第五章有理數(shù)（壓軸題專練）壓軸題1定義新計(jì)算例題1對于任意有理數(shù),定義一種新運(yùn)算“⊕”，規(guī)則如下：，例如：，則的值為（

）A． B．11 C． D．29【答案】C【分析】此題考查新定義運(yùn)算，有理數(shù)的混合運(yùn)算，正確理解公式及所求式子中對應(yīng)的a與b的值是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴，故選：C．c定義一種對正整數(shù)n的“F”運(yùn)算：①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，結(jié)果為；②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，結(jié)果為（其中k是使為奇數(shù)的正整數(shù)），并且運(yùn)算可以重復(fù)進(jìn)行，例如，取時(shí)，運(yùn)算過程如圖．若，則第2024次“F運(yùn)算”的結(jié)果是．【答案】1【分析】本題考查了整數(shù)的奇、偶性的新定義問題，通過若干次得出循環(huán)是解題關(guān)鍵．按新定義運(yùn)算法則，分別計(jì)算第一次到第九次運(yùn)算結(jié)果可得出循環(huán)規(guī)律即可求解．【詳解】由題意可知，當(dāng)時(shí)，歷次運(yùn)算的結(jié)果是∶故規(guī)律為：即從第七次開始1和4出現(xiàn)循環(huán)，偶數(shù)次為4，奇數(shù)次為1，∴當(dāng)時(shí)，第2023次“運(yùn)算”的結(jié)果是1．故答案為：1．壓軸題2絕對值化簡例題2我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”，數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的重要思想方法．例如，代數(shù)式的幾何意義是數(shù)軸上x所對應(yīng)的點(diǎn)與2所對應(yīng)的點(diǎn)之間的距離：因?yàn)椋缘膸缀我饬x就是數(shù)軸上所對應(yīng)的點(diǎn)與所對應(yīng)的點(diǎn)之間的距離．（ⅰ）發(fā)現(xiàn)問題：代數(shù)式的最小值是多少？（ⅱ）探究問題：如圖，點(diǎn)分別表示數(shù)，因?yàn)榈膸缀我饬x是線段與的長度之和，所以當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)或點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，；所以的最小值是．請你根據(jù)上述自學(xué)材料，探究解決下列問題：（1）的最小值是______；（2）當(dāng)為何值時(shí)，代數(shù)式的最小值是．【答案】（1）（2）為或【分析】考查數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離．（1）把原式轉(zhuǎn)化為看作是數(shù)軸上表示的點(diǎn)與表示和的點(diǎn)之間的距離最小值，即可求解；（2）根據(jù)原式的最小值為，得知此題為動(dòng)點(diǎn)問題，因此通過數(shù)軸上表示的點(diǎn)的左邊和右邊，得到與的距離為的點(diǎn)即可．【詳解】（1）因?yàn)椋鐖D，表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到點(diǎn)的距離之和當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)或點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，，所以的最小值是；（2）因?yàn)閿?shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)到表示數(shù)的點(diǎn)的距離為，數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)到表示數(shù)的點(diǎn)的距離也為，因此當(dāng)為或時(shí)，原式的最小值是．