第三部分函數專題09二次函數的圖象與性質（6大考點）核心考點核心考點一二次函數的圖象與性質核心考點二與二次函數圖象有關的判斷核心考點三與系數a、b、c有關的判斷核心考點四二次函數與一元二次方程的關系核心考點五二次函數圖象與性質綜合應用核心考點六二次函數圖象的變換新題速遞核心考點一二次函數的圖象與性質例1（2022·浙江寧波·統考中考真題）點A（m1，y1），B（m，y2）都在二次函數y=（x1）2+n的圖象上．若y1＜y2，則m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據y1＜y2列出關于m的不等式即可解得答案．【詳解】解：∵點A（m1，y1），B（m，y2）都在二次函數y=（x1）2+n的圖象上，∴y1=（m11）2+n=（m2）2+n，y2=（m1）2+n，∵y1＜y2，∴（m2）2+n＜（m1）2+n，∴（m2）2（m1）2＜0，即2m+3＜0，∴m＞，故選：B．【點睛】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征，解題的關鍵是根據已知列出關于m的不等式．例2（2021·江蘇常州·統考中考真題）已知二次函數，當時，y隨x增大而增大，則實數a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據二次函數的性質，可知二次函數的開口向上，進而即可求解．【詳解】∵二次函數的對稱軸為y軸，當時，y隨x增大而增大，∴二次函數的圖像開口向上，∴a1＞0，即：，故選B．【點睛】本題主要考查二次函數的性質，掌握二次函數的開口方向與二次項系數的關系，是解題的關鍵．例3（2022·江蘇徐州·統考中考真題）若二次函數的圖象上有且只有三個點到x軸的距離等于m，則m的值為________．【答案】4【分析】由拋物線解析式可得拋物線對稱軸為直線x=1，頂點為（1，4），由圖象上恰好只有三個點到x軸的距離為m可得m=4．【詳解】解：∵，∴拋物線開口向上，拋物線對稱軸為直線x=1，頂點為（1，4），∴頂點到x軸的距離為4，∵函數圖象有三個點到x軸的距離為m，∴m=4，故答案為：4．【點睛】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征，能夠理解題意是解題的關鍵．知識點：二次函數的概念及表達式1.一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）的函數，叫做二次函數．2.二次函數解析式的三種形式（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c為常數，a≠0）．（2）頂點式：y=a（x–h）2+k（a，h，k為常數，a≠0），頂點坐標是（h，k）．（3）交點式：，其中x1，x2是二次函數與x軸的交點的橫坐標，a≠0．知識點：二次函數的圖象及性質1．二次函數的圖象與性質解析式二次函數y=ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）對稱軸x=–頂點（–，）a的符號a>0a<0圖象開口方向開口向上開口向下最值當x=–時，y最小值=當x=–時，y最大值=最點拋物線有最低點拋物線有最高點增減性當x<–時，y隨x的增大而減小；當x>–時，y隨x的增大而增大當x<–時，y隨x的增大而增大；當x>–時，y隨x的增大而減小【變式1】（2022·浙江寧波·統考二模）如圖，拋物線過點，，頂點在第四象限，記，則P的取值范圍是（

）A． B． C． D．不能確定【答案】B【分析】根據拋物線經過點(1,0)、(0,1)即可得到ab=1，c=1，再根據頂點在第四象限，即可求出a的取值范圍，則P的取值范圍可求．【詳解】∵拋物線過點(1,0)、(0,1)，∴有，且顯然a≠0，∴ab=1，c=1，將拋物線配成頂點式：，∴頂點坐標為：，∵拋物線頂點坐標在第四象限，∴，∵ab=1，∴，解得：，∵P=2ab，ab=1，∴P=2ab=a+ab=a+1，∵，∴，∴，故選：B．【點睛】本題考查了拋物線的圖像和性質，根據拋物線經過的點和頂點在第四象限求出的a的取值范圍是解答本題的關鍵．【變式2】（2022·浙江寧波·統考二模）如圖，拋物線過點，，頂點在第四象限，記，則P的取值范圍是（

）A． B． C． D．不能確定【答案】B【分析】根據拋物線經過點(1,0)、(0,1)即可得到ab=1，c=1，再根據頂點在第四象限，即可求出a的取值范圍，則P的取值范圍可求．【詳解】∵拋物線過點(1,0)、(0,1)，∴有，且顯然a≠0，∴ab=1，c=1，將拋物線配成頂點式：，∴頂點坐標為：，∵拋物線頂點坐標在第四象限，∴，∵ab=1，∴，解得：，∵P=2ab，ab=1，∴P=2ab=a+ab=a+1，∵，∴，∴，故選：B．【點睛】本題考查了拋物線的圖像和性質，根據拋物線經過的點和頂點在第四象限求出的a的取值范圍是解答本題的關鍵．【變式3】（2022·江蘇鹽城·濱海縣第一初級中學校考三模）如圖1，對于平面內的點A、P，如果將線段PA繞點P逆時針旋轉90°得到線段PB，就稱點B是點A關于點P的“放垂點”．如圖2，已知點，點P是y軸上一點，點B是點A關于點P的“放垂點”，連接AB、OB，則OB的最小值是______．【答案】【分析】①當P點縱坐標≥0時，過點B作BC⊥y軸于C，由△BPC≌△PAO可得BC=PO，PC=AO，設OP長度為x由兩點距離公式建立二次函數，再由二次函數的性質求值即可；②當P點縱坐標＜0時，過點B作BC⊥y軸于C，同理可得OB的表達式，再由二次函數的性質求值即可；【詳解】解：①當P點縱坐標≥0時如圖，過點B作BC⊥y軸于C，∠CBP+∠CPB=90°，∠OPA+∠CPB=90°，則∠CBP=∠OPA，由旋轉的性質可得：PB=PA，△BPC和△PAO中：∠PBC=∠APO，∠BCP=∠POA=90°，BP=PA，∴△BPC≌△PAO（AAS），∴BC=PO，PC=AO，設OP長度為x，則PC=AO=4，BC=x，B（x，x+4）∴∵x≥0，∴x=0時OB最小，最小值為4，②當P點縱坐標＜0時，如圖，過點B作BC⊥y軸于C，同理可得△BPC≌△PAO（AAS），BC=PO，PC=AO，設OP長度為x，則PC=AO=4，BC=x，B（x，4x）∴∵x＞0，∴x=2時OB最小，最小值為，綜上所述：OB最小值為，故答案為：；【點睛】本題考查了旋轉的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理，二次函數的性質；根據P點位置分類討論是解題關鍵．【變式4】（2022·吉林長春·校考模擬預測）定義：我們將頂點的橫坐標和縱坐標互為相反數的二次函數稱為“互異二次函數”．如圖，在正方形OABC中，點，點，則互異二次函數與正方形OABC有公共點時m的最大值是__________．【答案】【分析】根據拋物線頂點橫縱坐標的關系得出拋物線頂點的運動軌跡，結合正方形的位置，則可得到當拋物線經過點B時m取最大值，依此列式求解即可．【詳解】解：∵拋物線頂點坐標為,∴拋物線頂點在直線y=x上移動，∵四邊形AOBC為正方形，點A（0，2），點C（2，0），∴點B坐標為，如圖，當拋物線經過點B時，m取最大值，將代入中，則，解得或（舍去），故答案為：．【點睛】本題考查二次函數圖象和性質和圖象平移的特點，解題關鍵是掌握二次函數圖象與系數的關系及圖象平移的特點．【變式5】（2021·湖北隨州·一模）如圖，拋物線與軸交于A，B兩點點B在點A的右側，其頂點為C，點P為線段上一點，且過點P作，分別交拋物線于，兩點點在點的右側，連接，．(1)直接寫出A，B，C三點的坐標；用含，的式子表示(2)猜想線段與之間的數量關系，并證明你的猜想；(3)若，，求的值．