專題1.9二次函數(shù)中考?jí)狠S題分類專題（知識(shí)梳理與題型分類講解）

第一部分【訓(xùn)練中考?jí)狠S題意義】

了解中考命題趨勢(shì)和知識(shí)重難點(diǎn)：通過(guò)訓(xùn)練歷年中考數(shù)學(xué)真題，學(xué)生可以快速了解中考

數(shù)學(xué)的命題趨勢(shì)、試題分布以及知識(shí)重難點(diǎn)，從而對(duì)自己的知識(shí)儲(chǔ)備進(jìn)行全方位的查漏補(bǔ)缺

提高解題速度和精確度：通過(guò)嚴(yán)格控制做題時(shí)間，用中考的時(shí)間要求自己，可以更加客

觀地訓(xùn)練解題速度和精確度，幫助學(xué)生適應(yīng)考試節(jié)奏。

認(rèn)識(shí)中考題型和命題風(fēng)格：中考真題令學(xué)生認(rèn)識(shí)到中考的題型、命題風(fēng)格、各知識(shí)版塊

分值分布，考查的重點(diǎn)及難易程度，對(duì)學(xué)生的幫助是最大的。

檢驗(yàn)復(fù)習(xí)方向和效果：真題成為檢驗(yàn)復(fù)習(xí)方向以及復(fù)習(xí)效果的得力工具，通過(guò)定期模擬

考試，學(xué)生可以了解自己的不足，進(jìn)而調(diào)整復(fù)習(xí)策略。

提高應(yīng)試能力：通過(guò)反復(fù)做真題，學(xué)生能夠適應(yīng)考試的緊張氛圍，掌握答題技巧，了解

考點(diǎn)要求，提高解題能力和應(yīng)變能力。

權(quán)威性和準(zhǔn)確性：真題的權(quán)威性和準(zhǔn)確性遠(yuǎn)高于模擬題，因?yàn)樗鼈儊?lái)自于同一個(gè)命題組，

考察點(diǎn)、風(fēng)格以及難度等都很接近，通過(guò)對(duì)真題進(jìn)行分析研究，可以總結(jié)出命題的規(guī)律。

綜合性：中考真題是命題組成員辛苦勞動(dòng)的結(jié)晶，含金量高，出的題目在保證基礎(chǔ)得分

的同時(shí)，還具有一定的選拔作用，有助于提高學(xué)生的綜合解題能力。

綜上所述，訓(xùn)練數(shù)學(xué)中考真題對(duì)于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)和應(yīng)試能力具有不可替代的作用,

是備考過(guò)程中不可或缺的一部分。

第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】

題型目錄

【題型1】二次函數(shù)與面積問(wèn)題【題型2】二次函數(shù)與定值問(wèn)題

【題型3】二次函數(shù)與最值問(wèn)題【題型4】二次函數(shù)與存在性問(wèn)題

【題型5】二次函數(shù)與新定義、課堂活動(dòng)問(wèn)題【題型6】二次函數(shù)與三角形綜合問(wèn)題

【題型7】二次函數(shù)與四邊形綜合問(wèn)題【題型8】二次函數(shù)與利潤(rùn)問(wèn)題

【題型9】二次函數(shù)與實(shí)際問(wèn)題

【題型11二次函數(shù)與面積問(wèn)題

【例1】(2024?湖北?中考真題)如圖，某校勞動(dòng)實(shí)踐基地用總長(zhǎng)為80m的柵欄，圍成一塊一邊靠墻的矩

形實(shí)驗(yàn)田，墻長(zhǎng)為42m.柵欄在安裝過(guò)程中不重疊、無(wú)損耗，設(shè)矩形實(shí)驗(yàn)田與墻垂直的一邊長(zhǎng)為x(單位:

*23

m),與墻平行的一邊長(zhǎng)為y(單位：m),面積為S(單位：m).

⑴直接寫出y與x,S與x之間的函數(shù)解析式(不要求寫x的取值范圍)；

(2)矩形實(shí)驗(yàn)田的面積S能達(dá)到750m2嗎？如果能，求x的值；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

⑶當(dāng)x的值是多少時(shí)，矩形實(shí)驗(yàn)田的面積S最大？最大面積是多少？

卜-------42m------------H

墻「

x實(shí)驗(yàn)田x

y

【答案】(l)y=80-2x,S=-2X2+80X(2)X=25⑶當(dāng)x=20時(shí)，實(shí)驗(yàn)田的面積S最大，最大面積是800m?

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，計(jì)算x的取值范圍是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)2x+y=80,求出V與x的函數(shù)解析式，根據(jù)矩形面積公式求出S與x的函數(shù)解析式；

(2)先求出x的取值范圍，再將5=750代入函數(shù)中，求出x的值；

(3)將S與x的函數(shù)配成頂點(diǎn)式，求出S的最大值.

