綜合二十九-【新教材】人教A版（2019）

高一數學暑假作業（含解析）

一、單選題

1.已知集合4={y|y=2尢-l,xeR},B={用/一3x<0},則()

A.-l&AB.而CBC.A(JB=BD.AC\B=B

2.下列各組函數中，表示同一函數的是()

A.y=x+1與y=咚^

B./W=虛產0(%)=%

C.一=㈤與g(x)=［案；7)

口加=吟與的={X<°o)

3.若l()a=lgb=C,則4,4c的大小關系為()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.b<a<c

4.sin50°（1+V3tanl0。）的值為（）

A.-1B.OC.1D.2

5.點O,P,N滿足=|OB|=|0C|,AM4-/VB+/VC=0,PA-^B=PBPC=

PC-兩，則點。,N,P依次是△”。的（）

A.重心，外心，垂心B.重心，外心，內心

C.夕卜心，重心，垂心D.外心，重心，內心

6.在復平面內，復數z==,下列說法正確的是（）

1—1

A.z的實部為1B.|z|=V2C.2=號D.z在第一象限

7.下列說法：

①一組數據不可能有兩個眾數；

②一組數據的方差必須是正數；

③將一組數據中的每一個數據都加上或減去同一常數后，方差恒不變;

④在頻率分布直方圖中，每個小長方形的面積等于相應小組的頻率.

其中錯誤的有（）

A.0個B.1個C.2個D.3個

8.如圖，已知六棱錐P-4BCDEF的底面是正六邊形，P4L平面ABC,則下列結論正

確的是（）

R

A.PB1ADB.平面/MB1平面PBC

C.直線BC〃平面PAED.直線CD_L平面PAC

二、多選題

9.

點，AD=2DC，E是AB的中點,BD與CE交于點、O,那么（）

A.OE+OC=0B.ABCE=-l

C.|01+0B+0C|=yD.\DE\=^-

10.如圖，四棱錐P-ABC。的底面為矩形，PD_L底面ABC。，AD=1,PD=AB=2,

點E是PB的中點，過A,D,￡三點的平面a與平面PBC的交線為/,則（）

A.，〃平面PAD

B.AE〃平面PCD

C.直線PA與/所成角的余弦值為匹

5

D.平面a截四棱錐P-ABCD所得的上，下兩部分幾何體的體積之比為|

11.下列說法正確的是（）

第2頁，共28頁

A.某班4位同學從文學、經濟和科技三類不同的圖書中任選一類，不同的結果共

有64種

B.甲乙兩人獨立地解題，己知各人能解出的概率分別是：」，則題被解出的概率

嗎

C.某校2(10名教師的職稱分布情況如下：高級占比2()%,,中級占比50%,初級占

比30%,,現從中抽取50名教師做樣本，若采用分層抽樣方法，則高級教師應抽取1()

人

D.兩位男生和兩位女生隨機排成一列，則兩位女生不相鄰的概率是：

12.已知函數/'(x)=/+2區-a|(aeR),下列說法正確的是().

A.當a=0時,/(x)為偶函數；

B.存在實數小使得/(x)為奇函數；

C.當一1<a<1時，f(x)取得最小值a?；

D.方程/?(%)-m=0可能有三個實數根.

13.已知函數/'(x)=sinL+cosnx(rieN*),則()

A.對任意正奇數〃，f(x)為奇函數

B.對任意正整數〃，f(x)的圖象都關于直線x=Z對稱

4

C.當n=3時，f(x)在隔］上的最小值當

D.當n=4時，f(x)的單調遞增區間是+(keZ)

三、填空題

14.若點P(4,2)在函數/'(%)=10gM的圖象上，點在/(x)的反函數圖象上，則

m=.

