第九章雙變量回歸與相關LinearRegressionandCorrelation1第九章雙變量回歸與相關雙變量計量資料：每個個體有兩個變量值

總體：無限或有限對變量值樣本：從總體隨機抽取的n對變量值

（X1,Y1）,（X2,Y2）,…,（Xn,Yn）

目的：研究X和Y的數量關系

方法：回歸與相關簡單、基本——直線回歸、直線相關2第九章雙變量回歸與相關

Content

1.Linearregression2.Linearcorrelation3.Rankcorrelation4.Curvefitting

3第九章雙變量回歸與相關

十九世紀英國人類學家F.Galton首次在《自然遺傳》一書中，提出并闡明了“相關”和“相關系數”兩個概念，為相關論奠定了基礎。其后，他和英國統(tǒng)計學家KarlPearson對上千個家庭的身高、臂長、拃長（伸開大拇指與中指兩端的最大長度）做了測量，發(fā)現：歷史背景：4第九章雙變量回歸與相關

兒子身高（Y，英寸）與父親身高（X，英寸）存在線性關系：即高個子父代的子代在成年之后的身高平均來說不是更高，而是稍矮于其父代水平，而矮個子父代的子代的平均身高不是更矮，而是稍高于其父代水平。Galton將這種趨向于種族穩(wěn)定的現象稱之“回歸”。5第九章雙變量回歸與相關

目前，“回歸”已成為表示變量之間某種數量依存關系的統(tǒng)計學術語，并且衍生出“回歸方程”“回歸系數”等統(tǒng)計學概念。如研究糖尿病人血糖與其胰島素水平的關系，研究兒童年齡與體重的關系等。6第九章雙變量回歸與相關第一節(jié)直線回歸7第九章雙變量回歸與相關一、直線回歸的概念

目的：研究應變量Y對自變量X的數量依存關系。特點：統(tǒng)計關系。X值和Y的均數的關系，不同于一般數學上的X和Y的函數關系。8第九章雙變量回歸與相關

例9-1

某地方病研究所調查了8名正常兒童的尿肌酐含量（mmol/24h）如表9-1。估計尿肌酐含量（Y）對其年齡（X）的回歸方程。9第九章雙變量回歸與相關

表9-18名正常兒童的年齡（歲）與尿肌酐含量（mmol/24h）

10第九章雙變量回歸與相關11第九章雙變量回歸與相關

在定量描述兒童年齡與其尿肌酐含量數量上的依存關系時，將年齡稱為自變量(independentvariable)，用X表示；尿肌酐含量稱為應變量(dependentvariable)，用Y表示。12第九章雙變量回歸與相關

由圖9-1可見，尿肌酐含量Y

隨年齡X增加而增大且呈直線趨勢，但并非8個點子恰好全都在一直線上，此與兩變量間嚴格的直線函數關系不同，稱為直線回歸（linearregression）,其方程叫直線回歸方程，以區(qū)別嚴格意義的直線方程。雙變量直線回歸是回歸分析中最基本、最簡單的一種，故又稱簡單回歸。13第九章雙變量回歸與相關直線回歸方程的一般表達式為

為各X處Y的總體均數的估計。14第九章雙變量回歸與相關1．a為回歸直線在Y

軸上的截距。a>0，表示直線與縱軸的交點在原點的上方；a<0，則交點在原點的下方；a=0，則回歸直線通過原點。a=0a<0a>0XY15第九章雙變量回歸與相關b>0，直線從左下方走向右上方，Y隨X增大而增大；

b<0，直線從左上方走向右下方，Y隨X增大而減小；

b=0，表示直線與X軸平行，X與Y無直線關系。XY2.b為回歸系數，即直線的斜率。b的統(tǒng)計學意義是：X

每增加(減)一個單位，Y

平均改變b個單位。b>0b<0b=016第九章雙變量回歸與相關

17第九章雙變量回歸與相關18第九章雙變量回歸與相關二、直線回歸方程的求法

殘差(residual)或剩余值，即實測值Y與假定回歸線上的估計值的縱向距離。求解a、b實際上就是“合理地”找到一條能最好地代表數據點分布趨勢的直線。原則：最小二乘法(leastsumofsquares)，即可保證各實測點至直線的縱向距離的平方和最小（X，Y）19第九章雙變量回歸與相關

