4m+5），P（2，p），①當OP＝PQ，∠OPQ＝90°時，作PL⊥y軸于L，過Q作QK⊥x軸，交PL于K，∴∠LPO＝90°﹣∠LOP＝90°﹣KPQ，∠PLO＝∠QKP＝90°，∴∠LOP＝∠KPQ，∵OP＝PQ，∴△LOP≌△KPQ（AAS），∴LO＝PK，LP＝QK，∴，解得m1＝，m2＝（舍去），當m1＝時，﹣m2+4m+5＝，∴Q（，）；②當QO＝PQ，∠PQO＝90°時，作PL⊥y軸于L，過Q作QK⊥x軸于T，交PL于K，同理可得△PKQ≌△QTO（AAS），∴QT＝PK，TO＝QK，∴，解得m1＝，m2＝（舍去），當m1＝時，﹣m2+4m+5＝，∴Q（，）；③當QO＝OP，∠POQ＝90°時，作PL⊥y軸于L，過Q作QK⊥x軸于T，交PL于K，同理可得△OLP≌△QSO（AAS），∴SQ＝OL，SO＝LP，∴，解得m1＝2+，m2＝2﹣（舍去），當m1＝2+時，﹣m2+4m+5＝2，∴Q（，2）；綜上，Q1（，），Q2（，），Q3（，2）．13．已知如圖1，在以O為原點的平面直角坐標系中，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C（0，﹣1），連接AC，AO＝2CO，直線l過點G（0，t）且平行于x軸，t＜﹣1．（1）求拋物線對應的二次函數的解析式；（2）若D（﹣4，m）為拋物線y＝x2+bx+c上一定點，點D到直線l的距離記為d，當d＝DO時，求t的值．（3）如圖2，若E（﹣4，m）為上述拋物線上一點，在拋物線上是否存在點F，使得△BEF是直角三角形，若存在求出點F的坐標，若不存在說明理由．解：（1）∵C（0，﹣1），∴y＝x2+bx﹣1，又∵AO＝2OC，∴點A坐標為（﹣2，0），代入得：1﹣2b﹣1＝0，解得：b＝0，∴解析式為：y＝x2﹣1；（2）∵D（﹣4，m）為拋物線y＝x2﹣1上一定點，∴m＝×16﹣1＝3，∴D（﹣4，3），∴OD＝＝5，∴d＝5，∴t＝﹣（5﹣3）＝﹣2；（3）點E（﹣4，m）在拋物線y＝x2﹣1的上，∴m＝3，∴E（﹣4，3），∵B（2，0），∴直線BE為y＝﹣x+1，①如圖1，當B點為直角頂點時，則BF⊥BE，∴直線BF的斜率為2，設直線BF的解析式為y＝2x+n，把B（2，0）代入得2×2+n＝0，∴n＝﹣4，∴直線BF的解析式為y＝2x﹣4，解得或，∴F（6，8）；②當F點為直角頂點時，設BE的平行線y＝﹣x+b與拋物線有且只有一個交點P，∴﹣x+b＝x2﹣1，整理得x2+2x﹣4b﹣4＝0，∴△＝4+4（4b+4）＝0，解得b＝﹣，∴平行線為y＝﹣﹣，∴x2+2x+1＝0，解得x＝﹣1，∴y＝﹣，∴平行線與拋物線的交點P為（﹣1，﹣），∵B（2，0），E（﹣4，3），∴BE＝＝3，∴BE的中點Q為（﹣1，），∴QP＝+＝＜＝BE，∴此種情況不存在，③當E點為直角頂點時，如圖2，設點F（n，n2﹣1），而點E（﹣4，3），B（2，0），過點E作y軸的平行線交x軸于點N，交過點F與x軸的平行線于點M，則∠EBN＝∠MEF，則tan∠EBN＝tan∠MEF，即，∴，解得：n＝﹣4（舍去）或12，故點F的坐標為（12，35）；故在拋物線上存在點F，使得△BEF是直角三角形，點F的坐標為（6，8）或（12，35）．14．如圖①，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸相交于O、A兩點，直線y＝﹣x+3與y軸交于B點，與該拋物線交于A，D兩點，已知點D橫坐標為﹣1．（1）求這條拋物線的解析式；（2）如圖①，在線段OA上有一動點H（不與O、A重合），過H作x軸的垂線分別交AB于P點，交拋物線于Q點，若x軸把△POQ分成兩部分的面積之比為1：2，請求出H點的坐標；（3）如圖②，在拋物線上是否存在點C，使△ABC為直角三角形？若存在，求出點C的坐標；若不存在，請說明理由．