專題16圓中的計算與證明經典綜合大題專訓（六大題型）【題型目錄】題型一圓的對稱性相關的綜合大題題型二確定圓的條件相關的綜合大題題型三圓周角的綜合大題題型四直線與圓的位置關系相關的綜合大題題型五正多邊形與圓相關的綜合大題題型六弧長及扇形面積綜合大題【經典例題一圓的對稱性相關的綜合大題】1．（2023·統考二模）如圖，在正方形中，點E為邊上一個動點，作點B關于的對稱點，連接并延長，交延長線于點F，連接，．

(1)求證：．(2)求的度數．(3)若，在點E的運動過程中，求點F到距離的最大值．2．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖1，是的弦，點C在外，連接、分別交于D、E，(1)求證：．(2)如圖2，過圓心O作，交于P、Q兩點，交、于M、N兩點，求證：．(3)如圖3，在（2）的條件下，連接、，，若，，求弦的長．3．（2023·陜西西安·?？级＃締栴}提出】（1）如圖①，在等腰直角中，，為等邊三角形，，則線段BD的長為___________；【問題解決】（2）如圖②，在等腰直角中，，以AC為直徑作半圓O，點D為上一動點，求點B、D之間的最大距離；【問題探究】（3）一次手工制作課程中，老師要求小明和小麗組制作一種特殊的部件，部件的要求如圖③，部件是由直角以及弓形BDC組成，其中，點E為BC的中點，，這時候小明和小麗在討論這個部件，其中小麗說點A到的最大距離是點A、D之間的距離，小明說不對，你認為誰的說法正確？請說明理由，并求出點A到的最大距離．4．（2023·黑龍江齊齊哈爾·?？既＃締栴}思考】如圖1，點E是正方形內的一點，過點E的直線，以為邊向右側作正方形，連接，直線與直線交于點P，則，通過這兩個三角形全等可得線段與之間的關系為．【問題類比】如圖2、3，當點E是正方形外的一點時，【問題思考】中的結論（填成立或不成立），若成立，請選擇圖2證明你的結論；若不成立，請選擇圖3說明理由；【拓展延伸】（1）若點E是邊長為2的正方形所在平面內一動點，【問題思考】中其他條件不變，則的取值范圍是（直接寫出結果）．（2）若點E是邊長為2的正方形所在平面內一動點，【問題思考】中其他條件不變，則動點P到邊的最大距離為（直接寫出結果）．

5．（2022秋·江蘇南京·九年級南京市科利華中學?？计谥校┰趯W習《2.1圓》時，小明遇到了這樣一個問題：如圖1（1）、1（2）所示，和中，．試證明、、、四點在同一圓上．小明想到了如下證法：在圖1（1）、1（2）中取中點，連接、．則有及，即，所以、、、四點在以為圓心，為半徑的圓上．根據以上探究問題得出的結論，解決下列問題：(1)如圖2，在中，三條高、、相交于點，連接０、，若，則______________°．(2)如圖3，已知是的直徑，是的弦，為的中點，于，于（、不重合）．若，求證：．6．（2023·北京·九年級專題練習）在平衡直角坐標系中，線段，點，在線段上，且，為的中點，如果任取一點，將點繞點順時針旋轉得到點，則稱點為點關于線段的“旋平點”．

(1)如圖1，已知，，，知果為點關于線段的“旋平點”，畫出示意圖，寫出的取值范圍；(2)如圖，的半徑為，點，在上，點，如果在直線上存在點關于線段的“旋平點”，求的取值范圍．【經典例題二確定圓的條件相關的綜合大題】1．（2023秋·江蘇·九年級專題練習）尺規作圖蘊含豐富的推理，還體現逆向思維，請嘗試用無刻度的直尺和圓規完成下列作圖，不寫作法，保留作圖痕跡．

