專題21特殊的平行四邊形（45題）

一、單選題

1.（2024?重慶?中考真題）如圖，在矩形A8CD中，分別以點A和C為圓心，長為半徑畫弧，兩弧有且

僅有一個公共點.若A￡>=4,則圖中陰影部分的面積為（）

A.32-8nB.16A/3-4TI

C.32-4兀D.1673-871

【答案】D

【分析】本題考查扇形面積的計算，勾股定理等知識.根據題意可得AC=2AD=8,由勾股定理得出

AB=46,用矩形的面積減去2個扇形的面積即可得到結論.

【解析】連接AC,根據題意可得AC=2AD=8,V矩形ABCD,：.AD=BC=4,ZABC=90。，在RtAABC

中，AB=JAC?_3c2=45,圖中陰影部分的面積=4x46-2x也*=16百-8萬?故選，D.

2.（2024?甘肅臨夏?中考真題）如圖，。是坐標原點，菱形A30C的頂點5在x軸的負半軸上，頂點C的坐

標為（3,4）,則頂點A的坐標為（）

A.(-4,2)B.\/3,4)C.(-2,4)D.(-4,73)

【答案】C

【分析】本題考查平面直角坐標系內兩點間的距離公式，菱形的性質，坐標與圖形.結合菱形的性質求出

AC=OC=5是解題關鍵.由兩點間的距離公式結合菱形的性質可求出AC=OC=5,從而可求出AD=2,

即得出頂點A的坐標為（-2,4）.

【解析】如圖，：點C的坐標為（3,4）,AOC=A/32+42=5-:四邊形ABOC為菱形，，AC=OC=5,

AD=AC-CD=AC-xc=5-3=2,.,.頂點A的坐標為（-2,4）.故選C.

3.（2024?湖北武漢?中考真題）小美同學按如下步驟作四邊形ABCD：①畫/M4N；②以點A為圓心，1個

單位長為半徑畫弧，分別交AM,AN于點8,D；③分別以點3,。為圓心，1個單位長為半徑畫弧，兩

弧交于點C；④連接BC,CD,BD.若NA=44。，則/CBD的大小是（）

C.68°D.70°

【答案】C

【分析】本題考查了基本作圖，菱形的判定和性質，根據作圖可得四邊形ABCD是菱形，進而根據菱形的

性質，即可求解.

【解析】作圖可得AB=AD=3C=OC.?.四邊形ABCD是菱形，AD\\BC,ZABD=ZCBD-：ZA=44°,

ZMBC=ZA=44°,：.ZCBD=1(180°-ZMBC)=1(180°-44°)=68°,故選，C.

4.（2024.四川成都?中考真題）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與8。相交于點0,則下列結論一定正

確的是（）

A.AB^ADB.ACIBDC.AC^BDD.ZACB^ZACD

【答案】C

【分析】本題考查矩形的性質，根據矩形的性質逐項判斷即可.

【解析】：四邊形ABCD是矩形，AAB=CD,AC=BD,AD〃BC,則/ACB=/D4C,.?.選項A中

AB=AD不一定正確，故不符合題意；選項B中AC13D不一定正確，故不符合題意；選項C中AC=3D

一定正確，故符合題意；選項D中NACB=NACD不一定正確，故不符合題意，故選，C.

5.（2024?黑龍江綏化?中考真題）如圖，四邊形ABCD是菱形，CD=5,BD=8,AE_L8c于點E,則AE

的長是（）

【答案】A

【分析】本題考查了勾股定理，菱形的性質，根據勾股定理求得OC,進而得出AC=6,進而根據等面積

法，即可求解.

【解析】：四邊形ABC。是菱形，CD=5,8。=8,二￡>O=|BZ）=4,AC±BD,BC=CD=5,在Rt^CDO

中，CO=dDC?-DO?=3,；.AC=2OC=6,:菱形ABCD的面積為gaCxBOnBCxAE，

X8X6

4F_2_24,故選，A.

55

6.（2024?河北?中考真題）在平面直角坐標系中，我們把一個點的縱坐標與橫坐標的比值稱為該點的“特征

值”.如圖，矩形ABCD位于第一象限，其四條邊分別與坐標軸平行，則該矩形四個頂點中“特征值”最小的

是（）

D------.c

A---------'B

Ox

A.點AB.點8C.點CD.點。

【答案】B

【分析】本題考查的是矩形的性質，坐標與圖形，分式的值的大小比較，設4（。/），AB=m,AD=n,

可得。（a,b+〃），B（a+m,b）,C[a+m,b+n）,再結合新定義與分式的值的大小比較即可得到答案.