【答案】(1)點A，B，C的坐標分別為、、(2)，理由見解析(3)【分析】（1），求出x的值，可得點A，B的坐標，令，求出y的值，可得點C的坐標；（2）根據求出點P的縱坐標，代入解析式，求出點D，E的橫坐標,進而求出DE的長度，再根據點A，B的坐標求出AB的長度，即可得出；（3）當時，求出OP，PC，PD，再通過導角證明，得出，進而得出，代入即可求解．（1）解：對于，令，解得，令，則，故點A，B，C的坐標分別為、、；（2）解：，理由：∵，點C在y軸負半軸，∴，∴，則，故點的坐標為，當時，則，解得，則，由點A，B的坐標得：，∴；（3）解：當時，由知，點的坐標為，點C的坐標為，，∴，，，，∵，∴，又∵，，，∴，即，∴，解得．【點睛】本題主要考查二次函數的圖象和性質，有一定的綜合性，難度適中，第三問利用三角函數或三角形相似均可得出，解題的關鍵是熟練掌握二次函數的圖象及性質．核心考點二與二次函數圖象有關的判斷例1（2021·廣西河池·統考中考真題）點均在拋物線上，下列說法正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D【詳解】解：由圖象，根據二次函數的性質，有A．若，則，原說法錯誤；B．若，則，原說法錯誤；C．若，則，原說法錯誤；D．若，則，原說法正確．故選D．【點睛】本題考查二次函數的圖象和性質．例2（2021·湖南婁底·統考中考真題）用數形結合等思想方法確定二次函數的圖象與反比例函數的圖象的交點的橫坐標所在的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】在同一個直角坐標系中畫出兩個函數的圖象，來判斷出交點橫坐標所在的范圍．【詳解】解：在同一個直角坐標系中畫出兩個函數的圖象，如下圖：由圖知，顯然，當時，將其分別代入與計算得；，，此時反比例函數圖象在二次函數圖象的上方，故選：D．【點睛】本題考查了二次函數和反比例函數的圖象，解題的關鍵是：準確畫出函數的圖象，再通過關鍵點得出答案．例3（2020·廣西貴港·中考真題）如圖，對于拋物線，，，給出下列結論：①這三條拋物線都經過點；②拋物線的對稱軸可由拋物線的對稱軸向右平移1個單位而得到；③這三條拋物線的頂點在同一條直線上；④這三條拋物線與直線的交點中，相鄰兩點之間的距離相等．其中正確結論的序號是_______________．【答案】①②④【分析】根據拋物線圖象性質及配方法解題．【詳解】將分別代入拋物線，，中，可知，這三條拋物線都經過點C，故①正確；拋物線的對稱軸為，拋物線的對稱軸為，可由向右平移1個單位而得到，故②正確；拋物線的頂點為A拋物線的頂點為B拋物線的頂點為C，三條拋物線的頂點不在同一條直線上，故③錯誤；將分別代入三條拋物線，得0或1，0或2，0或3，可知，相鄰兩點之間的距離相等，故④正確，綜上所述，正確的是①②④，故選：①②④．【點睛】本題考查二次函數的性質，其中涉及將一般式化為頂點式等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關知識是解題關鍵．知識點、拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點.②平行于軸(或重合)的直線記作.特別地，軸記作直線.頂點決定拋物線的位置.幾個不同的二次函數，如果二次項系數相同，那么拋物線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點的位置不同.知識點、求拋物線的頂點、對稱軸的方法 (1)公式法：，∴頂點是，對稱軸是直線.(3)運用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是頂點.★用配方法求得的頂點，再用公式法或對稱性進行驗證，才能做到萬無一失★知識點、直線與拋物線的交點(1)軸與拋物線得交點為()(2)與軸平行的直線與拋物線有且只有一個交點(,).(3)拋物線與軸的交點二次函數的圖像與軸的兩個交點的橫坐標、，是對應一元二次方程①有兩個交點拋物線與軸相交；②有一個交點(頂點在軸上)拋物線與軸相切；③沒有交點拋物線與軸相離.(4)平行于軸的直線與拋物線的交點同(3)一樣可能有0個交點、1個交點、2個交點.當有2個交點時，兩交點的縱坐標相等，設縱坐標為，則橫坐標是的兩個實數根.(5)一次函數的圖像與二次函數的圖像的交點，由方程組的解的數目來確定：①方程組有兩組不同的解時與有兩個交點;②方程組只有一組解時與只有一個交點；③方程組無解時與沒有交點.(6)拋物線與軸兩交點之間的距離：若拋物線與軸兩交點為，由于、是方程的兩個根，故【變式1】（2022·四川瀘州·校考模擬預測）二次函數（）的自變量與函數的部分對應值如下表：…01234……83003…則這個函數圖像的頂點坐標是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由圖表數據可知，函數圖像與軸的兩個交點為和，故可知圖像對稱軸為：，即可對照表格得出頂點坐標．【詳解】解：由表可知：當時，；當時，，即函數圖像與軸的兩個交點為和，由此可知：圖像對稱軸為：，對照表格可知：當時，，即頂點為，故選：A．【點睛】本題考查了二次函數的性質，關鍵是將表格數據轉化為點的坐標信息，結合二次函數性質畫出草圖分析．【變式2】（2022·山東日照·校考一模）設，，是拋物線上的三點，則，，的大小關系為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】把點的坐標分別代入拋物線解析式可求得y1，y2，y3的值，比較大小即可．【詳解】解：∵，，是拋物線上的三點，∴，，，∵1＞2＞7，∴，故選：A．【點睛】本題主要考查二次函數圖象上點的坐標特征，掌握函數圖象上點的坐標滿足函數解析式是解題的關鍵．【變式3】（2021·陜西西安·校考模擬預測）在同一坐標系中，二次函數，，的圖象如圖，則，，的大小關系為______（用“”連接）【答案】【分析】拋物線的開口方向和開口大小由的值決定的，系數絕對值越大，開口越小．【詳解】解：∵拋物線開口都向上，∴二次項系數都大于0.二次函數的開口最小，二次函數的開口最大，，故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數y=ax2（a≠0）的性質，是基礎知識，需熟練掌握．熟練掌握拋物線開口大小與|a|有關，|a|越大圖象開口越小，|a|越小圖象開口越大是解答本題的關鍵．【變式4】（2022·廣西·統考二模）如圖，拋物線與x軸的一個交點A在點（2，0）和（1，0）之間（包括這兩點），頂點C是矩形DEFG上（包括邊界和內部）的一個動點，則a的取值范圍是______．【答案】【分析】頂點C是矩形DEFG上（包括邊界和內部）的一個動點，當頂點C與D點重合，可以知道頂點坐標為（1，3）且拋物線過（﹣1，0），則它與x軸的另一個交點為（3，0），由此可求出a；當頂點C與F點重合，頂點坐標為（3，2）且拋物線過（2，0），則它與x軸的另一個交點為（8，0），由此也可求a，然后由此可判斷a的取值范圍．【詳解】頂點C是矩形DEFG上（包括邊界和內部）的一個動點，當頂點C與D點重合，頂點坐標為（1，3），則拋物線解析式y=a（x﹣1）2+3，由，解得﹣≤a≤﹣；當頂點C與F點重合，頂點坐標為（3，2），則拋物線解析式y=a（x﹣3）2+2，由，解得﹣≤a≤﹣；∵頂點可以在矩形內部，∴．故答案為：【點睛】本題考查了二次函數圖象的性質，矩形的性質，二次函數的平移，掌握二次函數的性質是解題的關鍵．【變式5】（2022·河南南陽·統考三模）在平面直角坐標系中，已知拋物線．(1)拋物線的對稱軸為直線_______，拋物線與y軸的交點坐標為_______；(2)若當x滿足時，y的最小值為，求此時y的最大值．