立體幾何第七

章第39講空間幾何體的三視圖、直觀圖、表面積和體積考綱要求考情分析命題趨勢1.認識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結構特征，并能運用這些特征描述現實生活中簡單物體的結構．2．能畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡單組合)的三視圖，能識別上述三視圖所表示的立體模型，會用斜二測畫法畫出它們的直觀圖．3．會用平行投影方法畫出簡單空間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式．4．了解球、棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積的計算公式.2017·江蘇卷，182016·全國卷Ⅰ，32016·四川卷，132016·全國卷Ⅱ，62016·全國卷Ⅲ，92016·山東卷，5空間幾何體的結構特征、三視圖、直觀圖、表面積和體積在高考中每年都會考查，主要考查幾何體的三視圖及已知幾何體的三視圖求幾何體的表面積和體積.分值：5分板塊一板塊二板塊三欄目導航1．空間幾何體的結構特征(1)多面體的結構特征多面體結構特征棱柱有兩個面_______，其余各面都是四邊形且每相鄰兩個面的交線都平行且相等棱錐有一個面是多邊形，而其余各面都是有一個____________的三角形棱臺棱錐被平行于________的平面所截，截面和底面之間的部分叫做棱臺.平行公共頂點底面(2)旋轉體的形成幾何體旋轉圖形旋轉軸圓柱矩形矩形一邊所在的直線圓錐直角三角形一直角邊所在的直線圓臺直角梯形或等腰梯形直角腰所在的直線或等腰梯形上下底中點連線球半圓或圓直徑所在的直線2．空間幾何體的三視圖(1)三視圖的名稱幾何體的三視圖包括：____________、____________、____________.(2)三視圖的畫法①在畫三視圖時，重疊的線只畫一條，擋住的線要畫成____________.②三視圖的正視圖、側視圖、俯視圖分別是從幾何體的____________方、____________方、____________方觀察幾何體的正投影圖．正視圖側視圖俯視圖虛線正前正左正上3．空間幾何體的直觀圖空間幾何體的直觀圖常用____________畫法來畫，其規則是：(1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸，y′軸的夾角為____________，z′軸與x′軸和y′軸所在平面_________.(2)原圖形中平行于坐標軸的線段，直觀圖中仍分別_______________；平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度_______；平行于y軸的線段在直觀圖中長度為____________.斜二測45°或135°垂直平行于坐標軸不變原來的一半4．空間幾何體的表面積與體積Sh

1．思維辨析(在括號內打“√”或“×”)．(1)底面是正方形的四棱柱為正四棱柱．(

)(2)有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐．(

)(3)夾在圓柱的兩個平行截面間的幾何體還是圓柱．(

)(4)用斜二測畫法畫水平放置的∠A時，若∠A的兩邊分別平行于x軸和y軸，且∠A＝90°，則在直觀圖中，∠A＝45°.(

)(5)正方體、球、圓錐各自的三視圖中，三視圖均相同．(

)×××××解析

(1)錯誤．因為側棱不一定與底面垂直．(2)錯誤．盡管幾何體滿足了一個面是多邊形，其余各面都是三角形，但不能保證各三角形具有公共頂點．(3)錯誤．因為兩個平行截面不能保證與底面平行．(4)錯誤．∠A應為45°或135°.(5)錯誤．正方體的三視圖由于正視的方向不同，其三視圖的形狀可能不同，圓錐的側視圖與俯視圖顯然不相同．2．用任意一個平面截一個幾何體，各個截面都是圓面，則這個幾何體一定是(

)A．圓柱

B．圓錐C．球體

D．圓柱、圓錐、球體的組合體解析

當用過高線的平面截圓柱和圓錐時，截面分別為矩形和三角形，只有球滿足任意截面都是圓面．C3．(2017·全國卷Ⅲ)如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為(

)A．90π

B．63πC．42π

D．36πB4．表面積為3π的圓錐，它的側面展開圖是一個半圓，則該圓錐的底面直徑為_______.解析

設圓錐的母線為l，圓錐底面半徑為r，則πrl＋πr2＝3π，πl＝2πr，解得r＝1，即直徑為2.25．某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖的等腰三角形腰長為2，側視圖是半徑為1的半圓，則該幾何體的表面積是____________.(1)三視圖中，正視圖和側視圖一樣高，正視圖和俯視圖一樣長，側視圖和俯視圖一樣寬，即“長對正，寬相等，高平齊”．(2)解決有關“斜二測畫法”問題時，一般在已知圖形中建立直角坐標系，盡量運用圖形中原有的垂直直線或圖形的對稱軸為坐標軸，圖形的對稱中心為原點，注意兩個圖形中關鍵線段長度的關系．一空間幾何體的三視圖和直觀圖【例1】

(1)一幾何體的直觀圖如圖，下列給出的四個俯視圖中正確的是(

)B(2)用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形的直觀圖為如圖所示的一個正方形，則原來的圖形是(

)A(3)已知三棱錐的俯視圖與側視圖如圖所示，俯視圖是邊長為2的正三角形，側視圖是有一條直角邊為2的直角三角形，則該三棱錐的正視圖可能是(

)C二空間幾何體的表面積和體積(1)以三視圖為載體的幾何體的表面積問題，關鍵是分析三視圖確定幾何體中各元素之間的位置關系及數量．(2)多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理．旋轉體的表面積問題注意其側面展開圖的應用．(3)若所給定的幾何體是柱體、錐體或臺體等規則幾何體，則可直接利用公式進行求解．其中，等積轉換法多用來求三棱錐的體積．(4)若所給定的幾何體是不規則幾何體，則將不規則的幾何體通過分割或補形轉化為規則幾何體，再利用公式求解．(5)若以三視圖的形式給出幾何體，則應先根據三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據條件求解．B

B

三與球有關的切、接問題B

(2)(2017·全國卷Ⅰ)如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D，E，F為圓O上的點，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形．沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱錐．當△ABC的邊長變化時，所得三棱錐體積(單位：cm3)的最大值為________.1．(2017·全國卷Ⅰ)某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長2，俯視圖為等腰直角三角形．該多面體的各個面中有若干個是梯形，這些梯形的面積之和為(

)A．10

B．12C．14

D．16B2．若幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的表面積為(

)A．34π

B．35π

C．36π

D．17π解析

由幾何體的三視圖知它的底面是正方形且有一側棱垂直于底面的四棱錐，可把它補成一個長、寬、高分別為3,3,4的長方體，該長方體的外接球即為原四棱錐的外接球，所以4R2＝32＋32＋42＝18＋16＝34(其中R為外接球的半徑)，外接球表面積為S＝4πR2＝34π，故選A．A3．已知點E，F，G分別是正方體ABCD－A1B1C1D1的棱AA1，CC1，DD1的中點，點M，N，Q，P分別在線段DF，AG，BE，C1B1上．以M，N，Q，P為頂點的三棱錐P－MNQ的俯視圖不可能是(

)C解析

當M與F重合、N與G重合、Q與E重合、P與B1重合時，三棱錐P－MNQ的俯視圖為A；當M，N，Q，P是所在線段的中點時，三棱錐P－MNQ的俯視圖為B；當M，N，Q，P位于所在線段的非端點位置時，存在三棱錐P－MNQ，使其俯視圖為D，故選C．錯因分析：