學校________________班級____________姓名____________考場____________準考證號學校________________班級____________姓名____________考場____________準考證號…………密…………封…………線…………內…………不…………要…………答…………題…………第1頁，共8頁2025屆重慶市南開融僑中學數學九上開學教學質量檢測試題題號一二三四五總分得分A卷（100分）一、選擇題（本大題共8個小題，每小題4分，共32分，每小題均有四個選項，其中只有一項符合題目要求）1、（4分）若有意義，則的取值范圍是（）A． B． C． D．且2、（4分）“龜兔賽跑”這則寓言故事講述的是比賽中兔子開始領先，但它因為驕傲在途中睡覺，而烏龜一直堅持爬行最終贏得比賽，下列函數圖象可以體現這一故事過程的是（）A． B． C． D．3、（4分）如圖，平行四邊形ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，EF，GH相交于點O，則圖中有平行四邊形（）A．4個 B．5個 C．8個 D．9個4、（4分）已知點P(a＋l，2a－3)關于x軸的對稱點在第一象限，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．5、（4分）下列式子中，為最簡二次根式的是（）A． B． C． D．6、（4分）如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是邊CD、AD上的點，且CE＝DF．AE與BF相交于點O，則下列結論錯誤的是（）A．AE＝BF B．AE⊥BFC．AO＝OE D．S△AOB＝S四邊形DEOF7、（4分）如圖，的頂點坐標分別為，，，如果將先向左平移個單位，再向上平移個單位得到，那么點的對應點的坐標是（）A． B． C． D．8、（4分）如圖，在菱形中，對角線、相交于點，下列結論中不一定成立的是()A． B． C． D．二、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）9、（4分）已知點P（a﹣1，5）和Q（2，b﹣1）關于x軸對稱，則（a+b）2014＝_____．10、（4分）已知四邊形ABCD為菱形，∠BAD=60°，E為AD中點，AB=6cm，P為AC上任一點．求PE+PD的最小值是_______11、（4分）若關于的一元二次方程的常數項為，則的值是__________．12、（4分）小明根據去年4﹣10月本班同學去電影院看電影的人數，繪制了如圖所示的折線統計圖，圖中統計數據的中位數是______人．13、（4分）如圖，將△AOB繞點O按逆時針方向旋轉45°后得到△COD，若∠AOB=15°，則∠AOD=_____度．三、解答題（本大題共5個小題，共48分）14、（12分）定義：只有一組對角是直角的四邊形叫做損矩形，連結它的兩個非直角頂點的線段叫做這個損矩形的直徑。（1）如圖1，損矩形ABCD，∠ABC＝∠ADC＝90°，則該損矩形的直徑是線段AC，同時我們還發現損矩形中有公共邊的兩個三角形角的特點，在公共邊的同側的兩個角是相等的。如圖1中：△ABC和△ABD有公共邊AB，在AB同側有∠ADB和∠ACB，此時∠ADB＝∠ACB；再比如△ABC和△BCD有公共邊BC，在CB同側有∠BAC和∠BDC，此時∠BAC＝∠BDC。請再找一對這樣的角來＝（2）如圖2，△ABC中，∠ABC＝90°，以AC為一邊向形外作菱形ACEF，D為菱形ACEF的中心，連結BD，當BD平分∠ABC時，判斷四邊形ACEF為何種特殊的四邊形？請說明理由。（3）在第（2）題的條件下，若此時AB＝，BD＝，求BC的長。15、（8分）（1）問題發現．如圖1，和均為等邊三角形，點、、均在同一直線上，連接．①求證：．②求的度數．③線段、之間的數量關系為__________．（2）拓展探究．如圖2，和均為等腰直角三角形，，點、、在同一直線上，為中邊上的高，連接．①請判斷的度數為____________．