試卷第=page22頁，共=sectionpages44頁2020-2021學年天津市部分區高一下學期期末數學試題一、單選題1．已知向量，，則A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為，所以=（5，7），故選A.【解析】本小題主要考查平面向量的基本運算，屬容易題.2．已知為虛數單位，則復數在復平面上對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】由復數的運算求出，再根據其幾何意義即可判斷．【詳解】因為，所以其在復平面上對應的點在第二象限．故選：B．3．已知圓錐的底面半徑為1，母線長為2，則它的側面積為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據圓錐的側面積公式計算即可．【詳解】解：圓錐底面半徑為1，母線長為2，則圓錐的側面積為．故選：．4．下列說法中正確的是（）A．棱柱的側面可以是三角形 B．棱柱的各條棱都相等C．所有幾何體的表面都能展成平面圖形 D．正方體和長方體都是特殊的四棱柱【答案】D【分析】從棱柱的定義出發判斷ABD的正誤，找出反例否定C，即可推出結果．【詳解】棱柱的側面都是四邊形，A不正確；棱柱的各條側棱相等，所以B不正確；球不能展開為平面圖形，C不正確；正方體和長方體都是特殊的四棱柱，D正確；故選：D．5．袋中有大小相同，質地均勻的2個紅球和3個黃球，從中無放回的先后取兩個球，取到紅球的概率為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意給小球編號，列舉出所有基本情況及滿足要求的基本情況，由古典概型概率公式即可得解.【詳解】由題意，給2個紅球編號為1、2，給3個黃球編號為3、4、5，則無放回的先后取出兩個球的所有基本情況有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共20種；取到紅球的基本情況有：，，，，，，，，，，，，，，共14種.故所求概率.故選：C.【點睛】本題考查了古典概型概率的求解，考查了運算求解能力，屬于基礎題.6．在中，已知則等于（）A．4 B．3 C． D．【答案】C【分析】根據余弦定理即可求出．【詳解】由余弦定理可得，，所以．故選：C．7．某工廠技術人員對三臺智能機床的生產數據進行統計，發現甲車床每天生產次品數的平均數為1.4，標準差為1.08；乙車床每天生產次品數的平均數為1.1，標準差為0.85；丙車床每天生產次品數的平均數為1.1，標準差為0.78．由以上數據可以判斷生產性能最好且較穩定的為（）A．無法判斷 B．甲車床 C．乙車床 D．丙車床【答案】D【分析】根據平均數和標準差的大小關系即可判斷．【詳解】因為，，所以丙車床的生產性能最好且較穩定．故選：D．8．若棱長為1的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的體積為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據正方體的體對角線長為其外接球的直徑，再根據球的體積公式即可求出．【詳解】因為正方體的體對角線長為其外接球的直徑，所以球的直徑為，即半徑，故其體積為．故選：C．9．設，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，則下列命題中正確的為（）A．若，，，則 B．若，，，則C．若，，，則 D．若，，，則【答案】B【分析】由線線、線面、面面平行和垂直的判定定理和性質定理逐個分析判斷即可【詳解】解：對于A，當，，時，，可能平行，可能異面，所以A錯誤；對于B，當，，時，由線面垂直的性質定理可知，所以B正確；對于C，當，，時，可能在平面內，或，所以C錯誤；對于D，當，，時，若直線是兩個平面的交線，則，不一定垂直，所以D錯誤，故選：B【點睛】此題考查線線、線面、面面平行和垂直的判定定理和性質定理的應用，屬于基礎題10．已知向量，滿足||＝1，||＝2，且與的夾角為120°，則＝（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先計算，然后將進行平方，，可得結果.【詳解】由題意可得：∴∴則.故選：D.【點睛】本題考查的是向量的數量積的運算和模的計算，屬基礎題。二、填空題11．已知甲、乙兩名籃球運動員投籃投中的概率分別為0.5和0.8，且甲、乙兩人投籃的結果互不影響．若甲、乙兩人各投籃一次，則至少有一人投中的概率為_____．【答案】0.9【分析】根據對立事件的概率公式即可求出．【詳解】設“甲、乙兩人各投籃一次，則至少有一人投中”，則．故答案為：0.9．12．已知向量是兩個不共線的向量，且與共線，則實數m的值為______．