20第九章雙變量回歸與相關21第九章雙變量回歸與相關

例9-1

某地方病研究所調查了8名正常兒童的尿肌酐含量（mmol/24h）如表9-1。估計尿肌酐含量（Y）對其年齡（X）的回歸方程。22第九章雙變量回歸與相關

表9-18名正常兒童的年齡（歲）與尿肌酐含量（mmol/24h）

23第九章雙變量回歸與相關解題步驟24第九章雙變量回歸與相關25第九章雙變量回歸與相關26第九章雙變量回歸與相關

此直線必然通過點(,)且與縱坐標軸相交于截距a。如果散點圖沒有從坐標系原點開始，可在自變量實測范圍內遠端取易于讀數的X值代入回歸方程得到一個點的坐標，連接此點與點(,)也可繪出回歸直線。27第九章雙變量回歸與相關28第九章雙變量回歸與相關三、直線回歸中的統(tǒng)計推斷29第九章雙變量回歸與相關（一）回歸方程的假設檢驗

建立樣本直線回歸方程，只是完成了統(tǒng)計分析中兩變量關系的統(tǒng)計描述，研究者還須回答它所來自的總體的直線回歸關系是否確實存在，即是否對總體有？30第九章雙變量回歸與相關31第九章雙變量回歸與相關32第九章雙變量回歸與相關1．方差分析

33第九章雙變量回歸與相關（X，Y）34第九章雙變量回歸與相關數理統(tǒng)計可證明：35第九章雙變量回歸與相關上式用符號表示為

式中

36第九章雙變量回歸與相關37第九章雙變量回歸與相關上述三個平方和，各有其相應的自由度，并有如下的關系：

38第九章雙變量回歸與相關

如果兩變量間總體回歸關系確實存在，回歸的貢獻就要大于隨機誤差，大到何種程度時可以認為具有統(tǒng)計意義，可計算統(tǒng)計量F39第九章雙變量回歸與相關式中40第九章雙變量回歸與相關2.t檢驗41第九章雙變量回歸與相關

例9-2

檢驗例9-1數據得到的直線回歸方程是否成立？

42第九章雙變量回歸與相關（1）方差分析43第九章雙變量回歸與相關

表9-2方差分析表

列出方差分析表如表9-2。44第九章雙變量回歸與相關（2）t檢驗45第九章雙變量回歸與相關注意：

46第九章雙變量回歸與相關（二）總體回歸系數的可信區(qū)間

利用上述對回歸系數的t檢驗，可以得到β的1－α雙側可信區(qū)間為47第九章雙變量回歸與相關

例9-3

根據例9-1中所得b=0.1392，估計其總體回歸系數的雙側95%可信區(qū)間。48第九章雙變量回歸與相關（0.1392-2.447×0.0304，0.1392+2.447×0.0304）=（0.0648，0.2136）49第九章雙變量回歸與相關（三）利用回歸方程進行估計和預測

50第九章雙變量回歸與相關（9-15）

（9-14）

反映其抽樣誤差大小的標準誤為51第九章雙變量回歸與相關（9-16）

（9-17）

52第九章雙變量回歸與相關兩條實曲線——總體均數的可信區(qū)間；兩條虛曲線——個體Y值的預測區(qū)間，范圍更寬。二者都是中間窄，兩頭寬；都在X=處最窄。53第九章雙變量回歸與相關

例9-4

用例9-1所得直線回歸方程，計算當X0=12時，的95%可信區(qū)間和相應個體值的95%預測區(qū)間。54第九章雙變量回歸與相關計算步驟例9-1、例9-2已計算出

55第九章雙變量回歸與相關56第九章雙變量回歸與相關第二節(jié)直線相關57第九章雙變量回歸與相關

直線相關(linearcorrelation)又稱簡單相關(simplecorrelation)，用于雙變量正態(tài)分布(bivariatenormaldistribution)資料。其性質可由圖9-6散點圖直觀的說明。

目的：研究兩個變量X,Y數量上的依存（或相關）關系。

特點：統(tǒng)計關系一、直線相關的概念58第九章雙變量回歸與相關二、相關系數的意義與計算

1.意義：相關系數（correlationcoefficient）又稱Pearson積差相關系數，用來說明具有直線關系的兩變量間相關的密切程度與相關方向。相關系數沒有單位，其值為-1r1。r值為正表示正相關，r值為負表示負相關，r的絕對值等于1為完全相關，r=0為零相關。59第九章雙變量回歸與相關60第九章雙變量回歸與相關2.計算：樣本相關系數的計算公式為

（9-18）

61第九章雙變量回歸與相關由例9-1算得，按公式（9-18）

例9-5

對例9-1數據（見表9-1），計算8名兒童的尿肌酐含量與其年齡的相關系數。62第九章雙變量回歸與相關三、相關系數的統(tǒng)計推斷（一）相關系數的假設檢驗（9-19）63第九章雙變量回歸與相關