15.已知向量區石滿足I五1=3,|K|=1，若存在不同的實數及，2.2^2*0),使得

弓=4源+3%方，且?—初??—方)=0(i=1,2)，則|心一七|的取值范圍是

四、多空題(本大題共2小題，共10.0分)

16.四面S-4BC中，S41面ABC,“是△SBC的垂心，且4Hl面SBC,則三對對棱

S4與3C,S3與AC,SC與A8中互相垂直的有_(1)_對；若H也是△SBC的重心,

則二面角S-BC-A的正弦值為_(2)_.

?H

17.2019年7月，中國良渚古城遺址獲準列入世界遺產名錄，標志著中華五千年文明史

得到國際社會認可.良渚古城遺址是人類早期城市文明的范例，實證了中華五千年

文明史.考古科學家在測定遺址年齡的過程中利用了“放射性物質因衰變而減少”

這一規律.已知樣本中碳14的質量N隨時間T(單位：年)的衰變規律滿足N=N。-

2u％為表示碳14原有的質量)，則經過5730年后，碳14的質量變為原來的;

經過測定，良渚古城遺址文物樣本中碳14的質量是原來的?至右據此推測良渚古

城存在的時期距今約在5730年到年之間.(參考數據：lg2?0.3,lg7?0.84,

lg3x0.48)

四、解答題

18.已知函數/'(x)=sin(^-+x)sin(?-x)+V3sinxcosx.

(1)求/X》的值；

(2)在AABC中，若/(今=1,求s譏B+s譏C的最大值.

19.如圖，已知乙4BC火力B=AC=5,BC=8，點P從B點沿直線BC運動到C點，過

尸做BC的垂線3記直線小左側部分的多邊形為0,設BP=x,0的面積為S(x),H

第4頁，共28頁

的周長為L(x).

(/)求S(x)和L(x)的解析式；

(〃)記尸。)=翟，求FQ)的最大值

20.某市為了了解中學生課外閱讀情況，隨機抽取了1000名高一學生，并獲得了他們

一周課外閱讀時間(單位：小時)的數據，整理得到數據分組及頻數分布表.

組號分組頻數頻率

1[0,5)500.05

2[5,10)a0.35

3[10,15)300b

4[15,20)2000.20

5[20,25)1000.10

合計10001

(1)求小匕的值，并作出這些數據的頻率分布直方圖(用陰影涂黑);

頻率

0.08

0.07

0.06

0.05

0.04

0.03

0.02

0.01

時間

051015202530

(2)根據頻率分布直方圖估計該組數據的平均數及中位數(中位數精確到0.01)；

(3)現從第4,5組中用分層抽樣的方法抽取6人，再從這6人中任意抽取2人進行

調研忽E樓夢》的閱讀情況，求抽取的2人中至少有一人是5組的概率.

21.己知復數z滿足：z2=3+4i,且z在復平面內對應的點位于第三象限.(1)求復數

Z；

(2)設QER,且K￥)2°】9+a|=2,求實數。的值.

第6頁，共28頁

22.已知函數/Xx)=電(10*+1)-[x,g(x)=，J,函數g(x)是奇函數.

(1)判斷函數/(x)的奇偶性，并求實數a的值；

(2)若對任意的t€(0,+8),不等式g(f2+1)+。(一塊)>o恒成立，求實數k的取

值范圍；

(3)設/i(x)=/(x)+|x,若存在xG(-8,耳,使不等式g(x)>h[lg(10b+9)]成立，

求實數b的取值范圍.

23.如圖，已知梯形ABCO中，AD//BC,AB1AD,矩形EDCF1平面ABC。，且AB=

BC=DE=2,AD=1.

(I)求證：ABLAE；

(II)求證：DF〃平面ABE；

(HI)求二面角B-EF-。的正切值.

第8頁，共28頁

答案和解析

1.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查元素與集合的關系以及集合與集合的關系，屬于基礎題.

由指數函數的性質求得集合A,解不等式求得集合8,再判斷集合的關系以及元素與集

合的關系即可.

【解答】

解：A—(y\y=2X-l,x&R]=(-1,+oo),B={x|x2-3%<0}=[0,3],

所以一10AV5GB，

B^A,所以力UB=4,4C8=B,

故選D.