(1)解：2x+y=80,

?二)=-2x+80,

S=孫，

/.S=x(-2x+80)=-2x2+80x；

(2)-y<42,

.-.-2%+80<42,

:.x>19,

/.19<x<40,

當(dāng)S=750時(shí)，-2—+80X=750,

X2-40X+375=0,

(x-25)(x-15)=0,

..x—25,

.?.當(dāng)x=25m時(shí)，矩形實(shí)驗(yàn)田的面積s能達(dá)到750m2；

(3)S=-2x2+80x=-2(x2-40x)=-2(x2-40%+400-400)=-2(%-20)2+800,

當(dāng)尤=20m時(shí)，S有最大值800nl，

【變式1】（2024?湖北?中考真題）學(xué)校要建一個(gè)矩形花圃，其中一邊靠墻，另外三邊用籬笆圍成.已知

墻長(zhǎng)42m,籬笆長(zhǎng)80m.設(shè)垂直于墻的邊AB長(zhǎng)為x米，平行于墻的邊3c為V米，圍成的矩形面積為Sn?.

（1）求y與與x的關(guān)系式.

（2）圍成的矩形花圃面積能否為750m2,若能，求出尤的值.

⑶圍成的矩形花圃面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值，并求出此時(shí)x的值.

AD

--------------------C

【答案】⑴y=80—2x（19Wx<40）；s=—2Y+80無(wú)⑵能，x=25⑶s的最大值為800,此時(shí)x=20

【分析】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用和二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用：

（1）根據(jù)AB+3C+CD=80可求出>與x之間的關(guān)系，根據(jù)墻的長(zhǎng)度可確定x的范圍；根據(jù)面積公式可確

立二次函數(shù)關(guān)系式；

（2）令s=750,得一元二次方程，判斷此方程有解，再解方程即可；

（3）根據(jù)自變量的取值范圍和二次函數(shù)的性質(zhì)確定函數(shù)的最大值即可.

解：（1）團(tuán)籬笆長(zhǎng)80m,

回AB+BC+CD=80,

團(tuán)AB=CD=x,BC=y,

團(tuán)1+y+x=80,

團(tuán)y=80-2x

團(tuán)墻長(zhǎng)42m,

團(tuán)0<80-2%442,

解得，19<x<40,

團(tuán)y=80-2M19W40）；

又矩形面積s=AB

=yx

=（80-2x）x

=-2x2+80%；

(2)解：令s=750,則一2%2+80%=750,

整理得：X2-40X+375=0,

此時(shí)，A=62—4ac=(T0)2—4x375=1600—1500=100>0,

所以，一元二次方程/一40x+375=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,

回圍成的矩形花圃面積能為750m2；

--(-40)士阿

2，

團(tuán)％=25,x2=15,

回19W40,

回x=25；

(3)解：5=-2x2+80x=-2(x-20)2+800

E-2<0,

也有最大值，

又19Vx<40,

回當(dāng)x=20時(shí)，$取得最大值，此時(shí)s=800,

即當(dāng)x=20時(shí)，$的最大值為800

【變式2】(2024?四川遂寧?中考真題)二次函數(shù)丫=加+法+4"0)的圖象與x軸分別交于點(diǎn)

A(-I,o),5(3,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,—3),P，。為拋物線上的兩點(diǎn).

⑴求二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)當(dāng)P,C兩點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，△OPQ是以點(diǎn)尸為直角頂點(diǎn)的直角三角形時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

⑶設(shè)P的橫坐標(biāo)為m，。的橫坐標(biāo)為m+1,試探究：的面積S是否存在最小值，若存在，請(qǐng)求出

【分析】本題考查了二次函數(shù)的綜合題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，勾股定理，已知兩點(diǎn)坐標(biāo)表示兩點(diǎn)距

離，二次函數(shù)最值，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵.

(1)用待定系數(shù)法求解即可；

(2)可求P(2,-3),設(shè)。吁3),由/OP0=9O。，OP2+PQ2OQ2,貝|

[(0-2『+(0+3)1+(2-加7+(-32+2m+3丫=(0-m)2+(0-m2+2/n+3)2,解得叫=2,色=2(舍

去故。昌一f]；

(3)分當(dāng)點(diǎn)尸、。在x軸下方，且點(diǎn)。在點(diǎn)P上方時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P、。在x軸下方，且點(diǎn)P在點(diǎn)。上方時(shí)，當(dāng)

點(diǎn)P、。都在尤軸上方或者一個(gè)在x軸上方，一個(gè)在x軸下方，得到這個(gè)面積是關(guān)于根的二次函數(shù)，進(jìn)而

求最值即可.

解：(1)解:把A(T0),B(3,0),C(0,-3)代入yX+L一得,

〃一b+c=0〃=1

9〃+38+c=0,解得<Z?=-2,

。=一3c=-3

團(tuán)二次函數(shù)的表達(dá)式為產(chǎn)爐-2%-3；

(2)解：如圖：

由產(chǎn)/-2工-3得拋物線對(duì)稱軸為直線x=l,

回P，C兩點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)軸對(duì)稱，C(0,-3)

0P(2,-3),

設(shè)。m2—2m—3),

ZOPQ=90°,

團(tuán)O尸2+尸。2=。。2,

團(tuán)[(0—2)2+(0+3)2]+(2-m)2+(-3-m2+2m+3

=(0-冽J+(0-機(jī)2+2m+3),

整理得,3m2—8m+4=0,

2

解得叫=],嗎=2(舍去)，

2

Bm=—,

3

(3)存在，理由:

當(dāng)點(diǎn)尸、。在無(wú)軸下方，且點(diǎn)。在點(diǎn)P上方時(shí),

設(shè)點(diǎn)P(m,m2-2m-3),則點(diǎn)Q(m+l,{m+1)2-2(m+1)-3),設(shè)直線PQ交無(wú)軸于點(diǎn)H,

設(shè)直線PQ表達(dá)式為：、=辰+6代中0),

代入P(m,m2-2m-3),Q(m+L(m+1)2-2(，〃+1)-3)

mk+b=m2-2m-3

(m+l)^+Z?=(m+l)2-2(m+1)-3

k=2m—1

解得:

b=-m2-m-3?