②線段、、之間的數量關系為________．（直接寫出結論，不需證明）16、（8分）（1）如圖1，在正方形ABCD中，E是AB上一點，F是AD延長線上一點，且DF＝BE．求證：CE＝CF；（2）如圖2，在正方形ABCD中，E是AB上一點，G是AD上一點，如果∠GCE＝45°，請你利用（1）的結論證明：GE＝BE+GD．（3）運用（1）（2）解答中所積累的經驗和知識，完成下列兩題：①如圖3，在四邊形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC＝12，E是AB上一點，且∠DCE＝45°，BE＝4，則DE＝．②如圖4，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC，且BD＝2，AD＝6，求△ABC的面積．17、（10分）近年來霧霾天氣給人們的生活帶來很大影響，空氣質量問題倍受人們關注．某商場計劃購進一批、兩種空氣凈化裝置，每臺種設備價格比每臺種設備價格多0.7萬元，花3萬元購買種設備和花7.2萬元購買種設備的數量相同．（1）求種、種設備每臺各多少萬元？（2）根據銷售情況，需購進、兩種設備共20臺，總費用不高于15萬元，求種設備至少要購買多少臺？（3）若每臺種設備售價0.6萬元，每臺種設備售價1.4萬元，在（2）的情況下商場應如何進貨才能使這批空氣凈化裝置售完后獲利最多？18、（10分）如圖，△ABC的三個頂點的坐標分別為A（﹣1，﹣1）．B（3，2），C（1，﹣2）．（1）判斷△ABC的形狀，請說明理由．（2）求△ABC的周長和面積．B卷（50分）一、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）19、（4分）如圖，菱形ABCD中，點M、N分別在AD，BC上，且AM＝CN，MN與AC交于點O，連接DO，若∠BAC＝28°，則∠ODC＝_____．20、（4分）已知平行四邊形ABCD中，，，AE為BC邊上的高，且，則平行四邊形ABCD的面積為________．21、（4分）數據15、19、15、18、21的中位數為_____．22、（4分）如圖，在一次測繪活動中，某同學站在點A的位置觀測停放于B、C兩處的小船，測得船B在點A北偏東75°方向900米處，船C在點A南偏東15°方向1200米處，則船B與船C之間的距離為______米．23、（4分）如圖，已知線段，是直線上一動點，點，分別為，的中點，對下列各值：①線段的長；②的周長；③的面積；④直線，之間的距離；⑤的大小．其中不會隨點的移動而改變的是_____．（填序號）二、解答題（本大題共3個小題，共30分）24、（8分）閱讀理解在△ABC中，AB、BC、AC三邊的長分別為、、2，求這個三角形的面積．解法一：如圖1，因為△ABC是等腰三角形，并且底AC＝2，根據勾股定理可以求得底邊的高AF為1，所以S△ABC＝×2×1＝1．解法二：建立邊長為1的正方形網格，在網格中畫出△ABC，使△ABC三個頂點都在小正方形的頂點處，如圖2所示，借用網格面積可得S△ABC＝S矩形ADEC﹣S△ABD﹣S△EBC＝1．方法遷移：請解答下面的問題：在△ABC中，AB、AC、BC三邊的長分別為、、，求這個三角形的面積．25、（10分）如圖，已知過點B（1，0）的直線與直線：相交于點P（－1，a）．且l1與y軸相交于C點，l2與x軸相交于A點．（1）求直線的解析式；（2）求四邊形的面積；（3）若點Q是x軸上一動點，連接PQ、CQ，當△QPC周長最小時，求點Q坐標．26、（12分）無錫陽山水蜜桃上市后，甲、乙兩超市分別用60000元以相同的進價購進相同箱數的水蜜桃，甲超市銷售方案是：將水蜜桃按分類包裝銷售，其中挑出優質大個的水蜜桃400箱，以進價的2倍價格銷售，剩下的水蜜桃以高于進價10%銷售．乙超市的銷售方案是：不將水蜜桃分類，直接銷售，價格按甲超市分類銷售的兩種水蜜桃售價的平均數定價．若兩超市將水蜜桃全部售完，其中甲超市獲利42000元(其它成本不計)．問：(1)水蜜桃進價為每箱多少元？(2)乙超市獲利多少元？哪種銷售方式更合算？

