專題18轉化的數學思想在壓軸題中的應用轉化思想在數學壓軸題中應用比較廣泛，例如在幾何壓軸題中，多應用轉化思想，具體表現為利用平移、旋轉、翻折、全等等圖形變換或者等量變換將未知的問題轉化為已知問題，將復雜的問題轉化為簡單的問題。 （2022·山東煙臺·統考中考真題）(1)【問題呈現】如圖1，△ABC和△ADE都是等邊三角形，連接BD，CE．求證：BD＝CE．(2)【類比探究】如圖2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．連接BD，CE．請直接寫出的值．(3)【拓展提升】如圖3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．連接BD，CE．①求的值；②延長CE交BD于點F，交AB于點G．求sin∠BFC的值．（1）證明△BAD≌△CAE，從而得出結論；（2）證明△BAD∽△CAE，進而得出結果；（3）①先證明△ABC∽△ADE，再證得△CAE∽△BAD，進而得出結果；②在①的基礎上得出∠ACE＝∠ABD，進而∠BFC＝∠BAC，進一步得出結果．【答案】(1)見解析(2)(3)①；②【詳解】（1）證明：∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°，∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE；（2）解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，，∠DAE＝∠BAC＝45°，∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD∽△CAE，；（3）解：①，∠ABC＝∠ADE＝90°，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，，∴∠CAE＝∠BAD，∴△CAE∽△BAD，；②由①得：△CAE∽△BAD，∴∠ACE＝∠ABD，∵∠AGC＝∠BGF，∴∠BFC＝∠BAC，∴sin∠BFC．本題考查了等腰三角形的性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質等知識，解決問題的關鍵是熟練掌握“手拉手”模型及其變形．（2022·山東濰坊·中考真題）【情境再現】甲、乙兩個含角的直角三角尺如圖①放置，甲的直角頂點放在乙斜邊上的高的垂足O處，將甲繞點O順時針旋轉一個銳角到圖②位置．小瑩用作圖軟件Geogebra按圖②作出示意圖，并連接，如圖③所示，交于E，交于F，通過證明，可得．請你證明：．【遷移應用】延長分別交所在直線于點P，D，如圖④，猜想并證明與的位置關系．【拓展延伸】小亮將圖②中的甲、乙換成含角的直角三角尺如圖⑤，按圖⑤作出示意圖，并連接，如圖⑥所示，其他條件不變，請你猜想并證明與的數量關系．證明，即可得出結論；通過，可以求出，得出結論；證明，得出，得出結論；【答案】證明見解析；垂直；【詳解】證明：，，，，，，；遷移應用：，證明：，，，，，，，；拓展延伸：，證明：在中，，在中，，，由上一問題可知，，，，．本題考查旋轉變換，涉及知識點：全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質、銳角三角函數、等角的余角相等，解題關鍵結合圖形靈活應用相關的判定與性質．（2022·廣西貴港·中考真題）已知：點C，D均在直線l的上方，與都是直線l的垂線段，且在的右側，，與相交于點O．(1)如圖1，若連接，則的形狀為______，的值為______；(2)若將沿直線l平移，并以為一邊在直線l的上方作等邊．①如圖2，當與重合時，連接，若，求的長；②如圖3，當時，連接并延長交直線l于點F，連接．求證：．（1）過點C作CH⊥BD于H，可得四邊形ABHC是矩形，即可求得AC=BH，進而可判斷△BCD的形狀，AC、BD都垂直于l，可得△AOC∽△BOD，根據三角形相似的性質即可求解．（2）①過點E作于點H，AC，BD均是直線l的垂線段，可得，根據等邊三角形的性質可得，再利用勾股定理即可求解．