團(tuán)直線PQ的表達(dá)式為：y=(2m-l)x-m2-m-3,

令)=°，得(2m-l)x-m2-m-3=0

m2—2m—3

貝!J%=--------------\-m,

1—2m

則。*笄獷

+m,

則S=SAOHP—SAOHQ=—xOHx(y。—yP)

=—x(――--+m)[(m+1)2—2(m+1)—3—m2+2m+3]

2l-2m

1/2OX1zL11H

=—(m+m+3)=—(m——)2d——>一,

22288

即s存在最小值為二；

O

當(dāng)點(diǎn)尸、。在X軸下方，且點(diǎn)尸在點(diǎn)。上方時(shí)，

同上可求直線P。表達(dá)式為：y=(2m-l)x-m2-m-3,

令)=°，得(2m-l)x-m2-m-3=0

m2—2m—3

則％=----------------\-m

1—2m

—m+2m+3

則OH=-m,

1—2m

=xX

則s=SAOHQ-SAOHP_OH(%-)

i+3

=—x(-------------------m)[m2-2m-3-(m+l)2+2(m+1)+3]

2l-2m

1c、1,1、211H

=—(m2+m+3)=—(m——)H——>一

22288

即S存在最小值為2；

8

當(dāng)點(diǎn)。、0都在工軸上方或者一個(gè)在工軸上方,一個(gè)在入軸下方同理可求5=[(療+相+3)=20-!)2+!之工，

222oo

即S存在最小值為二，

O

綜上所述，△。尸。的面積S是否存在最小值，且為三.

O

【題型2】二次函數(shù)與定值問(wèn)題

【例2】(2023?福建?中考真題)已知拋物線y=#+6x+3交x軸于A(l,0),3(3,0)兩點(diǎn)，Af為拋物線的

頂點(diǎn)，CD為拋物線上不與A8重合的相異兩點(diǎn)，記中點(diǎn)為E,直線的交點(diǎn)為P.

⑴求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)若C(4,3),。[見(jiàn)一;J,且加<2,求證：C,￡>,E三點(diǎn)共線；

⑶小明研究發(fā)現(xiàn)：無(wú)論C,。在拋物線上如何運(yùn)動(dòng)，只要C,￡>,E三點(diǎn)共線，△AMRAMERAABP中必存

在面積為定值的三角形.請(qǐng)直接寫出其中面積為定值的三角形及其面積，不必說(shuō)明理由.

【答案】⑴y=/-4x+3⑵見(jiàn)解析⑶，AB尸的面積為定值，其面積為2

【分析】(1)將A。,。),8(3,0)代入yA++6x+3,即可解得；

(2)4(1,0),3(3,0),AB中點(diǎn)為E,且C(4,3),可求出過(guò)C,E兩點(diǎn)所在直線的一次函數(shù)表達(dá)式丫=：》-3,

O為拋物線上的一點(diǎn)，所以。1/一￡|，此點(diǎn)在〉=:了-3,可證得CD,E三點(diǎn)共線；

(3)設(shè)C,。'與D,C'分別關(guān)于直線加欣對(duì)稱，則P,P關(guān)于直線員0對(duì)稱，且與的面積不相

等，所以，AMP的面積不為定值；如圖，當(dāng)CD分別運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)G，2的位置，且保持G，2,5三點(diǎn)共線.此

時(shí)AD,與BG的交點(diǎn)片到直線EM的距離小于P到直線EM的距離，所以的面積小于尸的面積,

故AWEP的面積不為定值；故AAB尸的面積為定值，由(2)求出尸此時(shí)二AB尸的面積為2.

解：(1)解：因?yàn)閽佄锞€y=4+云+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)4(1,0),3(3,0),

[Q+Z?+3=0,

所以V

[9a+3b+3=0.

[a=l,

解得，,

[b=-4.

所以拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=x2-4x+3；

(2)解：

U

設(shè)直線CE對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為〉=丘+”（人工0）,

因?yàn)镋為48中點(diǎn)，所以E（2,0）.

/、14左+〃=3k=—

又因?yàn)镃4,3）,所以C，解得2,

\2K+n=0c

I[n=-3

3

所以直線紙對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=3.

因?yàn)辄c(diǎn)。卜1,-￡|在拋物線上，所以加2_4m+3=-|.

35

解得，加=一或加二一.

22

3

又因?yàn)橄啵?,所以m二彳.

2

所以嗚-j.

「、

因?yàn)?:x，33=-；3,即。33滿足直線CE對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，所以點(diǎn)O在直線CE上，即CQE三點(diǎn)

共線；

（3）解：.ABP的面積為定值，其面積為2.

