學校________________班級____________姓名____________考場____________準考證號學校________________班級____________姓名____________考場____________準考證號…………密…………封…………線…………內…………不…………要…………答…………題…………第2頁，共4頁江蘇省揚州市江都區郭村中學2024年數學九上開學綜合測試試題題號一二三四五總分得分A卷（100分）一、選擇題（本大題共8個小題，每小題4分，共32分，每小題均有四個選項，其中只有一項符合題目要求）1、（4分）滿足不等式的正整數是（）A．2.5 B． C．-2 D．52、（4分）某天小明騎自行車上學，途中因自行車發生故障，修車耽誤了一段時間后繼續騎行，按時趕到了學校．如圖描述了他上學的情景，下列說法中錯誤的是（）A．自行車發生故障時離家距離為1000米B．學校離家的距離為2000米C．到達學校時共用時間20分鐘D．修車時間為15分鐘3、（4分）如果=2﹣x，那么（）A．x＜2 B．x≤2 C．x＞2 D．x≥24、（4分）如圖，繞點逆時針旋轉得到，若，，則的度數是（）A． B．C． D．5、（4分）用反證法證明“三角形的三個外角中至多有一個銳角”，應先假設A．三角形的三個外角都是銳角B．三角形的三個外角中至少有兩個銳角C．三角形的三個外角中沒有銳角D．三角形的三個外角中至少有一個銳角6、（4分）若m個數的平均數x，另n個數的平均數y，則m+n個數的平均數是（）A． B． C． D．7、（4分）函數y＝﹣x﹣3的圖象不經過（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8、（4分）把直線y＝﹣2x向上平移后得到直線AB，若直線AB經過點（m，n），且2m+n＝8，則直線AB的表達式為（）A．y＝﹣2x+4 B．y＝﹣2x+8 C．y＝﹣2x﹣4 D．y＝﹣2x﹣8二、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）9、（4分）如圖，已知，AD平分于點E，，則BC=___cm。10、（4分）已知：如圖，、分別是的中線和角平分線，，，則的長等于__．11、（4分）如圖，在矩形中，，對角線，相交于點，垂直平分于點，則的長為__________．12、（4分）某校開展了“書香校園”的活動，小騰班長統計了本學期全班40名同學課外圖書的閱讀數量（單位：本），繪制了折線統計圖（如圖所示），在這40名學生的圖書閱讀數量中，中位數是______．13、（4分）為了解某小區居民的用水情況，隨機抽查了20戶家庭的月用水量，結果如下表：月用水量/噸4568戶數5753則這組數據的中位數是_____．三、解答題（本大題共5個小題，共48分）14、（12分）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=1．射線BD為∠ABC的平分線，交AC于點D．動點P以每秒2個單位長度的速度從點B向終點C運動．作PE⊥BC交射線BD于點E．以PE為邊向右作正方形PEFG．正方形PEFG與△BDC重疊部分圖形的面積為S．（1）求tan∠ABD的值．（2）當點F落在AC邊上時，求t的值．（3）當正方形PEFG與△BDC重疊部分圖形不是三角形時，求S與t之間的函數關系式．15、（8分）已知：在中，對角線、交于點，過點的直線交于點，交于點.求證：，.16、（8分）如圖，鐵路上A、B兩點相距25km，C、D為兩村莊，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，現在要在鐵路AB上建一個土特產品收購站E，使得C、D兩村到E站的距離相等，則E站應建在距A站多少千米處？17、（10分）某商場計劃購進甲、乙兩種商品共件，這兩種商品的進價、售價如表所示：進價（元/件）售價（元/件）甲種商品乙種商品設購進甲種商品（，且為整數）件，售完此兩種商品總利潤為元．（1）該商場計劃最多投入元用于購進這兩種商品共件，求至少購進甲種商品多少件？（2）求與的函數關系式；（3）若售完這些商品，商場可獲得的最大利潤是__________元．18、（10分）某內陸城市為了落實國家“一帶一路”戰略，促進經濟發展，增強對外貿易的競爭力，把距離港口420km的普通公路升級成了同等長度的高速公路，結果汽車行駛的平均速度比原來提高了50%，行駛時間縮短了2h，求汽車原來的平均速度．B卷（50分）一、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）19、（4分）在一次數學單元考試中，某小組6名同學的成績（單位：分）分別是：65，80，70，90，100，70。則這組數據的中位數分別是_________________________分。20、（4分）將直線y=7x向下平移2個單位，所得直線的函數表達式是________.21、（4分）如圖，把正方形AOBC放在直角坐標系內，對角線AB、OC相交于點D．點C的坐標是（-4，4），將正方形AOBC沿x軸向右平移，當點D落在直線y=-2x+4上時，線段AD掃過的面積為_______．22、（4分）如圖，菱形ABCD的邊長為4，∠BAD=120°，點E是AB的中點，點F是AC上的一動點，則EF+BF的最小值是．23、（4分）已知反比例函數的圖象經過點（1，-2），則k=_________．二、解答題（本大題共3個小題，共30分）24、（8分）一個容器盛滿純藥液，第一次倒出一部分純藥液后，用水加滿；第二次又倒出同樣多的藥液，若此時容器內剩下的純藥液是，則每次倒出的液體是多少？25、（10分）求證：順次連接對角線相等的四邊形的各邊中點，所得的四邊形是菱形.（1）根據所給的圖形，將已知、求證補充完整：已知：如圖，在四邊形中，，_______________________.求證：____________________.（2）證明這個命題.26、（12分）某商家在國慶節前購進一批A型保暖褲，十月份將此保暖褲的進價提高40%作為銷售價，共獲利1000元.十一月份，商家搞“雙十一”促銷活動，將此保暖褲的進價提高30%作為促銷價，銷量比十月份增加了30件，并且比十月份多獲利200元.此保暖褲的進價是多少元？（請列分式方程進行解答）