【解析】設A（a,Z?）,AB—m,AD=n,,矩形A_BCD,AD=BC=n,AB=CD=m,.,?/）（〃,/?+〃），

8（。+犯》）,C（tz+m,Z?+n）,-<-<—,而上<婦3,??.該矩形四個頂點中“特征值”最小的

a+maaa+ma+m

是點3故選，B.

7.（2024?吉林?中考真題）如圖,在平面直角坐標系中，點A的坐標為（-4,0）,點C的坐標為（0,2）.以0Aoe

為邊作矩形。4BC,若將矩形Q4BC繞點。順時針旋轉90。，得到矩形OAEC,則點8'的坐標為（）

少

A-------

B________C

AOCx

A.（M,-2）B.（T,2）C.（2,4）D.（4,2）

【答案】C

【分析】本題主要考查了坐標與圖形變化一旋轉，矩形的性質等等，先根據題意得到。4=4,OC=2,再

由矩形的性質可得AB=OC=2,ZABC=90°,由旋轉的性質可得。T=。4=4,AB'=AB=2,

ZOA'B'=90°,據此可得答案.

【解析】??,點A的坐標為（Y,0）,點C的坐標為（0,2）,；.。4=4,0c=2,...四邊形Q4BC是矩形，

AB=OC=2,4BC=90。，：將矩形Q4BC繞點。順時針旋轉90。，得到矩形OAEC,

OA=OA=4,A!B'=AB=2,ZOAB'=90°,A'B'ly軸，.?.點B'的坐標為（2,4）,故選，C.

8.（2024?甘肅?中考真題）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC,3D相交于點0,ZABD=60°,AB=2,

則AC的長為（）

人.口

X

BC

A.6B.5C.4D.3

【答案】c

^OA=OB=OC=OD=^AC,結合ZABD=60。，得到AAOB是等邊三

【分析】根據矩形ABCD的性質

JB=AB=^AC,解得即可.

角形，結合AS=2,得到。4=（

本題考查了矩形的性質，等邊三角形的判定和性質，熟練掌握矩形的性質是解題的關鍵.

【解析】根據矩形ABCD的性質，得。4=08=OC=。￡>=；AC,；ZABD=60°,/.^AOB是等邊三角形，

VAB^2,：.OA=OB=AB=^AC=2,解得AC=4.故選C.

9.（2024.四川眉山?中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB=6,8C=8,點E1在。。上，把VADE沿AE

折疊，點。恰好落在邊上的點尸處，貝UcosNCEF的值為（）

.4

【答案】A

【分析】本題考查了矩形的性質，折疊的性質，勾股定理，求角的三角函數等知識點，正確利用折疊的性

質是解題的關鍵.

根據折疊的性質，可求得AF=AD=8,EF=DE,從而求得跖，CF,在Rt^￡FC中，由勾股定理，得

EF?=CE、CF2,即可求得結果.

【解析】；四邊形ABCD是矩形，，加=叱=8,DC=AB=6,；把VADE沿AE折疊，點。恰好落在8c

邊上的點尸處，...”=9=8,EF=DE,BF=YIAF2-AB2=A/82-62=2yfj-:.CF=BC-BF=8-2幣,

在RtA￡FC中，CE=DC-DE=6-EF,由勾股定理，得EF2=CE1+CF2,EF2=（6-EF）2+（8-2近丫，

8出-14

10.（2024?甘肅?中考真題）如圖1,動點尸從菱形ABCD的點A出發，沿邊AB-3c勻速運動，運動到點

C時停止.設點尸的運動路程為x,PO的長為y,y與x的函數圖象如圖2所示，當點P運動到BC中點

時，尸。的長為（）

圖1圖2

A.2B.3C.也D.2>/2

【答案】C

【分析】結合圖象，得到當X=O時，尸0=49=4,當點尸運動到點2時，尸0=80=2,根據菱形的性

質，得NA08=N80C=90。，繼而得至UAB=BC={0尺+OB?=2石，當點尸運動到3c中點時，尸。的

長為:=解得即可.

本題考查了菱形的性質，圖象信息題，勾股定理，直角三角形的性質，熟練掌握菱形的性質，勾股定理,

直角三角形的性質是解題的關鍵.

【解析】結合圖象，得到當x=0時，PO=AO=4,當點尸運動到點B時，PO=BO=2,根據菱形的性

質，得NAaB=N8OC=90。，i&AB=BC=^0^+0B2=2^'當點尸運動到中點時，尸。的長為

1BC=A/5,故選C.