參考答案與詳細解析一、選擇題（本大題共8個小題，每小題4分，共32分，每小題均有四個選項，其中只有一項符合題目要求）1、B【解析】

二次根式中被開方數的取值范圍：二次根式中的被開方數是非負數，此外還需考慮分母不為零．【詳解】解：要使有意義，則2x+1＞0，

∴x的取值范圍為．

故選：B．本題主要考查二次根式有意義的條件，如果一個式子中含有多個二次根式，那么它們有意義的條件是：各個二次根式中的被開方數都必須是非負數．如果所給式子中含有分母，則除了保證被開方數為非負數外，還必須保證分母不為零．2、B【解析】【分析】根據領先的兔子看著緩慢爬行的烏龜，驕傲起來，睡了一覺，當它醒來時，發現烏龜快到終點了，于是急忙追趕，但為時已晚，烏龜先到達終點，即可判斷.【詳解】領先的兔子看著緩慢爬行的烏龜，兔子驕傲起來，睡了一覺，在圖形上來看在一段時間內兔子所行路程不變，當它醒來時，發現烏龜快到了終點了，于是急忙追趕，但為時已晚，烏龜先到達了終點，說明烏龜到達終點時兔子還沒到達，所以排除A、C、D，所以符合題意的是B，故選B.【點睛】本題考查了函數的圖象，解答本題的關鍵是讀懂題意及圖象，弄清函數圖象中橫、縱軸所表示的意義及實際問題中自變量與因變量之間的關系．3、D【解析】

首先根據已知條件找出圖中的平行線段，然后根據兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，來判斷圖中平行四邊形的個數．【詳解】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，CD∥AB，又∵EF∥BC，GH∥AB，∴∴AB∥GH∥CD，AD∥EF∥BC，∴平行四邊形有：□ABCD，□ABHG，□CDGH，□BCFE，□ADFE，□AGOE，□BEOH，□OFCH，□OGDF，共9個．即共有9個平行四邊形．故選D．本題考查平行四邊形的判定與性質，解題的關鍵是根據已知條件找出圖中的平行線段.4、B【解析】關于x軸對稱的點的坐標，一元一次不等式組的應用．【分析】根據“關于x軸對稱的點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數”，再根據各象限內的點的坐標的特點列出不等式組求解即可：∵點P（a＋1，2a－3）關于x軸的對稱點在第一象限，∴點P在第四象限．∴．解不等式①得，a＞－1，解不等式②得，a＜，所以，不等式組的解集是－1＜a＜．故選B．5、B【解析】

利用最簡二次根式定義判斷即可．【詳解】A、原式，不符合題意；B、是最簡二次根式，符合題意；C、原式，不符合題意；D、原式，不符合題意；故選：B．此題考查了最簡二次根式，熟練掌握最簡二次根式是解本題的關鍵．6、C【解析】試題解析：A、∵在正方形ABCD中，

又

∴≌

故此選項正確；

B、∵≌

故此選項正確；

C、連接

假設AO=OE，

∴

∴≌

又

∴AB不可能等于BE，

∴假設不成立，即

故此選項錯誤；

D、∵≌

∴S△AOB=S四邊形DEOF，故此選項正確．

故選C．7、C【解析】

把B點的橫坐標減2，縱坐標加1即為點B′的坐標．【詳解】解：由題中平移規律可知：點B′的橫坐標為-1?2=?3；縱坐標為1+1=2，

∴點B′的坐標是(?3,2)．

故選：C．本題考查了坐標與圖形變化?平移，平移變換是中考的常考點，平移中點的變化規律是：左右移動改變點的橫坐標，左減右加；上下移動改變點的縱坐標，下減上加．8、D【解析】

根據菱形的性質即可一一判斷【詳解】解：∵四邊形是菱形，∴，，，故A、B、C正確，故選：D.本題考查菱形的性質，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考基礎題．二、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）9、1【解析】

關于x軸對稱的點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數，可求出a,b，得到答案．【詳解】解：點P（a﹣1，5）和Q（2，b﹣1）關于x軸對稱，得a﹣1＝2，b﹣1＝﹣5，解得a＝3，b＝﹣4，（a+b）2014＝（﹣1）2014＝1，故答案為：1．本題考查了關于x軸對稱的點的坐標，解決本題的關鍵是掌握好對稱點的坐標規律：關于x軸對稱的點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數；關于y軸對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數；關于原點對稱的點，橫坐標與縱坐標都互為相反數．10、【解析】