(1)【圓的作圖】點P是中邊上的一點，在圖1中作，使它與的兩邊相切，點P是其中一個切點；(2)點P是中邊上的一點，在圖2中作，使它滿足以下條件：①圓心O在上；②經過點P；③與邊相切；(3)【不可及點的作圖】如圖3，從墻邊上引兩條不平行的射線（交點在墻的另一側，畫不到），作這兩條射線所形成角的平分線．2．（2023·陜西·模擬預測）新定義：如圖1（圖2，圖3），在中，把邊繞點A順時針旋轉，把邊繞點A逆時針旋轉，得到，若，我們稱是的“旋補三角形”，的中線叫做的“旋補中線”，點A叫做“旋補中心”．【特例感知】(1)①若是等邊三角形（如圖2），，則______________．②若（如圖3），，_____________．【猜想論證】(2)在圖1中，當是任意三角形時，猜想與的數量關系，并證明你的猜想；（提示：過點作且，連接，則四邊形是平行四邊形）【拓展應用】(3)如圖4，點A，B，C，D都在半徑為5的圓P上，且與不平行，，是的“旋補三角形”，點P是“旋補中心”，求BC的長．3．（2022秋·河北廊坊·九年級廊坊市第四中學?？计谥校┤鐖D，，，直線經過點．設，于點，將射線繞點按逆時針方向旋轉，與直線交于點．(1)判斷：___________(2)若，求的長(3)若是銳角三角形，直接寫出的取值范圍．4．（2021·河北保定·保定市第十七中學校考一模）如圖1，在中，，點D和點E分別從點A、點B同時出發，在線段上以做等速運動，分別到達點B、點A后停止運動．設運動時間為t秒．(1)求證：；(2)若，求的度數；(3)當△ADC的外心在其外部時，請直接寫出t的取值范圍．5．（2021·全國·九年級假期作業）如圖，在⊙O中，兩條弦AC，BD垂直相交于點E，等腰△CFG內接于⊙O，FH為⊙O直徑，且AB＝6，CD＝8．（1）求⊙O的半徑；（2）若CF＝CG＝9，求圖中四邊形CFGH的面積．6．（2023秋·江蘇·九年級專題練習）如圖，為圓的內接三角形，，連接并延長交于點．

(1)求證：；(2)若，，求的半徑．【經典例題三圓周角的綜合大題】1．（2023·江蘇南京·?？级＃┮阎谥?，，點平分平分，過點13．（2022秋·四川廣安·九年級?？计谥校┤鐖D，為的直徑，點C為的中點，交直線于D點．

(1)求證：；(2)若，求的直徑．2．（2023春·安徽·九年級專題練習）如圖，是的直徑，弦于點，連接，，

(1)求證：；(2)作于點，若的半徑為，，求的長．3．（2023春·安徽·九年級專題練習）如圖1，已知為的直徑，C為上一點，于E，D為弧的中點，連接，分別交于點F和點G．(1)求證：；(2)如圖2，若，連接，求證：．4．（2023·陜西寶雞·統考二模）初步探究（1）如圖，點、分別在正方形的邊、上，將、分別沿、折疊后，、重合于，則______；

深入探究（2）如圖，在等腰直角中，，點在右側，且于點，交于點，將沿折疊得到，連接求證：是等腰直角三角形；

問題解決（3）如圖，現有一塊四邊形鐵皮，，，工人師傅想用這塊鐵皮裁出一個直角三角形部件，要求點在邊上，，且．工人師傅在這塊鐵皮上的操作如下：

①分別在邊、上各取一點、，將、分別沿、折疊后，使得、重合于；②再將四邊形展開鋪平，連接，分別交折痕，于點，，連接，得到請問，若按上述操作，裁得的部件是否符合要求？請證明你的結論．5．（2023·廣東江門·統考二模）如圖，點A、、在上，是直徑，的角平分線與交于點，與交于點，且，連接，交于點．(1)證明：；(2)試猜想與之間的數量關系，并證明．6．（2022秋·黑龍江哈爾濱·九年級校考開學考試）已知四邊形內接于，點為弧的中點，連接、，．(1)如圖，求證：為的直徑；