（1）解：y＝﹣x+3，當x＝0時，y＝3，∴B（0，3），把x＝﹣1代入y＝﹣x+3得：y＝4，∴D（﹣1，4），當y＝0時，0＝﹣x+3，∴x＝3，∴A（3，0），∵拋物線過A（3，0），O（0，0），把D（﹣1，4）代入y＝ax2+bx+c＝a（x﹣0）（x﹣3）得：4＝a（﹣1﹣0）（﹣1﹣3），∴a＝1，∴y＝（x﹣0）（x﹣3），即拋物線的解析式是y＝x2﹣3x．（2）解：設H（x，0），則P（x，﹣x+3），Q（x，x2﹣3x），∴PH＝﹣x+3，QH＝3x﹣x2，∵x軸把△POQ分成兩部分的面積之比為1：2，∴＝或＝2，即＝或＝2，解得：x1＝2，x2＝3（舍去），x3＝3（舍去），x4＝，∴H點的坐標是（2，0）或（，0）．（3）解：分為三種情況：①若∠BAC＝90°，設C（x，x2﹣3x），∵△AOB是等腰直角三角形，∴∠BAO＝45°，∴∠OAC＝45°，∴tan∠OAC＝1，∴＝1，解得：x1＝1，x2＝3（舍去），∴C（1，﹣2）；②若∠ABC＝90°時，∵∠OBA＝45°，∴∠OBC＝45°，設直線BC交于x軸于E，其解析式是y＝kx+3，∴OE＝OB＝3，∴E（﹣3，0），代入得：0＝﹣3k+3，∴k＝1，∴y＝x+3，解方程組得：，，∴C（2+，5+）或（2﹣，5﹣）；③若∠ACB＝90°時，設C（n，k），AC2+BC2＝AB2，即（n﹣3）2+k2+n2+（k﹣3）2＝18，n2﹣3n+k2﹣3k＝0，∵k＝n2﹣3n，代入求出k1＝0，k2＝2，∴n2﹣3n＝0，n2﹣3n＝2，解得：n1＝0，n2＝3（舍去），n3＝，n4＝，∴C（0，0）或（，2）或（，2），綜合上述：存在，點C的坐標是（1，﹣2）或（2+，5+）或（2﹣，5﹣）或（0，0）或（，2）或（，2）．15．如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，OA＝OC＝3，頂點為D．（1）求此函數的關系式；（2））在AC下方的拋物線上有一點N，過點N作直線l∥y軸，交AC與點M，當點N坐標為多少時，線段MN的長度最大？最大是多少？（3）在對稱軸上有一點K，在拋物線上有一點L，若使A，B，K，L為頂點形成平行四邊形，求出K，L點的坐標．（4）在y軸上是否存在一點E，使△ADE為直角三角形，若存在，直接寫出點E的坐標；若不存在，說明理由．解：（1）∵拋物線y＝x2+bx+c經過點A（﹣3，0），C（0，﹣3），∴將其分別代入拋物線解析式，得，解得．故此拋物線的函數表達式為：y＝x2+2x﹣3；（2）設直線AC的解析式為y＝kx+t，將A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入，得，解得，∴直線AC的解析式為y＝﹣x﹣3，設N的坐標為（n，n2+2n﹣3），則M（n，﹣n﹣3），∴MN＝﹣n﹣3﹣（n2+2n﹣3）＝﹣n2﹣3n＝﹣（n+）2+，把n＝﹣代入拋物線得，N的坐標為（﹣，﹣），當N的坐標為（﹣，﹣），MN有最大值；（3）①當以AB為對角線時，根據平行四邊形對角線互相平分，∴KL必過（﹣1，0），∴L必在拋物線上的頂點D處，∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴L（﹣1，﹣4），K（﹣1，4）②當以AB為邊時，AB＝KL＝4，∵K在對稱軸上x＝﹣1，∴L的橫坐標為3或﹣5，代入拋物線得L（﹣5，12）或L（3，12），此時K都為（﹣1，12），綜上，K（﹣1，4），L（﹣1，﹣4）或K（﹣1，12），L（﹣5，12）或K（﹣1，12），L（3，12）；（4）存在，∵A（﹣3，0），D（﹣1，﹣4），∴AD2＝（﹣3+1）2+（0+4）2＝20，設E（0，m），則AE2＝（﹣3﹣0）2+（0﹣m）2＝9+m2，DE2＝（﹣1﹣0）2+（﹣4﹣m）2＝17+m2+8m，①AE為斜邊，由AE2＝AD2+DE2得：9+m2＝20+17+m2+8m，解得：m＝，②DE為斜邊，由DE2＝AD2+AE2得：9+m2+20＝17+m2+8m，解得：m＝，③AD為斜邊，由AD2＝ED2+AE2得：20＝17+m2+8m+9+m2，解得：m＝﹣1或﹣3，∴點E的坐標為（0，）或（0，）或（0，﹣1）或（0，﹣3）．