第二節拉氏變換解線性微分方程一、拉氏變換的定義二、常用函數的拉氏變換三、拉氏變換的定理上一目錄第二章自動控制系統的數學模型四、拉氏反變換五、用拉氏變換解線性微分方程第一節控制系統的微分方程

工程實踐中常采用拉氏變換法求解線性常微分方程。拉氏變換法求解微分方程的基本思路：線性微分方程時域t拉氏變換代數方程復數域s代數方程的解求解拉氏反變換微分方程的解第一節控制系統的微分方程一、拉氏變換的定義如果有一函數滿足下列條件：(1)t

<0時

f(t)=0(2)t≥0時

f(t)是分段連續的

0(3)∫

f(t)e<∞-st∞f(t)的拉氏變換為：記作

F(s)=L[f(t)]拉氏反變換為：f(t)=L-1[F(s)]f(t)e-stdt0F(s)=

∞∫二、常用函數的拉氏變換第一節控制系統的微分方程1.單位階躍函數I(t)f(t)t01=s12.單位脈沖函數δ(t)f(t)t0=1I(t)e-stdt0F(s)=

∞∫δ(t)e-stdt0F(s)=

∞∫3.單位斜坡函數tf(t)t0=s21te-stdt0F(s)=

∞∫4.正弦函數sinωtt0f(t)ωte-stdt0F(s)=

∞∫sin

=s2+ωω25.余弦函數cosωt=s2+sω2ωte-stdt0F(s)=

∞∫cos

第一節控制系統的微分方程6.指數函數e-atf(t)t01=1s+ae-ate-stdt0F(s)=

∞∫7.拋物函數t212f(t)t0=s3112t2e-stdt0F(s)=

∞∫三、拉氏變換的定理1.線性定理L[af1(t)+bf2(t)]=aF1(s)+bF2(s)例求正弦函數f(t)=sinωt的拉氏變換．解：=s2+ω2ω2jesinωtωt=jωt-j-eL[sin2j1s-j[1-]s+j1ωt]=ωω第一節控制系統的微分方程2.微分定理L[df(t)dt]=sF(s)-f(0)L[d2f(t)dt2]=s2F(s)-sf(0)-f'(0)例求階躍函數f(t)=I(t)的拉氏變換．解：已知d[t]dt=I(t)L[t]=s21L[I(t)]=L(d[t]dt)=ss21-0=1s第一節控制系統的微分方程3.積分定理=1sF(s)+f-1(0)s4.延遲定理L[∫f(t)dt]L[f(t-τ)]-=eF(s)τs解：f(t)t0tτt-τ例求f(t)=t-

τ的拉氏變換。F(s)=L[t]e-τs=s21e-τs5.位移定理L[e-atf(t)]=F(s+a)解：例求f(t)=esinωt的拉氏變換．-at6.初值定理Limf(t)=limsF(s)s→∞t→07.終值定理Limf(t)=limsF(s)t→∞s→0F(s)=(s+a)2+ωω2第一節控制系統的微分方程

求下列函數的拉氏變換cos12tf(t)=e-4tf(t)=t2+3t+2課堂練習題：作業習題：2-2(1,4)第一節控制系統的微分方程四、拉氏反變換象函數的一般表達式：F(s)=b0sm+b1sm-1+···+bm-1s+bma0sn+a1sn-1+···+an-1s+an因式分解K(s-z1)(s-z2)···(s-zm)(s-p1)(s-p2)···(s-pn)=零點極點轉換為=s-p1A1+s-p2A2+···+s-pnAn則p1tf(t)=A1ep2t+A2epntAne+···+待定系數求解過程部分分式法求拉氏反變換第一節控制系統的微分方程部分分式法待定系數的確定F(s)=s-p1A1+s-p2A2+···+s-pnAnA1=F(s)(s-p1)

s-=p1(s-p1)

s=p1(

)