根據菱形的性質，可得AC是BD的垂直平分線，可得AC上的點到D、B點的距離相等，連接BE交AC與P，可得答案．【詳解】解：∵菱形的性質，

∴AC是BD的垂直平分線，AC上的點到B、D的距離相等．

連接BE交AC于P點，

PD=PB，

PE+PD=PE+PB=BE，

在Rt△ABE中，由勾股定理得故答案為3本題考查了軸對稱，對稱軸上的點到線段兩端點的距離相等是解題關鍵．11、【解析】

先找到一元二次方程的常數項，得到關于m的方程，解出方程之后檢驗最后得到答案即可【詳解】關于的一元二次方程的常數項為，故有，解得m=4或m=-1,又因為原方程是關于x的一元二次方程，故m+1≠0，m≠1綜上，m=4，故填4本題考查一元二次方程的概念，解出m之后要重點注意二次項系數不能為0，舍去一個m的值12、1【解析】

將這7個數按大小順序排列，找到最中間的數即為中位數．【詳解】解：這組數據從大到小為：27，1，1，1，42，42，46，故這組數據的中位數1．故答案為1．此題考查了折線統計圖及中位數的知識，關鍵是掌握尋找中位數的方法，一定不要忘記將所有數據從小到大依此排列再計算，難度一般．13、30°【解析】

根據旋轉的性質得到∠BOD=45°，再用∠BOD減去∠AOB即可.【詳解】∵將△AOB繞點O按逆時針方向旋轉45°后，得到△COD，∴∠BOD=45°，又∵∠AOB=15°，∴∠AOD=∠BOD－∠AOB=45°－15°=30°.故答案為30°.三、解答題（本大題共5個小題，共48分）14、（1）∠ABD=∠ACD；（2）四邊形ACEF為正方形，理由見解析；（3）5.【解析】

（1）以AD為公共邊，有∠ABD=∠ACD；（2）證明△ADC是等腰直角三角形，得AD=CD，則AE=CF，根據對角線相等的菱形是正方形可得結論；（3）如圖2，作輔助線構建直角三角形，證明△ABC≌△CHE，得CH=AB=3，根據平行線等分線段定理可得BG=GH=4，從而得結論.【詳解】解：（1）由圖1得：△ABD和△ADC有公共邊AD，在AD同側有∠ABD和∠ACD，此時∠ABD=∠ACD；（2）四邊形ACEF為正方形，理由是：∵∠ABC=90°，BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=45°∴∠DAC=∠CBD=45°∵四邊形ACEF是菱形，∴AELCF，∴∠ADC=90°，∴△ADC是等腰直角三角形，∴AD=CD，.AE=CF，∴菱形ACEF是正方形；（3）如圖2，過D作DG⊥BC于G，過E作EH⊥BC，交BC的延長線于H，∵∠DBG=45°，∴△BDG是等腰直角三角形，BD=4，∵BG=4，四邊形ACEF是正方形，∴AC=CE，∠ACE=90°，AD=DE，易得△ABC≌△CHE，∴CH=AB=3，AB//DG//EH，AD=DE，∴BG=GH=4，∴CG=4-3=1，∴BC=BG+CG=4+1=5.本題是四邊形的綜合題，也是新定義問題，考查了損矩形和損矩形的直徑的概念，平行線等分線段定理，菱形的性質，正方形的判定等知識，認真閱讀理解新定義，第3問有難度，作輔助線構建全等三角形是關鍵.15、（1）①詳見解析；②60°；③；（2）①90°；②【解析】