【答案】(1)，(2)當時，y的最大值為12，當時，y的最大值為【分析】（1）根據對稱軸的表達式計算求值，再令x=0求得y值即可解答；（2）分兩種情況討論：①當時，拋物線開口向上，可得時y取得最小值，進而可得拋物線解析式，由對稱軸x=2可得，x=5時y取得最大值；②當時，拋物線開口向下，可得可得x=5時y取得最小值，x=2時y取得最大值，計算求值即可；(1)解：拋物線的對稱軸為x=，令x=0，則y=2，∴拋物線與y軸的交點坐標為（0，2）；(2)解：①當時，拋物線開口向上，∴時，y取得最小值，，解得，∴該拋物線的解析式為，∵，拋物線的對稱軸為x=2，∴當時，y取得最大值，；②當時，拋物線開口向下，∵，拋物線的對稱軸為x=2，∴當時，y取得最小值，，解得，∴該拋物線的解析式為，當時，y取得最大值，，綜上所述，當時，y的最大值為12，當時，y的最大值為；【點睛】本題考查了二次函數的解析式，二次函數的對稱性，求二次函數的最值，根據a的正負分類討論是解題關鍵．核心考點三與系數a、b、c有關的判斷例1（2022·湖北黃石·統考中考真題）已知二次函數的部分圖象如圖所示，對稱軸為直線，有以下結論：①；②若t為任意實數，則有；③當圖象經過點時，方程的兩根為，（），則，其中，正確結論的個數是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】利用拋物線開口方向得到a＞0，利用拋物線的對稱軸方程得到，利用拋物線與y軸的交點位置得到c＜0，則可對①進行判斷；利用二次函數當x=1時有最小值可對②進行判斷；由于二次函數與直線y=3的一個交點為（1，3），利用對稱性得到二次函數y=ax2+bx+c與直線y=3的另一個交點為（3，3），從而得到x1=3，x2=1，則可對③進行判斷．【詳解】∵拋物線開口向上，∴，∵拋物線的對稱軸為直線，即，∴，∵拋物線與y軸的交點在x軸下方，∴，∴，所以①正確；∵時，y有最小值，∴（t為任意實數），即，所以②正確；∵圖象經過點時，代入解析式可得，方程可化為，消a可得方程的兩根為，，∵拋物線的對稱軸為直線，∴二次函數與直線的另一個交點為，，代入可得，所以③正確．綜上所述，正確的個數是3．故選D．【點睛】本題考查了二次函數圖象與系數的關系：二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小．當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口；一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置：當a與b同號時，對稱軸在y軸左；當a與b異號時，對稱軸在y軸右．常數項c決定拋物線與y軸交點：拋物線與y軸交于（0，c）．例2（2022·山東日照·統考中考真題）已知二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象如圖所示，對稱軸為，且經過點（1，0）．下列結論：①3a+b=0；②若點，（3，y2）是拋物線上的兩點，則y1<y2；③10b3c=0；④若y≤c，則0≤x≤3．其中正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】由對稱軸為即可判斷①；根據點，（3，y2）到對稱軸的距離即可判斷②；由拋物線經過點（1，0），得出ab+c=0，對稱軸，得出，代入即可判斷③；根據二次函數的性質以及拋物線的對稱性即可判斷④．【詳解】解：∵對稱軸，∴b=3a，∴3a+b=0，①正確；∵拋物線開口向上，點到對稱軸的距離小于點（3，y2）的距離，∴y1<y2，故②正確；∵經過點（1，0），∴ab+c=0，∵對稱軸，∴，∴，∴3c=4b，∴4b3c=0，故③錯誤；∵對稱軸，∴點（0，c）的對稱點為（3，c），∵開口向上，∴y≤c時，0≤x≤3．故④正確；故選：C．【點睛】本題考查了二次函數的性質及二次函數圖象上點的坐標特征，熟知二次函數的性質是解題的關鍵．例3（2021·貴州遵義·統考中考真題）拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數，a＞0）經過（0，0），（4，0）兩點．則下列四個結論正確的有___（填寫序號）．①4a+b＝0；②5a+3b+2c＞0；③若該拋物線y＝ax2+bx+c與直線y＝﹣3有交點，則a的取值范圍是a；④對于a的每一個確定值，如果一元二次方程ax2+bx+c﹣t＝0（t為常數，t≤0）的根為整數，則t的值只有3個．【答案】①③④【分析】將（0，0），（4，0）代入拋物線表達式，求出其解析式，得到系數之間的關系，再分別討論每個問題.【詳解】將（0，0），（4，0）代入拋物線表達式，得：，解得：，∴拋物線解析式為．①，則，故①正確，符合題意；②，又a＞0，∴，故②錯誤，不符合題意；③若該拋物線y＝ax2+bx+c與直線y＝﹣3有交點，則有，即一元二次方程有實數根，則，∵a＞0，∴，解得：，故③正確，符合題意；④如圖，∵一元二次方程ax2+bx+c﹣t＝0（t為常數，t≤0）的根為整數，一元二次方程可化為，即拋物線與直線（t為常數，t≤0）的交點橫坐標為整數，如圖，則橫坐標可為0，1，2，3，4，有3個t滿足．故④正確，滿足題意．故答案為：①③④【點睛】本題主要考查拋物線與坐標軸的交點、各項系數之間的關系、用根的判別式求取值范圍，借助數形結合思想解題是關鍵.知識點、二次函數圖象的特征與a，b，c的關系字母的符號圖象的特征aa>0開口向上a<0開口向下bb=0對稱軸為y軸ab>0（a與b同號）對稱軸在y軸左側ab<0（a與b異號）對稱軸在y軸右側cc=0經過原點c>0與y軸正半軸相交c<0與y軸負半軸相交b2–4acb2–4ac=0與x軸有唯一交點（頂點）b2–4ac>0與x軸有兩個交點b2–4ac<0與x軸沒有交點常用公式及方法：二次函數三種表達式：表達式頂點坐標對稱軸一般式頂點式交點式韋達定理：若二次函數圖象與x軸有兩個交點且交點坐標為（，0）和（，0），則，。賦值法：在二次函數中，令，則；令，則；令，則；令，則；利用圖象上對應點的位置來判斷含有、、的關系式的正確性。【變式1】（2022·遼寧丹東·校考二模）二次函數、、為常數，且的與的部分對應值如下表：（其中）x1nyn有下列結論：；；是關于的一元二次方程的一個根；當時，．其中正確結論的個數為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據表中與的部分對應值畫出拋物線的草圖，由開口方向即可判斷，由對稱軸可得，代入可判斷，根據直線過點、可知直線與拋物線交于點、，即可判斷，根據直線與拋物線在坐標系中位置可判斷．【詳解】解：根據表中與的部分對應值，畫圖如下：由拋物線開口向上，得，故正確；拋物線對稱軸為，即，，則，故正確；直線過點、，直線與拋物線交于點、，即和是方程，即的兩個實數根，故正確；由圖象可知當時，直線位于拋物線上方，，，故錯誤；故選：B．【點睛】本題主要考查二次函數圖象與系數的關系、拋物線與直線交點、一元二次方程的解，根據表中數據畫出二次函數圖象的草圖是解題的前提，熟練掌握拋物線與直線、拋物線與一元二次方程間的關系是解題的關鍵．【變式2】（2022·四川廣安·統考二模）對稱軸為直線的拋物線(為常數，且)如圖所示，小明同學得出了以下結論：①，②，③，④，⑤(為任意實數)，⑥當時，y隨x的增大而增大．其中結論正確的個數為()A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】由拋物線的開口方向判斷的符號，由拋物線與軸的交點判斷的符號，結合對稱軸判斷①，然后根據對稱軸及拋物線與軸交點情況判斷②，根據對稱性求得時的函數值小于0，判斷③；根據時的函數值，結合，代入即可判斷④，根據頂點坐標即可判斷⑤，根據函數圖象即可判斷⑥．