8/132.1平面向量的實際背景及基本概念（名師：余枝）一、教學目標（一）核心素養向量是近代數學最重要和最基本的數學概念之一，它是溝通代數、幾何與三角函數的橋梁，對更新和完善中學數學知識結構起著重要的作用.通過本節課的學習，理解向量的基本概念，掌握向量的幾何表示，培養學生認識客觀事物的數學本質的能力.（二）學習目標1.了解向量的實際背景以及向量的概念；2.掌握向量的幾何表示以及零向量、單位向量、平行向量的概念；3.理解相等向量與共線（平行）向量的概念.（三）學習重點理解并掌握向量、零向量、單位向量、相等向量、共線向量的概念，會表示向量.（四）學習難點平行向量、相等向量和共線向量的區別和聯系.二、教學設計（一）課前設計1.預習任務：（1）讀一讀：閱讀教材第74頁至第76頁．（2）想一想：給出下列命題：①平行向量的方向一定相同；②共線向量一定在同一條直線上；③不平行的向量一定不相等；④與任意向量平行的向量是零向量；⑤平行于同一個非零向量的向量是平行向量；其中，所有正確命題的序號是③④⑤.2.預習自測：（1）在正方形中，與BD相交于點O，則與相等的向量是（）A．B．C．D．答案：D．（2）命題“若a∥b，b∥c，則a∥c”（）A．恒成立B．當a≠0時成立C．當b≠0時成立D．當c≠0時成立答案：C．（3）給出下列4個條件：①a=b；②|a|=|b|；③a與b方向相反；④|a|=0或|b|=0，其中能使a∥b成立的條件是_____________答案：①③④．(二)課堂設計1．問題探究探究一結合實例，引入向量，理解向量在生活中的應用性●活動結合實例，理解向量的概念在現實生活中，我們會遇到很多量，其中一些量在取定單位后用一個實數就可以表示出來，如長度、質量等.還有一些量，如我們在物理中所學習的位移、力是一個既有大小又有方向的量，例如：物體受到的重力是豎直向下的（圖2.1-1），物體的質量越大，它受到的重力越大；物體在液體中受到的浮力是豎直向上的（圖2.1-2），物體浸在液體中的體積越大，它受到的浮力越大；被拉長的彈簧的彈力是向左的（圖2.1-3），被壓縮的彈簧的彈力是向右的（圖2.1-4），并且在彈性限度內，彈簧拉長或壓縮的長度越大，彈力越大.向量的概念：我們把既有大小又有方向的量叫向量（物理學中常稱為矢量）（而把那些只有大小，沒有方向的量如：年齡、身高長度、面積、體積、質量等，稱為數量.物理學中常稱為標量）注意：數量與向量的區別：數量只有大小，是一個代數量，可以進行代數運算、比較大小；向量有方向，大小，雙重性，不能比較大小.【設計意圖】通過學生對向量與數量的識別能力的訓練，培養學生認識客觀事物的數學本質能力.探究二向量的幾何表示以及基本概念●活動①讓學生練習力的表示，進一步過渡到如何表示向量有向線段：具有方向的線段就叫做有向線段，三個要素：起點、方向、長度.向量的表示方法：用有向線段表示；②用字母a、b、c（印刷用黑體a，書寫用）等表示；③用有向線段的起點與終點字母：；④向量的大小(長度)稱為向量的模，記作；⑤向量和有向線段的區別：1.向量是自由向量，只有大小和方向兩個要素，與起點無關；只要大小和方向相同，則這兩個向量就是相同的向量.2.有向線段有起點、大小和方向三個要素，起點不同，盡管大小和方向相同，也是不同的有向線段.【設計意圖】讓學生先練習力的表示，讓錯誤呈現，激發認知沖突.●活動②探究零向量、單位向量、平行向量的定義零向量：長度為0的向量叫做零向量，記做0；單位向量：長度等于1個單位的向量叫做單位向量；平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，向量a、b平行，通常記作a∥b；規定：零向量與任一向量平行.說明：零向量、單位向量的定義都是只限制大小，不確定方向.【設計意圖】讓學生掌握向量的基本概念.探究三如何理解相等向量與共線向量●活動①通過具體問題探究歸納相等向量的概念設O是正六邊形ABCDEF的中心，分別寫出圖中與、、相等的向量.總結：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量.記：a=b【設計意圖】學生分組討論，找到思維上的不足，層層遞進總結相等向量的概念.