（1）易證∠ACD＝∠BCE，即可求證△ACD≌△BCE，根據全等三角形對應邊相等可求得AD＝BE，根據全等三角形對應角相等即可求得∠AEB的大小；（2）易證△ACD≌△BCE，可得∠ADC＝∠BEC，進而可以求得∠AEB＝90°，即可求得DM＝ME＝CM，即可解題．【詳解】解：（1）①證明：∵和均為等邊三角形，∴，，又∵，∴，∴．②∵為等邊三角形，∴．∵點、、在同一直線上，∴，又∵，∴，∴．③，∴．故填：；（2）①∵和均為等腰直角三角形，∴，，又∵，∴，∴，在和中，，∴，∴．∵點、、在同一直線上，∴，∴．②∵，∴．∵，，∴．又∵，∴，∴．故填：①90°；②．本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應邊相等、對應角相等的性質，本題中求證△ACD≌△BCE是解題的關鍵．16、（1）見解析；（2）見解析；（4）①DE＝4；②△ABC的面積是1．【解析】

（1）根據正方形的性質，可直接證明△CBE≌△CDF，從而得出CE=CF；（2）延長AD至F，使DF=BE，連接CF，根據（1）知∠BCE=∠DCF，即可證明∠ECF=∠BCD=90°，根據∠GCE=45°，得∠GCF=∠GCE=45°，利用全等三角形的判定方法得出△ECG≌△FCG，即GE=GF，即可得出答案GE=DF+GD=BE+GD；（4）①過C作CF⊥AD的延長線于點F．則四邊形ABCF是正方形，設DF=x，則AD=12-x，根據（2）可得：DE=BE+DF=4+x，在直角△ADE中利用勾股定理即可求解；②作∠EAB=∠BAD，∠GAC=∠DAC，過B作AE的垂線，垂足是E，過C作AG的垂線，垂足是G，BE和GC相交于點F，BF=2-2=4，設GC=x，則CD=GC=x，FC=2-x，BC=2+x．在直角△BCF中利用勾股定理求得CD的長，則三角形的面積即可求解．【詳解】（1）證明：如圖1，在正方形ABCD中，∵BC＝CD，∠B＝∠CDF，BE＝DF，∴△CBE≌△CDF，∴CE＝CF；（2）證明：如圖2，延長AD至F，使DF＝BE，連接CF，由（1）知△CBE≌△CDF，∴∠BCE＝∠DCF．∴∠BCE+∠ECD＝∠DCF+∠ECD即∠ECF＝∠BCD＝90°，又∵∠GCE＝45°，∴∠GCF＝∠GCE＝45°，∵CE＝CF，∠GCE＝∠GCF，GC＝GC，∴△ECG≌△FCG，∴GE＝GF，∴GE＝DF+GD＝BE+GD；（4）①過C作CF⊥AD的延長線于點F．則四邊形ABCF是正方形．AE＝AB﹣BE＝12﹣4＝8，設DF＝x，則AD＝12﹣x，根據（2）可得：DE＝BE+DF＝4+x，在直角△ADE中，AE2+AD2＝DE2，則82+（12﹣x）2＝（4+x）2，解得：x＝2．則DE＝4+2＝4．故答案是：4；②作∠EAB＝∠BAD，∠GAC＝∠DAC，過B作AE的垂線，垂足是E，過C作AG的垂線，垂足是G，BE和GC相交于點F，則四邊形AEFG是正方形，且邊長＝AD＝2，BE＝BD＝2，則BF＝2﹣2＝4，設GC＝x，則CD＝GC＝x，FC＝2﹣x，BC＝2+x．在直角△BCF中，BC2＝BF2+FC2，則（2+x）2＝42+x2，解得：x＝4．則BC＝2+4＝5，則△ABC的面積是：AD?BC＝×2×5＝1．本題考查了全等三角形的判定和性質以及正方形的性質，解決本題的關鍵是注意每個題目之間的關系，正確作出輔助線．17、（1）種設備每臺0.5萬元，種設備每臺l.2萬元；（2）種設備至少購買13臺；（3）當購買種設備13臺，種設備７臺時，獲利最多．【解析】

