專題10相似三角形中的基本模型--半角模型相似三角形在中考數學幾何模塊中占據著重要地位。相似三角形與其它知識點結合以綜合題的形式呈現，其變化很多，難度大，是中考的常考題型。如果大家平時注重解題方法，熟練掌握基本解題模型，再遇到該類問題就信心更足了。本專題就半角模型進行梳理及對應試題分析，方便掌握。模型1.半角模型（相似模型）【常見模型及結論】1）半角模型（正方形中的半角相似模型）條件：已知，如圖，在正方形ABCD中，∠EAF的兩邊分別交BC、CD邊于M、N兩點，且∠EAF＝45°結論：如圖1，△AMN∽△AFE且．（思路提示：∠ANM=∠AEF，∠AMN=∠AFE）；圖1圖2結論：如圖2，△MAN∽△MDA，△NAM∽△NBA；結論：如圖3，連接AC，則△AMB∽△AFC，△AND∽△AEC．且；圖3圖4結論：如圖4，△BME∽△AMN∽△DFN.2）半角模型（特殊三角形中的半角相似模型）（1）含45°半角模型圖1圖2條件：如圖1，已知∠BAC＝90°，；結論：①△ABE∽△DAE∽△DCA；②；③（）（2）含60°半角模型條件：如圖1，已知∠BAC＝120°，；結論：①△ABD∽△CAE∽△CBA；②；③（）例1．（2023·山東濟南·九年級期中）如圖，在正方形中，點E、F分別是、邊上的兩點，且，、分別交于M，N．下列結論：①；②平分；③；④．其中正確的結論是（

）A．①②③④ B．①②③ C．①③ D．①②例2．（2023·山東濱州·統考中考模擬）如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，點E、F分別在BC、CD上，若AE=，∠EAF=45°，則AF的長為．例3．（2023·福建龍巖·統考一模）如圖，,,，如果，則的長是(

)．A． B． C． D．例4．（2023·廣東·九年級專題練習）如圖，中，，，點為邊上的點，點為線段上一點，且，，，則的長為．例5．（2023·遼寧沈陽·統考二模）在菱形中，．點，分別在邊，上，且．連接，．（1）如圖1，連接，求證：是等邊三角形；（2）平分交于點．①如圖2，交于點，點是的中點，當時，求的長．②如圖3，是的中點，點是線段上一動點（點與點，點不重合）．當，時，是否存在直線將分成三角形和四邊形兩部分，其中三角形的面積與四邊形的面積比為1∶3．若存在，請直接寫出的值；若不存在，請說明理由．例6．（2023山東九年級期中）如圖，正方形ABCD的對角線相交于點O，點M，N分別是邊BC，CD上的動點（不與點B，C，D重合），AM，AN分別交BD于點E，F，且∠MAN始終保持45°不變．（1）求證：；（2）求證：AF⊥FM；（3）請探索：在∠MAN的旋轉過程中，當∠BAM等于多少度時，∠FMN=∠BAM？寫出你的探索結論，并加以證明．例7．（2022·廣東深圳·統考二模）【教材呈現】（1）如圖1，在同一平面內，將兩個全等的等腰直角三角形和擺放在一起，點為公共頂點，，若固定不動，將繞點旋轉，邊，與邊分別交于點，（點不與點重合，點不與點重合），則結論是否成立______（填“成立”或“不成立”）；【類比引申】（2）如圖2，在正方形中，為內的一個動角，兩邊分別與，交于點，，且滿足，求證：；【拓展延伸】（3）如圖3，菱形的邊長為，，的兩邊分別與，相交于點，，且滿足，若，則線段的長為______．課后專項訓練1．（2023·廣東深圳·九年級校考階段練習）如圖，在正方形中，點，分別在邊，上，、分別交于點，，連接、，且．下列結論：①，；②；③；④．其中正確結論的個數是（

）A．4 B．3 C．2 D．12．（2022·廣東深圳·統考一模）如圖，正方形ABCD中，E是BC的中點，F在CD上，，連接AE，AF與對角線BD交于點M，N，連接MF，EN．給出結論：①；②；③；④．其中正確的是（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④3．如圖，正方形中，繞點逆時針旋轉到，、分別交對角線于點、，若，則的值為（）A．4 B．6 C．8 D．164．如圖，菱形的邊長為4，，分別是，邊上的動點，，，則下列結論：①；②為等邊三角形；③；④若，則．其中正確個數為（）A．4 B．3 C．2 D．15．（2023·浙江紹興·校聯考三模）矩形中，，，連接，E，F分別在邊，上，連接，分別交于點M，N，若，，則的長為．