【詳解】解：①由圖象可知：，∵對稱軸為直線：，∴，∴，故①錯誤；②∵拋物線與軸有兩個交點，∴，∴，故②正確；③∵對稱軸為直線，則與的函數值相等，∴當時，，故③錯誤；④當時，，∴，故④正確；⑤當時，取到最小值，此時，，而當時，，所以，故，即，故⑤正確，⑥當時，y隨的增大而減小，故⑥錯誤，綜上，正確的是②④⑤共3個，故選：A．【點睛】本題考查了二次函數圖象與系數的關系，二次函數系數符號由拋物線開口方向、對稱軸和拋物線與軸的交點確定．【變式3】（2022·黑龍江大慶·統考二模）二次函數的圖象如圖所示．下列結論：①；②；③m為任意實數，則；④；⑤若且，則．其中正確的有___________【答案】【分析】根據拋物線圖象開口方向得，由拋物線對稱軸為直線，得到，由拋物線與y軸的交點位置得到，據此即可判定①②；根據二次函數的性質知：當時，函數有最大值，據此即可判定③；根據拋物線的對稱性得到拋物線與x軸的另一個交點在的右側，據此即可判定④；把先移項，再分解因式得到，而，則，即，然后把代入計算，即可判定⑤．【詳解】解：∵拋物線圖象開口向下，，∵拋物線對稱軸為直線，，即，所以②正確；∵拋物線與y軸的交點在x軸上方，，，所以①錯誤；∵拋物線對稱軸為直線，∴函數的最大值為，，即，所以③錯誤；∵拋物線與x軸的一個交點在的左側，而對稱軸為直線，∴拋物線與x軸的另一個交點在的右側，∴當時，，，所以④錯誤；，，，，，，即，，，所以⑤正確，綜上所述，正確的有．故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數圖象與系數的關系、二次函數圖象上點的坐標特征，解答本題的關鍵是明確題意，利用二次函數的性質解答．【變式4】（2022·山東泰安·校考二模）如圖所示，已知二次函數的圖象與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，對稱軸為直線．直線與拋物線交于C，D兩點，D點在x軸下方且橫坐標等于3，則下列結論：①；②；③；④的解集為中正確的結論是______（只填寫序號）．【答案】①②④【分析】利用拋物線的對稱性得到拋物線與x軸的另一個交點在點右側，則當時，函數值小于0，于是可對①進行判斷；由對稱軸可得，結合可對②判斷；根據二次函數的性質得到時，二次函數有最大值，則，于是可對③進行判斷；由于直線與拋物線交于C、D兩點，D點在x軸下方且橫坐標等于3，利用函數圖象得在C、D之間，，則可對④進行判斷．【詳解】解：∵拋物線與x軸的一個交點在點左側，而拋物線的對稱軸為直線，∴拋物線與x軸的另一個交點在點右側，∴當時，函數值小于0，即，所以①正確；∵對稱軸為，∴，∴，又，∴，即，所以②正確；∵時，二次函數有最大值，∴，∴，所以③錯誤；∵直線與拋物線交于C、D兩點，D點在x軸下方且橫坐標等于3，由圖象可知，在C、D之間，即時，，∴的解集為，即的解集為，所以④正確．故答案為：①②④．【點睛】本題考查了二次函數與不等式（組）：利用兩個函數圖象在直角坐標系中的上下位置關系求自變量的取值范圍，可作圖利用交點直觀求解．也考查了二次函數圖象與系數的關系．【變式5】（2022·河南·校聯考二模）已知拋物線交軸于，兩點交軸于點．(1)若，．①求該拋物線的解析式及點坐標；②設直線的解析式為，直接寫出不等式的解集；(2)橫、縱坐標都是整數的點叫整點．若，拋物線在點、之間的部分與線段所圍成的區域內（不包含邊界）恰有7個整點，直接寫出的取值范圍．【答案】(1)①，B（3，0）；②x＜0或x＞3；(2)2＜m≤1；【分析】（1）①將A、C點坐標代入函數解析式，求解即可；②根據y=x+1在y=x2+的上方，看圖即可求解；（2）根據拋物線對稱軸是x=1，通過數形結合可得區域內有七個整點分別為（0，1）（1，1）（2，1）（0，2）（1，2）（2，2）（1，3）進而求解；（1）①將A（1，0）C（0，1）代入中，得解得，∴拋物線的解析式為，當y=0時，=0，解得x1=1，x2=3，∴B（3，0）；②把B（3，0）C（0，1）代入到y=kx+b中，得，解得，∴y=x+1，∵不等式，∴y=x+1在的上方，如圖，即x＜0或x＞3；（2）∵=，∴拋物線頂點坐標為（1，4），m＞0時，拋物線開口方向向上，與x軸無交點，不符合題意，m＜0時，拋物線開口方向向下，如圖，當區域內包含整點（0，1）（1，1）（2，1）（0，2）（1，2）（2，2）（1，3）時滿足題意，拋物線與y軸交點（0，m+4）在直線y=2與y=3之間，拋物線與直線x=1交點（1，4m+4）在直線y=1下方，即，解得2＜m≤1．【點睛】本題考查二次函數的綜合應用，解題關鍵是掌握二次函數的性質，通過數形結合求解．核心考點四二次函數與一元二次方程的關系例1（2022·貴州銅仁·統考中考真題）如圖，若拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，若．則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】觀察圖象，先設，，，根據已知條件及證明，得出，利用根與系數的關系知，最后得出答案．【詳解】設，，，∵二次函數的圖象過點，∴，∵，，∴，∴，∴，即，令，根據根與系數的關系知，∴，故故選：A．【點睛】本題考查了二次函數與關于方程之間的相互轉換，同時要將線段的長轉化為點的坐標之間的關系，靈活運用數形結合的思想是解題關鍵．例2（2021·山東日照·統考中考真題）拋物線的對稱軸是直線，其圖象如圖所示．下列結論：①；②；③若和是拋物線上的兩點，則當時，；④拋物線的頂點坐標為，則關于的方程無實數根．其中正確結論的個數是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】①由圖象開口方向，對稱軸位置，與軸交點位置判斷，，符號．②把分別代入函數解析式，結合圖象可得的結果符號為負．③由拋物線開口向上，距離對稱軸距離越遠的點值越大．④由拋物線頂點縱坐標為可得，從而進行判斷無實數根．【詳解】解：①拋物線圖象開口向上，，對稱軸在直線軸左側，，同號，，拋物線與軸交點在軸下方，，，故①正確．②，當時，由圖象可得，當時，，由圖象可得，，即，故②正確．③，，，點，到對稱軸的距離大于點，到對稱軸的距離，，故③錯誤．④拋物線的頂點坐標為，，，無實數根．故④正確，綜上所述，①②④正確，故選：B．【點睛】本題考查二次函數的圖象的性質，解題關鍵是熟練掌握二次函數中，，與函數圖象的關系．例3（2022·內蒙古赤峰·統考中考真題）如圖，拋物線交軸于、兩點，交軸于點，點是拋物線上的點，則點關于直線的對稱點的坐標為_________．【答案】或【分析】先求出A、B、C、D的坐標，再將點代入拋物線的解析式，得出m的值，確定的坐標，再根據點的坐標分情況畫圖求解，即可求出點關于直線的對稱點坐標．【詳解】解：∵拋物線交軸于、兩點，交軸于點，∴當時，，當時，，∴，∴，∴，∵是拋物線上的點，∴，解得，∴當時，，當時，，①當時，此時點與點重合，如圖1，設點關于直線對稱點為，連接，∵點與點關于直線對稱，∴是的垂直平分線，∴，且，∴，∴；②當時，∴軸，∴如圖2，設點關于直線的對稱點為M，連接，∵點關于直線的對稱點為M，∴是的垂直平分線，∴，∴M在y軸上，且△DCM是等腰直角三角形，∴，∴，∴．綜上可得：點關于直線的對稱點的坐標為或．故答案為：或【點睛】本題考查了二次函數的性質，等腰直角三角形的判定與性質，軸對稱的性質，熟練掌握二次函數圖像上的點的坐標特征和軸對稱的性質是解題的關鍵．知識點：二次函數與一元二次方程的關系1．二次函數y=ax2+bx+c（a≠0），當y=0時，就變成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）．