（1）設種設備每臺萬元，則種設備每臺萬元，根據“3萬元購買種設備和花7.2萬元購買種設備的數量相同”列分式方程即可求解；（2）設購買種設備臺，則購買種設備臺，根據總費用不高于15萬元，列不等式求解即可；【詳解】（1）設種設備每臺萬元，則種設備每臺萬元，根據題意得：，解得，經檢驗，是原方程的解，∴.則種設備每臺0.5萬元，種設備每臺l.2萬元；（2）設購買種設備臺，則購買種設備臺，根據題意得：，解得：，∵為整數，∴種設備至少購買13臺；（3）每臺種設備獲利（萬元），每臺種設備獲利（萬元），∵，∴購進種設備越多，獲利越多，∴當購買種設備13臺，種設備（臺）時，獲利最多．本題主要考查了二元一次方程組和一元一次不等式組的應用，關鍵是弄懂題意，找出題目中的關鍵語句，列出方程和不等式．18、（1）△ABC是直角三角形（2）5【解析】

（1）根據點A、B、C的坐標求出AB、AC、BC的長，然后利用勾股定理逆定理判斷為直角三角形；

（2）根據三角形的周長和面積公式解答即可．【詳解】（1）△ABC是直角三角形，由勾股定理可得：ACBCAB∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，（2）△ABC的周長為：AC+BC+AB＝5+2△ABC的面積為：12本題考查勾股定理逆定理，解題的關鍵是掌握勾股定理逆定理.一、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）19、62°【解析】

證明≌，根據全等三角形的性質得到AO=CO，根據菱形的性質有：AD=DC，根據等腰三角形三線合一的性質得到DO⊥AC，即∠DOC=90°.根據平行線的性質得到∠DCA=28°，根據三角形的內角和即可求解.【詳解】四邊形ABCD是菱形，AD//BC,在與中，，≌；AO=CO，AD=DC，∴DO⊥AC，∴∠DOC=90°.∵AD∥BC，∴∠BAC=∠DCA.∵∠BAC=28°，∠BAC=∠DCA.，∴∠DCA=28°，∴∠ODC=90°-28°=62°.故答案為62°考查菱形的性質，等腰三角形的性質，平行線的性質，三角形的內角和定理等，比較基礎，數形結合是解題的關鍵.20、2或1【解析】

分高AE在△ABC內外兩種情形，分別求解即可．【詳解】①如圖，高AE在△ABC內時，在Rt△ABE中，BE==9，在Rt△AEC中，CE==5，∴BC=BE+EC=14，∴S平行四邊形ABCD=BC×AE=14×12=1．②如圖，高AE在△ABC外時，BC=BE-CE=9-5=4，∴S平行四邊形ABCD=BC×AE=12×4=2，故答案為1或2．本題考查平行四邊形的性質．四邊形的面積，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題．21、1【解析】

將這五個數排序后，可知第3位的數是1，因此中位數是1．【詳解】將這組數據排序得：15，15，1，19，21，處于第三位是1，因此中位數是1，故答案為：1．考查中位數的意義和求法，將一組數據排序后處在中間位置的一個數或兩個數的平均數是中位數．22、192.2【解析】

由題意可知∠NAB=75°，∠SAC=15°，從而得到∠BAC=90°，然后利用勾股定理即可求出BC．【詳解】解：由題意可知∠NAB=75°，∠SAC=15°，∴∠BAC=90°，∵AB=900米，AC=1200米，∴BC==1500米.故答案為1500.本題考查了勾股定理的應用，得到∠BAC=90°是解題的關鍵.23、①③④【解析】

根據中位線的性質，對線段長度、三角形周長和面積、角的變化情況進行判斷即可．【詳解】點，為定點，點，分別為，的中點，是的中位線，，即線段的長度不變，故①符合題意，、的長度隨點的移動而變化，的周長會隨點的移動而變化，故②不符合題意；的長度不變，點到的距離等于與的距離的一半，的面積不變，故③符合題意；直線，之間的距離不隨點的移動而變化，故④符合題意；的大小點的移動而變化，故⑤不符合題意．綜上所述，不會隨點的移動而改變的是：①③④．故答案為：①③④．本題考查了三角形的動點問題，掌握中位線的性質、線段長度的性質、三角形周長和面積的性質、角的性質是解題的關鍵．二、解答題（本大題共3個小題，共30分）24、S△ABC＝.【解析】

方法遷移:根據題