16．如圖1，已知拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于點A（1，0）和點B（﹣3，0），與y軸交于點C（1）求拋物線的解析式；（2）設拋物線的對稱軸與x軸交于點M，請問在對稱軸上是否存在點P，使△CMP為等腰三角形？若存在，請求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由；（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得△QAC的周長最小？若存在，求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由．解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于點A（1，0）和點B（﹣3，0），∴，解得：．∴所求拋物線解析式為：y＝﹣x2﹣2x+3；（2）存在，如圖1，∵拋物線解析式為：y＝﹣x2﹣2x+3，∴其對稱軸為，∴設P點坐標為（﹣1，a），∴C（0，3），M（﹣1，0），PM2＝a2，CM2＝（﹣1）2+32，CP2＝（﹣1）2+（3﹣a）2，分類討論：（1）當PC＝PM時，（﹣1）2+（3﹣a）2＝a2，解得，∴P點坐標為：P1（﹣1，）；（2）當MC＝MP時，（﹣1）2+32＝a2，解得，∴P點坐標為：或；（3）當CM＝CP時，（﹣1）2+32＝（﹣1）2+（3﹣a）2，解得a＝6，a＝0（舍），∴P點坐標為：P4（﹣1，6）．綜上所述存在符合條件的點P，其坐標為或或P（﹣1，6）或．（3）存在，Q（﹣1，2），理由如下：如圖2，點C（0，3）關于對稱軸x＝﹣1的對稱點C′的坐標是（﹣2，3），連接AC′，直線AC′與對稱軸的交點即為點Q．設直線AC′函數關系式為：y＝kx+t（k≠0）．將點A（1，0），C′（﹣2，3）代入，得，解得，所以，直線AC′函數關系式為：y＝﹣x+1．將x＝﹣1代入，得y＝2，即Q（﹣1，2）．17．如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，點A在x軸上，點B在y軸上，點C（3，1），二次函數y＝x2+bx﹣的圖象經過點C．（1）求二次函數的解析式，并把解析式化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）把△ABC沿x軸正方向平移，當點B落在拋物線上時，求△ABC掃過區域的面積；（3）在拋物線上是否存在異于點C的點P，使△ABP是以AB為直角邊的等腰直角三角形？如果存在，請求出所有符合條件的點P的坐標；如果不存在，請說明理由．解：（1）∵點C（3，1）在二次函數的圖象上，∴x2+bx﹣＝1，解得：b＝﹣，∴二次函數的解析式為y＝x2﹣x﹣y＝x2﹣x﹣＝（x2﹣x+﹣）﹣＝（x﹣）2﹣（2）作CK⊥x軸，垂足為K．∵△ABC為等腰直角三角形，∴AB＝AC．又∵∠BAC＝90°，∴∠BAO+∠CAK＝90°．又∵∠CAK+∠ACK＝90°，∴∠BAO＝∠ACK．在△BAO和△ACK中，∠BOA＝∠AKC，∠BAO＝∠ACK，AB＝AC，∴△BAO≌△ACK．∴OA＝CK＝1，OB＝AK＝2．∴A（1，0），B（0，2）．∴當點B平移到點D時，D（m，2），則2＝m2﹣m﹣，解得m＝﹣3（舍去）或m＝．∴AB＝＝．∴△ABC掃過區域的面積＝S四邊形ABDE+S△DEH＝×2+××＝9.5（3）當∠ABP＝90°時，過點P作PG⊥y軸，垂足為G．