江蘇省南通市如東中學、栟茶中學2025屆高二上數(shù)學期末統(tǒng)考試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知數(shù)列的首項為，且，若，則的取值范圍是（）A. B.C. D.2．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍為（）A. B.C. D.3．設正方體的棱長為，則點到平面的距離是（）A. B.C. D.4．新冠肺炎疫情的發(fā)生，我國的三大產(chǎn)業(yè)均受到不同程度的影響，其中第三產(chǎn)業(yè)中的各個行業(yè)都面臨著很大的營收壓力.2020年7月國家統(tǒng)計局發(fā)布了我國上半年國內(nèi)經(jīng)濟數(shù)據(jù)，如圖所示，圖1為國內(nèi)三大產(chǎn)業(yè)比重，圖2為第三產(chǎn)業(yè)中各行業(yè)比重下列關于我國上半年經(jīng)濟數(shù)據(jù)的說法正確的是（）A.第一產(chǎn)業(yè)的生產(chǎn)總值與第三產(chǎn)業(yè)中“其他服務業(yè)”的生產(chǎn)總值基本持平B.第一產(chǎn)業(yè)的生產(chǎn)總值超過第三產(chǎn)業(yè)中“金融業(yè)”的生產(chǎn)總值C.若“住宿和餐飲業(yè)”生產(chǎn)總值為7500億元，則“房地產(chǎn)”生產(chǎn)總值為22500億元D.若“金融業(yè)”生產(chǎn)總值為41040億元，則第二產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)總值為166500億元5．命題“，則”及其逆命題、否命題和逆否命題這四個命題中，真命題的個數(shù)為（）A.0 B.2C.3 D.46．過兩點、的直線的傾斜角為，則的值為（）A.或 B.C. D.7．《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢》是中國古典文學瑰寶，并稱為中國古典小說四大名著.某中學為了解本校學生閱讀四大名著的情況，隨機調(diào)查了100學生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學生共有90位，閱讀過《紅樓夢》的學生共有80位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學生共有60位，則該校閱讀過《西游記》的學生人數(shù)與該校學生總數(shù)比值的估計值為A. B.C. D.8．正三棱錐的側面都是直角三角形，，分別是，的中點，則與平面所成角的余弦值為（）A. B.C. D.9．在三棱柱中，，，，則這個三棱柱的高（）A1 B.C. D.10．已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.充要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件11．命題“，”否定形式是（）A.， B.，C.， D.，12．設等差數(shù)列的前n項和為，若，，則（）A.60 B.80C.90 D.100二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．寫出一個公比為3，且第三項小于1的等比數(shù)列______14．已知，是橢圓：的兩個焦點，點在上，則的最大值為________15．如圖，在棱長為2的正方體中，點分別是棱的中點，是側面正方形內(nèi)一點（含邊界），若平面，則線段長度的取值范圍是__________16．如圖，橢圓的左右焦點為，，以為圓心的圓過原點，且與橢圓在第一象限交于點，若過、的直線與圓相切，則直線的斜率______；橢圓的離心率______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知分別是橢圓的左、右焦點，點是橢圓上的一點，且的面積為1.（1）求橢圓的短軸長；（2）過原點的直線與橢圓交于兩點，點是橢圓上的一點，若為等邊三角形，求的取值范圍.18．（12分）已知等比數(shù)列的前項和為，，．數(shù)列的前項和為，且，（1）分別求數(shù)列和的通項公式；（2）若，為數(shù)列的前項和，是否存在不同的正整數(shù)，，（其中，，成等差數(shù)列），使得，，成等比數(shù)列？若存在，求出所有滿足條件的，，的值；若不存在，說明理由19．（12分）如圖，一個湖的邊界是圓心為的圓，湖的一側有一條直線型公路，湖上有橋（是圓的直徑）.規(guī)劃在公路上選兩個點、，并修建兩段直線型道路、.規(guī)劃要求，線段、上的所有點到點的距離均不小于圓的半徑.已知點到直線的距離分別為和（為垂足），測得，，（單位：百米）.（1）若道路與橋垂直，求道路的長；（2）在規(guī)劃要求下，點能否選在處？并說明理由.20．（12分）已知等差數(shù)列滿足：成等差數(shù)列，成等比數(shù)列.（1）求的通項公式：（2）在數(shù)列的每相鄰兩項與間插入個，使它們和原數(shù)列的項構成一個新數(shù)列，數(shù)列的前項和記為，求及.21．