●活動②領悟共線向量的含義思考:回顧平行向量的概念，兩向量平行，那么這兩向量所在的直線一定平行嗎？平行向量就是共線向量，這是因為任一組平行向量都可移到同一直線上（與有向線段的起點無關）.【設計意圖】對數學概念的理解一定要深入，全面，把握數學概念的形成過程.●活動③快速搶答以下說法正確的是__________（1）平行向量一定方向相同；（2）不相等的向量一定不平行；（3）共線向量一定在同一直線上；（4）若兩個向量在同一直線上，則這兩個向量一定是平行向量；（5）相等向量一定是共線向量.答案：（4）（5）【設計意圖】通過搶答環節，讓學生迅速掌握向量的基本概念.●活動④鞏固基礎，檢查反饋例1.下列說法中正確的個數是（）（1）身高是一個向量；（2）的兩條邊都是向量；（3）溫度含零上和零下溫度，所以溫度是向量；（4）物理學中的加速度是向量.A．0B．1C．2D．3【知識點】考察了向量的概念【數學思想】歸納推理思想【解題過程】身高只有長度，沒有方向，不是向量，角的邊是沒有大小和方向的，溫度只有數值，沒有方向【思路點撥】抓住向量的兩個要素：大小和方向【答案】B同類訓練下列說法正確的是（）A．數軸是向量B．方向不同的向量不能比較大小，但同向的向量可以比較大小C．單位向量的模都相等D．零向量沒有方向答案：C解析：【知識點】向量、零向量、單位向量的概念【數學思想】歸納推理思想【解題過程】模長為1個單位的向量叫做單位向量點撥：理解向量的相關概念例2.給出下列命題：=1\*GB3①向量和向量的長度相等；②方向不相同的兩個向量一定不平行；③向量就是有向線段；④向量；⑤向量大于向量.其中正確的個數是（）A．0B．1C．2D．3【知識點】向量有關概念【數學思想】歸納推理思想【解題過程】平行向量的方向相同或者相反；向量用有向線段表示，但兩者不是同一概念；向量不能比較大小.【思路點撥】注意向量和數量的區別【答案】B同類訓練.下列命題：①向量可以比較大小；②向量的模可以比較大小；③若，則一定有||=||，且與方向相同；④對于一個向量，只要不改變它的大小和方向，是可以任意平行移動的.其中正確的個數是（）A．1B．2C．3D．4答案：C解析：【知識點】向量及其基本概念【數學思想】歸納推理思想【解題過程】向量不能比較大小點撥：數量可以比較大小，向量不能比較大小；理解向量的含義●活動⑤強化提升、靈活應用例3.給出下列六個命題：①兩個向量相等，則它們的起點相同，終點相同；②若||=||，則；③若，則四邊形ABCD是平行四邊形；④平行四邊形ABCD中，一定有=；⑤若，，則；⑥若，,則.其中不正確的命題個數是（）A．2B．3C．4D．5答案：C解析：【知識點】向量的有關概念【數學思想】歸納推理思想【解題過程】由相等向量的概念可判斷①不正確；②模相等但方向不同的向量也不是相等向量，故錯誤；③，A、B、C、D四點可能在同一直線上，故錯誤；⑥如果是零向量則錯誤點撥：切勿混淆向量的有關概念同類訓練下列說法中錯誤的是（）A．零向量是沒有方向的B．零向量的長度為0C．零向量與任一向量平行D．零向量的方向是任意的答案：A解析：【知識點】零向量的概念【數學思想】歸納推理思想【解題過程】長度為0的向量叫做零向量點撥：理解零向量的概念2.課堂總結知識梳理我們把既有大小又有方向的量叫向量（物理學中常稱為矢量）；零向量：長度為0的向量叫做零向量，記做0；單位向量：長度等于1個單位的向量叫做單位向量；平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，向量a、b平行，通常記作a∥b；規定：零向量與任一向量平行.重難點歸納通過生活中的實例，了解數量和向量的區別．掌握向量的表示方法以及和有向線段的區別.理解零向量、單位向量、共線向量（平行向量）的概念.相等向量一定是共線向量，共線向量不一定是相等向量.（三）課后作業基礎型自主突破1．正n邊形有n條邊，他們對應的向量依次為，則這n個向量（）A．都相等B．都共線C．都不共線D．模都相等答案：D解析：【知識點】共線向量、相等向量的概念【數學思想】數形結合思想【解題過程】這n個向量大小相同，方向不同點撥：理清向量的基本概念2．