(2)如圖，過點作于，交于點，求證：；

(3)如圖，在（）的條件下，過作于點，延長交于，若，，求線段的長．

【經典例題四直線與圓的位置關系相關的綜合大題】1．（2023·江蘇南通·?？既＃┤鐖D，為外一點，，是的切線，，為切點，點在上，連接，，．

(1)求證：；(2)連接，若，的半徑為5，，求的長．2．（2023·山東·九年級專題練習）已知：射線平分，為上一點，交射線于點，，交射線于點，，連接，，．

(1)如圖1，若，試判斷四邊形的形狀，并說明理由；(2)如圖2，過點作，交于點；過點作，交于點．求證：．3．（2023·安徽·校聯考模擬預測）如圖，內接于，且為的直徑，的平分線交于點，過點在左側作交的延長線于點，過點作于點．

(1)求證：；(2)求證：是的切線；(3)若，，求線段的長．4．（2023春·江西南昌·九年級南昌市第二十八中學校聯考階段練習）課本再現（1）在圓周角和圓心角的學習中，我們知道了：圓內接四邊形的對角互補．課本中先從四邊形一條對角線為直徑的特殊情況來論證其正確性，再從對角線是非直徑的一般情形進一步論證其正確性，這種數學思維方法稱為“由特殊到一般”如圖1，四邊形為的內接四邊形，為直徑，則__________度，__________度．（2）如果的內接四邊形的對角線不是的直徑，如圖2、圖3，請選擇一個圖形證明：圓內接四邊形的對角互補．知識運用（3）如圖4，等腰三角形的腰是的直徑，底邊和另一條腰分別與交于點．點是線段的中點，連接，求證：是的切線．

5．（2022秋·河北邢臺·九年級邢臺三中校考階段練習）如圖，中，，，，延長到點D，使．點P是邊上一點，點Q在射線上，，以點P為圓心、PD長為半徑作，交A于點E，設．

(1)______，當點Q在上時，______；(2)x為何值時，與相切？(3)當時，求陰影部分的面積；(4)若與的三邊有兩個公共點，直接寫出x的取值范圍．6．（2023·吉林長春·統考中考真題）【感知】如圖①，點A、B、P均在上，，則銳角的大小為__________度．

【探究】小明遇到這樣一個問題：如圖②，是等邊三角形的外接圓，點P在上（點P不與點A、C重合），連結、、．求證：．小明發現，延長至點E，使，連結，通過證明，可推得是等邊三角形，進而得證．下面是小明的部分證明過程：證明：延長至點E，使，連結，四邊形是的內接四邊形，．，．是等邊三角形．，請你補全余下的證明過程．【應用】如圖③，是的外接圓，，點P在上，且點P與點B在的兩側，連結、、．若，則的值為__________．【經典例題五正多邊形與圓的相關的綜合大題】1．（2023·江蘇·九年級假期作業）如圖，是的直徑，，是的弦，，延長到，連接，．