2．ax2+bx+c=0（a≠0）的解是拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交點的橫坐標．3．（1）b2–4ac>0?方程有兩個不相等的實數根，拋物線與x軸有兩個交點；（2）b2–4ac=0?方程有兩個相等的實數根，拋物線與x軸有且只有一個交點；（3）b2–4ac<0?方程沒有實數根，拋物線與x軸沒有交點．【變式1】（2022·云南楚雄·云南省楚雄第一中學校考模擬預測）如果關于x的一元二次方程有兩個實數根，且其中一個根為另一個根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”，下列說法：①方程是倍根方程；②若是倍根方程，則或；③若方程是倍根方程，且相異兩點，都在拋物線上，則方程的一個根為2．其中，正確說法的個數是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】①通過解方程得到該方程的根，結合“倍根方程”的定義進行判斷；②通過解方程求得方程的兩個解，結合“倍根方程”的定義來求、的關系；③由方程是倍根方程，得到，由相異兩點，都在拋物線上，通過拋物線對稱軸求得的值．【詳解】①由，得，解得，∵或，∴方程不是倍根方程，故①錯誤；②解方程，得，∵是倍根方程，∴或，即或，故②正確；③∵方程是倍根方程，設，∵相異兩點，，都在拋物線上，∴拋物線的對稱軸，∴，，∴，故③正確，綜上所述，正確的個數是2個，故選：C．【點睛】本題考查了根與系數的關系，根的判別式，反比例函數圖形上點的坐標特征，二次函數圖形上點的坐標特征，正確的理解“倍根方程”的定義是解題的關鍵．【變式2】（2022·浙江舟山·校聯考三模）二次函數圖象與x軸有兩個交點，，關于x的方程有兩個非零實數根，，則下列關系式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】拋物線圖象是由向下平移1個單位所得，作出圖象，結合一元二次方程的根與系數的關系求解即可．【詳解】解：∵圖象是由向下平移1個單位所得，如圖，∴，選項A錯誤，不符合題意，∵∴兩條拋物線對稱軸為均為直線，∴，∴，選項C錯誤，不符合題意．∵二次函數圖象與x軸有兩個交點，，∴的兩個根為，，∴，，方程的，同理可得：，，方程的，∴，，∴，，選項D正確，又∵，，∴，，當時，；當時，；故選項B錯誤，不符合題意．故選：D．【點睛】本題考查拋物線與x軸的交點，解題關鍵是掌握二次函數與方程的關系，將方程問題轉化為圖象交點的問題．解答時注意數形結合的思想．【變式3】（2022·浙江寧波·校考模擬預測）已知關于的方程的兩個根分別是，若點是二次函數的圖象與軸的交點，過作軸交拋物線于另一交點，則的長為_____．【答案】【分析】先利用一元二次方程根與系數的的關系得出，，進而得出，B點的縱坐標為，將點的坐標代入二次函數解析式，解方程求得，進而即可求解．【詳解】解：∵，∴，，∴，∴，令，∴，∵軸，∴軸，∴B點的縱坐標為，把代入，得，解得，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了拋物線的性質、拋物線與x軸的交點以及根與系數的關系，把求二次函數(是常數，)

與x軸的交點坐標問題轉化為解關于x的一元二次方程是解題的關鍵．【變式4】（2022·貴州遵義·統考二模）已知二次函數（a，b，c為常數，）的部分圖像如圖所示，m，是關于x的一元二次方程的兩根，則下列結論正確的有______．（填序號即可）．①②③存在實數x，使得④若時，，則【答案】①②【分析】①對x賦值為1即為ab+c，通過圖像觀察x=1時的函數值對應點的位置即可判斷；②通過對稱軸和函數圖像與x軸的一個交點判斷另一個交點的大致位置即為m的范圍；③要使存在實數x，使得，因為a<0，則方程應有兩個不相等的實數根，即△>0，由對稱軸x=2可得b=4a，列式計算后判斷△即可；④根據當x=2時y>0，當x=3時y<0，b=4a，列不等式計算求出a的解集即可．【詳解】①當x=1時，，通過函數圖像可知，此時函數圖像在x軸上方，即ab+c>0，故①錯誤；②通過函數圖像可知，對稱軸為x=2，函數圖像與x軸的一個交點n的范圍為2<n<3，根據對稱性，另一交點（m，0）與點（n，0）關于x=2對稱，∵2（2）=4，3（2）=5，∴25<m<24即：7<m<6，故②正確；③令y=若存在實數x使函數值大于0，則方程有兩個不相等的實數根，∵由函數圖像可知，，即b=4a∴，方程有兩個相等的實數根，即函數開口向下且與x軸只有一個交點，∴不存在實數x，使得，故③錯誤；④x=0時，y=c=∴由圖像可知，當x=2時y>0，當x=3時y<0，∴由對稱軸x=2得，∴b=4a∴解得∴④錯誤綜上所述，結論正確的有①②，故答案為：①②【點睛】本題考查了二次函數，熟練掌握二次函數的圖像性質及通過函數圖像求參數的關系是解題的關鍵．【變式5】（2022·浙江寧波·校考一模）已知二次函數的圖象經過點，與軸交于點．(1)求該二次函數的解析式；(2)點在該二次函數上．①當時，求的值；②當時，的最小值為，求的取值范圍．【答案】(1)該二次函數的解析式為.(2)①的值為或；②【分析】（1）利用待定系數法求得即可；（2）①把代入，即可求得；②把二次函數解析式化為頂點式，求得函數的最小值為，所以，即．【詳解】（1）設二次函數的解析式為，把點代入得，解得，，該二次函數的解析式為；（2）①時，則，解得，；故的值為或；，當時，函數有最小值，當時，即時，有最小值，故的取值范圍是．【點睛】本題考查了待定系數法求二次函數的解析式，二次函數的性質，二次函數圖象上點的坐標特征，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．核心考點五二次函數圖象與性質綜合應用例1（2022·青海西寧·統考中考真題）如圖，△ABC中，BC=6，BC邊上的高為3，點D，E，F分別在邊BC，AB，AC上，且EF∥BC．設點E到BC的距離為x，△DEF的面積為y，則y關于x的函數圖象大致是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】過點A向BC作AH⊥BC于點H，所以根據相似三角形的性質可求出EF，進而求出函數關系式，由此即可求出答案．【詳解】解：過點A向BC作AH⊥BC于點H，根據相似比可知：，即，解得：EF=2（3x），則△DEF的面積y=×2（3x）x=x2+3x=(x)2+，故y關于x的函數圖象是一個開口向下、頂點坐標為(，)的拋物線．故選：A．【點睛】本題考查了二次函數圖象，主要利用了相似三角形的性質，求出S與x的函數關系式是解題的關鍵．例2（2022·山東濟南·統考中考真題）拋物線與y軸交于點C，過點C作直線l垂直于y軸，將拋物線在y軸右側的部分沿直線l翻折，其余部分保持不變，組成圖形G，點，為圖形G上兩點，若，則m的取值范圍是（