跟進(jìn)練習(xí)已知、在數(shù)軸上分別表示、，(1)對照數(shù)軸填寫下表：6240、兩點(diǎn)的距離20(2)若、兩點(diǎn)間的距離記為，試問和、()的數(shù)量關(guān)系是________；(3)寫出數(shù)軸上到和的距離之和為的所有整數(shù)，并求這些整數(shù)的和；(4)若點(diǎn)表示的數(shù)為，當(dāng)取最小值時(shí)，相應(yīng)的的取值范圍是________．【答案】(1)從左到右為：(2)(3)、、、、、、、0、1、2、3、4、5、6、7，；0(4)【分析】本題考查了絕對值函數(shù)的最值、數(shù)軸及兩點(diǎn)間的距離，（1）根據(jù)數(shù)軸的知識，結(jié)合表格中的數(shù)即可得出答案．（2）由（1）所填寫的數(shù)字，即可得出結(jié)論．（3）由數(shù)軸的知識，可得出只要在和7之間的整數(shù)均滿足題意．（4）根據(jù)絕對值的幾何意義，可得出和2之間的任何一點(diǎn)均滿足題意．【詳解】（1）解：對照數(shù)軸填寫下表：6240、兩點(diǎn)的距離262120（2）解：∵、兩點(diǎn)間的距離記為，∴由（1）可得：；故答案為：（3）解：只要在和7之間的整數(shù)均滿足到7和的距離之和為14，有：、、、、、、、0、1、2、3、4、5、6、7，所有滿足條件的整數(shù)之和為：；（4）解：根據(jù)數(shù)軸的幾何意義，可得和2之間的任何一點(diǎn)均能使取得的值最小．故可得：點(diǎn)的范圍在：時(shí)，能滿足題意．故答案為：壓軸題3簡便運(yùn)算例題3問題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，王老師出示了一個(gè)問題：，，，．(1)利用規(guī)律計(jì)算：；(2)問題拓展，求；(3)問題解決：求的值．【答案】(1)(2)；；；(3)【分析】本題主要考查了數(shù)字的變化類，有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題關(guān)鍵觀察已知條件，找出解題的方法和技巧．（1）把各個(gè)加數(shù)拆成兩個(gè)分子是1，分母是原數(shù)分母的兩個(gè)分?jǐn)?shù)相減，然后相鄰的兩個(gè)互為相反數(shù)相加即可；（2）把各個(gè)算式寫成乘以分母中的兩個(gè)數(shù)為分母，分子是1的兩個(gè)分?jǐn)?shù)的差的形式，然后提取公因數(shù)，進(jìn)行簡便計(jì)算即可；（3）把各個(gè)加數(shù)的分母計(jì)算后都乘以，再乘以2，然后把每個(gè)分?jǐn)?shù)寫成兩個(gè)分?jǐn)?shù)差的形式，再進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：依題意，∵，，，，∴；（2）解：；（3）解：∵，；，；，；……，所以原式．跟進(jìn)練習(xí)計(jì)算:．【答案】【分析】先對原式進(jìn)行變形，然后計(jì)算即可．【詳解】解：原式，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，正確變形是解題的關(guān)鍵．壓軸題4動(dòng)點(diǎn)問題例題4材料閱讀：當(dāng)點(diǎn)C在線段上，且時(shí)，我們稱n為點(diǎn)C在線段上的點(diǎn)值，記作．如點(diǎn)C是的中點(diǎn)時(shí)，則，記作；反過來，當(dāng)時(shí)，則有．因此，我們可以這樣理解：與具有相同的含義．