參考答案與詳細解析一、選擇題（本大題共8個小題，每小題4分，共32分，每小題均有四個選項，其中只有一項符合題目要求）1、D【解析】

在取值范圍內找到滿足條件的正整數解即可．【詳解】不等式的正整數解有無數個，四個選項中滿足條件的只有5故選:D.考查不等式的解，使不等式成立的未知數的值就是不等式的解.2、D【解析】

觀察圖象，明確每一段小明行駛的路程、時間，作出判斷.【詳解】A、自行車發生故障時離家距離為1000米，正確；B、學校離家的距離為2000米，正確；C、到達學校時共用時間20分鐘，正確；D、由圖可知，修車時間為15-10=5分鐘，可知D錯誤.故選：D.此題考查了學生從圖象中獲取信息的數形結合能力，同學們要注意分析其中的“關鍵點”，還要善于分析各圖象的變化趨勢.3、B【解析】試題分析：根據二次根式的性質，，可知x-2≤0，即x≤2.故選B考點：二次根式的性質4、C【解析】

根據旋轉的性質和三角形內角和180度求出<COD度數，再利用旋轉角減去LCOD度數即可。【詳解】解：根據旋轉的性質可知：∠C=∠A=110°在△COD中，∠COD=180°-110°-40°=30°旋轉角∠AOC=85°，所以∠α=85°-30°-55°故選：C.本題主要考查了旋轉的性質，解題的關鍵是找準旋轉角.5、B【解析】

反證法的步驟中，第一步是假設結論不成立，反面成立．【詳解】解：用反證法證明“三角形的三個外角中至多有一個銳角”，應先假設三角形的三個外角中至少有兩個銳角，故選B．考查了反證法，解此題關鍵要懂得反證法的意義及步驟在假設結論不成立時要注意考慮結論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須一一否定．6、C【解析】

m+n個數的平均數=，故選C．7、A【解析】

根據比例系數得到相應的象限，進而根據常數得到另一象限，判斷即可．【詳解】解：∵k＝﹣1＜0，∴一次函數經過二、四象限；∵b＝﹣3＜0，∴一次函數又經過第三象限，∴一次函數y＝﹣x﹣3的圖象不經過第一象限，故選：A．此題考查一次函數的性質，用到的知識點為：k＜0，函數圖象經過二、四象限，b＜0，函數圖象經過第三象限．8、B【解析】

由題意知，直線AB的斜率，又已知直線AB上的一點（m，n），所以用直線的點斜式方程y﹣y0＝k（x﹣x0）求得解析式即可．【詳解】解：∵直線AB是直線y＝﹣2x平移后得到的，∴直線AB的k是﹣2（直線平移后，其斜率不變）∴設直線AB的方程為y﹣y0＝﹣2（x﹣x0）①把點（m，n）代入①并整理，得y＝﹣2x+（2m+n）②∵2m+n＝1③把③代入②，解得y＝﹣2x+1，即直線AB的解析式為y＝﹣2x+1．故選：B．本題是關于一次函數的圖象與它平移后圖象的轉變的題目，在解題時，緊緊抓住直線平移后，斜率不變這一性質，再根據題意中的已知條件，來確定用哪種方程（點斜式、斜截式、兩點式等）來解答．二、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）9、1【解析】

過點D作DE⊥AB于E，根據角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得DE=CD，然后求出CD、BD的長度，即可得解．【詳解】解：如圖，過點D作DE⊥AB于E，