2.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查同一函數概念，屬于基礎題.解題可根據函數的定義域，解析式是否相同逐個

檢驗即可.

【解答】

解：/(x)=x+l的定義域為R,9。)=子的定義域為{尤氏芋0},定義域不同，不

是同一函數，A錯誤；

〃久)=虛留的定義域為電+8)，9。)=x的定義域為R，定義域不同，不是同一函數，

8錯誤；

C/O)=團定義域為R,g(x)=0定義域為非零實數，定義域不同，不是同

一函數，C錯誤；

D.f(x)=x^={X',g(t)=『；:/A兩個函數的定義域為R,定義域和解

析式都相同，是同一函數，。正確.

故選。.

3.【答案】B

【解析】

【分析】

本題主要考查指數運算和對數運算法則，屬于基礎題，可以采用特殊值法判斷即可.

【解答】

解：令a=1,貝！=10,a<c<b,

故選B.

4.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查三角函數的化簡，求值，是基礎題.

切化弦通分得Sin50。(小Q與江)，利用輔助角公式得到2cos50：n5。。,二倍角公式,

COS10COS10

誘導公式即可求得值為1.

【解答】

解：sin50°(1+V3tan10°)

「sin10°icoslO°+V3sin10°

=sin50°（l+6—中）=sin500（-

2（cos60°cosl0°+sin60°sin100）

=sin50°

2cos500sin50°_sin1000_sin（900+10。）_coslO。

coslO°cos10°

故選c.

5.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查了向量的幾何運用，涉及向量的加減運算，向量的數量積以及三角形三心的判

斷，考查了分析和運用能力，屬于中檔題.

根據|就|=|而|=|玩j，得到點O為△力BC的外心；再根據赤+而+近=6,得

到Z為44BC的重心;再根據mPB=PBPC=PC-同得到點P在AC邊的垂線上，

同理可得點P在其他邊的垂線上，進而得到點P為A4BC的垂心，進而得到答案.

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【解答】

解：因為I函I=I而I=I芯所以點。到三角形的三個頂點的距離相等，

所以點。為△ABC的外心；

由何+而+配=b，得福+而=一配=前，

由中線的性質可知點N在AB邊的中線上，

同理可得點N在其他邊的中線上，

所以點N為△4BC的重心；

由方-~PB=~PB-~PC=~PC-~PA，

得同-~PB-PC=PB(PA-PC)=7B-CA=O,

則點尸在AC邊的垂線上，同理可得點尸在其他邊的垂線上，

所以點尸為AABC的垂心.

故選C.

6.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查復數代數形式的乘除運算，考查復數的基本概念，考查復數模的求法，復數的

幾何意義，復數共軟復數，是基礎題.

利用復數代數形式的乘除運算化簡，然后逐一核對四個選項得答案.

【解答】

解：復數z=^=需篙=i(l+i)=—l+i，

故Z的實部為—1,A錯誤；

怙|=J(-4)2+12=a,B正確；

z=—1-i,C錯誤；

z對應的點(一1,1)在第二象限，。錯誤.

故選B.

7.【答案】C

【解析】解：對于①，例如：3,3,3,3,4,4,4,4,1,2,5,有兩個眾數，

???一組數據不可能有兩個眾數不正確，.?.①錯誤；

對于②，一組數據的方差不一定是正數，也可能為零，.?.②不正確：

對于③，有方差的計算公式52=；[（與-7）2+。2-1）2+-+（如一￡）2],一組數據

中的每一個數據都加上（或都減去）同一個常數后，它的平均數都加上（或都減去）這一個

常數，兩數進行相減，故方差不變，二③正確；

對于④，小長方形的長為組距，高為黑，所以小長方形的面積為：組距X^=頻率,

④正確；

故選：C.