2

11.（2024?甘肅臨夏.中考真題）如圖1,矩形ABCD中，BD為其對角線,一動點P從。出發,沿著D—BfC

的路徑行進，過點尸作PQLCD,垂足為Q.設點廠的運動路程為x,PQ-DQ為y,y與X的函數圖象

如圖2,則AO的長為（

11

D.T

【答案】B

【分析】本題考存了動點問題的函數圖象，根據圖象得出信息是解題的關鍵.

根據函數的圖象與坐標的關系確定8的長，再根據矩形性質及勾股定理列方程求解.

【解析】由圖象得：CD=2,當6￡>+BP=4時，PQ=CD=2,此時點尸在BC邊上，設此時BP=a,則

222

BD=4-a,AT>=2C=2+a,在RQ3co中，BD2-BC2=CD\（4-a）-（a+2）=2?,解得：a=~,

Q

/.AD=a+2=—,故選,B.

3

12.（2024.廣西.中考真題）如圖，邊長為5的正方形ABC。，E,F,G,〃分別為各邊中點，連接AG,BH,

CE,DF,交點分別為M,N,P,Q,那么四邊形MN尸。的面積為（）

DGC

o

A.1B.2C.5D.10

【答案】C

【分析】先證明四邊形MNP。是平行四邊形，利用平行線分線段成比例可得出AM=QM,證

明AADG絲AR4H（SAS）得出ZZMG=ZABH,則可得出NQMN=ZAMB=90。，同理NAQD=90。，得出平行

四邊形MNPQ是矩形，證明AADQ四△區4M（AAS）,得出。Q=A〃，進而得出QQ=AM=PQ=QM,得出

矩形MNP。是正方形，在Rt^AOQ中，利用勾股定理求出QM。=5,然后利用正方形的面積公式求解即可.

【解析】???四邊形ABCD是正方形，，AB=3C=CZ）=ZM,AB//CD,AD//BC,

ZDAB=ZABC=N3Cr>=NCn4=90。，分另1J為各邊中點，CG=DG=-CD=AH,AE=-AB,

22

??.DG=CG=AE,?,?四邊形AECG是平行四邊形，???AG〃C￡,同理。尸||5",???四邊形腦VPQ是平行四

邊形，VAG//CE,二備=冬=1，DQ=PQ,同理AM=QM,,:DG=AH,ZADG=ZBAH=90°,

AD=BA,AADG'BAH（SAS）,；.ZDAG=ZABH,"：ZDAG+Z.GAB=90°,；.ZABH+ZGAB=90°,

ZQMN=ZAMB=90°,同理ZAQ￡>=90。，；.平行四邊形MNP。是矩形，VZAQD=ZAMB=90°,

ZDAG=ZABH,AD=BA,/.ADQ^BAM（AAS）,：.DQ=AM,又DQ=PQ,AM=QM,

￡>Q=AM=PQ=QA/,.?.矩形MNPQ是正方形，在Rt^AOQ中，AD^DQ^+AQ1,：.52QM2+（2QM^,

。叱=5,.?.正方形MNP。的面積為5,故選，C.

13.（2024?內蒙古呼倫貝爾?中考真題）如圖，邊長為2的正方形A3C。的對角線AC與8。相交于點。.E

是2C邊上一點，尸是8。上一點，連接。耳跖.若ADE尸與△￡>￡《關于直線DE對稱，則△3EF的周長

是（）

A.20B.2+0C.4-20D.拒

【答案】A

【分析】本題考查了正方形的性質和折疊的性質，屬于基礎題型，熟練掌握正方形的性質和折疊的性質是

解題的關鍵.根據正方形的性質可求出2。=2后，根據軸對稱的性質可得小="C=2,

ZDFE=NBCD=90°則BF=BD—DF=2五一2，再求出所=8尸=2近一2，BE=?BF=4-2也,即

可求出答案.

【解析】正方形A3CD的邊長為2,3C=￡>C=2,48。=90。,。。=：&）,ZCBD=45°,

BD=y/BC2+DC2=2A/2-???△fiEF與ADEC關于直線OE對稱，產=OC=2,ZDFE=ZBCD=90°,

:?BF=BD-DF=2及-2,NBFE=9Q。,：.ZFBE=ZFEB=45°,:.EF=BF=2及-2,

2石=&2尸=@2忘-2）=4-2忘,△BEF的周長是2石+所+8尸=4_2&+2忘-2+2夜—2=20,

故選，A.

