2025屆河南南陽華龍高中高二數學第一學期期末檢測模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．劉徽是一個偉大的數學家，他的杰作《九章算術注》和《海島算經》是中國寶貴的數學遺產，他所提出的割圓術可以估算圓周率π，理論上能把π的值計算到任意精度.割圓術的第一步是求圓的內接正六邊形的面積.若在圓內隨機取一點，則此點取自該圓內接正六邊形的概率是（）A. B.C. D.2．一個幾何體的三視圖都是半徑為1的圓，在該幾何體內放置一個高度為1的長方體，則長方體的體積最大值為（）A. B.C. D.13．數列滿足，且，則的值為（）A.2 B.1C. D.-14．若直線的斜率，則直線的傾斜角的取值范圍是（）A. B.C. D.5．如圖，是函數的部分圖象，且關于直線對稱，則（）A. B.C. D.6．已知圓：和點，是圓上一點，線段的垂直平分線交于點，則點的軌跡方程是:（）A. B.C. D.7．數列中，，，若，則（）A.2 B.3C.4 D.58．已知等比數列的前n項和為，且，則（）A.20 B.30C.40 D.509．已知向量，，則等于（）A. B.C. D.10．命題，，則為（）A.， B.，C.， D.，11．設拋物線的焦點為，點為拋物線上一點，點坐標為，則的最小值為（）A. B.C. D.12．在等比數列中，，則的公比為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若函數在區間上單調遞減，則實數的取值范圍是____________.14．直線的一個法向量________.15．根據某市有關統計公報顯示，隨著“一帶一路”經貿合作持續深化，該市對外貿易近幾年持續繁榮，2017年至2020年每年進口總額x（單位：千億元）和出口總額y（單位：千億元）之間一組數據如下：2017年2018年2019年2020年x1.82.22.63.0y2.02.83.24.0若每年的進出口總額x，y滿足線性相關關系，則______；若計劃2022年出口總額達到5千億元，預計該年進口總額為______千億元16．已知，為雙曲線的左、右焦點，過作的垂線分別交雙曲線的左、右兩支于B，C兩點（如圖）．若，則雙曲線的漸近線方程為______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數列{an}的前n項和為Sn，an＞0，a1＜2，6Sn＝（an+1）（an+2）.（1）求證：數列{an}是等差數列；（2）令，數列{bn}的前n項和為Tn，求證：.18．（12分）橢圓的左、右焦點分別為，短軸的一個端點到的距離為，且橢圓過點過且不與兩坐標軸平行的直線交橢圓于兩點，點與點關于軸對稱.（1）求橢圓的方程（2）當直線的斜率為1時，求的面積；（3）若點，求證：三點共線.19．（12分）已知命題：方程有實數解，命題：，.（1）若是真命題，求實數的取值范圍；（2）若為假命題，且為真命題，求實數的取值范圍.20．（12分）已知橢圓的左、右焦點分別為，，橢圓上一點滿足，且的面積為（1）求橢圓的方程；（2）直線與橢圓有且只有一個公共點，過點作直線的垂線．設直線交軸于，交軸于，且點，求的軌跡方程21．（12分）已知集合，.（1）當時，求AB；（2）設，，若是成立的充分不必要條件，求實數的取值范圍.22．（10分）設橢圓的左，右焦點分別為，其離心率為，且點在C上.（1）求C的方程；（2）O為坐標原點，P為C上任意一點.若M為的中點，過M且平行于的直線l交橢圓C于A，B兩點，是否存在實數，使得？若存在，求值；若不存在，說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】此點取自該圓內接正六邊形的概率是正六邊形面積除以圓的面積，分別求出即可.【詳解】如圖，在單位圓中作其內接正六邊形，該正六邊形是六個邊長等于半徑的正三角形，其面積，圓的面積為則所求概率.故選：B【點睛】此題考查幾何概率模型求解，關鍵在于準確求出正六邊形的面積和圓的面積.2、B【解析】根據題意得到幾何體為半徑為1的球，長方體的體對角線為球的直徑時，長方體體積最大，設出長方體的長和寬，得到等量關系，利用基本不等式求解體積最大值.【詳解】由題意得：此幾何體為半徑為1的球，長方體為球的內接長方體時，體積最大，此時長方體的體對角線為球的直徑，設長方體長為，寬為，則由題意得：，解得：，而長方體體積為，當且僅當時等號成立，故選：B3、D【解析】根據數列的遞推關系式，求得數列的周期性，結合周期性得到，即可求解.【詳解】解：由題意，數列滿足，且，可得，可得數列是以三項為周期的周期數列，所以.故選：D.4、B【解析】根據斜率的取值范圍，結合來求得傾斜角的取值范圍.【詳解】設傾斜角為，因為，且，所以.故選：B5、C【解析】先根據條件確定為函數的極大值點，得到的值，再根據圖像的單調性和導數幾何意義得到和的正負即可判斷.【詳解】根據題意得，為函數部分函數的極大值點，所以，又因為函數在單調遞增，由圖像可知處切線斜率為銳角，根據導數的幾何意義，所以，又因為函數在單調遞增，由圖像可知處切線斜率為鈍角，根據導數的幾何意義所以.即.故選：C.6、B【解析】先由在線段的垂直平分線上得出，再由題意得出，進而由橢圓定義可求出點的軌跡方程.【詳解】如圖，因為在線段的垂直平分線上，所以，又點在圓上，所以，因此，點在以、為焦點的橢圓上.其中，，則.從而點的軌跡方程是.