舉例判斷①的正誤；數據的方差可能是。判斷②的正誤;利用方差關系判斷③的正誤；

頻率分布直方圖判斷④的正誤；

本題考查命題真假的判斷，方差眾數以及頻率分布直方圖的應用，基本知識的考查.

8.【答案】。

【解析】

【分析】

本題主要考查線面、面面垂直的的判定和性質定理的運用，考查了線面平行的判定和性

質，考查了空間想象能力，屬于中檔題.

對于選項4,根據線面垂直的判定定理和性質即可排除，

B選項，假設若平面P4B，平面PBC,根據面面垂直的性質進一步得出BCJ.AB,這與

底面是正六邊形不符，所以3不正確；

C選項，假設直線BC〃平面PAE,根據線面平行的性質得出BC〃4E,與已知矛盾，故

排除，

。選項，CD1PA,CD1AC,進而可證直線CD_L平面PAC,進而得出結果.

【解答】解：因為AO與PB在平面ABC內的射影AB不垂直，

所以A不正確；

過點A作PB的垂線，垂足為H,

第12頁，共28頁

p

若平面P4B1平面PBC,易證AH1平面PBC,

又BCu平面PBC,

所以4H1BC,

又PAIBC,PA.AH是平面尸48內相交直線，

所以BC1平面PAB,

乂ABu平面PAB,

則BCL4B,這與底面是正六邊形不符，所以8不正確；

若直線8C//平面尸4E,BCc5]2?ABCDEF,^-^ABCDEF=AE,

則BC〃4E,但8c與AE相交,

所以C不正確.

在。中，因為P4J■平面ABC,CDu平面A8C,

所以CD1PA,

設4B=1,則AC=2,

在△4BC中，AC=V1+1-2X1Xlcosl20°=V3>

所以=4。2,所以co_LAC,

又24C\AC=A,PA.ACu平面PAC,

所以直線CD1平面PAC,故。正確.

故選D.

9.【答案】AC

【解析】

【分析】

本題考查了平面向量的坐標運算，平面向量共線的充要條件和向量的幾何運用，屬于中

檔題.

建立平面直角坐標系，利用平面向量的坐標運算和平面向量共線的充要條件得0（0,?）,

再利用平面向量的坐標運算，逐項計算得結論.

【解答】

解：因為A/IBC是邊長為2的等邊三角形，

E是AB的中點，所以荏=說，

所以以E為坐標原點，EB為x軸，EC為y軸，建立平面直角坐標系如下圖：

則4（一1,0）,B（l,0）,C（0,V3）.

又因為同=2比，即。為線段AC靠近點C的三等分點，所以竽）.

設0（0,。，則前=6"_手），而說=（$_手），

由。、0、8三點共線得［x（-等）一g（t-雷）=0，

解得t=f,即0（0多，因此。是EC的中點，故A正確.

又因為南=（2,0）,CF=（0,-V3）.

所以超?方=0，故B不正確；

又因為瓦？=（一1,一日），南=（1,一分OC=（0,^）,

所以市+而+小=（0,-y）,

因此|立?+而+對=爭故C正確；

因為麗=（/笫），

第14頁，共28頁

所以I尻I=手，故。不正確.

故選AC.

10.【答案】ACD

【解析】

【分析】

本題考查了直線與平面平行的判定定理與性質定理、直線與平面垂直的判定定理與性質

定理、異面直線所成的角與棱錐的體積公式，屬于中檔題.

選項A,通過作/PBC的中位線找到平面a與與平面尸8c的交線1=直線EF,再根據直

線與平面平行的判定定理即得；

選項B,由4E與。尸相交得出力E與平面PC。相交；

選項C,由〃/AD得直線P4與直線/所成的角即4PA。,在直角三角形中求出cos"8。即

可；

選項。，由PF_L平面AOFE及四邊形4DFE為直角梯形可求出力YDFE，再求出Vp-.BCD，

得到兩個體積的比值，進一步就得到平面a截四棱錐P-4BCD所得上、下兩部分幾何體

的體積之比.