14.（2024?上海.中考真題）四邊形ABCD為矩形，過A、C作對角線30的垂線，過8、。作對角線AC的垂

線，如果四個垂線拼成一個四邊形，那這個四邊形為（）

A.菱形B.矩形C.直角梯形D.等腰梯形

【答案】A

【分析】本題考查矩形性質、等面積法、菱形的判定等知識，熟練掌握矩形性質及菱形的判定是解決問題

的關鍵.由矩形性質得到SAOBCM""。，OC=OB=Q4=8,進而由等面積法確定C"=/=AE=OG,

再由菱形的判定即可得到答案.

【解析】如圖所示.???四邊形ABCD為矩形，.,?々。"二川”。，OC=OB=OA=OD,-,-HA.C作對角線8。

的垂線，過8、。作對角線AC的垂線，.?.S，oBc=S，aw=；OC8b=；OBC〃=；OD-AE=；a4-￡）G，

CH=BF=AE=DG,如果四個垂線拼成一個四邊形，那這個四邊形為菱形，故選，A.

15.（2024?四川德陽?中考真題）寬與長的比是由二1的矩形叫黃金矩形，黃金矩形給我們以協調的美感,

2

世界各國許多著名建筑為取得最佳的視覺效果，都采用了黃金矩形的設計.已知四邊形A3CD是黃金矩

形.（AB<3C）,點尸是邊上一點，則滿足尸3,PC的點P的個數為（）

A.3B.2C.1D.0

【答案】D

【分析】本題考查了矩形的性質，勾股定理，一元二次方程的解，熟練掌握勾股定理，利用判別式判斷一

元二次方程解的情況是解題的關鍵.設鉆=a,BC=b,假設存在點P,且=則尸￡>=6-x,利用

2222222

勾股定理得至產=4笈+”2=“2+/，pC=PD+CD=（b-Xy+a,BC^BP+PC,可得到方程

尤2一法+/=0,結合空=0=1二然后根據判別式的符號即可確定有幾個解，由此得解.

BCb2

【解析】如圖所示，四邊形A5CD是黃金矩形，AB<BC,絲=1二1,設AB=a,BC=b,假設存在

BC2

點尸，S.AP=x,則尸￡>=6—x,在RMABP中，BP2=AB2+AP2^a2+x2,在RtAPDC1中，

PC2=PD2+CD2=（b-x）2+a2,vPBLPC,，BC2=BP2+PC2,即〃=/+/+（）一外2十/,整理

^x2-bx+a1=0,A=/?2—4ac=b2—4a2>,BPa=-~-b>

BCb22

A=力-4ac=b2-4a2=及一4x-1）川=（2下-5）力，'：2右一5<0,b2>0,

4

△=/_4〃=（2百-5屹2<0,方程無解，即點P不存在.故選，D.

16.（2024?四川瀘州?中考真題）如圖，在邊長為6的正方形A3CD中，點￡,尸分別是邊AB,BC上的動

點,且滿足=AF與DE交于點。，點M是"'的中點，G是邊48上的點，AG=2G3,則

的最小值是（）

C.8D.10

【答案】B

【分析】本題主要考查了正方形的性質，全等三角形的性質與判定，直角三角形的性質，勾股定理等等,

先證明AADE0ABAF（SAS）得到/4DE=NE4E,進而得到/。（?=90。，則由直角三角形的性質可得

OM=；DF,如圖所示，在AB延長線上截取BH=BG,連接,易證明AFBG知FBH（SAS），則F"=bG,

可得當H、D、尸三點共線時，DF+HR有最小值，即此時有最小值，最小值即為的長的

一半，求出AH=8,在RSADH中，由勾股定理得DH=[AD。+AH?=10，責任OM的最小值為

5.

【解析】??,四邊形ABCD是正方形，，A￡>=AB,ZDAB=ZABC=90°,又,：AE=BF,：.

^ADE^BAF（SAS）,：.ZADE=ZBAF,：.ZDOF=ZADO+Z.DAO=ZBAF+Z.DAO=Z.DAB=90°,:

點用■是。尸的中點，如圖所示，在4B延長線上截取BH=5G,連接FH,

ZFBG=ZFBH=90°,FB=FB,BG=BH,:.AFBGmAFBH（SAS）,:.FH=FG,：.

OM+]-FG=\DF+-HF=-（DF+HF）,.?.當X、D、尸三點共線時，。廠+所有最小值，即此時

2222'7

OM+工廠G有最小值，最小值即為的長的一半，；AG=2G3,AB=6,；.BH=BG=2,；.AH=8,

2

在Rt&4￡）”中，由勾股定理得DH=JAD。+AH?=10,OM+g尸G的最小值為5,故選，B.

