第十四章整式的乘法與因式分解14.3因式分解14.3.2公式法第1課時運用平方差公式分解因式一、教學目標1.探索并運用完全平方公式進行因式分解，體會轉化思想．2.能靈活運用各種方法進行因式分解．二、教學重難點重點：運用完全平方公式進行因式分解.難點：運用各種方法進行因式分解.三、教學過程【新課導入】[復習導入]我們已經學過的因式分解的方法有哪些？①提公因式法分解因式；②運用平方差公式分解因式：a2-b2=(a+b)(a-b)學生積極思考，教師帶領復習提公因式法和平方差公式的相關知識.之后教師利用多媒體展示如下“練一練”，學生積極舉手回答：【新知探究】知識點1因式分解的定義及其意義[提出問題]（1）我們學過的乘法公式有：平方差公式和完全平方公式.學生會齊聲回答“完全平方公式”，教師緊接著提問：完全平方公式怎樣用符號表達？[學生回答]教師點名，學生回答：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a-b)2=a2-2ab+b2.[提出問題]運用完全平方公式填空:（1）(x+4)2=x2-2?x?4+42=x2+8x+16;（2）(2a-3b)2=(2a)2-2?2a?3b+(3b)2=4a2-12ab+9b2.學生積極舉手回答.把上邊的兩個式子反過來：（1）x2+8x+16=x2-2?x?4+42=(x+4)2;（2）4a2-12ab+9b2=(2a)2-2?2a?3b+(3b)2=(2a-3b)2.學生能很快得到答案.教師引導學生觀察等式兩邊的式子，引出這樣的過程就是因式分解.[學生思考]（1）你能將a2+2ab+b2和a2-2ab+b2分解因式嗎？（2）多項式a2+2ab+b2和a2-2ab+b2有什么特點？[小組討論]對于(1)問題，教師提示可利用整式乘法與因式分解是方向相反的變形來將a2+2ab+b2和a2-2ab+b2分解因式;對于(2)問題，教師讓學生從以下三方面回答：①每個多項式有幾項？②每個多項式的第一項和第三項有什么特征？③中間項和第一項，第三項有什么關系？小組之間進行討論，之后代表回答，對學生的每一種回答都給予鼓勵.[歸納總結](1)a2+2ab+b2=(a+b)2，a2-2ab+b2=(a-b)2.兩個數的平方和加上（或減去）這兩個數的積的2倍，等于這兩個數的和（或差）的平方.（2）我們把像a2+2ab+b2和a2-2ab+b2這樣的式子叫做完全平方式(3)完全平方式的特點：1.必須是三項式（或可以看成三項的）；2.有兩項可寫成兩個數（或式）的平方，且這兩項的符號相同；3.另一項是這兩個數（或式）之積的±2倍.[課件展示]教師利用多媒體展示以下例題：例1下列多項式中，是完全平方式的有①③⑤.不是的請說明原因.①a2-4a+4；②1+4a2；③-4b2-4b-1；④a2+ab+b2；⑤x2+x+0.25.②不是完全平方式，因為只有兩項；④不是完全平方式，因為ab不是a與b的積的2倍.例2分解因式：（1）16x2+24x+9；（2）-x2+4xy-4y2.分析：(1)中，16x2=(4x)2,9=32,24x=2·4x·3,所以16x2+24x+9是一個完全平方式，即16x2+24x+9=(4x)2+2·4x·3+32.(2)中首項有負號，一般先利用添括號法則，將其變形為-(x2-4xy+4y2),然后再利用公式分解因式.解：(1)16x2+24x+9=(4x)2+2·4x·3+32=(4x+3)2；(2)-x2+4xy-4y2=-(x2-4xy+4y2)=-[x2-2·x·2y+(2y)2]=-(x-2y)2.例3分解因式：（1）3ax2+6axy+3ay2；（2）(a+b)2-12(a+b)+36.分析：(1)中有公因式3a,應先提出公因式，再進一步分解；(2)中，將a+b看作一個整體，設a+b=m,則原式化為完全平方式m2-12m+36.解:(1)3ax2+6axy+3ay2=3a（x2+2xy+y2）=3a（x+y）2；(2)(a+b)2-12(a+b)+36=(a+b)2-2·(a+b)·6+62=(a+b-6)2.