(1)求證：是的切線；(2)以為邊的圓內接正多邊形的周長等于________．2．（2023·江蘇·九年級假期作業）如圖，在正方形網格中，每一個小正方形的邊長都為1，點、都在格點上，以為圓心，為半徑做圓，只用無刻度的直尺完成以下畫圖．(1)在圖①中畫的一個內接正四邊形，___________；(2)在圖②中畫的一個內接正六邊形，__________．4．（2023·江蘇·九年級假期作業）如圖，六邊形ABCDEF是⊙O的內接正六邊形．(1)求證：在六邊形ABCDEF中，過頂點A的三條對角線四等分∠BAF．(2)設⊙O的面積為S1，六邊形ABCDEF的面積為S2，求的值（結果保留π）．5．（2023·江蘇·九年級假期作業）[閱讀與思考]如圖①，在正三角形中，點，是，上的點，且，則，；如圖②，在正方形中，點，是，上的點，且，則，；如圖③，在正五邊形中，點，是，上的點，且，則，；[理解與運用]在正六邊形中，點，是，上的點，且，則，；在正十邊形中，點，是，上的點，且，則，；[歸納與總結]根據以上規律，在正邊形中，對相鄰的三邊實施同樣的操作過程，即點，是，上的點，且，與相交于；也會有類似的結論，你的結論是．6．（2023·江蘇·九年級假期作業）【閱讀理解】如圖1，為等邊的中心角，將繞點O逆時針旋轉一個角度，的兩邊與三角形的邊分別交于點．設等邊的面積為S，通過證明可得，則．【類比探究】如圖2，為正方形的中心角，將繞點O逆時針旋轉一個角度，的兩邊與正方形的邊分別交于點．若正方形的面積為S，請用含S的式子表示四邊形的面積（寫出具體探究過程）．【拓展應用】如圖3，為正六邊形的中心角，將繞點O逆時針旋轉一個角度，的兩邊與正六邊形的邊分別交于點．若四邊形面積為，請直接寫出正六邊形的面積．【經典例題六弧長及扇形的面積綜合大題】1．（2023·江蘇·九年級假期作業）如圖，內接于，，，，．(1)度數．（直接寫出答案）(2)求的長度．(3)是上一點（不與，，重合），連結．①若垂直的某一邊，求的長．②將點A繞點P逆時針旋轉后得到，若恰好落在上，則的長度為．（直接寫出答案）2．（2023春·江蘇鹽城·九年級校考階段練習）如圖所示，在中，，，在上取點，以為圓心，以為半徑作圓，與相切于點，并分別與，相交于點，（異于點）．(1)求證：平分；(2)若點恰好是的中點，求扇形的面積．3．（2023·江蘇無錫·校考二模）如圖，是半圓的直徑，是半圓上的一點不與，重合，連接，點為弧的中點，過點作，交的延長線于點．

(1)求證：是半圓的切線；(2)若，，求陰影部分的面積．4．（2023·江蘇南通·統考一模）如圖，在中，，，點D在上，以為直徑的與相切于點E，與相交于點F，(1)求CF的長度；(2)求陰影部分的面積．．（2023春·江蘇蘇州·九年級蘇州市振華中學校?？奸_學考試）正方形與扇形有公共頂點O，分別以，所在直線為x軸，y軸建立平面直角坐標系．如圖所示．正方形兩個頂點C、D分別在x軸、y軸正半軸上移動．設，，(1)當時，正方形與扇形不重合的面積是______；此時直線對應的函數關系式是______；(2)當直線與扇形相切時．求直線對應的函數關系式；(3)當正方形有頂點恰好落在上時，求正方形與扇形不重合的面積．6．（2023·江蘇無錫·九年級專題練習）如圖，在中，，平分交于D點，O是上一點，經過B、D兩點的分別交、于點E、F．(1)用尺規補全圖形（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)求證：與相切：(3)當，時，求劣弧的長．【經典例題七圓錐的側面積綜合大題】1．（2023春·江蘇蘇州·九年級星海實驗中學?？茧A段練習）如圖1中的某種冰激凌的外包裝可以視為圓錐（如圖2），制作這種外包裝需要用如圖3所示的等腰三角形材料，其中，將扇形EAF圍成圓錐時，AE、恰好重合，已知這種加工材料的頂角．(1)求圖2中圓錐底面圓直徑ED與母線AD長的比值；(2)若圓錐底面圓的直徑ED為5cm，求加工材料剩余部分（圖3中陰影部分）的面積．（結果保留π）2．（2023·江蘇·九年級專題練習）如圖，在正方形網格中建立平面直角坐標系，一條圓弧經過網格點A（0，4），B（4，4）、C（6，2），請在網格圖中進行如下操作：（1）若該圓弧所在圓的圓心為D，則D點坐標為_____________；（2）連接AD、CD，則的半徑長為______（結果保留根號），的度數為___________；（3）若扇形ADC是一個圓錐的側面展開圖，求該圓錐的底面圓的半徑長．（結果保留根號）3．（2023春·江蘇宿遷·九年級校考開學考試）如圖，在正方形網格中建立一直角坐標系，一條圓弧經過網格點A、B