《三、向量與實數相乘》學歷案《向量與實數相乘學歷案》姓名：班級：學號：【主題與課時】湘教版（2019）選擇性必修第二冊第二章第2.2節空間向量及其運算中的向量與實數相乘，1課時【課標要求】1、理解空間向量的概念，掌握空間向量的線性運算。2、通過向量的線性運算，體會向量的工具性作用，提升數學運算和邏輯推理能力。【學習目標】1、能說出向量與實數相乘的定義，就像能說出自己喜歡的游戲規則一樣清楚。2、可以熟練地計算向量與實數相乘的結果，就像計算自己零花錢一樣準確。3、理解向量與實數相乘后向量的方向和大小的變化規律，就像理解天氣變化規律一樣明白。4、能夠運用向量與實數相乘解決簡單的立體幾何問題，就像運用鑰匙開簡單的鎖一樣熟練?！驹u價任務】1、完成課堂小練習，檢測目標1和2。2、通過解決立體幾何實例問題，檢測目標3和4?！緦W習過程】一、情境導入咱們來想象一下這樣一個有趣的場景。有一天，你去一個超級大的停車場找自己的車。這個停車場里的車都朝著不同的方向停著，就像空間中的向量一樣雜亂無章。你手里有一把神奇的遙控器，這個遙控器上有一個按鈕，每按一次，你指定的一輛車就會按照一定的規則移動。如果按一次，車會向前移動它自身長度的2倍，這就有點像我們要學的向量與實數相乘啦。二、任務一：向量與實數相乘的定義1、咱們先從簡單的平面向量說起。假如有一個向量a，就好比是一個小箭頭，當我們讓它乘以一個實數λ的時候，會發生什么呢？其實啊，就是把這個向量的長度按照λ的大小進行縮放。如果λ大于1，這個向量就會變長；如果λ在0到1之間，向量就會變短；要是λ是負數呢，這個向量不但長度會變，方向還會反過來呢。這就像你在拉一個有彈性的小玩具，拉的力量不同，它的長度和方向就會不一樣。2、那對于空間向量也是一樣的道理。空間向量也可以和實數相乘，而且變化規律和平面向量差不多。大家可以試著在腦海里想象一個三維空間里的箭頭（空間向量），當乘以一個實數的時候，它就像被施了魔法一樣改變自己的長度和方向。3、現在我們來做一些簡單的練習。（1）已知向量a＝（1,2,3)，當λ＝2時，求λa。（2）如果向量b＝（－1,0,1)，λ＝3，那么λb是多少呢？三、任務二：向量與實數相乘后向量的方向和大小的變化規律1、方向的變化（1）當λ>0時，向量與實數相乘后的向量方向和原來向量的方向是相同的。這就好比你和你的好朋友朝著同一個方向走路，你走得快（λ大于1）或者慢（λ在0到1之間），但方向不變。（2）當λ<0時，相乘后的向量方向和原來向量的方向是相反的。就像你本來向前走，突然被要求向后退（λ是負數）。2、大小的變化向量的大小（也就是模長）的變化就和λ的絕對值有關啦。如果原來向量的模長是|a|，那么λa的模長就是|λ|×｜a|。比如說，原來向量的長度是5，當λ＝3的時候，新的向量長度就是3×5＝15；當λ＝1/2的時候，新向量長度就是1/2×5＝2.5。3、我們再來做幾個練習鞏固一下。（1）對于向量c＝（2,－1,4)，分別求出當λ＝4和λ＝2時向量λc的方向和模長。（2）已知向量d的模長為3，當乘以實數λ＝1/3時，求新向量的方向和模長。四、任務三：運用向量與實數相乘解決簡單的立體幾何問題1、想象一下我們有一個長方體形狀的盒子，在這個盒子里有一些向量來表示它的棱或者對角線等。比如說，有一個向量表示從盒子的一個頂點到另一個頂點的對角線向量，我們可以通過向量與實數相乘來找到這條對角線的一部分或者延長線之類的。（1）假設長方體的一個頂點坐標為A(0,0,0)，另一個頂點坐標為B(3,4,5)，那么向量AB＝（3,4,5)。如果我們想找到從A點出發，沿著AB方向，長度為AB向量長度一半的向量，我們該怎么做呢？我們可以先求出AB向量的長度，然后乘以1/2，就得到了我們想要的向量。（2）再比如說，在這個長方體里有一個平面，平面上有一個向量e，這個向量和平面的一條邊平行。如果我們知道這個向量e，并且想要找到一個向量，它的方向和e相同，但是長度是e的3倍，而且要在這個平面內，我們就可以用向量與實數相乘來解決。2、大家分組討論一下，在生活中還有哪些類似的情況可以用向量與實數相乘來解決呢？比如說建筑設計中，工人師傅要按照一定比例調整一些建筑構件的長度和方向，是不是可以用到這個知識呢？每個小組可以選一個代表來說一說你們的想法?！咀鳂I與檢測】1、書面作業（1）已知向量a＝（3,－2,1)，求2a和3a。（2）向量b的模長為4，方向為(1,0,0)，當λ＝5時，求λb的方向和模長。（3）在一個正方體中，一個頂點坐標為O(0,0,0)，相對頂點坐標為A(1,1,1)，求向量OA乘以2后的向量的坐標。2、拓展作業（1）自己設計一個簡單的立體幾何場景，比如三棱柱或者四面體，在這個場景里設定一些向量，然后運用向量與實數相乘的知識提出并解決至少兩個問題。（2）查閱資料，看看在機器人運動控制中，向量與實數相乘是如何發揮作用的，寫一篇簡短的報告（200字左右）?！菊n后反思】1、在學習向量與實數相乘的過