安徽省十大名校2025屆高二數學第一學期期末質量跟蹤監視模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知，，，，則下列不等關系正確的是()A. B.C. D.2．如圖，已知直線AO垂直于平面，垂足為O，BC在平面內，AB與平面所成角的大小為，，，則異面直線AB與OC所成角的余弦值為（）A. B.C. D.3．在的展開式中，的系數為（）A. B.5C. D.104．設兩個變量與之間具有線性相關關系，相關系數為，回歸方程為，那么必有（）A.與符號相同 B.與符號相同C.與符號相反 D.與符號相反5．拋物線有一條重要的性質：平行于拋物線的軸的光線，經過拋物線上的一點反射后經過它的焦點．反之，從焦點發出的光線，經過拋物線上的一點反射后，反射光線平行于拋物線的軸．已知拋物線，從點發出一條平行于x軸的光線，經過拋物線兩次反射后，穿過點，則光線從A出發到達B所走過的路程為（）A.8 B.10C.12 D.146．命題，，則為（）A.， B.，C.， D.，7．已知等差數列的前項和為，，，則（）A. B.C. D.8．某地區高中分三類，A類學校共有學生2000人，B類學校共有學生3000人，C類學校共有學生4000人，若采取分層抽樣的方法抽取900人，則A類學校中的學生甲被抽到的概率（）A. B.C. D.9．直線的傾斜角為A. B.C. D.10．直線在y軸上的截距是A. B.C. D.11．空間直角坐標系中，已知則點關于平面的對稱點的坐標為（）A. B.C. D.12．若定義在R上的函數的圖象如圖所示，為函數的導函數，則不等式的解集為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設是數列的前項和，且，，則__________14．已知正方體的棱長為2，E、F分別是棱、的中點，點P為底面ABCD內（包括邊界）的一動點，若直線與平面BEF無公共點，則點P的軌跡長度為______.15．已知等差數列的前n項和為，，則___________.16．與同一條直線都相交的兩條直線的位置關系是________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數列，，，為其前n項和，且滿足.（1）求數列的通項公式；（2）設，求數列的前n項和18．（12分）已知為坐標原點，圓的圓心在軸上，點、均在圓上.（1）求圓的標準方程；（2）若直線與橢圓交于兩個不同的點、，點在圓上，求面積的最大值.19．（12分）已知函數.（1）討論函數的單調性；（2）若函數有兩個不同的零點，求實數的取值范圍.20．（12分）已知雙曲線的漸近線方程為，且過點（1）求雙曲線的方程；（2）過雙曲線的一個焦點作斜率為的直線交雙曲線于兩點，求弦長21．（12分）已知動圓過點，且與直線：相切（1）求動圓圓心的軌跡方程；（2）若過點且斜率的直線與圓心的軌跡交于兩點，求線段的長度22．（10分）【閱讀材料1】我們在研究兩個變量之間的相關關系時，往往先選取若干個樣本點（），（），……，（），將樣本點畫在平面直角坐標系內，就得到樣本的散點圖.觀察散點圖，如果所有樣本點都落在某一條直線附近，變量之間就具有線性相關關系，如果所有的樣本點都落在某一非線性函數圖象附近，變量之間就有非線性相關關系.在統計學中經常選擇線性或非線性（函數）回歸模型來刻畫相關關系，并且可以用適當的方法求出回歸模型的方程，還常用相關指數R2來刻畫回歸的效果，相關指數R2的計算公式為：當R2越大時，回歸方程的擬合效果越好；當R2越小時，回歸方程的擬合效果越差，R2是常用的選擇模型的指標之一，在實際應用中應該盡量選擇R2較大的回歸模型.【閱讀材料2】2021年6月17日9時22分，我國酒泉衛星發射中心用長征二號F遙十二運載火箭，成功將神舟十二號載人飛船送入預定軌道，順利將聶海勝、劉伯明、湯洪胺3名航天員送入太空，發射取得圓滿成功，這標志著中國人首次進入自己的空間站.