浙江省嘉興市2025屆高二上數學期末統考模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．直線與橢圓交于兩點，以線段為直徑的圓恰好經過橢圓的左焦點，則此橢圓的離心率為（）A B.C. D.2．已知等差數列滿足，則等于（）A. B.C. D.3．已知p、q是兩個命題，若“（￢p）∨q”是假命題，則（）A.p、q都是假命題 B.p、q都是真命題C.p是假命題q是真命題 D.p是真命題q是假命題4．設函數在上可導，則等于（）A. B.C. D.以上都不對5．已知隨機變量服從正態分布，，則（）A. B.C. D.6．在二面角的棱上有兩個點、，線段、分別在這個二面角的兩個面內，并且都垂直于棱，若，，，，則這個二面角的大小為（）A. B.C. D.7．若且，則下列不等式中一定成立的是（）A. B.C. D.8．直線y=x+1與圓x2+y2=1的位置關系為A.相切B.相交但直線不過圓心C.直線過圓心D.相離9．在三棱錐中，，，則異面直線PC與AB所成角的余弦值是（）A. B.C. D.10．在正方體中，為棱的中點，則異面直線與所成角的正切值為A. B.C. D.11．已知直線：與雙曲線的兩條漸近線分別相交于A、B兩點，若C為直線與y軸的交點，且，則k等于（）A.4 B.6C. D.12．如圖，在棱長為2的正方體中，點P在截面上（含邊界），則線段的最小值等于（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知定義在實數集R上的函數f(x)滿足f（1）＝3，且f(x)的導數在R上恒有<2(x∈R)，則不等式f(x)<2x＋1的解集為______.14．已知遞增數列共有2021項，且各項均不為零，，如果從中任取兩項，當時，仍是數列中的項，則的范圍是________________，數列的所有項和________15．若把英語單詞“”的字母順序寫錯了，則可能出現的錯誤有______種16．一支車隊有10輛車，某天下午依次出發執行運輸任務．第一輛車于14時出發，以后每間隔10分鐘發出一輛車．假設所有的司機都連續開車，并都在18時停下來休息．截止到18時，最后一輛車行駛了____小時，如果每輛車行駛的速度都是60km/h，這個車隊各輛車行駛路程之和為______千米三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數，.（1）當時，求不等式的解集；（2）若在上恒成立，求取值范圍.18．（12分）已知函數，，其中.（1）試討論函數的單調性；（2）若，證明：.19．（12分）已知等差數列滿足：，（1）求數列的通項公式，以及前n項和公式；（2）若，求數列的前n項和20．（12分）已知函數，從下列兩個條件中選擇一個使得數列{an}成等比數列.條件1：數列{f（an）}是首項為4，公比為2的等比數列；條件2：數列{f（an）}是首項為4，公差為2的等差數列.（1）求數列{an}的通項公式；（2）求數列的前n項和.21．（12分）已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，當以為始邊，為終邊的角時，.（1）求的方程（2）過點的直線交于兩點，以為直徑的圓平行于軸的直線相切于點，線段交于點，求的面積與的面積的比值22．（10分）已知函數（1）若在點處的切線與軸平行，求的值；（2）當時，求證：；（3）若函數有兩個零點，求的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據題意作出示意圖，根據圓的性質以及直線的傾斜角求解出的長度，再根據橢圓的定義求解出的關系，則橢圓離心率可求.【詳解】設橢圓的左右焦點分別為，如下圖：因為以線段為直徑的圓恰好經過橢圓的左焦點，所以且，所以，又因為的傾斜角為，所以，所以為等邊三角形，所以，所以，因為，所以，所以，所以，所以，故選：D.2、A【解析】利用等差中項求出的值，進而可求得的值.【詳解】因為得，因此，.