（12分）已知直線過點，且其傾斜角是直線的傾斜角的（1）求直線的方程；（2）若直線與直線平行，且點到直線的距離是，求直線的方程22．（10分）設函數(shù)（1）若在處取得極值，求a的值；（2）若在上單調(diào)遞減，求a的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】由題意，得到，利用疊加法求得，結合由，轉化為恒成立，分，和三種情況討論，即可求解.【詳解】因為，可得，所以，所以，各式相加可得，所以，由，可得恒成立，整理得恒成立，當時，，不等式可化為恒成立，所以；當時，，不等式可化為恒成立；當時，，不等式可化為恒成立，所以，綜上可得，實數(shù)的取值范圍是.故選：C.2、D【解析】根據(jù)題意參變分離得到，求出的最小值，進而求出實數(shù)a的取值范圍.【詳解】由題意得：在上恒成立，即，其中在處取得最小值，，所以，解得：，故選：D3、D【解析】建立空間直角坐標系，根據(jù)空間向量所學點到面的距離公式求解即可.【詳解】建立如下圖所示空間直角坐標系，以為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸.因為正方體的邊長為4，所以，，，，，所以，，，設平面的法向量，所以，，即，設，所以，，即，設點到平面的距離為，所以，故選：D.4、D【解析】根據(jù)扇形圖及柱形圖中的各產(chǎn)業(yè)與各行業(yè)所占比重，得到第三產(chǎn)業(yè)中“其他服務業(yè)”及“金融業(yè)”的生產(chǎn)總值占總生產(chǎn)總值的比重，進而比較出AB選項，利用“住宿和餐飲業(yè)”生產(chǎn)總值和“房地產(chǎn)”生產(chǎn)總值的比值，求出“房地產(chǎn)”生產(chǎn)總值，判斷出C選項，利用第三產(chǎn)業(yè)中“金融業(yè)”的生產(chǎn)總值與第二產(chǎn)業(yè)的生產(chǎn)總值比值，求出第二產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)總值，判斷D選項.【詳解】A選項，第三產(chǎn)業(yè)中“其他服務業(yè)”的生產(chǎn)總值占總生產(chǎn)總值的，因為，所以第三產(chǎn)業(yè)中“其他服務業(yè)”的生產(chǎn)總值明顯高于第一產(chǎn)業(yè)的生產(chǎn)總值，A錯誤；B選項，第三產(chǎn)業(yè)中“金融業(yè)”的生產(chǎn)總值占總生產(chǎn)總值的，因為，故第一產(chǎn)業(yè)的生產(chǎn)總值少于第三產(chǎn)業(yè)中“金融業(yè)”的生產(chǎn)總值，B錯誤；“住宿和餐飲業(yè)”生產(chǎn)總值和“房地產(chǎn)”生產(chǎn)總值的比值為，若“住宿和餐飲業(yè)”生產(chǎn)總值為7500億元，則“房地產(chǎn)”生產(chǎn)總值為億元，故C錯誤；第三產(chǎn)業(yè)中“金融業(yè)”的生產(chǎn)總值占總生產(chǎn)總值的，與第二產(chǎn)業(yè)的生產(chǎn)總值比值為，若“金融業(yè)”生產(chǎn)總值為41040億元，則第二產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)總值為166500億元，D正確.故選：D5、D【解析】首先判斷原命題的真假，寫出其逆命題，即可判斷其真假，再根據(jù)互為逆否命題的兩個命題同真假，即可判斷；【詳解】解：因為命題“，則”為真命題，所以其逆否命題也為真命題；其逆命題為：則，顯然也為真命題，故其否命題也為真命題；故命題“，則”及其逆命題、否命題和逆否命題這四個命題中，真命題有4個；故選：D6、D【解析】利用斜率公式可得出關于實數(shù)的等式與不等式，由此可解得實數(shù)的值.詳解】由斜率公式可得，即，解得.故選：D.7、C【解析】根據(jù)題先求出閱讀過西游記人數(shù)，進而得解.【詳解】由題意得，閱讀過《西游記》的學生人數(shù)為90-80+60=70，則其與該校學生人數(shù)之比為70÷100=0.7．故選C【點睛】本題考查容斥原理，滲透了數(shù)據(jù)處理和數(shù)學運算素養(yǎng)．采取去重法，利用轉化與化歸思想解題8、C【解析】以P為原點，PA為x軸，PB為y軸，PC為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出PB與平面PEF所成角的正弦值.【詳解】∵正三棱錐的側面都是直角三角形，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，∴以P為原點，PA為x軸，PB為y軸，PC為z軸，建立空間直角坐標系，設，則，，，，，，，，設平面PEF的法向量，則，取，得，設PB與平面PEF所成角為，則，∴PB與平面PEF所成角的正弦值為.故選：C.9、D【解析】先求出平面ABC的法向量，然后將高看作為向量在平面ABC的法向量上的投影的絕對值，則答案可求.【詳解】設平面ABC的法向量為，而，，則,即有,不妨令,則,故,設三棱柱的高為h，則,故選：D.10、B【解析】求得中的取值范圍，由此確定充分、必要條件.