理由如下：（考生不必寫出下列理由）

如圖1,當(dāng)C,。分別運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C',。的位置時(shí)，與2。分別關(guān)于直線對(duì)稱，此時(shí)仍有C',D',E三

點(diǎn)共線.設(shè)AD'與8C'的交點(diǎn)為R,則P,尸'關(guān)于直線對(duì)稱，即尸尸'〃x軸.此時(shí)，PP與A"不平行，

且AM不平分線段PP',故P,P，到直線AM的距離不相等，即在此情形下4AMp與_AMP的面積不相等，

所以..4WP的面積不為定值.

R2

mi

如圖2,當(dāng)c,。分別運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)G，，的位置，且保持CX,DX,E三點(diǎn)共線.此時(shí)AD,與5G的交點(diǎn)A到直線EM

的距離小于P到直線石河的距離，所以環(huán)的面積小于的面積，故NWEP的面積不為定值.

又因?yàn)橹写嬖诿娣e為定值的三角形，故尸的面積為定值.

33

在（2）的條件下，直線BC對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=3x-9,直線A￡）對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為+

求得P］，-21此時(shí).AB尸的面積為2.

【點(diǎn)撥】本題考查一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二元一次方程組、一元二次方程、三角形面積等基

礎(chǔ)知識(shí)，如何利用數(shù)形結(jié)合求得點(diǎn)的坐標(biāo)、函數(shù)的表達(dá)式等是解題的關(guān)鍵.

【變式1】（2023?江蘇揚(yáng)州?中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A在>軸正半軸上.

⑴如果四個(gè)點(diǎn)（0,0）、（0,2）、（1,1）、（-1/）中恰有三個(gè)點(diǎn)在二次函數(shù)〉=62（°為常數(shù)，且awO）的圖象上.

①a~;

②如圖1,已知菱形ABCD的頂點(diǎn)2、C、。在該二次函數(shù)的圖象上，且ADJ_y軸，求菱形的邊長(zhǎng)；

③如圖2,已知正方形ABC。的頂點(diǎn)8、。在該二次函數(shù)的圖象上，點(diǎn)8、。在y軸的同側(cè)，且點(diǎn)8在點(diǎn)

。的左側(cè)，設(shè)點(diǎn)8、。的橫坐標(biāo)分別為相、n,試探究〃-根是否為定值.如果是，求出這個(gè)值；如果不是，

請(qǐng)說(shuō)明理由.

⑵已知正方形A3。的頂點(diǎn)2、。在二次函數(shù)>=以2（°為常數(shù)，且a>0）的圖象上，點(diǎn)2在點(diǎn)。的左

側(cè)，設(shè)點(diǎn)3、。的橫坐標(biāo)分別為相、n,直接寫出相、“滿足的等量關(guān)系式.

【答案】⑴①1;②手；③是，值為1（2）a（w）=1或m+〃=0

【分析】（I）①當(dāng)x=0,y=o,可知（0,2）不在二次函數(shù)圖象上，將（1,1）代入>=加，求解。值即可;

②由①知，二次函數(shù)解析式為y=V,設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為P,則=由菱形的性質(zhì)得，BC=0,

BC//AD,則BC'y軸，C[,。，根據(jù)。。2=心，即=p2,計(jì)算求出滿足要

求的解即可；③如圖2,連接AC、BD交點(diǎn)、為E,過(guò)B作MN_Ly軸于/,過(guò)C作CNJ_MN于N,由正

方形的性質(zhì)可知，E為AC、的中點(diǎn)，AB=BC,ZABC=90°,貝=證明

△AMB四△BNC（AAS）,則AM=3N,BM=CN,由題意知，8（九：叫，D（n,n2）,m>0,n>0,則

^m+nm+n加（0,機(jī)？），設(shè)A（0,q）,貝I]C（zw+〃,《?+"-q）,N[m+n,m2^,AM=q-m1,BN=n,

BM=m,CN=n2-q,則q-〃/=w,m=n2-q,BPn2-m-m2-n,計(jì)算求解即可1;

（2）由題意知，分①當(dāng)RD在v軸右側(cè)時(shí)，②當(dāng)區(qū)。在>軸左側(cè)時(shí)，③當(dāng)8在y軸左側(cè)，。在>軸右側(cè)

時(shí)，三種情況求解；①當(dāng)AO在y軸右側(cè)時(shí)，y=ax2,同理（1）③，AM=BN,BM=CN,由題意知，

（（22\、

B\m,anrj,D\n,arrj,m>0,n>0,則E——------,M{Q,anrJ,設(shè)A（0,g）,則

I）

C^m+n,a[nr+rr^-q^,N（in+n,ant^,AM=q-am2,BN=n,BM=m,CN=a",貝ij^一。機(jī)？=〃，

m=an1-q,即加一“一加2=〃，解得②當(dāng)RZ）在V軸左側(cè)時(shí)，求解過(guò)程同（2）①；③

當(dāng)B在y軸左側(cè)，。在y軸右側(cè)時(shí)，且8。不垂直于y軸時(shí)，同理可求。（”一帆）=1,當(dāng)B在y軸左側(cè)，。在

y軸右側(cè)時(shí)，且3。垂直于、軸時(shí)，由正方形、二次函數(shù)的性質(zhì)可得，m+n=0.