17.（2024.重慶?中考真題）如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點E是BC上一點，點歹是CO延長線上

一點，連接AE,AF,40平分ZEAF.交CD于點M.若BE=DF=l,則DM的長度為（）

12

A.2B.y[5C.76D.

y

【答案】D

【分析】本題主要考查了正方形的性質，全等三角形的性質與判定，勾股定理，先由正方形的性質得到

NABE=NADC=N4m=NC=90。，AB=AD=CD=BC=4,再證明/VIBE絲ZW^lSAS)得到

AE=AF,進一步證明△AEM/△AFM(SAS)得到四=9,設DM=尤，貝|

EM=FM=DF+DM=x+1,CM=CD-DM=4-x,

在Rt^CEM中，由勾股定理得(X+1)2=32+(4-X＞，解方程即可得到答案.

【解析】：四邊形ABCD是正方形，/鉆石二乙堂^:二/功不二二^二的。，AB=AD=CD=BC=4,又

BE=DF=1,：.ZVLBE^ZXADF(SAS),：.AE=AF,,：AM平分NEAF,/./FAM=ZFAM,又：

AM=AM,ZXAEM^AAFM(SAS),：.EM=FM,設￡)M=x,貝！]

EM=FM=DF+DM=x+1,CM=CD-CM=4—x,在RtACEM中，由勾股定理得EM?=CE?+CM?,

oo1?12

(X+1)2=32+(4-X)-,解得X=[,:.DM=W,故選，D.

二、填空題

18.（2024?福建?中考真題）如圖，正方形A3CD的面積為4,點E,F,G,斤分別為邊AB,BC,CD,

AD的中點，則四邊形瓦G"的面積為.

【答案】2

【分析】本題考查正方形性質，線段中點的性質，根據正方形性質和線段中點的性質得到m=OG=1,

進而得到%GH，同理可得S/HE=S回=S承GF=1，最后利用四邊形EFGH的面積=正方形ABCD的面積

Y個小三角形面積求解，即可解題.

【解析】??,正方形ABCD的面積為4,.1AS=30=00=4）=2,?￡>90?,；點E,F,G,H分別為

邊A3,BC,CD,AZ）的中點,HD=_DG=1,=5義1義1=5,同I理可得號人班=5?￡物=S<GF=5,

二四邊形EFGH的面積為4一一］=2.故答案為：2.

2222

19.（2024?山東威海?中考真題）將一張矩形紙片（四邊形A8CD）按如圖所示的方式對折，使點C落在AB

上的點C處，折痕為MN,點。落在點D處，C'。'交AD于點E.若氏0=3,BC'=4,AC'=3,則

DN=

【分析】本題考查矩形的折疊問題，全等三角形的判定和性質，勾股定理，先根據勾股定理求出

C'M=CM=5,然后證明ABC'M玨AEC',得到BC'=AE=4,MC=C'E=5,即可得到DE=4,DE=2,

然后在RtAD'EN中，利用NE2=D'E2+D'N2解題即可.

【解析】在Rt^C'3M中，C'M=+BM?=次+3?=5，由折疊可得CM=CM=5,

AD'CM=AD'=AD=AC=90°,又：ABCD是矩形，/.ZA=ZB=90°,

ZBC'M+ZACE=ZAEC+ZAC'E=90°,ZBC'M=ZAEC,又；AC'=BM=3,：.ABC'M知AEC',

ABC'=AE^A,MC'=C'E=5,:.AB=CD=C'D=7,BC=")=3M+CW=3+5=8,

DE=AD-AE=8-4=4,UE=C'D'-C'E=l-5=2,設DN=DN=a,則硒=4-a,在RtA/ZHV中，

22

NE=D'E-+D'N,即(4-a)2=1+22,解得：a=~,故答案為5.

20.(2024?河南?中考真題)如圖，在平面直角坐標系中,正方形ABCD的邊在x軸上，點A的坐標為(-2,0),

點E在邊CO上.將ABCE沿8E折疊，點C落在點F處.若點尸的坐標為(0,6)，則點E的坐標為.

【答案】（3,10）

【分析】設正方形ABCD的邊長為a,CD與y軸相交于G,先判斷四邊形AOGD是矩形，得出OG=AD=a,

DG=AO,NEG尸=90。，根據折疊的性質得出Bb=BC=a,CE=FE,在Rt/\BO廠中，利用勾股定理

構建關于a的方程，求出a的值，在RSEGF中，利用勾股定理構建關于CE的方程，求出CE的值，即可

求解.