【解答】

解：取PC中點凡連接。F、EF.

A由EF為APBC中位線得EF〃BC,

5LAD//BC,

所以4D〃EF,

所以點A、D、F、E四點共面，

故平面a即平面ADFE,

故交線/即直線EF,由IPAD,ADu平面PAO,得/〃平面PA。，故選

項A正確；

8.由EF〃/1D,EF=%。知四邊形ADFE為梯形，直線4E與直線OF相交，。尸u平面

PCD,

所以直線AE與平面PCD相交，故選項8錯誤；

C.因為所以直線PA與/所成的角即直線PA與直線AZ）所成的角，即"ZD,

易知，4P4D為直角三角形，PD=2,AD=1,

所以P4=y/PD2+AD2=V5.

所以COSNP/W="=:=在，故選項C正確；

PA\/55

D易知，4PDC為等腰直角三角形，由F為底邊PC的中點知。尸1PC,

又易知4。_L平面PCD,PCu平面PCD,

所以4。1PC,

又AD〃EF,

所以EF1PC,

由。尸與EF為平面AOFE內兩相交直線，知PC1平面AOFE,且易得四邊形ADFE為

直角梯形，

故11（5+1）'能_1

Vp-ADFE=qXS^ADFEXPF=-X4---------xV2=->

「114

1!”=qxS長方步xPD=-x1x2x2=-,

所以Vp-ADFEWp-4BCD==3：8,

所以平面a截四棱錐P-4BCD所得上、下兩部分幾何體的體積之比為3:5,故選項。正

確.

故選ACD.

11.【答案】CD

【解析】

【分析】

本題考查分步乘法計數原理，相互獨立事件同時發生的概率及對立事件，分層抽樣及古

典概型的計算，屬于中檔題.

第16頁，共28頁

由題意，根據概率統計的基本知識，逐個選項驗證即可.

【解答】

解：對于A,第一個同學有3種選擇，同理其他的三名學生也都有3種選擇，則不同的

結果有3x3x3x3=81種，故4錯；

對于B,??他們各自解出的概率分別是則此題不能解出的概率為(1一》.(1—3=|,

則此題能解出的概率為14=|,故B錯；

OO

對于C,高級教師應抽取50x20%=10人，故C正確；

對于D,兩位女生和兩位男生站成一排照相，基本事件總數n=4：=24,

兩位女生不相鄰包含的基本事件個數m=禺?用=12,

二兩位女生不相鄰的概率2=々=n=：,故。正確.

故選CD.

12.【答案】AC

【解析】

【分析】

本題主要考查了分段函數的奇偶性、單調性、最值、根的情況，屬于中檔題.

考慮“是否等于零，即可研究奇偶性判斷4和B；將函數寫成分段函數，結合二次函數

研究單調性即可求其最小值、研究根的情況，判斷C和。，即可解答.

【解答】

解：函數f(%)=/+2忱-Q|(aeR)

當a=0時，/(x)=%2+2|x|,/(—%)=(―%)2+2|—%|=7+2|%|=f(%)為偶函數，

故A正確

當QHO時，由/(a)=Q?J(_Q)=+4|Q|,則/(a)+/(-a)=2小+4］回。函數

不可能為奇函數，故8錯誤；

〃、2Ioi?fx2+2%—2a,x>a+l)2-1—2a,x>a

f(x)=x+2…l=—x+2a,…=Q—1)2—i+2a,…

當-l<a<l時，xNa時，函數單調遞增，所以最小值為/'(a)=a?,x<a時，函數

單調遞減，所以分f(x)>/(a)=a2,

所以函數的最小值為/(a)=a2,故C正確；

若-l<a<l時，函數在(一8,a)上遞減，在(a,+8)上遞增，方程f(x)-巾=0最多有

2個根，

若aw-1時，函數在(一8,—1)上遞減，在(—1,+8)上遞增，方程f(x)—TH=0最多有2

個根，

若a>1時，函數在(-8,1)上遞減,在(1,+8)上遞增，方程/(X)-m=0最多有2個根，

所以方程/(》)-皿=0不可能有三個實數根，。錯誤.