）A．或 B． C． D．【答案】D【分析】求出拋物線的對稱軸、C點坐標以及當x=m1和x=m+1時的函數值，再根據m1＜m+1，判斷出M點在N點左側，此時分類討論：第一種情況，當N點在y軸左側時，第二種情況，當M點在y軸的右側時，第三種情況，當y軸在M、N點之間時，來討論，結合圖像即可求解．【詳解】拋物線解析式變形為：，即拋物線對稱軸為，當x=m1時，有，當x=m+1時，有，設(m1,1)為A點，(m+1,1)為B點，即點A(m1,1)與B(m+1,1)關于拋物線對稱軸對稱，當x=0時，有，∴C點坐標為，當x=m時，有，∴拋物線頂點坐標為，∵直線l⊥y軸，∴直線l為，∵m1＜m+1，∴M點在N點左側，此時分情況討論：第一種情況，當N點在y軸左側時，如圖，由圖可知此時M、N點分別對應A、B點，即有，∴此時不符合題意；第二種情況，當M點在y軸的右側時，如圖，由圖可知此時M、N點滿足，∴此時不符合題意；第三種情況，當y軸在M、N點之間時，如圖，或者，由圖可知此時M、N點滿足，∴此時符合題意；此時由圖可知：，解得，綜上所述：m的取值范圍為：，故選：D．【點睛】本題考查了二次函數的圖像與性質、翻折的性質，注重數形結合是解答本題的關鍵．例3（2022·湖北荊門·統考中考真題）如圖，函數y＝的圖象由拋物線的一部分和一條射線組成，且與直線y＝m（m為常數）相交于三個不同的點A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3）．設t＝，則t的取值范圍是_____．【答案】＜t＜1##0.6<t<1【分析】根據A、B關于對稱軸x＝1對稱，可知x1+x2＝2，由直線y＝m（m為常數）相交于三個不同的點，可得y1＝y2＝y3＝m，求出x3的范圍，進而求出t的范圍．【詳解】解：由二次函數y＝x2﹣2x+3（x＜2）可知：圖象開口向上，對稱軸為x＝1，∴當x＝1時函數有最小值為2，x1+x2＝2，由一次函數y＝﹣x+（x≥2）可知當x＝2時有最大值3，當y＝2時x＝，∵直線y＝m（m為常數）相交于三個不同的點A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3），∴y1＝y2＝y3＝m，2＜m＜3，∴2＜x3＜，∴t＝＝，∴＜t＜1．故填：＜t＜1【點睛】本題考查了二次函數的性質、一次函數的性質、函數值的取值范圍等知識點，熟練掌握各知識點，利用數形結合的思想是解答本題的關鍵．知識點：二次函數的綜合1、函數存在性問題解決二次函數存在點問題，一般先假設該點存在，根據該點所在的直線或拋物線的表達式，設出該點的坐標；然后用該點的坐標表示出與該點有關的線段長或其他點的坐標等；最后結合題干中其他條件列出．2、函數動點問題（1）函數壓軸題主要分為兩大類：一是動點函數圖象問題；二是與動點、存在點、相似等有關的二次函數綜合題．（2）解答動點函數圖象問題，要把問題拆分，分清動點在不同位置運動或不同時間段運動時對應的函數表達式，進而確定函數圖象；解答二次函數綜合題，要把大題拆分，做到大題小做，逐步分析求解，最后匯總成最終答案．（3）解決二次函數動點問題，首先要明確動點在哪條直線或拋物線上運動，運動速度是多少，結合直線或拋物線的表達式設出動點的坐標或表示出與動點有關的線段長度，最后結合題干中與動點有關的條件進行計算．【變式1】（2022·山東淄博·山東省淄博第六中學校考模擬預測）如圖，拋物線與x軸交于點、點B與y軸相交于點，下列結論：①；②B點坐標為；③拋物線的頂點坐標為；④直線與拋物線交于點D、E，若，則h的取值范圍是；⑤在拋物線的對稱軸上存在一點Q，使的周長最小，則Q點坐標為．其中正確的有（

）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】A【分析】①代入點的坐標即可求出參數的值；②函數值為0時，可求出與橫軸的交點坐標；③代入公式即可求出拋物線的頂點坐標；④把帶入后，即可表示出，進而求出h的取值范圍；⑤連接交對稱軸于點Q，此時的周長最小，再列出方程組即可求出Q點坐標．【詳解】解：①∵拋物線與x軸交于點，與y軸相交于點，∴可得：，∴，故①正確；②∵函數函數值為0，∴，∴，∴時，，∴B點坐標為，故②正確；③拋物線的頂點坐標為，故③錯誤；④把帶入后，，解得：，∴h的取值范圍是，故④正確；⑤連接交對稱軸于點Q，此時的周長最小，直線和對稱軸聯立方程組，可得，解得，∴Q點坐標為，故⑤正確．綜上所述，正確的結論為：①②④⑤，共有4個．故選：A【點睛】本題考查二次函數的圖像與性質，難度較大，熟練記憶理解二次函數相關性質和充分利用數形結合思想是解題的關鍵．【變式2】（2022·山東濟南·統考模擬預測）在平面直角坐標系中，已知拋物線與軸的交點為A，過點A作直線垂直于軸．將拋物線在軸左側的部分沿直線翻折，其余部分保持不變，組成圖形．點，為圖形上任意兩點．若對于，，都有，則的取值范圍（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由拋物線解析式可求出其對稱軸為直線，又可用m表示出點M和點N的坐標，且點M和點N關于直線對稱，再分類討論當變化時，軸與點，的相對位置，即可解答．【詳解】解：拋物線的對稱軸為，點，為圖形上任意兩點，，，∴當時，，當時，，，為拋物線上關于對稱軸對稱的兩點．分類討論當變化時，軸與點，的相對位置：如圖，當軸在點左側時含點，經翻折后，得到點，的縱坐標相同，，不符題意；如圖，當軸在點右側時含點，經翻折后，點，的縱坐標相同，，不符題意；如圖，當軸在點，之間時不含，，經翻折后，點在下方，點，重合，在上方，，符合題意．此時，解得：．綜上所述，的取值范圍為．故選D．【點睛】本題主要考查二次函數的圖象和性質，利用分類討論和數形結合的思想是解題關鍵．【變式3】（2022·安徽合肥·合肥38中校考模擬預測）已知拋物線y＝x＋ax＋a（a為常數，a≠0）．（1）若a＝2，則此拋物線的對稱軸為________（2）設M（x1，y1）、N（x2，y2）是拋物線上的兩點，其中x1＜x2，當x1＋x2＞4時，都有y1＜y2，則a的取值范圍是________【答案】

【分析】（1）將a=2代入解析式，然后化為頂點式即可得出結果；（2）由題意點（x1，0），（x2，0）連線的中垂線與x軸的交點的坐標大于2，利用二次函數的性質判斷即可．【詳解】解：（1）當a＝2時，拋物線的解析式為，∴此拋物線的對稱軸為；故答案為：①；（2）拋物線y＝x2＋ax＋a的對稱軸直線為，①當時，y1＜y2恒成立；②當時，y1>y2；③當時，∵拋物線的對稱軸為，若對于x1＋x2＞4，都有y1＜y2，當，且時，拋物線的對稱軸為，∴滿足條件的值為，即．故答案為：②【點睛】本題考查二次函數的性質，二次函數的對稱性等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．【變式4】（2022·山東淄博·統考二模）在平面直角坐標系xOy中，拋物線經過點和．將拋物線在A、B之間的部分記為圖象M（含A、B兩點）．將圖象M沿直線翻折，得到圖象N．若過點的直線與圖象M、圖象N都相交，且只有兩個交點，則b的取值范圍______．【答案】或【分析】把點A、B的坐標代入拋物線解析式，列出關于a、c的方程組，通過解該方程可以求得它們的值．由函數解析式求得頂點坐標，根據題意作出函數圖象，由圖象直接回答問題．【詳解】∵拋物線y=ax2+4x+c（a≠0）經過點A（3，﹣4）和B（0，2），可得：解得：∴拋物線的表達式為y=﹣2x2+4x+2．∵y=﹣2x2+4x+2=﹣2（x﹣1）2+4，∴頂點坐標為（1，4）；設點B（0，2）關于x=3的對稱點為B’，則點B’（6，2）．若直線y=kx+b經過點C（9，4）和B'（6，2），可得b=﹣2．若直線y=kx+b經過點C（9，4）和A（3，﹣4），可得b=﹣8．直線y=kx+b平行x軸時，b=4．綜上，﹣8＜b＜﹣2或b=4．故答案為：﹣8＜b＜﹣2或b=4．【點睛】考查了二次函數圖象與幾何變換，待定系數法求二次函數的解析式．解題時，注意數形結合，使抽象的問題變得具體化．【變式5】（2022·四川德陽·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸分別交于點和點，與軸交于點，連接．(1)求拋物線的解析式及點的坐標；(2)如圖，點為線段上的一個動點（點不與點，重合），過點作軸的平行線交拋物線于點，求線段長度的最大值．