【解析】設正方形A5CD的邊長為a,CO與y軸相交于G,則四邊形AOGD是矩形，.;OG=AD=a,

DG^AO,NEGF=90°，:折疊，3尸=BC=a,CE=EE，:點A的坐標為（—2,0）,點F的坐標為（0,6）,

；.AO=2,FO=6,：.BO=AB-AO=a-2,在Rt^BO尸中，BO2+FO2=BF2,（a-2）2+62=a2,

解得。=10,:.FG=OG—OF=4,GE=CD-DG-CE=8-CE,在RtAEGb中，GE2+FG2=EF2,：.

（8-CE）2+42=CE2>解得。5=5,；.6/=3,，點￡的坐標為（3,10）,故答案為:（3,10）.

21.（2024?廣西?中考真題）如圖，兩張寬度均為3cm的紙條交叉疊放在一起，交叉形成的銳角為60。，則

重合部分構成的四邊形ABCD的周長為cm.

【答案】8百

【分析】本題考查了平行四邊形的判定，菱形的判定和性質，菱形的周長，過點A作A",8c于

ANLCD于N,由題意易得四邊形ABC。是平行四邊形，進而由平行四邊形的面積可得AM=AN,即可

得到四邊形ABCD是菱形，再解RtA"W可得AO='g=2j§cm,即可求解，得出四邊形45co是菱

sm60

形是解題的關鍵.

【解析】過點A作于ANLCD于N,則Z/WD=90。，：兩張紙條的對邊平行，CD,

AD〃3C,...四邊形A3CD是平行四邊形，又：兩張紙條的寬度相等，.?.AAf=AN,：

SaABCD=BCAM=CDAN,：.BC=CD,：.四邊形A3CD是菱形，在RtAADN中，ZADN=60°,AN=3cm,

AD=AN_3_2-/3cm

/."sin60°-73-，，四邊形ABC。的周長為2岔x4=8gcm,故答案為：86.

22.(2024.天津?中考真題)如圖，正方形ABCO的邊長為3也，對角線相交于點。，點￡在C4的

延長線上，OE=5,連接。E.

(1)線段AE的長為;

(2)若歹為OE的中點，則線段AF的長為.

【答案】2^/-A/10

22

【分析】本題考查正方形的性質，中位線定理，正確添加輔助線、熟練運用中位線定理是解題的關鍵；

(1)運用正方形性質對角線互相平分、相等且垂直，即可求解，

(2)作輔助線，構造中位線求解即可.

【解析】(1),,?四邊形A3CD是正方形，NOOC=90。，在RSOOC中，

OD-+OC2=DC2,DC=372，:.OD=OC=OA=OB=3,vOE=5--AE=OE-OA=5-3=2；⑵延

長DA到點G,使AG=AT>,連接EG由E點向AG作垂線，垂足為H：尸為DE的中點，A為GD的中點，

二■為△■DGE的中位線，在Rt^￡AH中，ZEAH=ZDAC=45°,:.AH=EH-：AH2+EH2=AE2>

:.AH=EH=拒：.GH=AG-AH=3O-6=272在RtAEHG中，EG2=EH2+GH2=2+8=10,

;.EG=,”為△DGE的中位線，.?.AF=LEG=典；故答案為：2；典.

222

23.（2024.內蒙古包頭?中考真題）如圖，在菱形A3CZ）中，ZABC=60°,AB=6,AC是一條對角線，E

是AC上一點，過點E作垂足為人連接OE.若CE=AF,則DE的長為.

【答案】2幣

【分析】本題考查了菱形的性質，等邊三角形的判定與性質，勾股定理等知識，過。作D〃1_AC于X,

先判斷AAFC,AACD都是等邊三角形，得出ZE4F=6O。，AC=AB=6,AH=CH=^AC=3,利用含30。

的直角三角形的性質可得出AE=2AF=2CE,進而求出CE,HE,然后利用勾股定理求解即可.

【解析】過。作。"_LAC于H,:菱形ABC。中，ZABC=60°,AB=6,：.AB=BC=CD=AD,

NADC=/ABC=60。，.;△ABC,AACD都是等邊三角形，AZEAF=60°,AC=AB=6,

AH=CH=-AC=3,EF±AB,：.ZAEF^30°,：.AE=2AF,XCE^AF,：.AE^2CE,：.CE=2,

2

:.HE=CH—CE=\,在中，DH2=CD2-CH2=Tl,DE=VDH2+HE2=277>故答案為：

24.（2024?廣東?中考真題）如圖,菱形ABCD的面積為24,點￡是AB的中點，點廠是BC上的動點.若ABEF

的面積為4,則圖中陰影部分的面積為.