故選：A.3、D【解析】由已知可得￢p，q都是假命題，從而可分析判斷各選項【詳解】∵“（￢p）∨q”是假命題，∴￢p，q都是假命題，∴p真，q假，故選：D.4、C【解析】根據目標式，結合導數的定義即可得結果.【詳解】.故選：C5、B【解析】直接利用正態分布的應用和密度曲線的對稱性的應用求出結果【詳解】根據隨機變量服從正態分布，所以密度曲線關于直線對稱，由于，所以，所以，則，所以故選：B.【點睛】本題考查的知識要點：正態分布的應用，主要考查學生的運算能力和轉換能力及思維能力，屬于基礎題6、C【解析】設這個二面角的度數為，由題意得，從而得到，由此能求出結果.【詳解】設這個二面角的度數為，由題意得，，，解得，∴，∴這個二面角的度數為，故選：C.【點睛】本題考查利用向量的幾何運算以及數量積研究面面角.7、D【解析】根據不等式的性質即可判斷.【詳解】對于A，若，則不等式不成立；對于B，若，則不等式不成立；對于C，若均為負值，則不等式不成立；對于D，不等號的兩邊同乘負值，不等號的方向改變，故正確；故選：D【點睛】本題主要考查不等式的性質，需熟練掌握性質，屬于基礎題.8、B【解析】求出圓心到直線的距離d，與圓的半徑r比較大小即可判斷出直線與圓的位置關系，同時判斷圓心是否在直線上，即可得到正確答案解：由圓的方程得到圓心坐標（0，0），半徑r=1則圓心（0，0）到直線y=x+1的距離d==＜r=1，把（0，0）代入直線方程左右兩邊不相等，得到直線不過圓心所以直線與圓的位置關系是相交但直線不過圓心故選B考點：直線與圓的位置關系9、A【解析】分別取、、的中點、、，連接、、、、，由題意結合平面幾何的知識可得、、或其補角即為異面直線PC與AB所成角，再由余弦定理即可得解.【詳解】分別取、、的中點、、，連接、、、、，如圖：由可得，所以，在，，可得由中位線的性質可得且，且，所以或其補角即為異面直線PC與AB所成角，在中，，所以異面直線AB與PC所成角的余弦值為.故選：A.【點睛】思路點睛：平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面直線的問題化歸為共面直線問題來解決，具體步驟如下：（1）平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；（2）認定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；（3）計算：求該角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當所作的角為鈍角時，應取它的補角作為兩條異面直線所成的角10、C【解析】利用正方體中，，將問題轉化為求共面直線與所成角的正切值，在中進行計算即可.【詳解】在正方體中，，所以異面直線與所成角為，設正方體邊長為，則由為棱的中點，可得，所以，則.故選C.【點睛】求異面直線所成角主要有以下兩種方法：（1）幾何法：①平移兩直線中的一條或兩條，到一個平面中；②利用邊角關系，找到（或構造）所求角所在的三角形；③求出三邊或三邊比例關系，用余弦定理求角；（2）向量法：①求兩直線的方向向量；②求兩向量夾角的余弦；③因為直線夾角為銳角，所以②對應的余弦取絕對值即為直線所成角的余弦值.11、D【解析】先求出雙曲線的漸近線方程，然后分別與直線聯立，求出A、B兩點的橫坐標，再利用可求解.【詳解】由雙曲線方程可知其漸近線方程為：，當時，與聯立，得，同理得，由，且可知，所以有，解得.故選：D12、B【解析】根據體積法求得到平面的距離即可得【詳解】由題意的最小值就是到平面的距離正方體棱長為2，則，，設到平面的距離為，由得，解得故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】構造函數g(x)＝f(x)－2x－1，則原不等式可化為.利用導數判斷出g(x)在R上為減函數，直接利用單調性解不等式即可【詳解】令g(x)＝f(x)－2x－1，則g（1）＝f（1）－2－1＝0.所以原不等式可化為.因為，所以g(x)在R上為減函數.由解得：x>1.故答案為：.14、①.②.1011【解析】根據題意得到，得到，，，，進而得到，從而即可求得的值.