【詳解】，，所以“”是“”的充要條件.故選：B11、C【解析】利用含有一個量詞的命題的否定的定義求解.【詳解】因為命題“，是特稱命題，所以其否定是全稱命題，即為，故選：C12、D【解析】由題設條件求出，從而可求.【詳解】設公差為，因為，，故，解得，故，故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、（答案不唯一）【解析】由條件確定該等比數(shù)列的首項的可能值，由此確定該數(shù)列的通項公式.【詳解】設數(shù)列的公比為，則，由已知可得，∴，所以，故可取，故滿足條件的等比數(shù)列的通項公式可能為，故答案為：（答案不唯一）14、9【解析】根據(jù)橢圓的定義可得，結合基本不等式即可求得的最大值.【詳解】∵在橢圓上∴∴根據(jù)基本不等式可得，即，當且僅當時取等號.故答案為：9.15、【解析】取的中點G，連接FG，BG，F(xiàn)B，由正方體的幾何特征，易證平面AEC//平面BFG，再根據(jù)是側面內(nèi)一點（含邊界），且平面，得到點P在線段BG上運動，然后在等腰中求解.【詳解】如圖所示：取的中點G，連接FG，BG，F(xiàn)B，在正方體中，易得又因為平面BFG，平面BFG，所以平面BFG，同理證得平面BFG，又因為，所以平面AEC//平面BFG，因為是側面內(nèi)一點（含邊界），且平面，所以點P線段BG上運動，如圖所示：在等腰中，作，且，所以，設點F到線段BG的距離為d，由等面積法得，解得，所以線段長度的取值范圍是，故答案為：16、①.②.【解析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求得，由此求得，結合橢圓的定義求得離心率.【詳解】連接，由于是圓的切線，所以.在中，，所以，所以，所以直線的斜率.，根據(jù)橢圓的定義可知.故答案為：；【點睛】本小題主要考查橢圓的定義、橢圓的離心率，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）2（2）【解析】（1）根據(jù)題意表示出的面積，即可求得結果；（2）分類討論直線斜率情況，然后根據(jù)是等邊三角形，得到，聯(lián)立直線和橢圓方程，用點的坐標表示上述關系式，化簡即可得答案.【小問1詳解】因為，所以，又因為，所以，，所以，則橢圓的短軸長為2.【小問2詳解】若為等邊三角形，應有，即.當直線的斜率不存在時，直線的方程為，且，此時若為等邊三角形，則點應為長軸頂點，且，即.當直線的斜率為0時，直線的方程為，且，此時若為等邊二角形，則點應為短軸頂點，此時,不為等邊三角形.當直線的斜率存在且不為0時，設其方程為，則直線的方程為.由得,同理.因為，所以，解得.因為，所以，則，即.綜上，的取值范圍是.18、（1），；（2）不存在，理由見解析.【解析】（1）利用數(shù)列為等比數(shù)列，將已知的等式利用首項和公比表示，得到一個方程組，求解即可得到首項和公比，結合等比數(shù)列的通項公式即可求出；將已知的等式變形，得到數(shù)列為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列通項公式求出，再結合數(shù)列的第項與前項和之間的關系進行求解，即可得到；（2）先利用等比數(shù)列求和公式求出，從而得到的表達式，然后利用裂項相消求和法求出，假設存在不同的正整數(shù)，，（其中，，成等差數(shù)列），使得，，成等比數(shù)列，利用等比中項、等差中項以及進行化簡變形，得到假設不成立，故可得到答案【詳解】（1）因為數(shù)列為等比數(shù)列，設首項為，公比為，由題意可知，所以，所以，由②可得，即，所以或2，因為，所以，所以，所以，由，可得，所以數(shù)列為等差數(shù)列，首項為，公差為1，故，則，當時，，當時，也適合上式，故（2）由，可得，所以，所以，假設存在不同的正整數(shù)，，（其中，，成等差數(shù)列），使得，，成等比數(shù)列，則有，所以，則，即，因為，所以，即，所以，所以，則，所以，則，所以，即，所以，這與已知的，，互不相等矛盾，故不存在不同的正整數(shù)，，（其中，，成等差數(shù)列），使得，，成等比數(shù)列【點睛】裂項相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時很難找到裂項的方向，突破這一難點的方法是根據(jù)式子的結構特點，常見的裂項技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂項之后相消的過程中容易出現(xiàn)丟項或多項的問題，導致計算結果錯誤.19、（1）15（百米）（2）點選在處不滿足規(guī)劃要求，理由見解析【解析】（1）建立適當?shù)淖鴺讼担脠A及直線的方程，進而得解.（2）不妨點選在處，求方程并求其與圓的交點，在線段上取點不符合條件，得結論.【小問1詳解】如圖，過作，垂足為.以為坐標原點，直線為軸，建立平面直角坐標系.因為為圓的直徑，，所以圓的方程為.因為，，所以，故直線的方程為，則點，的縱坐標分別為3，從而，，直線的斜率為.因為，所以直線的斜率為，直線的方程為.令，得，，所以.因此道路的長為15（百米）.【小問2詳解】若點選在處，連結，可求出點，又，