初步感知：(1)如圖1，點(diǎn)C在線段上，若，則_______；若，則_______；(2)如圖2，已知線段，點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A和點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，相向而行，運(yùn)動(dòng)速度均為，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．請用含有t的式子表示和，并判斷它們的數(shù)量關(guān)系．拓展運(yùn)用：(3)已知線段，點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A和點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，相向而行，若點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)速度分別為和，點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)A后立即以原速返回，點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts．則當(dāng)t為何值時(shí)，等式成立．【答案】(1)，(2)；；(3)存在t為4或，使等式成立【分析】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，理解新定義是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)材料閱讀，即可求解；（2）根據(jù)材料閱讀，可表示和，即可求解；（3）分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)A之前時(shí)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)A返回時(shí)，結(jié)合，列出方程，即可求解．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：，∵，∴，故答案為：，（2）解：∵，∴，∵∴，∴，∴；（3）解：當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)A之前時(shí)，∵∴，∵∴，∴，∵，∴，

解得：；當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)A返回時(shí)，此時(shí)，∴∵，∴，∵∴

∴

∴存在t的值為4或，使等式成立．跟進(jìn)練習(xí)平移和翻折是初中數(shù)學(xué)兩種重要的圖形變化．(1)平移運(yùn)動(dòng)；①把筆尖放在數(shù)軸的原點(diǎn)處，先向負(fù)方向移動(dòng)3個(gè)單位長度，再向正方向移動(dòng)2個(gè)單位長度，這時(shí)筆尖的位置表示什么數(shù)？用算式計(jì)算表示出以上過程及結(jié)果是______．②一機(jī)器人從原點(diǎn)開始，第1次向左跳1個(gè)單位，緊接著第2次向右跳2個(gè)單位，第3次向左跳3個(gè)單位，第4次向右跳4個(gè)單位，…，依此規(guī)律跳，當(dāng)它跳2023次時(shí)，落在數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)是______．(2)翻折變換；①若折疊紙條，表示的點(diǎn)與表示3的點(diǎn)重合，則表示2021的點(diǎn)與表示______的點(diǎn)重合；②若數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離為2022（A在的左側(cè)，且折痕與①折痕相同），且兩點(diǎn)經(jīng)折疊后重合，則點(diǎn)A、點(diǎn)分別表示______、______；③若數(shù)軸上折疊重合的兩點(diǎn)的數(shù)分別為，折疊中間點(diǎn)表示的數(shù)為______．（用含有的式子表示）【答案】(1)①這時(shí)筆尖的位置表示，；②(2)①；②；③【分析】（1）①根據(jù)有理數(shù)的加法法則即可判斷；②探究規(guī)律，利用規(guī)律即可解決問題；（2）①根據(jù)對稱中心是1，即可解決問題；②由對稱中心是1，，可知A點(diǎn)是1左邊距1為1011個(gè)單位的點(diǎn)表示的數(shù)，B點(diǎn)是1右邊距1為1011個(gè)單位的點(diǎn)表示的數(shù)，即可求出點(diǎn)A、B所表示的數(shù)；③利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可解決問題．【詳解】（1）解：①由題意得：，這時(shí)筆尖的位置表示，故答案為：；②由題意得：，故答案為：；（2）解：①，∴對稱中心為1，，，∴表示2021的點(diǎn)與表示的點(diǎn)重合，故答案為：；②∵對稱中心為1，，∴點(diǎn)A所表示的數(shù)為：，點(diǎn)B所表示的數(shù)為：，故答案為：；③∵數(shù)軸上折疊重合的兩點(diǎn)的數(shù)分別為a，b，∴折疊中間點(diǎn)表示的數(shù)為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸、有理數(shù)的加減混合運(yùn)算、中心對稱等知識，理解題意，靈活應(yīng)用所學(xué)知識是解決問題的關(guān)鍵．壓軸題5綜合問題例題5綜合與與實(shí)踐數(shù)學(xué)活活動(dòng)課上，老師拿出兩個(gè)單位長度不同的數(shù)軸甲和數(shù)軸乙模型，如圖，當(dāng)兩個(gè)數(shù)軸的原點(diǎn)對齊時(shí)，數(shù)軸甲上表示的點(diǎn)與數(shù)軸乙上表示的點(diǎn)恰好對齊．

思考解答下列問題:(1)如圖中，數(shù)軸乙上表示的點(diǎn)與數(shù)軸甲上表示的點(diǎn)對齊；(2)將圖中的數(shù)軸乙向左移動(dòng)，使得數(shù)軸乙的原點(diǎn)與數(shù)軸甲表示的點(diǎn)對齊，如圖，