②連接，根據，得，即是等邊三角形，把旋轉得，根據30°角所對的直角邊等于斜邊的一般得到，則可得，根據三角形相似的性質即可求證結論．【答案】(1)等腰三角形，(2)①；②見解析【詳解】（1）解：過點C作CH⊥BD于H，如圖所示：∵AC⊥l，DB⊥l，CH⊥BD，∴∠CAB=∠ABD=∠CHB=90°，∴四邊形ABHC是矩形，∴AC=BH，又∵BD=2AC，∴AC=BH=DH，且CH⊥BD，∴的形狀為等腰三角形，∵AC、BD都垂直于l，∴，∴△AOC∽△BOD，，即，，故答案為：等腰三角形，．（2）①過點E作于點H，如圖所示：∵AC，BD均是直線l的垂線段，∴，∵是等邊三角形，且與重合，∴∠EAD=60°，∴，∴，∴在中，，，又∵，，∴，∴，AE=6在中，，又由（1）知，∴，則，∴在中，由勾股定理得：．②連接，如圖3所示：∵，∴，∵由（1）知是等腰三角形，∴是等邊三角形，又∵是等邊三角形，∴繞點D順時針旋轉后與重合，∴，又∵，∴，∴，∴，又，∴，∴，∴．本題考查了矩形的判定及性質、三角形相似的判定及性質、等邊三角形的判定及性質、勾股定理的應用，熟練掌握三角形相似的判定及性質和勾股定理的應用，巧妙借助輔助線是解題的關鍵．1．（2022·山東濟寧·校考二模）如圖1，正方形對角線、交于點，、分別為正方形邊、上的點，交于點，且，為中點．(1)請直接寫出與的數量關系(2)若將繞點旋轉到圖2所示位置時，（1）中的結論是否成立，若成立請證明；若不成立，請說明理由；(3)若，為中點，繞點旋轉過程中，直接寫出點與點的最大距離______．【答案】(1)(2)成立，證明見解析(3)【思路分析】（1）如圖1，連接，由正方形的性質可知，是的中點，，，由可知為的中點，是等腰直角三角形，則，由N為中點，可知和分別為和的中位線，根據中位線的性質可得，，在中，由勾股定理可求得；（2）如圖2，連接，連接、交于點，證明，則，，在中，由三角形內角和求得，則，和分別為和的中位線，根據中位線的性質可得，，在中，由勾股定理可求得；（3）由題意知，，，可知在以為圓心，為半徑的圓上運動，如圖3，由題意知，當、、三點共線時，取最大與最小值，根據二者的差為的直徑計算求解即可．【詳解】（1）解：．如圖1，連接，由正方形的性質得，是的中點，，，∵，∴為的中點，且，∴是等腰直角三角形，∴，，∵N為中點，∴和分別為和的中位線，∴，，，，∴，，在中，由勾股定理得，∴．（2）解：成立．證明如下：如圖2，連接，連接、交于點，由（1）知，，由正方形的性質得，，，∵，，∴，在和中∵，∴，∴，，∴，∴，∵為的中點，N為中點，∴和分別為和的中位線，∴，，，，∴，，在中，由勾股定理得，∴．（3）解：由題意知，，，∴在以為圓心，為半徑的圓上運動，如圖3，由題意知，當、、三點共線時，取最大與最小值，且最大與最小的差為的直徑，∴點M與點C的最大距離和最小距離的差為．故答案為∶2．（2022·湖北省直轄縣級單位·校考一模）如圖1，在中，，過點A作直線，使，過點B作于點N，過點C作于點M．(1)猜想與的數量關系，并說明理由；(2)求證：；(3)如圖2，連接交于點G，若，，求的長．【答案】(1)，理由見解析(2)證明見解析(3)【思路分析】（1）根據直角三角形兩銳角互余得到，再由平角的定義得到，由此即可推出結論；（2）如圖所示，過點C作于D，證明，，再證明四點共圓，得到，進而證明，得到，由此即可證明結論；（3）如圖所示，過點N作于E，過點C作于H，則四邊形是矩形，得到，再由全等三角形的性質和三線合一定理得到，，證明，推出，利用勾股定理求出，證明，求出,，進而求出，則．【詳解】（1）解：，理由如下；∵，即，∴，∴∵，，∴，∴，∴；（2）證明：如圖所示，過點C作于D，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∴四點共圓，∴，又∵，∴，∴，∴；（3）解：如圖所示，過點N作于E，過點C作于H，則四邊形是矩形，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴,，∴，∴．3．（2021·北京·一模）在正方形中，點E在射線上（不與點B、C重合），連接，，將繞點E逆時針旋轉得到，連接．