(s-p1)

s=p1s-p1A1+s-p2A2+···+s-pnAn(s-p1)

(s-p1)

(s-p1)

=[

]

s=p1則1.不相等實數極點同理A2=F(s)(s-p2)

s=p2An=F(s)(s-pn)

s=pn┇A(s)(s-p1)(s-p2)···(s-pn)F(s)=分解為第一節控制系統的微分方程解：例求拉氏反變換．s2+4s+3F(s)=s2+5s+5(s+1)(s+3)=1+s+2=1++s+1A1s+3A2(s+1)(s+3)F(s)=s2+5s+521=21=s=-1A1=(s+1)(s+3)(s+2)(s+1)s=-3A2=(s+1)(s+3)(s+2)(s+3)21f(t)=e-t+21δ(t)+e-3t第一節控制系統的微分方程=

(s-p1)(s-p2)A1s+A2+s-p3A3+···+s-pnAn2.復數極點s=p1[

]

s=p1p1,p2

共軛復數極點分解為F(s)(s-p1)(s-p2)(s-p1)(s-p2)得F(s)(s-p1)(s-p2)

=(A1s+A2)

s=p1s=p1復數方程可求得待定系數A1,A2

。A(s)(s-p1)(s

-p2)···(s-pn)F(s)=第一節控制系統的微分方程例求拉氏反變換．s(s2+9)F(s)=s+1解：A1s+A2+s(s2+9)F(s)=A3=A1s+A2s=j3F(s)(s2+9)s=j3A2=1

19A1=

-19A3=

-s/9+1

+s(s2+9)=1/9

s/9

-s(s2+9)F(s)=1/9

1

+(s2+9)1391-f(t)=sin3t91cos3t+ss+1=A1s+A2s=j3s=j3j3j3+1=j3A1+A2j3+1=-9A1+j3A2第一節控制系統的微分方程

求下列函數的拉氏反變換F(s)=s(s+1)1F(s)=s(s2+4)s+6課堂練習題：第一節控制系統的微分方程3.

重極點A(s)(s-p1)r(s-pr+1)···(s-pn)F(s)=有r個重極點分解為=(s-p1)rA1+s-pr+1Ar+1+···+s-pnAn+(s-p1)r-1A2+···+s-p1Ardr-1[F(s)(s-p1)r]Ar=

s=p11

((r-1)!dsr-1)下面舉例說明第一節控制系統的微分方程例求拉氏反變換．(s+2)F(s)=s(s+1)2(s+3)解：F(s)=+s+1A1s+3A2(s+1)2+sA3+A4分解為按不相等實數極點確定A1,A3,A4

得：-12A1=

23A3=

112A4=

d2-1[F(s)(s-p1)2]A2=

s=p11

((2-1)!ds2-1)d[=

s=-1ds](s+2)s(s+3)-34=

-34A2=

+-43+f(t)=e-t32e-3t2-te-t121將各待定系數代入上式得：第一節控制系統的微分方程作業習題：2-3(1,2)五．用拉氏變換解線性微分方程例求微分方程的解r(t)=201(t)+2c

(t)=r(t)+3d2c(t)dt2dc(t)dtc(0)=5c'(0)=15解：(1)將微分方程拉氏變換s2C(s)-sc(0)-c'(0)+3sC(s)-3c(0)+2C(s)=20s20s+5s+30=C(s)(s2+3s+2)第一節控制系統的微分方程(2)解代數方程s(s2+3s+2)

C(s)=5s2+30s+20s(s+1)(s+2)=5s2+30s+20(3)求拉氏反變換s+C(s)=+s+1A1s+2A2A3s+=+s+110s+25-10-10ec(t)=10+5e-t-2t例已知系統微分方程，求系統的輸出響應。r(t)=δ(t)+2c(t)=r(t)+2d2c(t)dt2dc(t)dtc(0)=c'(0)=0解：將方程兩邊求拉氏變換得：s2C(