此時(shí)數(shù)軸甲上表示的點(diǎn)與數(shù)軸乙上表示的點(diǎn)對齊，數(shù)軸乙上距離原點(diǎn)個(gè)單位長度的點(diǎn)與數(shù)軸甲上表示的點(diǎn)對齊；(3)若數(shù)軸甲上表示的點(diǎn)與數(shù)軸乙上表示的點(diǎn)對齊，數(shù)軸乙上距離原點(diǎn)個(gè)單位長度的點(diǎn)記作點(diǎn)，數(shù)軸甲上與點(diǎn)對齊的點(diǎn)記作點(diǎn)，求點(diǎn)表示的數(shù)．【答案】(1)；(2)，或；(3)或．【分析】（）根據(jù)題意可知數(shù)軸乙上的個(gè)單位長度在數(shù)軸甲上表示個(gè)單位長度，據(jù)此求解即可；（）先求出數(shù)軸甲上表示的數(shù)與的距離，再根據(jù)數(shù)軸乙上的個(gè)單位長度在數(shù)軸甲上表示個(gè)單位長度進(jìn)行求解即可；求出數(shù)軸乙上距離原點(diǎn)個(gè)單位長度的點(diǎn)在數(shù)軸甲上距離的距離即可得到答案；（）要求乙軸對應(yīng)甲軸的數(shù)，即要先求出乙軸上到對齊點(diǎn)的距離在甲軸上表示的是多少，同理，要求甲軸對應(yīng)乙的數(shù)，即要先求出甲軸上到對齊點(diǎn)的距離在乙軸上表示多少，據(jù)此求解即可；此題考查了用數(shù)軸表示有理數(shù)，數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離，整式的加減計(jì)算，正確理解題意熟知數(shù)軸乙上的個(gè)單位長度在數(shù)軸甲上表示個(gè)單位長度是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）∵數(shù)軸甲上表示的點(diǎn)與數(shù)軸乙上表示的點(diǎn)恰好對齊，∴數(shù)軸乙上的個(gè)單位長度在數(shù)軸甲上表示個(gè)單位長度，∴數(shù)軸乙上表示的點(diǎn)與數(shù)軸甲上表示的點(diǎn)對齊，故答案為：；（2）∵數(shù)軸乙的原點(diǎn)與數(shù)軸甲表示的點(diǎn)對齊，∴數(shù)軸甲上表示的點(diǎn)與相距個(gè)單位長度，則在數(shù)軸乙上表示的點(diǎn)對齊；∴數(shù)軸乙上距離原點(diǎn)個(gè)單位長度的點(diǎn)在數(shù)軸甲表示：的點(diǎn)對齊，的點(diǎn)對齊，故答案為；；或；（3）由題意得：當(dāng)在數(shù)軸乙原點(diǎn)左側(cè)時(shí)，即表示的數(shù)為，∴與表示的點(diǎn)的距離為，則點(diǎn)表示的數(shù)；當(dāng)在數(shù)軸乙原點(diǎn)右側(cè)時(shí)，即表示的數(shù)為，∴與表示的點(diǎn)的距離為，則點(diǎn)表示的數(shù)，綜上可知：點(diǎn)表示的數(shù)為或．跟進(jìn)練習(xí)綜合與探究：【背景知識】在學(xué)習(xí)絕對值后，我們知道，表示數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)與原點(diǎn)的距離．如圖，如：表示5在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離．而，即也可理解為5、0在數(shù)軸上對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離．類似的，表示5與3之差的絕對值，也可理解為5與3兩數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離．如的幾何意義是數(shù)軸上表示有理數(shù)3的點(diǎn)與表示數(shù)的點(diǎn)之間的距離，一般地，點(diǎn)、在數(shù)軸上分別表示數(shù)、，那么、之間的距離可表示為．【問題解決】請根據(jù)絕對值的意義并結(jié)合數(shù)軸解答下列問題：（1）數(shù)軸上表示2和3的兩點(diǎn)之間的距離是__________；數(shù)軸上表示和的兩點(diǎn)之間的距離是__________；（2）數(shù)軸上點(diǎn)表示的數(shù)是2，、兩點(diǎn)的距離為3，則點(diǎn)表示的數(shù)是__________（3）的幾何意義是數(shù)軸上表示有理數(shù)__________的點(diǎn)與表示的點(diǎn)之間的距離；【拓展延伸】（4）如圖，、分別為數(shù)軸上的兩點(diǎn)，點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為，點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為100．現(xiàn)有一只電子螞蟻從點(diǎn)出發(fā)，以6個(gè)單位/秒的速度向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)另一只電子螞蟻恰好從點(diǎn)出發(fā)，以4個(gè)單位/秒的速度向右運(yùn)動(dòng)，設(shè)兩只電子螞蟻在數(shù)軸上的點(diǎn)相遇，請你求出點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù)是多少．【答案】（1）1，；（2）或5；（3）；（4）28【分析】（1）直接根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離計(jì)算即可；（2）分點(diǎn)在點(diǎn)左邊和點(diǎn)在點(diǎn)右邊兩種情況列式計(jì)算；（3）根據(jù)絕對值的幾何意義分析即可；（4）先求出相遇所需的時(shí)間，再求出點(diǎn)Q走的路程，根據(jù)左減右加的原則，可求出向右運(yùn)動(dòng)到相遇地點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù)．【詳解】解：（1）數(shù)軸上表示2和3的兩點(diǎn)之間的距離是；數(shù)軸上表示和的兩點(diǎn)之間的距離是；（2）∵數(shù)軸上點(diǎn)表示的數(shù)是2，、兩點(diǎn)的距離為3，∴，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)左邊時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)右邊時(shí)，；即點(diǎn)表示的數(shù)是或5；（3），表示數(shù)軸上表示有理數(shù)的點(diǎn)與表示的點(diǎn)之間的距離；（4）A，B之間的距離為，依題意有：秒，即12秒后相遇，即相同時(shí)間Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路程為：（個(gè)單位），則從數(shù)向右運(yùn)動(dòng)48個(gè)單位到數(shù)，故C點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)是28．【點(diǎn)睛】此題考查的是絕對值的意義，數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，數(shù)軸上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，還有相遇問題與追及問題．注意用到了路程=速度×?xí)r間．鞏固訓(xùn)練1.如圖是一個(gè)數(shù)值計(jì)算程序：若輸入的數(shù)字是，則輸出的數(shù)字為（