(1)如圖1，點E在邊上．①依題意補全圖1；②若，，求的長；(2)如圖2，點E在邊的延長線上，用等式表示線段，，之間的數量關系，并證明．【答案】(1)①見解析；②(2)，證明見解析【思路分析】（1）①根據題意作圖即可；②過點F作，交的延長線于H，證明得到，，則，在中，利用勾股定理即可求解；（2）過點F作，交的延長線于H，證明得到，，則，和都是等腰直角三角形，由此利用勾股定理求解即可．【詳解】（1）①如圖所示，即為所求；②如圖所示，過點F作，交的延長線于H，∵四邊形是正方形，∴，，∵，∴，，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∴在中，．（2）結論：，理由如下：過點F作，交的延長線于H，∵四邊形是正方形，∴，，∵，∴，，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∴和都是等腰直角三角形，∴，，∵，∴．4．（2021·安徽·統考三模）已知：在中，，，且點，分別在矩形的邊，上．(1)如圖，當點在上時，求證：；(2)如圖，若是的中點，與相交于點，連接，求證：；(3)如圖，若，，分別交于點，，求證：【答案】(1)詳見解析(2)詳見解析(3)詳見解析【思路分析】先用同角的余角相等，判斷出，即可得出結論；先判斷出，得出，，進而判斷出，即可得出結論；先判斷出，，進而判斷出，得出，進而得出，判斷出，即可得出結論．【詳解】（1）證明：四邊形是矩形，，，，，，，在和中，；（2）證明：如圖，延長，相交于，，由知，，，點是的中點，，在和中，，，，，，，；（3）證明：如圖，過點作交的延長線于，，同的方法得，，，，，，，，，，，在中，，，，，，，．5．（2022·江蘇揚州·校考三模）在矩形中，，【問題發現】(1)如圖1，E為邊上的一個點，連接，過點C作的垂線交于點F，試猜想與的數量關系并說明理由．【類比探究】(2)如圖2，G為邊上的一個點，E為邊延長線上的一個點，連接交于點H，過點C作的垂線交于點F，試猜想與的數量關系并說明理由．【拓展延伸】(3)如圖3，點E從點B出發沿射線運動，連接，過點B作的垂線交射線于點F，過點E作的平行線，過點F作的平行線，兩平行線交于點H，連接，在點E的運動的路程中，線段的長度是否存在最小值？若存在，求出線段長度的最小值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，理由見解析(2)，理由見解析(3)存在，長度的最小值為【思路分析】（1）證明，即可得解；（2）過點作的垂線交于點，證明，即可得解；（3）過點作于點，連接，則四邊形是矩形，證明，得出，根據，可得，得出在上運動，當時，最小，進而求得，根據，即可求解．【詳解】（1）解：，理由如下：∵四邊形為矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴；（2）解：，理由如下：過點作的垂線交于點，如圖所示：則四邊形為矩形，∴，∵，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（3）存在，理由如下，如圖，過點作于點，連接，則四邊形是矩形，∵∴四邊形是平行四邊形，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，又，∴，∴，∴在上運動，∴當時，最小，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴當時，，即長度的最小值為．6．（2022·山東濟南·模擬）如圖，已知為的直徑，點為的中點，點在上，連接、、、、與相交于點．(1)求證：；(2)如圖2，過點C作的垂線，分別與，，相交于點F、G、H，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，連接，若，的面積等于3，求的長．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【思路分析】（1）連接，由，推出，由，，推出，，推出；（2）只要證明，即可推出；（3）由，推出，由，推出，是等腰直角三角形，推出，在中，