解：（1）①解：當(dāng)尤=0,y=o,

團(tuán)（0,2）不在二次函數(shù)圖象上，

將（1,1）代入>=加，解得4=1,

故答案為：1;

②解：由①知，二次函數(shù)解析式為y=x。

設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為P,則/⑦=0，D（p,p2）,

由菱形的性質(zhì)得，BC=p,BC//AD,

團(tuán)3C_Ly軸，

0C￡>2=AD2,

+卜wi，

解得0=0（舍去），p=2H（舍去），p=空,

33

回菱形的邊長(zhǎng)為空；

3

③解：如圖2,連接AC、BD交點(diǎn)、為E,過(guò)5作軸于“，過(guò)C作CN1MN于N,

圖2

由正方形的性質(zhì)可知，E為AC、5。的中點(diǎn)，AB=BC,ZABC=90°,

團(tuán)ZABM+ZCBN=90°=ZCBN+ZBCN,

^\ZABM=ZBCN,

田NABM=NBCN,ZAMB=ZBNC=90°,AB=BC,

回△4WB0ABNC(AAS),

^1AM=BN,BM=CN,

由題意知，,￡>(〃,/),m>Q,〃>0,則石].；—,',

設(shè)A(0,q),貝ljC[m+n,m1+n2-q),N1m+n,n^),

團(tuán)AM=q—m2,BN=n,BM=m,CN=ri1—q,

國(guó)q一根2=〃,m=n2-q,

^n2-m-m=n

團(tuán)點(diǎn)3、。在y軸的同側(cè)，且點(diǎn)8在點(diǎn)。的左側(cè),

團(tuán)機(jī)+〃。0,

回〃-根是定值，值為1；

（2）解：由題意知，分①當(dāng)區(qū)。在v軸右側(cè)時(shí)，②當(dāng)昆。在y軸左側(cè)時(shí)，③當(dāng)B在y軸左側(cè)，。在y軸

右側(cè)時(shí)，三種情況求解；

①當(dāng)AD在y軸右側(cè)時(shí)，

By=ax2,

同理（1）③，AM=BN,BM=CN,

（（22

由題意知，B\m,arrrj,￡>（〃,即），m>0,n>0,則E——----,M（0,麗），

設(shè)A（O,q）,貝ljC（M+M,Q（加2+〃2）一鄉(xiāng)），N（m+n,am2^,

團(tuán)AM=q—am2,BN=n,BM=m,CN=an2—q,

團(tuán)q—am2=n,m=an2—q,

團(tuán)an2—m—am2=n，

化簡(jiǎn)得（加-。加-1）（m+幾）=。，

團(tuán)wO

（九一m）=l；

②當(dāng)RD在y軸左側(cè)時(shí)，

同理可求。（〃-祖）=1；

③當(dāng)8在y軸左側(cè)，。在y軸右側(cè)時(shí)，且5。不垂直于y軸時(shí)，

同理可求。（“一01）=1,

當(dāng)B在y軸左側(cè)，。在y軸右側(cè)時(shí)，且垂直于y軸時(shí)，

由正方形、二次函數(shù)的性質(zhì)可得，m+n=0；

綜上所述,一加）=1或加+”=0.

【點(diǎn)撥】本題考查了二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)與幾何綜合，正方形、菱形的性

質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì).解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用.

【變式2］（2024?江蘇宿遷?中考真題）如圖①，已知拋物線％=Y+打+c與x軸交于兩點(diǎn)。（0,0）、A（2,0）,

將拋物線為向右平移兩個(gè)單位長(zhǎng)度，得到拋物線內(nèi)，點(diǎn)P是拋物線M在第四象限內(nèi)一點(diǎn)，連接總并延長(zhǎng)，

交拋物線內(nèi)于點(diǎn)。.

（1）求拋物線為的表達(dá)式;

（2）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為巧,，點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為%,求電-%的值；

⑶如圖②，若拋物線為=-—8x+f與拋物線必=x2+6x+c交于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)C作直線跖V,分別交拋物線

%和力于點(diǎn)加、NQM、N均不與點(diǎn)C重合），設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為相，點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為小試判斷|彳力-九|

是否為定值.若是，直接寫出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖①圖②

【答案】⑴%=爐-6尤+8；（2）4：（3）|旭-"|是定值,\m-n\=6.

【分析】此題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題、一元二次方程

根與系數(shù)關(guān)系等知識(shí)，準(zhǔn)確利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵.

（1）利用待定系數(shù)法求出%=/-2X=（XT）2-1,再根據(jù)平移規(guī)律即可求出拋物線上的表達(dá)式；

（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（租,"-2m），待定系數(shù)法求出直線AP的解析式為、=如-2根，聯(lián)立、=如-2根與

%=X?-6x+8得至!］尤2—6x+8=解得x0=4+,〃，即可求出答案；

（3）由（1）可得，%=/-2x,與%=/-8x+r聯(lián)立得至=,求出點(diǎn)C的坐標(biāo)為（人七/一：］,

6<6363J

又由點(diǎn)M的坐標(biāo)為（加，蘇-2機(jī)），利用待定系數(shù)法求出直線Q0的解析式為y=1m+與

2

y3=x-Sx+t聯(lián)立得到爐一+工/+6卜+（1+工機(jī)”=0,貝|冗+/=加+」％+6,得至!J—t+n=m+—t+6,

<6）\6）666

即可得到=6,得到定值.