某公司負責生產的A型材料是神舟十二號的重要零件，該材料應用前景十分廣泛，該公司為了將A型材料更好地投入商用，擬對A型材料進行應用改造，根據市場調研與模擬，得到應用改造投入x（億元）與產品的直接收益y（億元）的數據統計如下：序號123456789101112x2346810132122232425y1522274048546068.56867.56665當0<x≤13時，建立了與的兩個回歸模型：模型①:；模型②:；當x>13時，確定y與x滿足的線性回歸直線方程為.根據以上閱讀材料，解答以下問題：（1）根據下列表格中的數據，比較當0<x≤13時模型①，②的相關指數R2的大小，并選擇擬合效果更好的模型.回歸模型模型①模型②回歸方程79.1320.2（2）當應用改造的投入為20億元時，以回歸直線方程為預測依據，計算公司的收益約為多少.附：①若最小二乘法求得回歸直線方程為，則；②③，當時，.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】不等式性質相關的題型，可以通過舉反例的方式判斷正誤.【詳解】若、均為負數，因為，則，故A錯.若、，則，故B錯.由不等式的性質可知，因為，所以，故C對.若，因為，所以，故D錯.故選：C.2、B【解析】建立空間直角坐標系，求出相關點的坐標，求出向量的坐標，再利用向量的夾角公式計算即可.【詳解】如圖，以O為坐標原點，過點O作OB的垂線為x軸，OB為y軸，OA為z軸，建立空間直角坐標系，設，則，，則，，，，，設的夾角為，則，所以異面直線AB與OC所成角的余弦值為，故選：B.3、C【解析】首先寫出展開式的通項公式，然后結合通項公式確定的系數即可.【詳解】展開式的通項公式為：，令可得：，則的系數為：.故選：C.【點睛】二項式定理的核心是通項公式，求解此類問題可以分兩步完成：第一步根據所給出的條件(特定項)和通項公式，建立方程來確定指數(求解時要注意二項式系數中n和r的隱含條件，即n，r均為非負整數，且n≥r，如常數項指數為零、有理項指數為整數等)；第二步是根據所求的指數，再求所求解的項4、A【解析】利用相關系數的性質，分析即得解【詳解】相關系數r為正，表示正相關，回歸直線方程上升，r為負，表示負相關，回歸直線方程下降，與r的符號相同故選：A5、C【解析】利用拋物線的定義求解.【詳解】如圖所示：焦點為，設光線第一次交拋物線于點，第二次交拋物線于點，過焦點F，準線方程為：，作垂直于準線于點，作垂直于準線于點，則，，，，故選：C6、B【解析】直接利用特稱命題的否定是全稱命題寫出結果即可.【詳解】命題，為特稱命題，而特稱命題的否定是全稱命題，所以命題，，則為：，.故選：B7、C【解析】利用已知條件求得，由此求得.【詳解】依題意，解得，所以.故選：C【點睛】本小題主要考查等差數列的通項公式和前項和公式，屬于基礎題.8、D【解析】利用抽樣的性質求解【詳解】所有學生數為，所以所求概率為.故選：D9、B【解析】分析出直線與軸垂直，據此可得出該直線的傾斜角.【詳解】由題意可知，直線與軸垂直，該直線的傾斜角為.故選：B.【點睛】本題考查直線的傾斜角，關鍵是掌握直線傾斜角的定義，屬于基礎題10、D【解析】在y軸上的截距只需令x=0求出y的值即可得出.【詳解】令x=0，則y=-2，即直線在y周上的截距為-2，故選D.11、D【解析】根據空間直角坐標系的對稱性可得答案.【詳解】根據空間直角坐標系的對稱性可得關于平面的對稱點的坐標為，故選：D.12、A【解析】由函數單調性得出和的解，然后分類討論解不等式可得【詳解】由圖象可知：在為正，在為負，，可化為：或，解得或故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】原式為，整理為：，即，即數列是以-1為首項，-1為公差的等差的數列，所以，即.【點睛】這類型題使用的公式是，一般條件是，若是消，就需當時構造，兩式相減，再變形求解；若是消，就需在原式將變形為：，再利用遞推求解通項公式.14、【解析】取BC中點G，證明平面平面確定點P的軌跡，再計算作答.【詳解】在正方體中，取BC中點G，連接，如圖，因E、F分別是棱、的中點，則，而平面，平面，則有平面，因，則，而，則有四邊形為平行四邊形，有，又平面，平面，于是得平面，而，平面，因此，平面平面，即線段AG是點P在底面ABCD內的軌跡，，所以點P的軌跡長度為.