故選：B.7、C【解析】由已知得數列是以2為首項，以2為公比的等比數列，求出，再利用等比數列求和可得答案.【詳解】∵，∴，所以，數列是以2為首項，以2為公比的等比數列，則，∴，∴，則，解得.故選：C.8、B【解析】利用等比數列的前n項和公式即可求解.【詳解】設等比數列的首項為，公比為，則，由得，即，解得或（舍），且代入①得，則，所以.故選：B.9、C【解析】根據題意，結合空間向量的坐標運算，即可求解.【詳解】由，，得，因此.故選：C.10、B【解析】直接利用特稱命題的否定是全稱命題寫出結果即可.【詳解】命題，為特稱命題，而特稱命題的否定是全稱命題，所以命題，，則為：，.故選：B11、B【解析】設點P在準線上的射影為D，則根據拋物線的定義可知|PF|＝|PD|，進而把問題轉化為求|PM|+|PD|的最小值，即可求解【詳解】解：由題意，設點P在準線上的射影為D，則根據拋物線的定義可知|PF|＝|PD|，所以要求|PM|+|PF|的最小值，即求|PM|+|PD|的最小值，當D，P，M三點共線時，|PM|+|PD|取得最小值為故選：B12、D【解析】利用等比數列的性質把方程都變成和有關的式子后進行求解.【詳解】由等比數列的等比中項性質可得，又，所以，因，所以，所以,故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】求解定義域，由導函數小于0得到遞減區間，進而得到不等式組，求出實數的取值范圍.【詳解】顯然，且，由，以及考慮定義域x>0，解得:.在區間，上單調遞減，∴，解得:.故答案為：14、（答案不唯一）【解析】根據給定直線方程求出其方向向量，再由法向量意義求解作答.【詳解】直線的方向向量為，而，所以直線的一個法向量.故答案為：15、①.1.6；②.3.65.【解析】根據給定數表求出樣本中心點，代入即可求得，取可求出該年進口總額.詳解】由數表得：，，因此，回歸直線過點，由，解得，此時，，當時，即，解得，所以，預計該年進口總額為千億元.故答案為：1.6；3.6516、【解析】根據雙曲線的定義先計算出，，注意到圖中漸近線，于是利用兩種不同的表示法列方程求解.【詳解】，則，由雙曲線的定義及在右支上，，又在左支上，則，則，在中，由余弦定理，，而圖中漸近線，于是，得，于是，不妨令，化簡得，解得，漸近線就為：.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】（1）根據數列通項與前項和的關系，構造新等式，作差整理得到，進而求解結論；（2）求出數列{an}的通項公式，再代入裂項求和即可.【小問1詳解】證明：因為，所以當時，，兩式相減，得到，整理得，又因為an＞0，所以，所以數列{an}是等差數列，公差為3；【小問2詳解】證明：當n＝1時，6S1＝（a1+1）（a1+2），解得a1＝1或a1＝2，因為a1＜2，所以a1＝1，由（1）可知公差d＝3，所以an＝a1+（n﹣1）d＝1+（n﹣1）×3＝3n﹣2，所以，所以＝.18、（1）；（2）；（3）證明見解析.【解析】（1）根據已知求出即得橢圓的方程；（2）聯立直線和橢圓的方程求出弦長和三角形的高即得解；（3）聯立直線和橢圓的方程，得到韋達定理，再利用平面向量證明.【小問1詳解】解：由題得，所以橢圓方程為，因為橢圓過點所以，所以所以橢圓的方程為.【小問2詳解】解：由題得,所以直線的方程為即，聯立直線和橢圓方程得，所以,點到直線的距離為.所以的面積為.【小問3詳解】解：設直線的方程為，聯立直線和橢圓的方程得，設，所以，由題得，，所以，所以，所以,又有公共點,所以三點共線.19、（1）或；（2）【解析】（1）由方程有實數根則，可求出實數的取值范圍.(2)為真命題,即從而得出的取值范圍,由（1）可得出為假命題時實數的取值范圍.即可得出答案.【詳解】解：（1）方程有實數解得，，解之得或；（2）為假命題，則，為真命題時，，，則故.故為假命題且為真命題時，.【點睛】本題考查命題為真時求參數的范圍和兩個命題同時滿足條件時，求參數的范圍，屬于基礎題.20、（1）；（2）.【解析】（1）利用可得，由橢圓關系可求得，進而得到橢圓方程；（2）將與橢圓方程聯立可得，得，結合韋達定理可確定點坐標，由此可得方程，進而得到，化簡整理即可得到所求軌跡方程.【小問1詳解】由焦點坐標可知：；，即，，，解得：，，解得：（舍）或，，橢圓的方程為：；【小問2詳解】由得：，，整理可得：；，解得：，，則，令，解得：；令，解得：；，即，又，，則的軌跡方程為：.【點睛】思路點睛：本題考查動點軌跡方程的求解問題，解題基本思路是能夠利用變量表示出所求點的坐標，根據坐標之間關系，化簡整理消掉變量得到所求軌跡方程；易錯點是忽略題目中的限制條件，軌跡中出現多余的點.21、（1）；（2）.【解析】（1）由，解得范圍，可得，由可得：，解得．即可得出（2）由，解得．根據是成立的必要條件，利用包含關系列不等式即可得出實數的取值范圍【詳解】（1）由，解得，可得：，可得：，化為：，解得，所以=.（2）q是p成立的充分不必要條件，所以集合B是集合A的真子集.由，解得，又集合A=，所以或解得0≤a≤2，即實數a的取值范圍是.【點睛】本題考查了簡易邏輯的判定方法、集合之間的關系、不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題22、（1）；（2）.【解析】(1)列出關于a、b、c的方程組求解即可；(2)直線l斜率不存在時，易得λ的值；斜率存在時，設l方程為，聯