解：（1）團(tuán)拋物線必=—+云+c與1軸交于兩點(diǎn)。（0,0）、A（2,0）,

c=0

4+2/?+c=0

回X=d—2x=(x-1)-],

回拋物線％向右平移兩個(gè)單位長(zhǎng)度，得到拋物線內(nèi)，

回%=(%-1-2)?-1=(%-3)2-1=Y-6工+8

即%=-6%+8

(2)解：設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(小,蘇-2機(jī))，設(shè)直線AP的解析式為y=Ax+f,把點(diǎn)A和點(diǎn)P的坐標(biāo)代入得到,

f2k+t^0

則72c

ykm+t=m—2m

[t=-2m

解得7，

[K=m

團(tuán)直線AP的解析式為丁=mx-2m,

聯(lián)立y=mx_2m與y2=%2_6元+8得至(J

x-6x+8=mx—2m，

解得/=4+機(jī)，

貝Uq-%p=4+機(jī)一機(jī)=4

222

(3)解：由(1)可得，=x-2xf與必=Y—8%+方聯(lián)立得到，X-2x=x—8x+t

解得x八

此時(shí)y=j一2』」產(chǎn)」

I6363

團(tuán)點(diǎn)c的坐標(biāo)為m?-3

VoJo3

回點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m,且在％=/-2尤上,

^\y=m2-2m

即點(diǎn)M的坐標(biāo)為(人〉-2醇

設(shè)直線CM的解析式為y=b+s,把點(diǎn)C和點(diǎn)M的坐標(biāo)代入得到,

m2-2m=mr+s

解得:，

s=——tm

[6

回直線CM的解析式為y=\m+—t-2\x--tm,

與％=/—8x+%聯(lián)立得到,

mH—t—2x—ttn=—8x+1,

I.6J6

整理得到，-+：1+6卜+11+：機(jī),=0

貝|J%c+/=m+—t+6,

6

即—Z+H—772+—Z+6,

即n-m=6,

即|根-〃|=6為定值.

【題型3】二次函數(shù)與最值問(wèn)題

【例3】(2024?江蘇南通?中考真題)已知函數(shù)y=(尤-。)2+(尤-bpQ,6為常數(shù)).設(shè)自變量x取與時(shí)，

y取得最小值.

(1)若。=—1,6=3,求X。的值；

21

(2)在平面直角坐標(biāo)系無(wú)Oy中，點(diǎn)P(。，3在雙曲線>=-一上，且方=彳.求點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離；

(3)當(dāng)02一2。_26+3=0,且1^/<3時(shí)，分析并確定整數(shù)。的個(gè)數(shù).

【答案】(1)毛=1(2)2或1(3)整數(shù)a有4個(gè)

【分析】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)和點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離，以及解不等式方程.

(1)根據(jù)題意代入化簡(jiǎn)得y=2(尤-1)2+8,結(jié)合二次函數(shù)得性質(zhì)得取最小值時(shí)x的取值即可；

22

⑵結(jié)合題意得到6==，代入二次函數(shù)中化簡(jiǎn)得y=2x+(--2a]x+a+(^\,利用二次函數(shù)的性質(zhì)求

得a的值，進(jìn)一步求得點(diǎn)尸，即可知點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離;

(3)結(jié)合已知得等式化簡(jiǎn)得y=2x2-(/+3)x+/+〃，結(jié)合與的范圍求得。的可能值，即可得到整數(shù)。的

個(gè)數(shù).

解：(1)有題意知y=(x+l)~+(尤一3)2=尤？+2x+l+尤2—6尤+9=2x?—4尤+10

=2(爐-2尤+1)+8=2(彳-1)2+8,

當(dāng)4=1時(shí)，y取得最小值8;

2

(2)?.?點(diǎn)尸(。⑸在雙曲線y=——上,

x

:.b=—,

a

2

???y=(%-々)2+(x-Z?)2=(%-a)2+"

Ia

—爐—fH---X+

a

??V—_1

。一2'

.??([2〃]],化解得片_。_2=0,解得4=2或2=-1,

-2x2-2

則點(diǎn)尸(2,—1)或尸(—1,2),

???點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為2或1；

(3)y=+(%_b)2

—爐—2cix+a2+/—2bx+/

=2M—(2a+2b)x+/+Z?2

回儲(chǔ)一2〃—2b+3=0，

回/+3=2。+2。，

回y=2%2—(a2+3)%+Q2+b2,

[?]l<x0<3,

fr+3

Bl<_~()<3,化簡(jiǎn)得l〈/<9,

2x2

回。=—2,—1,1,2,

則整數(shù)a有4個(gè).

【變式1】(2023?湖南張家界?中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)，=62+法+。的

圖象與無(wú)軸交于點(diǎn)2(—2,0)和點(diǎn)3(6,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0,6).點(diǎn)。為線段上的一動(dòng)點(diǎn).