故答案為：15、36【解析】根據等比數列下標和性質得到，再根據等差數列前項和公式計算可得；【詳解】解：因，所以，所以；故答案為：16、平行，相交或者異面【解析】由空間中兩直線的位置關系求解即可【詳解】由題意與同一條直線都相交的兩條直線的位置關系可能是：平行，相交或者異面，故答案為：平行，相交或者異面，三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】(1)按照所給條件，先算出的表達式，再按照與的關系計算,；(2)裂項相消求和即可.【小問1詳解】由題可知數列是等差數列，所以，，又因為，所以；【小問2詳解】所以；故答案為：，.18、（1）；（2）.【解析】（1）求出圓心坐標，可求得圓的半徑，進而可得出圓的標準方程；（2）求得點到直線的距離，將直線的方程與橢圓的方程聯立，求得的表達式，利用三角形的面積公式結合基本不等式可求得結果.【小問1詳解】解：由題知，線段的中點為，直線的斜率，所以線段的中垂線為，即為，所以圓的圓心為軸與的交點，所以圓的半徑，所以圓的標準方程為.【小問2詳解】解：由題知：圓心到直線的距離，因為，所以圓心到直線的距離，所以到直線的距離，設點、，聯立可得，，，則，所以，，所以，所以，所以當且僅當，即時等號成立，所以當時，取得最大值.【點睛】方法點睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關結論來求最值；二是代數法，常將圓錐曲線的最值問題轉化為二次函數或三角函數的最值問題，然后利用基本不等式、函數的單調性或三角函數的有界性等求最值19、（1）答案見解析（2）【解析】(1)求函數的定義域及導函數，根據導數與函數的單調性關系判斷函數的單調性；(2)結合已知條件，根據函數的單調性，極值結合零點存在性定理列不等式求實數的取值范圍.【小問1詳解】的定義域為，當時，恒成立，上單調遞增，當時，在遞減，在遞增【小問2詳解】當時，恒成立，上單調遞增，所以至多存一個零點，不符題意，故舍去.當時，在遞減，在遞增；所以有極小值為構造函數，恒成立，所以在單調遞減，注意到①當時，，則函數至多只有一個零點，不符題意，舍去.②當時，函數圖象連續不間斷，的極小值為，又函數在單調遞減，所以在上存在唯一一個零點；，令，構造函數，恒成立.在單調遞增，所以，即，所以函數在單調遞增，所以在上存在唯一一個零點；當時，函數怡有兩個零點，即在上各有一個零點.綜上，函數有兩個不同的零點，實數的取值范圍為.【點睛】函數零點的求解與判斷方法：(1)直接求零點：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點(2)零點存在性定理：利用定理不僅要函數在區間[a，b]上是連續不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結合函數的圖象與性質(如單調性、奇偶性)才能確定函數有多少個零點(3)利用圖象交點的個數：將函數變形為兩個函數的差，畫兩個函數的圖象，看其交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點.20、（1）；（2）.【解析】（1）根據雙曲線漸近線斜率、雙曲線過點可構造方程求得，由此可得雙曲線方程；（2）由雙曲線方程可得焦點坐標，由此可得方程，與雙曲線方程聯立后，利用弦長公式可求得結果.【小問1詳解】由雙曲線方程知：漸近線斜率，又漸近線方程為，；雙曲線過點，；由得：，雙曲線的方程為：；【小問2詳解】由（1）得：雙曲線的焦點坐標為；若直線過雙曲線的左焦點，則，由得：；設，，則，；由雙曲線對稱性可知：當過雙曲線右焦點時，；綜上所述：.21、（1）；（2）.【解析】（1）由題意分析圓心符合拋物線定義，然后求軌跡方程；（2）直接聯立方程組，求出弦長.【詳解】解：（1）圓過點，且與直線相切點到直線的距離等于由拋物線定義可知點的軌跡是以為焦點、以為準線的拋物線，依題意，設點的軌跡方程為，則，解得，所以，動圓圓心的軌跡方程是（2）依題意可知直線，設聯立，得，則，所以，線段的