【詳解】由題意，遞增數列共有項，各項均不為零，且，所以，所以的范圍是，因為時，仍是數列中的項，即，且上述的每一項均在數列中，所以，，，，即，所以，所以.故答案為：；.15、23【解析】先計算該單詞所有字母能夠組成的所有排列情況，然后減去正確的，即是可能出現錯誤的情況.【詳解】因為“”四個字母組成的全排列共有（種）結果，其中只有排列“”是正確的，其余全是錯誤的，故可能出現錯誤的共有（種）.故答案為：23.16、①.2.5####②.1950【解析】通過分析，求出最后一輛車的出發時間，從而求出最后一輛車的行駛時間，這10輛車的行駛路程可以看作等差數列，利用等差數列求和公式進行求解.【詳解】因為，所以最后一輛車出發時間為15時30分，則最后一輛車行駛時間為18-15.5=2.5小時，第一輛車行程為km，且從第二輛車開始，每輛車都比前一輛少走km，這10輛車的行駛路程可以看作首項為240，公差為-10的等差數列，則10輛車的行程路程之和為（km）.故答案為：2.5,1950三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）或；（2）.【解析】（1）解不含參數的一元二次不等式即可求出結果；（2）二次函數的恒成立問題需要對二次項系數是否為0進行分類討論，即可求出結果.【詳解】（1）當時，，即，解得或，所以，解集為或.（2）因為在上恒成立，①當時，恒成立；②當時，，解得，綜上，的取值范圍為.18、（1）答案見解析（2）證明見解析【解析】（1）先求出函數的定義域，然后求導，再根據導數的正負求出函數的單調區間，（2）要證，只要證，由于時，，當時，令，再利用導數求出其最小值大于零即可【小問1詳解】的定義域為當時，，在上單調遞增；當時，令，解得；令，解得；綜上所述：當時，在上單調遞增，無減區間；當時，在上單調遞減，在上單調遞增；【小問2詳解】，，即證：，即證：當時，，，當時，令，則在上單調遞增在上單調遞增綜上所述：，即19、（1），（2）【解析】（1）由，，列出方程組，求得，即可求得數列的通項公式，利用公式可得.（2）由（1）求得，結合“裂項法”求和，即可求解.【詳解】（1）設等差數列的公差為，因為，，可得，解得，所以數列的通項公式.（2）由（1）知，可得，所以數列的前項和：.【點睛】關鍵點睛：本題主要考查了等差數列的通項公式的求解，以及“裂項法”求和的應用，解答本題的關鍵是將的通項裂成兩項的差，利用裂項相消求和，屬于中檔題.20、（1）（2）【解析】（1）根據所給的條件分別計算后即可判斷，再通過滿足題意的求出通項；（2）由（1）可得，再通過錯位相減法求和即可.【小問1詳解】若選擇條件1，則有，可得，不滿足題意；若選擇條件2，則有，可得，滿足題意，故.【小問2詳解】由（1）可得，所以………①因此有……….②①②可得，即，化簡得.21、（1）（2）【解析】（1）過點作，垂足為，過點作，垂足為，根據拋物線的定義，得到，求得，即可求得拋物線的方程；（2）設直線的方程為，聯立方程組求得，得到，由拋物線的定義得到，根據，求得，設，得到，進而求得，因為為的中點，求得，即可求解.【小問1詳解】解：由題意，拋物線，可得其準線方程，如圖所示，過點作，垂足為，過點作，垂足為，因為時，，可得，又由拋物線的定義，可得，解得，所以拋物線的方程為.【小問2詳解】解：由拋物線，可得，設，因為直線的直線過點，設直線的方程為聯立方程組，整理得，可得，則，因為為的中點，所以，由拋物線的定義得，設圓與直線相切于點，因為交于點，所以且，所以，即，解得，設，則，且，可得，因為，所以點為的中點，所以，又因為為的中點，可得，所以，即的面積與的面積的比值為.22、（1）；（2）證明見解析；（3）.【解析】（1）由可求得實數的值；（2）利用導數分析函數的單調性，求得，即可證得結論成立；（3）分析可知在上存在唯一的極值點，且，可得出，構造函數，分析函數的單調性，求得的取值范圍，再構造，分析函數的單調性，求出的范圍，即可得出的取值范圍.【小問1詳解】解：因為的定義域為，.由題意可得，解得.【小問2詳解】證明：當時，，該函數的定義域為，，令，其中，則，故函數在上遞減，因為，，所以，存在，使得，則，且，當時，，函數單調遞增，當時，，函數單調遞減，所以，，所以，當時，.