⑴求二次函數(shù)的表達(dá)式；

⑵如圖1,求△AOD周長(zhǎng)的最小值；

⑶如圖2,過(guò)動(dòng)點(diǎn)。作D尸〃AC交拋物線第一象限部分于點(diǎn)P,連接尸APB,記與△尸應(yīng))的面積

和為S,當(dāng)S取得最大值時(shí)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)，并求出此時(shí)S的最大值.

1(15、77

【答案】(l)y=_]x2+2尤+6(2)12(3)[3,]J,S最大值=萬(wàn)

【分析】(1)根據(jù)題意設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a(x+2)(x-6),將(0,6)代入求解即可；

(2)作點(diǎn)。關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)E,連接EC、EB,根據(jù)點(diǎn)坐特點(diǎn)及正方形的判定得出四邊形OBEC為

正方形，￡(6,6),連接4E,交BC于點(diǎn)。，由對(duì)稱性，)國(guó)=|。0|,此時(shí)川有最小值為AE的長(zhǎng)，

再由勾股定理求解即可；

(3)由待定系數(shù)法確定直線8C的表達(dá)式為＞=-x+6,直線AC的表達(dá)式為y=3x+6,設(shè)

尸(根,_；蘇+2m+6),然后結(jié)合圖形及面積之間的關(guān)系求解即可.

解：(1)由題意可知，設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a(x+2)(x-6),

將(0,6)代入上式得：6=a(O+2)(O—6),

所以拋物線的表達(dá)式為y=~x2+2x+6；

(2)作點(diǎn)。關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)E,連接EC、EB,

回3(6,0),C(0,6),ZBOC=90°,

SOB=OC=6,

回0、E關(guān)于直線BC對(duì)稱，

回四邊形03EC為正方形，

0E(6,6),

連接AE,交8c于點(diǎn)D,由對(duì)稱性|。耳=陷。|,

此時(shí)口。+|￡刈有最小值為AE的長(zhǎng)，

AE=\lAB2+BE2=V82+62=10

0/\AOD的周長(zhǎng)為DA+DO+AO,

AO=2,/M+OO的最小值為10,

回△A8的周長(zhǎng)的最小值為10+2=12；

(3)由已知點(diǎn)4(—2,0),B(6,0),C(0,6),

設(shè)直線BC的表達(dá)式為y^kx+n,

6k-4-TI=C=

{〃=0一，解得

回直線BC的表達(dá)式為V=-x+6,

同理可得：直線AC的表達(dá)式為y=3x+6,

SPD//AC,

回設(shè)直線尸。表達(dá)式為y=3x+h,

由（1）設(shè)「1〃,一，/+2m+6）,代入直線20的表達(dá)式

得：h=——m2—m+6,

2

13直線尸￡＞的表達(dá)式為：y=3x-^m2-m+6,

121

y--x+6x=—m+—m

84

由，a12“，得'

y=5x——m—m+o11人

2y=——m2——m+o

84

%+。,_力」加+6,

8484J

EP,D都在第一象限,

回S=S2XPAO+S/\PBD=^APAB_S4DAB

T明m2+2m+6nV--m+6

4

[x8-329

—m+—m

84

-=+9〃-鄉(xiāng)m2—6m)

22

a?7

=--(m-3)2+y,

回當(dāng)m=3時(shí)，此時(shí)P點(diǎn)為3,葭

27

【點(diǎn)撥】題目主要考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，包括待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，周長(zhǎng)最短問(wèn)題及面積問(wèn)題,

理解題意，熟練掌握運(yùn)用二次函數(shù)的綜合性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

【變式2】（2023?青海西寧?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線/與X軸交于點(diǎn)4（6,0）,與y

軸交于點(diǎn)3(。,-6),拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,B,且對(duì)稱軸是直線尤=1.

(1)求直線/的解析式；

⑵求拋物線的解析式；

⑶點(diǎn)P是直線I下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作PC，尤軸,垂足為C,交直線/于點(diǎn)過(guò)點(diǎn)尸作PM_L/,

垂足為AL求夫河的最大值及此時(shí)尸點(diǎn)的坐標(biāo).

⑶PM的最大值是半，此時(shí)的尸點(diǎn)坐標(biāo)是(3,-弓]

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求解即可;

(2)根據(jù)題意可設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-l)2+3再利用待定系數(shù)法求解即可；

(3)由題意易證△夫加為等腰直角三角形，即得出PM=無(wú)尸￡>.設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為則

2I42J

D(fJ-6),從而可求出P￡>="6-，/一]_6，-；(53)2+；.再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)7=3時(shí)，

9

PO有最大值是？，此時(shí)尸河最大，進(jìn)而即可求解.

4

解：(1)設(shè)直線/的解析式為y=/nx+〃(/〃wO),

6根+〃=0

把A,2兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式，得

n=-6

m=l

解得:

〃二一6'

回直線/的解析式為y=x-6；

(2)設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-/7)2+Ma20),

回拋物線的對(duì)稱軸為直線X=1,

團(tuán)y=a(x-l)2+k.

25a+左=0

把A,5兩點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式，得

a+k=—6

1

a=-

4

解得：

k=——

[4

回拋物線的解析式為y=*―葉帶十_*6；

(3)解:團(tuán)4(6,0)8(0,-6),

回3=OB=6.

團(tuán)在NAOB中ZAOB=90°,

^\ZOAB=ZOBA=450.