[歸納總結](1)可以看出，如果把乘法公式的等號兩邊互換位置，就可以得到用于分解因式的公式，用來把某些具有特殊形式的多項式分解因式，這種分解因式的方法叫做公式法.(2)至此，我們學習過的分解因式的方法可總結如下：(3)因式分解的一般步驟：①當多項式的各項有公因式時，應先提取公因式；當多項式的各項沒有公因式時（或提取公因式后），若符合平方差公式或完全平方公式，就利用公式法分解因式；②當不能直接提取公因式或用公式法分解因式時，可根據多項式的特點，把其變形為能提取公因式或能用公式法的形式，再分解因式；③當乘積中的每一個因式都不能再分解時，因式分解就結束了.[課件展示]跟蹤訓練1.將下列多項式因式分解，結果中不含因式x-1的是（D）A．x（x-3）+（3-x） B．x2-1C．x2-2x+1 D．x2+2x+1【解析】A選項，原式=x（x-3）-（x-3）=（x-3）（x-1）；B選項，原式=（x+1）（x-1）；C選項，原式=（x-1）2；D選項，原式=（x+1）2；故選D．2.（2021?賀州）多項式2x3-4x2+2x因式分解為（A）A．2x（x-1）2 B．2x（x+1）2 C．x（2x-1）2 D．x（2x+1）2【課堂小結】【課堂訓練】1.下列因式分解正確的是（D）A．2x2-2=2（x2-1） B．-x2-y2=-（x+y）（x-y）C．x2-2xy+4y2=（x-2y）2 D．-x2-2xy-y2=-（x+y）22.因式分解：(1)（2021?蘇州）x2-2x+1=（x-1）2;(2)（2021?連云港）9x2+6x+1=（3x+1）2;(3)（2021?淄博）3a2+12a+12=3（a+2）2;(4)（2021?包頭）=.3．在橫線上填入適當的數或單項式：（1）9a2–6ab+b2=(3a–b)2;（2）x4+4x2+4=(x+2)2;（3）p2-3p+=(p-)2;（4）25a2+40a+16=(5a+4)2.4.(1）若多項式x2+x+n是完全平方公式，則常數n是;（2）若4x2-kx+9是完全平方式，則實數k的值為±12.5.（2021?十堰）已知xy=2，x-3y=3，則2x3y-12x2y2+18xy3=36.6.計算：1.22+2×1.2×6.7+6.72-2.12.解：原式=（1.22+2×1.2×6.7+6.72）-2.12=（1.2+6.7）2-2.12=7.92-2.12=（7.9+2.1）（7.9-2.1）=10×5.8=58．7.分解因式：(1)-m2-m-;(2)x2+2x(x+y)+(x+y)2;(3)(a-1)+a2(1-a);(4)(a2+4)2-16a2.解：(1)原式=-（m2+m+）=-（m+）2;原式=（x+x+y）2=（2x+y）2;原式=(a-1)-a2(a-1)=(a-1)(1-a2)=(a-1)(1-a)(1+a)=-(a-1)2(a+1)；(4)原式=(a2+4)2-(4a)2=(a2+4+4a)(a2+4-4a)=(a+2)2(a-2)2．8.已知a，b，c分別是△ABC三邊的長，且a2+2b2+c2-2b(a+c)=0，請判斷△ABC的形狀，并說明理由．解：a2+2b2+c2-2b(a+c)=0，a2+b2+b2+c2-2ab-2bc=0，（a2-2ab+b2）+（b2-2bc+c2）=0，(a-b)2+(b-c)2=0，∴a-b=0，b-c=0，∴a=b=c，∴△ABC是等邊三角形．【教學反思】這節課學習的主要內容是運用完全平方公式進行因式分解.同樣采用了與上節課一樣的逆向思維的方法來學習這節課的內容：首先讓學生回憶完全平方公式，接著就讓學生利用完全平方公式做兩道整式乘法的運算，然后將剛才用完全平方公式計算得出的兩個多項式作為因式分解的題目請學生嘗試，之后就順利地和學生們一起分析了因式分解中的完全平方公式，討論了“怎樣的多項式能用完全平方公式因式分解?”這樣就順利的引出了“完全平方式”之一概念.在學習了“運用完全平方公式分解因式”后，總結了所學的兩種因式分解的方法：提公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式），運用這兩種方法分解因式的