∵△APB為等腰直角三角形，∴PB＝AB，∠PBA＝90°．∴∠PBG+∠BAO＝90°．又∵∠PBG+∠BPG＝90°，∴∠BAO＝∠BPG．在△BPG和△ABO中，∠BOA＝∠PGB，∠BAO＝∠BPG，AB＝PB，∴△BPG≌△ABO．∴PG＝OB＝2，AO＝BG＝1，∴P（﹣2，1）．當x＝﹣2時，y≠1，∴點P（﹣2，1）不在拋物線上．當∠PAB＝90°，過點P作PF⊥x軸，垂足為F．同理可知：△PAF≌△ABO，∴FP＝OA＝1，AF＝OB＝2，∴P（﹣1，﹣1）．當x＝﹣1時，y＝﹣1，∴點P（﹣1，﹣1）在拋物線上．18．如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+4（a≠0）與x軸交于點A（1，0）和B，與y軸交于點C，對稱軸為直線x＝．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，若點P是線段BC上的一個動點（不與點B，C重合），過點P作y軸的平行線交拋物線于點Q，連接OQ，當線段PQ長度最大時，判斷四邊形OCPQ的形狀并說明理由；（3）點N坐標為（0，2），點M在拋物線上，且∠NBM＝45°，直接寫出點M坐標；（4）如圖2，在（2）的條件下，D是OC的中點，過點Q的直線與拋物線交于點E，且∠DQE＝2∠ODQ．在y軸上是否存在點F，使得△BEF為等腰三角形？若存在，求點F的坐標；若不存在，請說明理由．解：（1）將點A（1，0）代入y＝ax2+bx+4，得a+b+4＝0，∵對稱軸為直線x＝，∴﹣＝，∴b＝﹣5a，∴a﹣5a+4＝0，∴a＝1，∴b＝﹣5，∴y＝x2﹣5x+4；（2）令x＝0，則y＝4，∴C（0，4），令y＝0，則x2﹣5x+4＝0，∴x＝4或x＝1，∴A（1，0），B（4，0），設直線BC的解析式為y＝kx+d，∴，∴，∴y＝﹣x+4，設P（t，﹣t+4），則Q（t，t2﹣5t+4），∴PQ＝﹣t+4﹣（t2﹣5t+4）＝﹣t2+4t＝﹣（t﹣2）2+4，∴當t＝2時，PQ的長度最大，∴P（2，2），Q（2，﹣2），∴PQ＝4，OQ＝2，∵CO＝4，∴四邊形OCPQ是平行四邊形；（3）∵OB＝OC＝4，∴∠CBO＝45°，∵∠NBM＝45°，∴∠OBM＝∠CBN，過點N作NF⊥BC于點F，∵N（0，2），C（0，4），∴CN＝2，∴NF＝CF＝，∵B（4，0），∴OB＝4，∴NB＝2，∴BF＝3，∴tan∠CBN＝，∴tan∠OBG＝＝＝，∴OG＝，∴G（0，﹣），設直線OM的解析式為y＝kx+b，∴，∴，∴y＝x﹣，聯立方程組，解得x＝4（舍）或x＝，∴M（，﹣）；過B點作BK⊥BG交y軸于點K，此時∠NBK＝45°，∴∠OKB＝∠OBG，∵tan∠OBG＝＝＝＝，∴OK＝12，∴K（0，12），設直線KB的解析式為y＝k1x+b1，∴，∴，∴y＝﹣3x+12，聯立方程組，解得x＝4（舍）或x＝﹣2，∴M（﹣2，18）；綜上所述：M點坐標為（﹣2，18）或（，﹣）；（4）存在點F，使得△BEF為等腰三角形，理由如下：過點Q作x軸的垂線，過點Q作QN⊥y軸交于點N，過點E作y軸的垂線ME，∵QM∥y軸，∴∠ODQ＝∠MQD，∵∠DQE＝2∠ODQ，∴∠MQE＝∠ODQ，∵C（0，4），D是OC的中點，∴D（0，2），∵Q（2，﹣2），∴tan∠ODQ＝＝，∴＝，設E（m，m2﹣5m+4），∴＝，解得m＝2（舍）或m＝5，∴E（5，4），∴BE＝，設F（0，y），①當BF＝BE時，＝，∴y＝±1，∴F（0，1）或（0，﹣1）；②當EF＝BE時，＝，此時y無解；③當BF＝EF時，BE的中點T（，2），∴BF＝＝，∴y＝，∴F（0，），綜上所述：點F的坐標為（0，1）或（0，﹣1）或（0，）．19．如圖，已知直線y＝3x﹣3分別交x軸，y軸于A、B兩點，拋物線y＝x2+bx+c經過A、B兩點，點C是拋物線與x軸的另一個交點（與A點不重合）．