回PC_Lx軸，PM±Z,

^\ZPCA=ZPMD=90°.

在RtADC中，NPC4=90。，ZOAB=45°,

團(tuán)-4)CM5。，

回ZPDM=ZADC=45°.

在RtPMD中，/PMD=90。,/PDM=45。,

團(tuán)sm?4…50=-P--M--,

PD

^PM=—PD.

2

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為--^-6j,則D(rj-6),

2乙131/Q、29

^\PD=t-6-1t——11-6-t2z+-t=——(Z-3)2+-.

424244

0--<0,

4

9

睢"3時(shí)'9有最大值是“此時(shí)PM最大,

V2如二交x2二述,

回PMmax=

2248

ix3-6=-ai,

當(dāng)￡=3時(shí)，-t2--t-6=-x32-

42424

回尸卜

回PAf的最大值是竽，此時(shí)的尸點(diǎn)坐標(biāo)是（3,一日；

【點(diǎn)撥】本題為二次函數(shù)綜合題，考查利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)等知識(shí).掌

握利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵.

【題型4】二次函數(shù)與存在性問(wèn)題

【例4】（2024?山東泰安?中考真題）如圖，拋物線G：y="2+gx-4的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)與x軸交

于點(diǎn)A,點(diǎn)3.

⑴求拋物線的表達(dá)式；

（2）將拋物線向右平移1個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位得到拋物線Q,求拋物線C?的表達(dá)式，并判斷點(diǎn)。

是否在拋物線C?上;

⑶在x軸上方的拋物線C,上，是否存在點(diǎn)尸，使△P3D是等腰直角三角形.若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)尸的坐標(biāo);

，點(diǎn)。在拋物線C2上⑶存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（2,2）

或（T3）

【分析】本題主要考查了求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)與幾何的綜合、二次函數(shù)圖像的平移等知識(shí)點(diǎn),

靈活利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來(lái)成為解題的關(guān)鍵.

（1）將點(diǎn)。的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式>=依2+：》-4,求得a的值即可；

由題意得：2

(2)C2:y=|(x-l)+|(x-l)-4+3=|I,當(dāng)x=l時(shí),

3195319

y=^(x-T-=fl-Y-=-l,即可判斷點(diǎn)D是否在拋物線C2上；

-315J15315)15

(3)分44P為直角、尸為直角、NHPD為直角三種情況，分別運(yùn)用全等三角形的判定與性質(zhì)，進(jìn)

而確定點(diǎn)E的坐標(biāo)，進(jìn)而確定點(diǎn)P的坐標(biāo).

解：(工)將點(diǎn)。的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式＞=必2+：》-4得：-1="+q一4,解得：a=|,

54

則拋物線的表達(dá)式為：y=jx2+|x-4.

2

(2)由題意得：C2:y=|(x-l)+|(x-l)-4+3=|^-|Y-^|,

當(dāng)％=1時(shí),

故點(diǎn)。在拋物線。2上.

(3)存在，理由如下:

①當(dāng)N班尸為直角時(shí)，如圖工，過(guò)點(diǎn)。作。石_15。且。石=B￡,則VBD￡為等腰直角三角形,

NBDG+/EDH=90°,/EDH+ZDEH=90。,

:./BDG=/DEH,

/DGB=/EHD=9U。,

DGB^,EHD（AAS）f

@DH=BG=1,EH=GD=1+2=3,

團(tuán)點(diǎn)石(2,2),

當(dāng)尤=2時(shí)，y==-—=2,即點(diǎn)E在拋物線G上,

315)15315J15

團(tuán)點(diǎn)P即為點(diǎn)E(2,2)；

②當(dāng)/D3尸為直角時(shí)，如圖2,

同理可得：BGEmDHB(AAS),

[W”=3=8G,BH=1=GE,

國(guó)點(diǎn)磯-1,3),

當(dāng)x=-i時(shí)，

0點(diǎn)E在拋物線G上，

回點(diǎn)P即為點(diǎn)現(xiàn)T3)；

③當(dāng)N/7PD為直角時(shí)，如圖3,

同理可得：EHB^DGE(AAS),

0EH=x+2=GD=y+1且BH=y=GE=l-x,解得：x=0且y=1,

回點(diǎn)E(O.l),

1919

當(dāng)尤=0時(shí)，y=-——w1,

31515

即點(diǎn)石不在拋物線G上；

綜上，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為：(2,2)或(-1,3).

【變式1】(2024?山東濟(jì)寧?中考真題)己知二次函數(shù)—加+桁+c的圖像經(jīng)過(guò)(0,-3),(-Ac)兩點(diǎn)，其

中a,b,c為常數(shù)，且a/?>0.

(1)求a,c的值；

(2)若該二次函數(shù)的最小值是T,且它的圖像與x軸交于點(diǎn)A,8(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C.

①求該二次函數(shù)的解析式，并直接寫出點(diǎn)A,B的坐標(biāo)；

②如圖，在y軸左側(cè)該二次函數(shù)的圖像上有一動(dòng)點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)尸作無(wú)軸的垂線，垂足為。，與直線AC交于

S3

點(diǎn)E,連接尸C,CB,BE.是否存在點(diǎn)尸，使產(chǎn)^=信？若存在，求此時(shí)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)