【答案】或2【分析】根據向量共線的充要條件，若與共線，就能得到含的等式，即可得到答案.【詳解】因為向量是兩個不共線的向量，且與共線，則存在常數k使得，解得或故答案為：-1或213．某校選修輪滑課程的學生中，一年級有人，二年級有人，三年級有人.現用分層抽樣的方法在這名學生中抽取一個樣本，已知在一年級的學生中抽取了人，則這個樣本中共有___________人.【答案】【分析】設這個樣本中共有個人，根據分層抽樣列等式可求得的值.【詳解】設這個樣本中共有個人，則，解得.故答案為：.14．在中，已知D是延長線上一點，滿足，若E為線段的中點，且，則實數_______【答案】【分析】用基底向量表示出，即可求出．【詳解】因為，又，所以．故答案為：．三、雙空題15．如圖所示，在四棱錐中，底面為矩形，平面，且，則異面直線與所成角的大小為______；二面角的大小為______．【答案】【分析】（1）證明就是異面直線與所成的角或其補角，解三角形即得解；（2）證明就是二面角的平面角，解三角形即得解.【詳解】（1）因為,所以就是異面直線與所成的角或其補角，因為平面，所以,因為，所以；（2）因為平面，所以,又，平面,所以平面,所以,所以就是二面角的平面角，因為所以.所以二面角的大小為.故答案為：；.四、解答題16．已如i為虛數單位，復數．（1）當實數m取何值時，z是純虛數；（2）若，求的值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根據純虛數的定義即可求出；（2）根據復數的運算以及復數模的計算公式即可求出．【詳解】（1）若復數是純虛數，則，解得，所以．（2）當時，，則，．17．某校高一年級共有800名學生參加了數學檢測，現隨機抽取部分學生的數學成績并分組如下∶，得到的頻率分布直方圖，如圖所示．（1）求圖中實數a的值；（2）試根據以上數據，估計該校高一年級學生的數學檢測成績不低于120分的人數．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）因為圖中所有小矩形的面積之和等于1，即可得到方程，解得即可；（2）根據頻率分布直方圖，求出成績不低于的頻率，即可求出成績不低于120分的人數．【詳解】解：（1）因為圖中所有小矩形的面積之和等于1，所以，解得．（2）根據頻率分布直方圖，成績不低于的頻率為由于該校高一年級共有學生800名，利用樣本估計總體的思想，可估計該校高一年級數學檢測成績不低于的人數為.18．在中，角所對的邊分別為，已知（1）若，求角A的大小；（2）若，求的面積．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）利用正弦定理計算可得；（2）首先利用余弦定理求出，再根據同角三角函數的基本關系求出，最后根據面積公式計算可得；【詳解】解：（1）由已知條件可知，，根據正弦定理可得，得，，．（2）由余弦定理得，，即，因為，所以所以19．某市為了解社區新冠疫菌接種的開展情況，擬采用分層抽樣的方法從三個行政區抽出6個社區進行調查．已知三個行政區中分別有個社區．（1）求從三個行政區中分別抽取的社區個數；（2）若從抽得的6個社區中隨機抽取2個進行調查．①試列出所有可能的抽取結果；②設事件M為“抽取的2個社區中至少有一個來自A行政區”，求事件M發生的概率．【答案】（1）從三個行政區中應分別抽取的社區個數為；（2）①答案見解析；②．【分析】（1）求出抽樣比，即可求出從三個行政區中分別抽取的社區個數；（2）①設為在A行政區中抽得的2個社區，為在B行政區中抽得的3個社區，為在C行政區中抽得的社區，即可用有序數對表示出所有結果；②根據古典概型的概率公式即可求出．【詳解】（1）社區總數為，樣本容量與總體中的個體數比為所以從三個行政區中應分別抽取的社區個數為（2）①設為在A行政區中抽得的2個社區，為在B行政區中抽得的3個社區，為在C行政區中抽得的社區，在這6個社區中隨機抽取2個，全部可能的結果有，共有15種．②設事件“抽取的2個社區至少有1個來自A行政區”為事件M，則事件M所包含的所有可能的結果有：，共有9種．所以這2個社區中至少有1個來自A行政區的概率為20．如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，（1）求證：平面；（2）求證：直線平面（3）求直線與平面所成角的正切值.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.【分析】（1）由題意知，利用線面垂直的判斷定理即可證明；（2）由菱形的性質知由平面，可知，利用線面垂直的判定定理即可證明；（3）過作連結，結合，可得平面，可得以是直線與平面所成角，在中利用三角函數的定義即可求解.【詳解】解：（1）因為四邊形是菱形，所以，因為平面，平面所以平面.（2）因為四邊形是菱形，所以又因為平面平面所以又因