∵點D到AB的距離等于5cm，

∴DE=5cm，

∵AD平分∠BAC，∠C=90°，

∴DE=CD=5cm，

∵BD=2CD，

∴BD=2×5=10cm，

∴BC=CD+BD=5+10=1cm．

故答案為：1．本題考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質，是基礎題，熟記性質是解題的關鍵．10、【解析】

過D點作DF∥BE，則DF=BE=1，F為EC中點，在Rt△ADF中求出AF的長度，根據已知條件易知G為AD中點，因此E為AF中點，則AC=AF．【詳解】過點作，是的中線，，為中點，，，則，，是的角平分線，，，為中點，為中點，，．故答案為：．本題考查了三角形中線、三角形中位線定理和角平分線的性質以及勾股定理的應用，作出輔助線構建直角三角形是解題的關鍵．11、【解析】

結合題意，由矩形的性質和線段垂直平分線的性質可得AB=AO=OB=OD=4，根據勾股定理可求AD的長．【詳解】∵四邊形ABCD是矩形，

∴AO=BO=CO=DO，

∵AE垂直平分OB于點E，

∴AO=AB=4，

∴AO=OB=AB=4，

∴BD=8，

在Rt△ABD中,AD==.

故答案為：.本題考查矩形的性質和線段垂直平分線的性質，解題的關鍵是掌握矩形的性質和線段垂直平分線的性質.12、23【解析】當數據個數是奇數個時，中位數是最中間的數；當數據個數是偶數個時，中位數是最中間的兩個數的平均數，由折線圖可知，20本的有4人；21本的有8人；23本的有20人，24本的有8人，所以中位數是23。故答案是：2313、5噸【解析】

找中位數要把數據從小到大的順序排列，位于最中間的一個數（或兩個數的平均數）為中位數.【詳解】表中數據為從小到大排列，噸處在第10位、第11位，為中位數，故這組數據的中位數是噸.故答案為：噸.考查了中位數，將一組數據從小到大依次排列，把中間數據（或中間兩數據的平均數）叫做中位數.三、解答題（本大題共5個小題，共48分）14、（1）tan∠ABD=；（2）；（3）①當時，；②當時，；③當時，.【解析】

（1）過點D作DH⊥BC于點H，可得△ABD≌△HBD，所以CH=BC-AB=4.再由三角形相似即可求出DH=AD=3.根據三角函數定義即可解題.（2）由（1）得BP=2PE，所以BP=2t，PE=PG=EF=FG=t，當點F落在AC邊上時，FG=CG，即可得到方程求出t.（3）當正方形PEFG與△BDC重疊部分圖形不是三角形時，分三種情況分別求出S與t之間的函數關系式，①當時，F點在三角形內部或邊上，②當時，如圖：E點在三角形內部，F點在外部，此時重疊部分圖形的面積S=S正方形-S△FMN，③當時，重疊部分面積為梯形MPGN面積，【詳解】解：（1）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=1根據勾股定理得BC=10過點D作DH⊥BC于點H∵△ABD≌△HBD，∴BH=AH=6，DH=AD，∴CH=4，∵△ABC∽△HDC，∴,∴，∴DH=AD=3，∴tan∠ABD==，（2）由（1）可知BP=2PE，依題意得：BP=2t，PE=PG=EF=FG=t，CG=10-3t，當點F落在AC邊上時，FG=CG，即，，（3）①當時，F點在三角形內部或邊上，正方形PEFG在△BDC內部，此時重疊部分圖形的面積為正方形面積：，②當時，如圖：E點在三角形內部，F點在外部，∵GC=10-3t，NG=CG=（10-3t），FN=t-（10-3t），FM=,此時重疊部分圖形的面積S=S正方形-S△FMN,③當時，重疊部分面積為梯形MPGN面積，如圖：∵GC=10-3t，NG=CG=（10-3t），PC=10-2t，PM=,∴，綜上所述：當時，；當時，；當時，.本題考查三角形綜合題，涉及了矩形的性質、勾股定理、相似三角形的性質和判定、解直角三角形等知識，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題，學會構建方程解決問題，屬于中考壓軸題．15、證明見解析.【解析】

首先根據平行四邊形的性質可得AB∥CD，OA=OC．根據平行線的性質可得∠EAO=∠FCO，進而可根據ASA定理證明△AEO≌△CFO，再根據全等三角形的性質可得OE=OF，AE=CF.【詳解】證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，且對角線AC和BD交于點O，∴，，∴∠EAO=∠FCO，∵∠AOE=∠COF，∴△AOE△COF(ASA)，∴OE=OF，AE=CF.本題考查了平行四邊形的性質和全等三角形的判定，掌握全等三角形判定的方法是本題解題的關鍵.16、E點應建在距A站1千米處．【解析】