（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線的對稱軸上求一點P，使△ABP的周長最小，并求出最小周長和P點的坐標；（3）在拋物線的對稱軸上，是否存在點M，使△ABM為等腰三角形？若不存在，請說明理由；若存在，求出點M的坐標．解：（1）在y＝3x﹣3中，令y＝0求得x＝1，令x＝0可得y＝﹣3，∴A（1，0），B（0，﹣3），把A、B兩點的坐標分別代入y＝x2+bx+c得：，解得，∴拋物線解析式為y＝x2+2x﹣3；（2）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴拋物線的對稱軸為x＝﹣1，∵A、C關于對稱軸對稱，且A（1，0），∴MA＝MC，C（﹣3，0），∴MB+MA＝MB+MC，∴當B、M、C三點在同一條直線上時MB+MC最小，此時△ABM的周長最小，∴連接BC交對稱軸于點M，則M即為滿足條件的點，設直線BC的解析式為y＝kx+m，∵直線BC過點B（0，﹣3），C（﹣3，0），∴，解得：，∴直線BC的解析式y＝﹣x﹣3，當x＝﹣1時，y＝﹣2，∴M（﹣1，﹣2），∴存在點M使△ABM周長最短，其坐標為（﹣1，﹣2），最短周長為+＝3+；（3）存在，理由如下：拋物線的對稱軸為：x＝﹣1，假設存在M（﹣1，m）滿足題意：討論：①當MA＝AB時，∵OA＝1，OB＝3，∴AB＝，＝，解得：m＝±，∴M1（﹣1，），M2（﹣1，﹣）；②當MB＝BA時，＝，解得：M3＝0，M4＝﹣6，∴M3（﹣1，0），M4（﹣1，﹣6）（舍棄），③當MB＝MA時，＝，解得：m＝﹣1，∴M5（﹣1，﹣1），答：共存在4個點M1（﹣1，），M2（﹣1，﹣），M3（﹣1，0），M5（﹣1，﹣1）使△ABM為等腰三角形．20．如圖，已知直線y＝3x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B，過A，B兩點的拋物線交x軸于另一點C（3，0）．（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△ABP是等腰三角形？若存在，求出符合條件的點P的坐標；若不存在，說明理由．（3）在拋物線上求一點Q，使得△ACQ為以AC為底邊的等腰三角形，并寫出Q點的坐標；（4）除（3）中所求的Q點外，在拋物線上是否還存在其它的點Q使得△ACQ為等腰三角形？若存在，請求出一共有幾個滿足條件的點Q（要求簡要說明理由，但不證明）；若不存在這樣的點Q，請說明理由．解：（1）令x＝0得：y＝3，∴B（0，3）．令y＝0得：3x+3＝0，解得x＝﹣1，∴A（﹣1，0）．設拋物線的解析式為y＝a（x+1）（x﹣3），將點B的坐標代入得：﹣3a＝3，解得a＝﹣1，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3．（2）拋物線的對稱軸方程為x＝﹣＝1．設點P的坐標為（1，a）．當AB＝AP時，＝，整理得：10＝4+a2，解得a＝±∴P（1，）或（1，﹣）．當BA＝BP時，＝，整理得：10＝1+（3﹣a）2，解得：a＝0或a＝6（舍去），∴P（1，0）．當AP＝BP時，＝，整理得：6a＝6，解得a＝1，∴P（1，1）．綜上所述：點P的坐標為P（1，）或（1，﹣）或P（1，0）或P（1，1）．（3）當點Q在AC的垂直平分線上時，則QA＝QC．由拋物線的對稱性可知：此時點Q為拋物線的頂點．∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴Q（1，4）．（4）當QA＝QC時，拋物線的頂點即為所求的點Q．如圖所示：以A為圓心，以AC長為半徑作⊙A，⊙A交拋物線于Q1、Q2、Q3，以C為圓心，AC長為半徑作⊙C，交拋物線于點Q4、Q5、Q6．由圓的性質可知：△ACQ1、△ACQ2、△ACQ3、△ACQ4、△ACQ