）A． B． C． D．17【答案】A【分析】本題主要考查程序問題，根據(jù)題意列出算式并熟練掌握有理數(shù)數(shù)的比較大小是解答本題的關(guān)鍵．【詳解】解：當(dāng)輸入的數(shù)字是，，∴輸出的結(jié)果為，故選A．2．在多項(xiàng)式中添加1個(gè)絕對值符號，使得絕對值符號內(nèi)含有項(xiàng)，并把絕對值符號內(nèi)最右邊項(xiàng)的“”改為“”，稱此為“添加操作”，最后將絕對值符號打開并化簡，得到的結(jié)果記為T．例如：將原多項(xiàng)式添加絕對值符號后，可得，此時(shí)．再將“”改為“”，可得．于是同一種“添加操作”得到的T有2種可能的情況：或．下列說法：①若，，則；②共有3種“添加操作”，可能得到；③有且僅有一個(gè)k值，使T中可能有2個(gè)“”，其中正確的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】本題考查了絕對值的性質(zhì)，解題時(shí)注意結(jié)合分類討論是關(guān)鍵．【詳解】依據(jù)題意，分別分析如下：①,即又的絕對值是，∴.∴.∴①正確.②時(shí),，則可能，這是一種絕對操作，則可能，這是第二種絕對操作；時(shí),,則可能.這是第三種絕對操作，∴共有三種絕對操作故②正確；③時(shí)只有1個(gè)“”,時(shí),有個(gè)或個(gè)“”,時(shí),有個(gè)或個(gè)“”.∴③正確.故選:D.3.用符號表示a，b兩個(gè)有理數(shù)中的較大的數(shù)，表示a，b兩個(gè)有理數(shù)中的較小的數(shù)，的值為．【答案】/【分析】本題考查了有理數(shù)的比較及有理數(shù)的加法運(yùn)算，弄清新定義的的意義，知道有數(shù)大小的比較方法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)新定義的要求，求出和的值，然后相加即可．【詳解】解：根據(jù)題意，得，，∴．故答案為：．4.閱讀下列材料，計(jì)算：．解法1：原式．解法2：原式的倒數(shù)，故原式．(1)以上兩種解法中，解法________(填1或2)是正確的；(2)請你計(jì)算：．【答案】(1)2(2)【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，倒數(shù)的定義（1）解法1根據(jù)除法沒有分配律進(jìn)行判斷；（2）先計(jì)算原式前半部分的結(jié)果，然后根據(jù)倒數(shù)的定義求出后半部分的結(jié)果，即可求出原式的值．【詳解】（1）解：因?yàn)槌]有分配律，所以解法1不正確，解法2運(yùn)用了倒數(shù)法求解，正確．故答案為：2（2）解：前部分：，后部分：原式的倒數(shù)，故，原式．5．【概念學(xué)習(xí)】現(xiàn)規(guī)定：求若干個(gè)相同有理數(shù)（均不等于0）連除的商的運(yùn)算叫做除方．比如：，等，類比有理數(shù)的乘方，我們把：寫作：，讀作“2的圈3次方”；寫作，讀作“的圈4次方”．一般地，把寫作，讀作“a的圈n次方"．【初步探究】（1）直接寫出計(jì)算結(jié)果：________，________；【深入思考】我們知道，有理數(shù)的減法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算，除法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，那么有理數(shù)的除方運(yùn)算如何轉(zhuǎn)化為乘方運(yùn)算呢？除方整式冪的形式（2）歸納：請把有理數(shù)的圈次方寫成冪的形式為：________；（3）利用（2）中的結(jié)論，計(jì)算：．【答案】（1）1，；（2）；（3）0【分析】根據(jù)新定義進(jìn)行計(jì)算求解即可．【詳解】（1）解：由題意知，，，故答案為：1，；（2）解：由題意知，數(shù)a的圈n次方寫成冪的形式為，故答案為：；（3）解：∴原式．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘法、除法，混合運(yùn)算，整式冪．解題的關(guān)鍵在于理解題意．6.在學(xué)習(xí)了數(shù)軸后，小亮決定對數(shù)軸進(jìn)行變化應(yīng)用：(1)應(yīng)用一：已知點(diǎn)在數(shù)軸上表示數(shù)為，數(shù)軸上的任意一點(diǎn)表示的數(shù)為，則兩點(diǎn)的距離可以表示為______；應(yīng)用這個(gè)知識，請直接寫出當(dāng)______時(shí)，的最小值為______．AI