故選AC.

13.【答案】BC

【解析】

【分析】

本題考查正余弦函數的性質，考查奇函數的判定，考查函數圖象的對稱性，考查函數函

數單調性及函數單調區間，涉及到導數在研究單調性中的應用，同角三角函數關系式,

誘導公式等，屬于較難題.

用特殊值法可判斷4根據(x)的圖象都關于直線x=3對稱，必有/")結合

誘導公式可判斷B;n=3時，通過求導判斷出函數在[0,：)上單調遞減，在《，外上單調

遞增，得到在此區間上函數最小值，可判斷C;n=4時，通過同角三角函數關系式及二

倍角公式得到f(x)=；cos4%+；,求得此函數的遞增區間，對比可判斷江

【解答】

解：取九=1,則f(%)=sin%+cosx,從而/'(TT)+/(—兀)=-2H0,此時/'(%)不是奇

函數，則4錯誤；

因為/d一％)=,in"(]—%)+c°s，(1—%)=cosnx+sir1nx=/(%),

所以/(%)的圖象關于直線x=?對稱，則8正確；

當n=3時，/(久)=Ssir^xcosx-3cos2xsinx=3sinxcosx(sinx—cos%),

當％6[0,9時，f(x)<0；當圖時，f(x)>0,

所以/(x)在[0,力上單調遞減，在《昌上單調遞增，

所以/⑸的最小值為/g)=(S'+(9=爭故C正確；

當三=4時,/(%)=sin4%+cos4%

1

=(sin2x+cos2%)2—2sin2xcos2x=1--sin22x

y1-cos4x1,3

=1--------=-cos4Ax+

444

令2A:?r-7rW4XW2k?r,k€Z,

第18頁，共28頁

2-rjZQTTk?rkrr.—

解得：一1—(x4k€Z,

則/(x)的遞增區間為卜?+?,(k6Z),則。錯誤.

故選BC.

14.【答案】-2

【解析】

【分析】

此題考查對數函數的性質及對數運算，考查反函數的性質.

由已知點(4,2)和點C，m)均在函數圖象上，由此列式即可完成求解血

【解答】

解：點P(4,2)在函數f(x)=logM的圖象上，

則10ga4=2,

解得Q=2,

所以/(%)=log2X，

點在f(x)的反函數圖象上，

則點(；,在函數/(x)圖象上，

所以zn=log2；--2.

故答案為-2.

15.【答案】[2,2V1)U[2近，2遍).

【解析】

【分析】

本題考查向量的數量積和向量模以及向量的幾何意義，屬于中檔題.

利用向量線性運算結合數量積求出最值即可得出取值范圍.

【解答】

解:(c-a)-(c-K)=[(A-1)a+3AK]-[(3A-1)K+Aa]

=92(2-1)+3A(3A-1)+[(A-1)(32-1)+3A2]-3cos0

=(18"-124)+(18A2-122+3)cos0=0,

2H0=cos0W0；?4>0=cosOH-1,

i,-12+12cos02--3cos0cos。

/i+A.=~—,A.A.~~~~

i218+18COS03i218+I8cos06+6cos。

22

IQ-CJI=(4-.)20+31)2=(Ax-A2)(18+18COS0)

42cos0

=(a-Z—~~x)(18+18COS0)=(8-4COS0)e[4,8)U(8,12)

93+3cost/

???|司一百Ie[2,2/)U[2/，2V3).

故答案為[2,2a)U[2&，2V3).

16.【答案】3

更

T

【解析】

【分析】

本題主要考查線面垂直的判定與性質、直線與直線位置關系判定以及二面角的求法.根

據“是△SBC的垂心，作輔助線，連接8修交SC于點O,連CH交SB于點E,連SH

交BC于點、F,利用線面垂直的判定與性質可證明S418C,SBJ.4C,SCA.AB；當”

也是△SBC的重心時，則△SBC為等邊三角形，利用線面垂直的判定與性質可證明AC_L

AB,則△ABC為等腰直角三角形，進而可以得到乙4FS即為所求二面角的平面角，求出

N4FS的正弦值即可.