(3)動點以每秒個單位長度的速度在線段上由點向點運動，同時動點以每秒個單位長度的速度在線段上由點向點運動，在平面內是否存在點，使得以點，，，為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出符合條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，(2)當時，(3)存在，或或【分析】（1）利用待定系數法求出拋物線解析式，再令，可得，求解即可得點的坐標；（2）由兩點坐標求出直線的解析式，進而設出點的坐標，進而得出結論；（3）要使點，，，為頂點的四邊形是菱形，只需為等腰三角形，所以，或，結合圖形得到答案即可．【詳解】（1）解：由題意，將點、代入，可得，解得，∴，當時，可有，解得，，∴；（2）設直線的解析式為，將點、代入，可得，解得，∴，設點，，∴，∴當時，有；（3）如圖1，∵，，∴，∴，作軸于，∴，當時，∴，∵，∴四邊形為矩形，∴，由得，∴，∴，∴，∴；如圖，當時，作軸于，作軸于，∴，可得四邊形是矩形，∴，∴，∴，∴，∴，∴；如圖，當時，，∴，∴，∴．綜上所述：或或．【點睛】本題主要考查了二次函數的圖像與性質、待定系數法求一次函數和二次函數解析式、等腰三角形的性質和菱形的性質等知識，解題關鍵是熟練掌握先關知識，運用分類討論和數形結合的思想分析問題，并畫出符合條件的圖形．核心考點六二次函數圖象的變換例1（2022·四川巴中·統考中考真題）函數的圖象是由函數的圖象軸上方部分不變，下方部分沿軸向上翻折而成，如圖所示，則下列結論正確的是（

）①；②；

③；④將圖象向上平移1個單位后與直線有3個交點．A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④【答案】D【分析】根據函數圖象與x軸交點的橫坐標求出對稱軸為，進而可得，故①正確；由函數圖象與y軸的交點坐標為（0，3），的圖象軸上方部分不變，下方部分沿軸向上翻折而成可知c＝3，故②錯誤；根據對稱軸求出b＜0，進而可得，故③正確；求出翻折前的二次函數的頂點坐標，然后根據平移的性質可得④正確．【詳解】解：由函數圖象可得：與x軸交點的橫坐標為－1和3，∴對稱軸為，即，∴整理得：，故①正確；∵與y軸的交點坐標為（0，3），可知，開口向上，圖中函數圖象是由原函數下方部分沿軸向上翻折而成，∴c＝3，故②錯誤；∵中a＞0，，∴b＜0，又∵c＝3＜0，∴，故③正確；設拋物線的解析式為，代入（0，3）得：，解得：a＝－1，∴，∴頂點坐標為（1，4），∵點（1，4）向上平移1個單位后的坐標為（1，5），∴將圖象向上平移1個單位后與直線有3個交點，故④正確；故選：D．【點睛】本題考查了二次函數的圖象和性質，掌握二次函數的對稱軸公式，頂點坐標的求法是解題的關鍵．例2（2021·江蘇蘇州·統考中考真題）已知拋物線的對稱軸在軸右側，現將該拋物線先向右平移3個單位長度，再向上平移1個單位長度后，得到的拋物線正好經過坐標原點，則的值是（

）A．或2 B． C．2 D．【答案】B【分析】根據二次函數圖象左加右減，上加下減的平移規律進行解答即可．【詳解】解：函數向右平移3個單位，得：；再向上平移1個單位，得：+1，∵得到的拋物線正好經過坐標原點∴+1即解得：或∵拋物線的對稱軸在軸右側∴＞0∴＜0∴故選：B．【點睛】此題主要考查了函數圖象的平移，要求熟練掌握平移的規律：左加右減，上加下減．例3（2020·湖北武漢·中考真題）拋物線（，，為常數，）經過，兩點，下列四個結論：①一元二次方程的根為，；②若點，在該拋物線上，則；③對于任意實數，總有；④對于的每一個確定值，若一元二次方程（為常數，）的根為整數，則的值只有兩個．其中正確的結論是________（填寫序號）．【答案】①③【分析】①根據二次函數與一元二次方程的聯系即可得；②先點，得出二次函數的對稱軸，再根據二次函數的對稱性與增減性即可得；③先求出二次函數的頂點坐標，再根據二次函數圖象的平移規律即可得；④先將拋物線向下平移個單位長度得到的二次函數解析式為，再根據二次函數與一元二次方程的聯系即可得．【詳解】拋物線經過，兩點一元二次方程的根為，，則結論①正確拋物線的對稱軸為時的函數值與時的函數值相等，即為當時，y隨x的增大而減小又，則結論②錯誤當時，則拋物線的頂點的縱坐標為，且將拋物線向下平移個單位長度得到的二次函數解析式為由二次函數圖象特征可知，的圖象位于x軸的下方，頂點恰好在x軸上即恒成立則對于任意實數，總有，即，結論③正確將拋物線向下平移個單位長度得到的二次函數解析式為函數對應的一元二次方程為，即因此，若一元二次方程的根為整數，則其根只能是或或對應的的值只有三個，則結論④錯誤綜上，結論正確的是①③故答案為：①③．【點睛】本題考查了二次函數的圖象與性質（對稱性、增減性）、二次函數圖象的平移問題、二次函數與一元二次方程的聯系等知識點，熟練掌握并靈活運用二次函數的圖象與性質是解題關鍵．知識點：拋物線的平移1．將拋物線解析式化成頂點式y=a（x–h）2+k，頂點坐標為（h，k）．:2．保持y=ax2的形狀不變，將其頂點平移到（h，k）處，具體平移方法如下：3．注意二次函數平移遵循“左加右減（自變量），上加下減（常數項）”的原則，據此，可以直接由解析式中常數的加或減求出變化后的解析式；二次函數圖象的平移可看作頂點間的平移，可根據頂點之間的平移求出變化后的解析式．知識點、二次函數圖象的對稱二次函數圖象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點式表達1.關于軸對稱關于軸對稱后，得到的解析式是；關于軸對稱后，得到的解析式是；2.關于軸對稱關于軸對稱后，得到的解析式是；關于軸對稱后，得到的解析式是；3.關于原點對稱關于原點對稱后，得到的解析式是；關于原點對稱后，得到的解析式是；4.關于頂點對稱（即：拋物線繞頂點旋轉180°）關于頂點對稱后，得到的解析式是；關于頂點對稱后，得到的解析式是．5.關于點對稱關于點對稱后，得到的解析式是根據對稱的性質，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發生變化，因此永遠不變．求拋物線的對稱拋物線的表達式時，可以依據題意或方便運算的原則，選擇合適的形式，習慣上是先確定原拋物線（或表達式已知的拋物線）的頂點坐標及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點坐標及開口方向，然后再寫出其對稱拋物線的表達式．【變式1】（2022·山東濱州·陽信縣實驗中學校考模擬預測）已知兩條拋物線和的解析式分別是關于與的關系式：：與：．對上述拋物線說法正確的序號是（）①兩條拋物線與軸的交點一定不在軸的上方；②在拋物線、中，可以將其中一條拋物線經過向上或向下平移得到另一條拋物線；③在拋物線、中，可以將其中一條拋物線經過向左或向右平移得到另一條拋物線；④兩條拋物線的頂點之間的距離為1．A．①② B．①③④ C．①②④ D．①②③④【答案】C【分析】①分別求出兩條拋物線與軸交點即可判斷；②根據兩條拋物線的對稱軸相同，可知一條拋物線經過向上或向下平移得到另一條拋物線；③根據兩條拋物線的對稱軸相同，可知兩條拋物線不可能左右平移得到；④配方后，得到頂點坐標，相減即可．【詳解】①拋物線與軸交點為，拋物線與軸交點為，一定不在x軸的上方，故本選項正確；②由于兩拋物線對稱軸相同，均為，可知，其中一條拋物線經過向上或向下平移得到另一條拋物線；故本選項正確；③由于兩拋物線對稱軸相同，兩條拋物線不可能左右平移得到，故本選項錯誤；④拋物線的解析式配方得，；拋物線的解析式配方得，，，故本選項正確．故選：C．【點睛】本題考查了二次函數的圖像與性質，熟練掌握二次函數與軸，軸的交點的求法，圖像的平移，頂點坐標的求法是解本題的關鍵．【變式2】（2022·廣東佛山·校考三模）已知拋物線與軸交于點，將該拋物線平移，使平移后的拋物線經過點，且與軸交于、兩點，其中，點的坐標為．若線段，那么的值為（）A． B．或 C． D．或【答案】D【分析】利用待定系數法求得平移后的拋物線的解析式，令y＝0，求出該拋物線與x軸的交點，并利用點的坐標表示出線段OA，BC的長，根據已知條件列出關于t的方程，解方程即可求得結論．【詳解】解：令，則，，，設平移后的拋物線解析式為，平移后的拋物線經過點，且與軸交于，，解得：，平移后的拋物線解析式為，令，則，解得：，，，．，．當時，解得：，當時，解得：，的值為：或．故選：D．【點睛】本題主要考查了待定系數法確定函數的解析式，拋物線的平移，拋物線上點的坐標的特征，拋物線與x軸的交點，利用點的坐標表示出相應線段的長度是解題的關鍵．【變式3】（2022·安徽合肥·校聯考三模）如圖，拋物線交x軸于點A、B，交y軸于點，其中點B坐標為，同時拋物線還經過點．（1）拋物線的解析式為_____________；（2）設拋物線的對稱軸與拋物線交于點E，與x軸交于點H，連接，將拋物線向下平移n個單位，當平分時，則n的值為_____________．【答案】