(2)應(yīng)用二：從數(shù)軸上取下一個(gè)單位長度的線段，第一次剪掉原長的，第二次剪掉剩下的，依次類推，每次都剪掉剩下的，則剪掉5次后剩下線段的長度為______；應(yīng)用這個(gè)原理，請計(jì)算：．

(3)應(yīng)用三：如圖，將一根拉直的細(xì)線看作數(shù)軸，一個(gè)三邊長分別為，，的三角形的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，邊在數(shù)軸正半軸上，將數(shù)軸正半軸的線沿的順序依次纏繞在三角形的邊上，負(fù)半軸的線沿的順序依次纏繞在三角形的邊上．①如果正半軸的線纏繞了5圈，負(fù)半軸的線纏繞了3圈，求繞在點(diǎn)C上的所有數(shù)字和；②如果正半軸的線不變，將負(fù)半軸的線拉長一倍，即原線上的點(diǎn)的位置對應(yīng)著拉長后的數(shù)，并將三角形向正半軸方向平移一個(gè)單位后再開始繞，求繞在點(diǎn)B且絕對值不超過100的所有數(shù)之和．AI

【答案】(1)；0；3(2)；(3)①120；②【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離的表示方法列出式子即可；（2）第1次剪掉的長度是；第1次剪掉后剩下的長度是；第2次剪掉的長度是；第2次剪掉后剩下的長度是；第3次剪掉的長度是；第3次剪掉后剩下的長度是…由此規(guī)律得出第5次剪掉剩下的長度是，…第7次剪掉后剩下的長度是；；即可求出.（3）①分別找出正半軸以及負(fù)半軸在點(diǎn)C上的數(shù)字之