把平面上一切單位向量的始點放在同一點,那么這些向量的終點所構成的圖形是（）A．一條線段B．一段圓弧C．圓上一群孤立點D．一個單位圓答案：D解析：【知識點】單位向量的概念【數學思想】數形結合思想【解題過程】長度為一個單位的向量叫做單位向量點撥：根據單位向量的定義判斷3．如圖，在四邊形ABCD中，,則必有（）A．B．C．D．答案：D解析：【知識點】相等向量的概念【數學思想】數形結合思想【解題過程】長度相等，方向相同的向量叫做相等向量點撥：向量具有大小和方向4．在△ABC中,AB=AC,D、E分別是AB、AC的中點,則（）A．與共線B．與共線C．與相等D．與相等答案：B解析：【知識點】共線向量和相等向量的概念【數學思想】數形結合思想【解題過程】共線向量的方向相同或相反；相等向量的方向和模長相等點撥：對概念的理解要全面5．下列命題正確的是（）A．向量與是兩平行向量B．若a、b都是單位向量,則a=bC．若=,則A、B、C、D四點構成平行四邊形D．兩向量相等的充要條件是它們的始點、終點相同答案：A解析：【知識點】向量的有關概念【數學思想】歸納推理思想【解題過程】與大小相同，方向相反點撥：不能混淆向量的有關概念能力型師生共研6.已知A、B、C是不共線的三點，向量m與向量是平行向量，與向量是共線向量，則m=_________答案：0.解析：【知識點】向量的有關概念【數學思想】隱含條件思想【解題過程】零向量與任何向量平行點撥：抓住題目中A、B、C是不共線的三點這一條件7.下列命題正確的是（）A.a與b共線，b與c共線，則a與c也共線B.任意兩個相等的非零向量的始點與終點是一平行四邊形的四頂點C.向量a與b不共線，則a與b都是非零向量D.有相同起點的兩個非零向量不平行【知識點】向量的有關概念【數學思想】歸納推理思想【解題過程】由于零向量與任一向量都共線，所以A不正確；由于數學中研究的向量是自由向量，所以兩個相等的非零向量可以在同一直線上，而此時就構不成四邊形，根本不可能是一個平行四邊形的四個頂點，所以B不正確；向量的平行只要方向相同或相反即可，與起點是否相同無關，所以Ｄ不正確.點撥：對向量的有關概念要重點理解答案：C.探究型多維突破8.設數軸上有四個點A、B、C、D，其中A、C對應的實數分別是1和，且,為單位向量，則點B對應的實數為________；點D對應的實數為__________；.答案：；或；4.解析：【知識點】向量的有關概念【數學思想】數形結合思想【解題過程】在數軸上按照相等向量和單位向量的概念確定B、D兩點點撥：畫數軸，使得解題更加直觀自助餐1．下列物理量中，不能稱為向量的是（）A．質量B．速度C．位移D．力答案：A解析：【知識點】向量的概念【數學思想】建模思想【解題過程】質量只有大小，沒有方向，不是向量點撥：注意數學在生活中的運用2．在下列說法中，正確的是（）A．兩個有公共起點且共線的向量，其終點必相同B．模為0的向量與任一非零向量平行C．向量就是有向線段D．若，則答案：B解析：【知識點】向量的有關概念【數學思想】歸納推理思想【解題過程】共線向量的方向相同或者相反，A不正確向量用有向線段表示，兩者不能混為一談，C不正確相等向量的方向相同，D不正確點撥：零向量與任何向量平行3．下列各說法中，其中錯誤的個數為（）（1）向量的長度與向量的長度相等；（2）兩個非零向量與平行，則與的方向相同或相反；（3）兩個有公共終點的向量一定是共線向量；（4）共線向量是可以移動到同一條直線上的向量；（5）平行向量就是向量所在直線平行A．2個B．3個C．4個D．5個答案：A解析：【知識點】向量的基本概念【數學思想】歸納推理思想【解題過程】終點相同并不能說明向量共線，共線的充要條件是方向相同或相反，由于向量可以平移，平行向量和共線向量是同一概念，故（3）（5）不正確點撥：認真理解向量的基本概念4．中，D、、分別為、、的中點，在以、B、C、D、E、F為端點的有向線段所表示的向量中，與共線的向量有（）A．2個B．3個C．6個D．7個答案：D解析：【知識點】共線向量的概念【數學思想】數形結合思想【解題過程】與共線的向量有點撥：共線向量的概念5．已知||=1,||=2,若∠BAC=60°,則||=_______.答案：解析：【知識點】向量模長的概念以及余弦定理【