或【分析】（1）利用待定系數法求解即可；（2）先求出平移后點E的坐標為，平移后點C的坐標為，再證明，得到，則，據此求解即可．【詳解】解：（1）由題意得，∴，∴拋物線解析式為，故答案為：；（2）∵原拋物線解析式為，∴平移后的拋物線解析式為，∴平移后點E的坐標為，平移后點C的坐標為，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴，∴或，故答案為：或．【點睛】本題主要考查了待定系數法求二次函數解析式，二次函數綜合，勾股定理，等腰三角形的性質與判定，熟知二次函數的相關知識是解題的關鍵．【變式4】（2021·四川樂山·統考三模）對某一個函數給出如下定義：若存在實數M＞0，對于任意的函數值y，都滿足﹣M＜y＜M，在所有滿足條件的M中，其最小值稱為這個函數的邊界值．例如，如圖中的函數是有界函數，其邊界值是1．（1）判斷函數y＝（x＞0）是否為有界函數___（填“是”或“否”）；（2）將函數y＝x2（﹣1≤x≤m，m≥0）的圖象向下平移m個單位，得到的函數的邊界值是t，若≤t≤1則m的取值范圍是___．【答案】

否

0m或m1【分析】（1）在x的取值范圍內，y（x＞0）的y無最大值，不是有界函數；（2）先設m＞1，函數向下平移m個單位后，x＝0時，y＝﹣m＜﹣1，此時邊界值t＞1，與題意不符，故，判斷出函數y＝x2所過的點，結合平移，即可求解．【詳解】解：（1）∵y（x＞0）的y無最大值，∴y（x＞0）不是有界函數，故答案為：否；（2）若m＞1，圖象向下平移m個單位后，x＝0時，y＜﹣m＜﹣1，此時函數的邊界值t＞1，不合題意，故．∴函數y＝x2（，，當x＝﹣1時，ymax＝1，當x＝0時，ymin＝0，∴向下平移m個單位后，ymax＝1﹣m，ymin＝﹣m，∵邊界值t，∴1﹣m或﹣1﹣m，∴0m或m1，故答案為：0m或m1．【點睛】本題考查了反比例函數的性質，二次函數的性質，結合新定義，弄清函數邊界值的定義，熟悉平移變換的性質是解題的關鍵．【變式5】（2023·上海靜安·統考一模）如圖所示，在平面直角坐標系中，拋物線（）與x軸交于點A、B（點A在點B的左側），交y軸于點C，聯結BC，的余切值為，，點P在拋物線上，且.(1)求上述拋物線的表達式；(2)平移上述拋物線，所得新拋物線過點O和點P，新拋物線的對稱軸與x軸交于點E．①求新拋物線的對稱軸；②點F在新拋物線對稱軸上，且，求點F的坐標．【答案】(1)(2)①對稱軸為直線；②【分析】（1）先通過解直角三角形求出點A、B的坐標，直接利用待定系數法求函數解析式即可；（2）①設平移后的解析式為，求出點，再利用待定系數法求函數解析式即可；②過點P作軸于N，則，通過證明，利用相似三角形的性質計算即可．【詳解】（1）∵拋物線（），當時，，∴，即，在中，，∴，∴，∵，∴，∴，把A、B的坐標代入，得，解得，∴拋物線解析式為；（2）①設平移后的解析式為，∵，∴P在的中垂線上，∴，將坐標代入，得，∴，∴新的拋物線的解析式為，∴對稱軸為直線；②過點P作軸于N，則，∴，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴．【點睛】本題考查了二次函數圖象與性質，二次函數圖象的平移，二次函數與角相等的問題，相似三角形的判定和性質，熟練掌握知識點，準確作出輔助線是解題的關鍵．【新題速遞】1．（2022·江蘇無錫·校考一模）將拋物線向右平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度，所得拋物線的解析式是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據“左加右減，上加下減”的法則進行解答即可．【詳解】解：將拋物線向右平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度所得的拋物線解析式為．故選：B．【點睛】本題考查的是二次函數的圖象與幾何變換，熟知二次函數圖象平移的法則是解答此題的關鍵．2．（2022·遼寧盤錦·統考二模）如圖，直線的解析式為，它與軸和軸分別相交于，兩點，點為線段上一動點，過點作直線的平行線，交軸于點，點從原點出發，沿以每秒個單位長度的速度向終點運動，運動時間為秒，以為斜邊作等腰直角三角形（，兩點分別在兩側）．若和的重合部分的面積為，則與之間的函數關系圖象大致是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據直線，它與軸和軸分別相交于，兩點，則；根據點從原點出發，沿以每秒個單位長度的速度向終點運動，運動時間為秒，則，；根據題意可知，；當時，和的重合部分的面積：；當時，和的重合部分的面積：，即可．【詳解】如圖：∵直線，它與軸和軸分別相交于，兩點，∴，∵點從原點出發，沿以每秒個單位長度的速度向終點運動，運動時間為秒，∴，，∴，∴，∴，，∴，∵，∴，當，；∴當，；當，．故選：C．【點睛】本題考查函數的知識，解題的關鍵是理解題意，得到函數關系式．3．（2023·廣西玉林·一模）如圖，函數的圖象過點和，請思考下列判斷：；；；；正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用圖象信息即可判斷；根據時，即可判斷；根據是方程的根，結合兩根之積，即可判斷；根據兩根之和，可得，可得，根據拋物線與軸的兩個交點之間的距離，列出關系式即可判斷．【詳解】解：拋物線開口向下，，拋物線交軸于正半軸，，，，，故正確，時，，，即，故正確，的圖象過點和，，，，，故正確，，，，，故錯誤，，，，故正確，故選：D．【點睛】本題考查了二次函數圖象與系數的關系：對于二次函數，二次項系數決定拋物線的開口方向：當時，拋物線向上開口；當時，拋物線向下開口；一次項系數和二次項系數共同決定對稱軸的位置：當與同號時即，對稱軸在軸左；當與異號時即，對稱軸在軸右；常數項決定拋物線與軸交點：拋物線與軸交于；決定拋物線與軸交點個數：時，拋物線與軸有個交點；時，拋物線與軸有個交點；時，拋物線與軸沒有交點．4．（2022·山東臨沂·模擬預測）已知二次函數及一次函數，將二次函數在軸下方的圖像沿軸翻折到軸上方，圖像的其余部分不變，得到一個新圖像（如圖所示），當直線與新圖像有個交點時，的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出二次函數圖像關于x軸翻折后的解析式，求出直線與翻折后拋物線相切時的m值，求出直線經過圖像與x軸右側交點時m的值，進而求解．【詳解】解：拋物線關于x軸翻折后解析式為，令，整理得，當時，直線與拋物線相切，解得，把代入得，解得，∴拋物線與x軸交點坐標為，把代入得，解得，∴滿足題意．