【解答】

解：如圖，連接2月交SC于點。，連CH交SB于點E,連SH交BC于點F,連4凡

則有BD1SC,CE1SB,SF1BC,

?：S4_L平面ABC,

SA1BC,

又平面SBC,

：.SB1AH,

又；SB1CE,CEC\AH=H,

???SB，平面AHC,

SB1AC,

同理可證SC1AB,

第20頁，共28頁

故三對對棱S4與BC,SB與AC,SC與A8中互相垂直的有3對;

當”也是△SBC的重心時，則△SBC為等邊三角形，

BF=CF,

vS4JL平面ABC,

???SAX.AB,AB=AC,SA1AF,

1??SC1AB,SAr\SC=S,

.-.AB1平面SAC,

AC1AB,

???△ABC為等腰直角三角形，

■■■AF1.BC,AF=BF=CF,

乙4FS即為所求二面角的平面角，

設BC=2x,則SF=gx,BF=AF=x,

在Rt△AFS中，SA=>/SF2-AF2=岳,

..SA>f2xV6

sin乙AAFS=——=-F=-=——，

SFV3x3

故答案為3；紋

3

17.【答案】

6876

【解析】

【分析】

本題主要考查了函數模型的應用，對數運算及利用對數函數的單調性解不等式，屬于一

般題.

把7=5730代入N=N。.2-磊可得每經過5730年衰減為原來的也再令2蚤>去兩

邊同時取以2為底的對數得即可求得T的取值范圍.

【解答】

解：???生物體內碳14的量N與死亡年數f之間的函數關系式為：N=N。.2-磊;

T=5730時，N=No-2T=墨

所以每經過5730年衰減為原來的點

由題意可知2』?>?，

7

兩邊同時取以2為底的對數得kg22V嬴>iog2|,

二>星=螞工_12，

5730lg2Ig2

???T<6876.

,據此推測良渚古城存在的時期距今約在5730年到6876年之間，

故答案為，6876.

18.【答案】解：(1),."(％)=sin?+x)sin?-%)+8si?i%cos%

=-cos2x+@sin2x,

22

=sin(2x+￡),

???燃)=L

⑵由解)=sin(4+3)=l,

而0<4<7T可得：

n

.,nnn即n4

A+-O=~Z,45=w.

3V3

:.sinB+sinC=sinB+sin—B)=-sinB+—cosB=V3sin(^+

v0<B<—,

3

???,VB+?V等,1<sin(B4-^)<1,

.1.sinB+s譏C的最大值為V5.

【解析】本題考查三角函數的恒等變換及化簡求值，著重考查三角函數的輔助角公式的

應用，考查分析與推理能力，屬于中檔題.

(1)利用倍角公式與輔助角公式將/(x)=sin?+x)sinc一x)+V5siMxcosx化為：

f(x)=sin(2x+"即可求得/"(￡)的值；

⑵由A為三角形的內角，/(令=sin(24+5=1可求得A=%從而sinB+sinC=

sinB+sin(y-B),展開后利用三角函數的輔助角公式即可求得sinB+sinC的最大值.

19.【答案】解：(/)由題意得tan/?tanC:,

4

第22頁，共28頁

，2,0<%<4

SQ)=

-^X2+6X-12,4<X<8

3%,0<%<4

依)=

--2%+6,4<%<8'

S(x),、

1

-xO<x<4

8f

1x2-16x+32

,4<x<8

4x+4

當04%<4時/(%)=2單調遞增,

o

???o<F(x)<I，

當44x48時，令t=x+4,8<t<12,

則y=_'T±Z=TT)+6，

,??y=-；?+手)+6在［8,477］上單調遞增，在［4近,12］上單調遞減,

二當t=4夕時，ymax=6-2V7.