A

E.

【答案】10

【分析】本題考查了菱形的性質，三角形中線的性質，利用菱形的性質、三角形中線的性質求出色ADE=6,

BF2BF

S“ABF=8,根據△樹和菱形的面積求出入—=2,則可求出人加的面積，然后利用

nC3Cr

S陰影二S菱形A5CZ)-SA/WE—-SACDF求解即可.

【解析】連接AR50,,?,菱形ABC。的面積為24,點E是A3的中點，△bEF的面積為4,.二

山桃=；xgs菱形ABCD=6S.E=2S.BEF=8,設菱形A5co中BC邊上的高為h,則

-BFh

q-BFh日門Q-BFBF22箸=2,；.S△皿=4,

、&ABF_2______BP_§_=2—，噌=2,：

BC3°ACDF

S菱形ABCDBC?h24~BC-CF-h

2

?'S陰影=S菱形AB。——28防—S/DF=1。,故答案為：I。.

AC5

25.（2024?浙江?中考真題）如圖，在菱形ABC。中，對角線AC,5。相交于點0,—線段與

BD3

關于過點0的直線/對稱，點5的對應點？在線段0C上，AE交CD于點、E,則/CE與四邊形O匠ED的

面積比為________

【答案】1:3/g

【分析】此題考查了菱形的性質，軸對稱性質，全等三角形的性質和判定等知識，解題的關鍵是掌握以上

知識點.

設AC=10a,BD=6a,首先根據菱形的性質得到OA=OC==AC=5。，02=OD=[2。=3。，連接AD,

22

OE,直線/交BC于點孔交AO于點G,得到點A,D,。三點共線，A'D=A'O—OD=2a,

SB，2a2

B'C=OC-OB'=2a,產幺=71n7=*=￡，然后證明出“'EZ涇ACEB'(AAS),得到A'E=CE,然后證

S.OEB，OB3a3v7

明出A沿A(),得到進而求解即可.

ODEOB'ESSS50D￡=SAOB,E,

Ar15i

【解析】???四邊形ABC。是菱形，——=—.,.設AC=10a,BD=6a：.OA=OC=-AC=5a,

BD32

OB=00=g30=3。如圖所示，連接AT),OE,直線/交3c于點F,交AD于點G,\?線段AB與A?關

于過點。的直線/對稱，點B的對應點9在線段0c上，.?.ZBO/nNCOFnjNBOBJdS。，AO=AO=5a,

OB'=OB=3a/.ZAOG=NDOG=45°.,.點H,DO三點共線AD=AO-OD=2a,B'C=OC—OB'=2a

SB，c2Q2

..._^CEBL=="=..A。=B，c...CD//AB/CD。=ZABO由對稱可得，ZA'B'O=ZABO：.

S?OEB，0B3a3

ZAB'O=ZCDO：.ZADE=ZCB'E又：ZAED=ZCEB'：.AA'ED^ACEB'(AAS)：.A'E=CE?:

AB'ABCD，DE=B'E又:OD=OB',OE=OB'：.AODE咨AOB'E(SSS)：.S^ODE=S^OB.E：.

qq21i

◎ACEB'_?CEB，=3.故答案為：j.

CCIc6

u四邊形。3'EZ>OEB'丁"QDE

26.（2024?黑龍江綏化?中考真題）在矩形ABCD中，AB=4cm,BC=8cm,點E在直線AD上，且DE=2cm,

則點E到矩形對角線所在直線的距離是cm.

【答案】迤或迤或2小

55

【分析】本題考查了矩形的性質，解直角三角形，設AC,交于點。，點用在線段4）上，召2在的

延長線上，過點片,當作AC,50的垂線，垂足分別為耳居，瑪，進而分別求得垂線段的長度，即可求解.

【解析】：四邊形ABC。是矩形，AB=4,BC=8,：.AD=BC=8,CD=AB=4,：.

AC=>JAD2+CD2=V42+82=4A/5sin/CAD=^=京，《?/04￡)=2=乎，

41

tan/C4O=7=z如圖所示，設AC,即交于點。，點用在線段AD上，當在AD的延長線上，過點片,當

82

作AC,5。的垂線，垂足分別為耳,工,巴???49=。0.??/。4。=/。/14當后在線段4。上時，???