6．（2023·成都市·九年級專題練習）如圖，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜邊BC上兩點，且∠DAE＝45°，將△ADC繞點A順時針旋轉90°后，得到△AFB，連接EF，下列結論：①△AED≌△AEF；②；③△ABC的面積等于四邊形AFBD的面積；④BE2+DC2＝DE2；⑤BE＝EF﹣DC；其中正確的選項是（填序號）7．（2023·上海寶山·校考一模）如圖，在△ABC中，AB=AC，點D、E在邊BC上，∠DAE=∠B=30°，且，那么的值是．8．（2023春·遼寧沈陽·八年級統考期中）通過類比聯想、引申拓展研究典型題目，可達到解一題知一類的目的下面是一個案例，請補充完整．原題：如圖，點，分別在正方形的邊，上，，連接，則，試說明理由．(1)思路梳理，把繞點A逆時針旋轉至，可使與重合.，點，，共線根據______從“，，，”中選擇填寫，易證______，得．(2)類比引申如圖，四邊形中，，，點，分別在邊，上，若，都不是直角，則當與滿足等量關系______時，仍有．(3)聯想拓展如圖，在中，，，點，均在邊上，且猜想，，應滿足的等量關系，并寫出推理過程．(4)思維深化如圖，在中，，，點，均在直線上，點在點的左邊，且，當，時，直接寫出的長．9．（2023·陜西西安·九年級校考期中）問題研究，如圖，在等腰中，，點、為底邊上的兩個動點（不與、重合），且．（1）請在圖中找出一個與相似的三角形，這個三角形是__________；（2）若，分別過點、作、的垂線，垂足分別為、，且、的反向延長線交于點，若，求四邊形的面積；問題解決（3）如圖所示，有一個矩形倉庫，其中米，米，現計劃在倉庫的內部的、兩處分別安裝監控攝像頭，其中點在邊上，點在邊上．設計要求且，則的長應為多少米？10．（2023·陜西漢中·九年級統考期末）如圖，中，，，點為邊上一點．(1)如圖1，若，．①求證：；②若，求的值．(2)如圖2，點為線段上一點，且，，，求的長．11．（2023·遼寧沈陽·九年級統考期末）【教材呈現】（1）如圖1，在同一平面內，將兩個全等的等腰直角三角形ABC和AFG擺放在一起，A為公共頂點，∠BAC＝∠G＝90°，BC＝6，若△ABC固定不動，將△AFG繞點A旋轉，邊AF、AG與邊BC分別交于點D，E（點D不與點B重合，點E不與點C重合）①求證：AE2＝DE?BE；②求BE?CD的值；【拓展探究】（2）如圖2，在△ABC中，∠C＝90°，點D，E在邊BC上，∠B＝∠DAE＝30°，且，請直接寫出的值．12．（2022秋·廣東·九年級深圳市福田區北環中學校考期中）如圖①，在正方形ABCD中，點N、M分別在邊BC、CD上，連接AM、AN、MN．∠MAN＝45°，將△AMD繞點A順時針旋轉90°，點D與點B重合，得到△ABE．易證：△ANM≌△ANE，從而得DM＋BN＝MN．【實踐探究】(1)在圖①條件下，若CN＝6，CM＝8，則正方形ABCD的邊長是______．(2)如圖②，點M、N分別在邊CD、AB上，且BN＝DM．點E、F分別在BM、DN上，∠EAF＝45°，連接EF，猜想三條線段EF、BE、DF之間滿足的數量關系，并說明理由．(3)【拓展應用】如圖③，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，點M、N分別在邊DC、BC上，連接AM，AN，已知∠MAN＝45°，BN＝2，求DM的長．13．（2023春·江蘇·八年級專題練習）問題背景：如圖1，在正方形中，點分別在邊上，，求證：．洋洋同學給出了部分證明過程，請你接著完成剩余的證明過程．證明：延長到點使，連接，正方形，，在和中，遷移應用：如圖2，在正方形中，交于點，若，，求的長．聯系拓展：如圖3，在矩形中，點分別在邊上，，若，探究與的數量關系，并給出證明．14．（2023·浙江杭州·九年級期中）已知正方形的邊長為4，一個以點A為頂點的45°角繞點A旋轉，角的兩邊分別與邊、的延長線交于點E、F，連接．設．（1）如圖1，當被對角線平分時，求a、b的值；（2）當是直角三角形時，求a、b的值；（3）如圖3，探索繞點A旋轉的過程中，的面積是否發生變化？請說明理由．15．（2023·內蒙古赤峰·統考中考真題）數學興