關鍵描述語：產品收購站E，使得C、D兩村到E站的距離相等，在Rt△DAE和Rt△CBE中，設出AE的長，可將DE和CE的長表示出來，列出等式進行求解即可．【詳解】解：設AE＝xkm，∵C、D兩村到E站的距離相等，∴DE＝CE，即DE2＝CE2，由勾股定理，得152+x2＝12+（25﹣x）2，x＝1．故：E點應建在距A站1千米處．本題主要是運用勾股定理將兩個直角三角形的斜邊表示出來，兩邊相等求解即可．17、（1）50件；（2）；（3）795【解析】

（1）根據表格中的數據和題意列不等式，根據且x為整數即可求出x的取值范圍得到答案；（2）根據題意和表格中的數據即可得到函數關系式；（3）根據（2）中的函數關系式和一次函數的性質即可求出答案.【詳解】（1）由題意得15x+25（80-x），解得x，∵，且為整數，∴，且為整數，∴至少購進甲種商品50件；（2）由題意得，∴y與x的函數關系式是；（3）∵，，且為整數，∴當x=1時，y有最大值，此時y最大值=795，故答案為：795.此題考查一元一次不等式的實際應用，一次函數的實際應用，一次函數的性質求函數的最大值，正確理解題意列不等式或函數解決問題是解題的關鍵.18、2km/h【解析】

求的汽車原來的平均速度，路程為410km，一定是根據時間來列等量關系，本題的關鍵描述語是：從甲地到乙地的時間縮短了1h．等量關系為：原來時間﹣現在時間=1．【詳解】設汽車原來的平均速度是xkm/h，根據題意得：，解得：x=2．經檢驗：x=2是原方程的解．答：汽車原來的平均速度2km/h．一、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）19、75【解析】

根據中位數的定義即可求解.【詳解】先將數據從小到大排序為65，70，70，80，90，100，故中位數為(70+80)=75此題主要考查中位數的求解，解題的關鍵是熟知中位數的定義.20、y=7x-2【解析】

根據一次函數平移口訣：上加下減，左加右減，計算即可.【詳解】將直線y=7x向下平移2個單位，則y=7x-2.本題是對一次函數平移的考查，熟練掌握一次函數平移口訣是解決本題的關鍵.21、1【解析】

根據題意，線段AD掃過的面積應為平行四邊形的面積，其高是點D到x軸的距離，底為點C平移的距離，求出點C的橫坐標坐標及當點C落在直線y=-2x+4上時的橫坐標即可求出底的長度．【詳解】解：∵四邊形AOBC為正方形，對角線AB、OC相交于點D，又∵點C(-4,4)，∴點D(-2,2)，如圖所示，DE=2，設正方形AOBC沿x軸向右平移，當點D落在直線y=-2x+4上的點為D′，則點D′的縱坐標為2，將縱坐標代入y=-2x+4，得2=-2x+4，解得x=1，∴DD′=1-(-2)=3由圖知，線段AD掃過的面積應為平行四邊形AA′D′D的面積，∴S平行四邊形AA′D′D=DD′DE=3×2=1．故答案為1．本題考查了正方形的性質，平移的性質，平行四邊形的面積及一次函數的綜合應用．解題的關鍵是明確線段AD掃過的面積應為平行四邊形的面積．22、27【解析】試題分析：首先連接DB，DE，設DE交AC于M，連接MB，DF．證明只有點F運動到點M時，EF+BF取最小值，再根據菱形的性質、勾股定理求得最小值．試題解析：連接DB，DE，設DE交AC于M，連接MB，DF，延長BA，DH⊥BA于H，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC，BD互相垂直平分，∴點B關于AC的對稱點為D，∴FD=FB，∴FE+FB=FE+FD≥DE．只有當點F運動到點M時，取等號（兩點之間線段最短），△ABD中，AD=AB，∠DAB=120°，∴∠HAD=60°，∵DH⊥AB，∴AH=AD，DH=32∵菱形ABCD的邊長為4，E為AB的中點，∴AE=2，AH=2，∴EH=4，DH=23在RT△EHD中，DE=E∴EF+BF的最小值為27【考點】1.軸對稱-最短路線問題；2.菱形的性質．23、-1【解析】

由k=xy即可求得k值．【詳解】解：將（1，-1）代入中，k=xy=1×（-1）=-1故答案為：-1．本題考查求反比例函數的系數．二、解答題（本大題共3個小題，共30分）24、21【解析】

設每次倒出藥液為x升，第一次倒出后剩下的純藥液為63（1-），第二次加滿水再倒出x升溶液，剩下的純藥液為63（1-）（1