例9-6

對例9-5所得r值，檢驗尿肌酐含量與年齡是否有直線相關關系？64第九章雙變量回歸與相關檢驗步驟本例n=8，r=0.8818，按公式（9-19）65第九章雙變量回歸與相關（二）總體相關系數的可信區(qū)間

66第九章雙變量回歸與相關具體步驟如下67第九章雙變量回歸與相關

例9-7對例9-5所得r值，估計總體相關系數的95%可信區(qū)間。

再按公式（9-22）將z作反變換，得到年齡與尿肌酐含量的總體相關系數95%可信區(qū)間為（0.4678,0.9971）。

68第九章雙變量回歸與相關四、決定系數(coefficientofdetermination)

定義為回歸平方和與總平方和之比，計算公式為：（9-23）

取值在0到1之間且無單位，其數值大小反映了回歸貢獻的相對程度，也就是在Y的總變異中回歸關系所能解釋的百分比。

69第九章雙變量回歸與相關70第九章雙變量回歸與相關五、直線回歸與相關應用的注意事項

71第九章雙變量回歸與相關

1．根據分析目的選擇變量及統(tǒng)計方法

直線相關用于說明兩變量之間直線關系的方向和密切程度，X與Y沒有主次之分；直線回歸則進一步地用于定量刻畫應變量Y對自變量X在數值上的依存關系，其中應變量的定奪主要依專業(yè)要求而定，可以考慮把易于精確測量的變量作為X，另一個隨機變量作Y，例如用身高估計體表面積。兩個變量的選擇一定要結合專業(yè)背景，不能把毫無關聯(lián)的兩種現象勉強作回歸或相關分析。72第九章雙變量回歸與相關73第九章雙變量回歸與相關2．進行相關、回歸分析前應繪制散點圖—第一步

（1）

散點圖可考察兩變量是否有直線趨勢；（2）

可發(fā)現離群點（outlier）。

散點圖對離群點的識別與處理需要從專業(yè)知識和現有數據兩方面來考慮，結果可能是現有回歸模型的假設錯誤需要改變模型形式，也可能是抽樣誤差造成的一次偶然結果甚至過失誤差。需要認真核對原始數據并檢查其產生過程認定是過失誤差，或者通過重復測定確定是抽樣誤差造成的偶然結果，才可以謹慎地剔除或采用其它估計方法。74第九章雙變量回歸與相關3．資料的要求

直線相關分析要求X與Y服從雙變量正態(tài)分布；直線回歸要求至少對于每個X相應的Y要服從正態(tài)分布，X可以是服從正態(tài)分布的隨機變量也可以是能精確測量和嚴格控制的非隨機變量；*對于雙變量正態(tài)分布資料，根據研究目的可選擇由X估計Y或者由Y估計X，一般情況下兩個回歸方程不相同）。75第九章雙變量回歸與相關

反應兩變量關系密切程度或數量上影響大小的統(tǒng)計量應該是回歸系數或相關系數的絕對值，而不是假設檢驗的P值。

P值越小只能說越有理由認為變量間的直線關系存在，而不能說關系越密切或越“顯著”。另外，直線回歸用于預測時，其適用范圍一般不應超出樣本中自變量的取值范圍。4．結果解釋及正確應用

76第九章雙變量回歸與相關第三節(jié)秩相關

(非參數統(tǒng)計方法)

77第九章雙變量回歸與相關適用條件：

雙變量計量資料：①資料不服從雙變量態(tài)分布；②總體分布型未知，一端或兩端是不確定數值（如＜10歲，≥65歲）的資料；原始數據（一個或兩個變量值）用等級表示的資料。78第九章雙變量回歸與相關一、Spearman秩相關

1.意義：等級相關系數rs用來說明兩個變量間直線相關關系的密切程度與相關方向。79第九章雙變量回歸與相關3.計算公式（9-25）

(9-26)

80第九章雙變量回歸與相關81第九章雙變量回歸與相關表9-3某省1995年到1999年居民死因構成與WYPLL構成82第九章雙變量回歸與相關檢驗步驟83第九章雙變量回歸與相關二、相同秩較多時rs的校正公式中Tx(或TY)＝Σ(t3－t)/12，t為X(或Y)中相同秩的個數。顯然當Tx＝TY＝0時，公式(9-27)與公式(9-25)相等。

(9-27)

84第九章雙變量回歸與相關、（9-18）Pi→X

Qi→Y85第九章雙變量回歸與相關第六節(jié)

曲線擬合

(curvefitting)86第九章雙變量回歸與相關

醫(yī)學現象中并非所有的兩變量間關系都表現為前面所述的直線形式，其較為典型