AEi=AD—DE=8-2=6在R1：AAE]6中，￡書=AEX-sinZ.CAD=-^-x6=~~'''^-OAD=NODA在

RtAEi^D中，￡；g=OE]SinN&。&=2x^=孚；當E在射線A￡>上時，在RtAOCE?中，

21_

tanNDCE,=-=-/.ZCAD=Z.DCE：.ZDCE+ZDCA=90°/.E.C1AC

-42

E2c7DE?+DC=J展+4?=2小,在RtADE2K中，&月=xsinNE^D月=。與義咚=竽綜上所

述，點E到對角線所在直線的距離為：平或竽或26故答案為：羋或竿或26.

三、解答題

27.（2024?陜西?中考真題）如圖，四邊形A3CD是矩形，點E和點/在邊BC上，且班=CF.求證：AF=DE.

【分析】本題考查了矩形的性質，全等三角形的判定和性質.根據矩形的性質得到AB=CE＞，ZB=ZC=90°,

再推出3產=。￡,利用SAS證明四△OCE,即可得到AF=DE.

解：證明：?四邊形ABCD是矩形,

/.AB=DC,Zfi=ZC=90°,

,：BE=CF,

：.BE+EF=CF+EF,§PBF=CE,

/.AABF/ADCE(SAS),

/.AF=DE.

28.（2024?吉林長春?中考真題）如圖，在四邊形ABC。中，ZA=ZB=9O°,。是邊A3的中點,

ZAOD=ZBOC.求證：四邊形A3CD是矩形.

【分析】本題考查全等三角形的判定與性質、平行四邊形的判定及矩形的判定，熟練掌握判定定理是解題

關鍵.利用SAS可證明△AOD四△3OC,得出40=3（7,根據NA=/3=90。得出兌＞〃8C,即可證明四

邊形ABC。是平行四邊形，進而根據有一個角是直角的平行四邊形是矩形即可證明四邊形ABCD是矩形.

解：證明：：。是邊48的中點，

OA=OB,

NA=NB=90°

在△AOD和ABOC中，＜OA=OB

ZAOD=ZBOC

：.△AOD^ABOC,

AD=BC,

"：ZA=ZB=90°,

：.AD//BC,

四邊形ABCD是平行四邊形，

,/ZA=ZB=90°,

四邊形ABC。是矩形.

29.（2024?青海?中考真題）綜合與實踐

順次連接任意一個四邊形的中點得到一個新四邊形，我們稱這個新四邊形為原四邊形的中點四邊形.數學

興趣小組通過作圖、測量，猜想：原四邊形的對角線對中點四邊形的形狀有著決定性作用.

以下從對角線的數量關系和位置關系兩個方面展開探究.

【探究一】

原四邊形對角線關系中點四邊形形狀A

r----------------T----------------------------------------------------------T------------------1

不相等、不垂直平行四邊形

如圖1,在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是各邊的中點.

求證：中點四邊形EFG"是平行四邊形.

證明：F、G、X分別是AB、BC、CD、ZM的中點，

EF、GH分別是AABC和AACD的中位線，

/.EF=-AC,GH=-AC(①)

22----------

EF=GH.

同理可得：EH=FG.

.??中點四邊形EFGH是平行四邊形.

結論：任意四邊形的中點四邊形是平行四邊形.

(1)請你補全上述過程中的證明依據①

(2)下面我們結合圖2來證明猜想I,請你在探究一證明結論的基礎上，寫出后續的證明過程.

(4)下面我們結合圖3來證明猜想n,請你在探究一證明結論的基礎上，寫出后續的證明過程.

【歸納總結】

(5)請你根據上述探究過程，補全下面的結論，并在圖4中畫出對應的圖形.

中點四邊形形狀

原四邊形對角線關系

③__________④__________

圖4

結論：原四邊形對角線③時，中點四邊形是④

【分析】本題考查了三角形中位線定理，平行四邊形的判定和性質，菱形的判定和性質，矩形的判定和性

質等知識

(1)利用三角形中位線定理即可解決問題；

(2)根據三角形中位線定理，菱形判定定理即可解決問題；

(3)根據三角形中位線定理，矩形判定定理即可解決問題；

(4)根據三角形中位線定理，矩形判定定理即可解決問題；

(5)根據三角形中位線定理，正方形判定定理即可解決問題.

解：(1)①證明依據是：中位線定理；

(2)證明：?:E、F、G、H分別是AB、BC、CD、。兇的中點,

EF、GH分別是AABC和AACD的中位線，

/.EF=-AC,GH=-AC

22

Z.EF=GH.

同理可得：EH=FG.

'：AC^BD

：.EF=GH=EH=FG

中點四邊形EFGH是菱形.

(3)②矩形；

故答案為：矩形

(4)證明F、G、”分