???6-2V7>|,

「(Mmax=6-2\/7.

【解析】本題考查分段函數模型的應用，涉及分段函數的最值，對勾函數的單調性，屬

于中檔題.

(/)根據實際意義，分段寫出即可；

(〃)分段考察單調性，并求得各段上的最大值，然后比較可得，注意對勾函數的單調性

的應用.

2。.【答案】⑴根據頻率分布直方表，可得｛溫；搬罄葭黑常竇,

解得a=350,b=0.30,

頻率分布直方圖，如圖所示:

(2)該組數據的平均數：%=2.5x0.05+7.5x0.35+12.5x0.3+17.5x0.2+22.5x

0.1=12.25,

由題圖可知，中位數應在10至15之間，設中位數為x,

則0.05+0.35+0-10)x0.06=0.5,解得x*11.67,故中位數的估計值為11.67.

(3)由(1)中頻率分布直方圖知，第四組，第五組的頻率之比為2:1,

所以從第4,5組中用分層抽樣的方法抽取6人中第4,5組抽取的人數分別為4,2,

第4組的4人設為A2>A3,4第5組的2人，設為B],B2,

則從該6人中選出2人的基本事件有4力2，&&，&心，ArB2,A2A3,A2A4,

^2^19^2^2r^3^4*A3B1,A3B2，A4B1,A4B2,B1B2,共15種，

都是第4組的基本事件有H4,AtA3,AtA4,A2A3,A2A4,A3A4,共6種，

所以至少有一人是5組的概率p=1-卷=V.

【解析】本題考查統計數表，頻率分布直方圖，數字特征以及分層抽樣與古典概型，屬

于中檔題.

(1)立足題中統計數表先結合頻率以及頻數得到關于m匕的方程并求解，然后容易得到

頻率分布直方圖；

(2)結合(1)中頻率分布直方圖先求得平均數，然后依據題意可得中位數應在10至15之

間，設中位數為x,利用中位數的定義得到關于x的方程0.05+0.35+(X-10)x0.06=

0.5并進行求解即可得到結果；

(3)結合(1)中頻率分布直方圖運用分層抽樣方法先確定從第4,5組抽取的人數分別為4,

第24頁，共28頁

2,令第4組的4人設為a，A2,A3,4第5組的2人，設為當，B2,然后用窮舉法列

舉從這6人中任意抽取2人的不同組合，然后找出滿足題意的不同組合情況數，最后運

用古典概型概率計算公式即可得到結果.

21.【答案】解：(1)設2=，+由?4€/?),

則z?=(c+di)2=c2—d2+2cdi=3+4i,

c2—d2=3,解得｛二:二河滑(舍去》

,2cd=4,

Az=—2—i.

1+z-1-i1+i(1+i)2

(II)z=-24-i,

?,1+3-1+i1-i2

...(l+z)2019-j2019_j2016+3_1504x4+3_(j4)504.)3=_j,

???|a-i|=yja2+1=2,

a=+V3-

【解析】本題考查復數的四則運算，復數的代數表示及其幾何意義，共朝復數，復數的

模，屬于中檔題.

(1)設2=。+由?,46/?),代入z2=3+4i,利用復數相等求出c,d,即可得解；

(口)由(I)求出共軌復數，根據復數的四則運算，結合復數的模的公式，得到關于。的

方程，解之即可.

22.【答案】解：(1)由函數f(x)=電(10，+1)-：％,g(x)=攀,

可得f(X)和g(x)的定義域均為R；

1

v/(-%)=ig(io-x+1)+2%

111+10%1

=峋而+1)+于=聯10X)+2X

=lg(l+10x)-lglOx+|x=lg(l+10*)=/(x),

=f(x)，則/(x)是偶函數；

???函數g(x)是奇函數，g(x)的定義域為R；

??g(0)=0,即-^―=0>