四川省達州市萬中學2023-2024學年八年級上學期12月月考數學試題一、選擇題（共10小題，每小題4分，滿分40分）1.下列各數為無理數的是A.2 B. C. D.【答案】C解析：解：是無理數，2、、都是有理數，故選C．2.以下列數組為三角形的邊長，其中能構成直角三角形的是（）A.，， B.，， C. D.1，2，3【答案】B解析：解：A、，不能構成直角三角形，故選項不符合題意；B、，能構成直角三角形，故選項符合題意；C、，不能構成直角三角形，故選項不符合題意；D、，不能構成直角三角形，故選項不符合題意．故選：B．3.某班名同學某周參加體育鍛煉時間統計如下表所示：人數（人）時間（小時）那么該班名同學該周參加體育鍛煉時間的眾數、中位數分別是（）A. B. C. D.【答案】C解析：解：眾數是一組數據中出現次數最多的數，即8；由統計表可知，處于20，21兩個數的平均數就是中位數，∴這組數據的中位數為（8+8）÷2=8；故選C．4.如圖，下列條件不能判斷直線a∥b的是（）A.∠1=∠4 B.∠3=∠5 C.∠2+∠5=180° D.∠2+∠4=180°【答案】D解析：A、能判斷，∵∠1=∠4，∴a∥b，滿足內錯角相等，兩直線平行，不符合題意．

B、能判斷，∵∠3=∠5，∴a∥b，滿足同位角相等，兩直線平行，不符合題意．

C、能判斷，∵∠2+∠5=180°，∴a∥b，滿足同旁內角互補，兩直線平行，不符合題意．

D、不能，符合題意．

故選D．5.下列說法正確的是（）A.若ab＝0，則點P（a，b）表示原點B.點（1，﹣a2）一定在第四象限C.已知點A（1，﹣3）與點B（1，3），則直線AB平行y軸D.已知點A（1，﹣3），AB∥y軸，且AB＝4，則B點的坐標為（1，1）【答案】C解析：解：A、若ab＝0，則點P（a，b）表示在坐標軸上，故此選項錯誤；B、點（1，﹣a2）一定在第四象限或x軸上，故此選項錯誤；C、已知點A（1，﹣3）與點B（1，3），則直線AB平行y軸，正確；D、已知點A（1，﹣3），AB∥y軸，且AB＝4，則B點的坐標為（1，1）或（1，﹣7），故此選項錯誤．故選C．6.若是關于x，y的二元一次方程，則（）A. B.C. D.【答案】D解析：解：是關于，的二元一次方程，，，解得：．故選：D．7.函數，則的值為（）A.0 B.2 C.4 D.8【答案】C解析：解：∵，，∴，故x=2，∴y=2，∴故答案為：C．8.在直角坐標系中，若一點的縱橫坐標都是整數，則稱該點為整點設k為整數，當直線與的交點為整點時，k的值可以取A.4個 B.5個 C.6個 D.7個【答案】A解析：解：當時，，即為x軸，則直線和x軸的交點為滿足題意，，當時，，，，，x都是整數，，，是整數，或，或或；綜上，或或或．故k共有四種取值．故選A．9.若直線與直線的交點坐標為，則下列方程組的解為的是（）A. B. C. D.【答案】A解析：解：可變形為，可變形為，方程組的解為的是，故選A．10.有一邊長為2的正方形紙片ABCD，先將正方形ABCD對折，設折痕為EF（如圖①）；再沿過點D的折痕將角A翻折，使得點A落在EF的H上（如圖②），折痕交AE于點G，則EG的長度為（）A.4﹣6 B.2﹣3 C.8﹣4 D.4﹣2【答案】B解析：∵正方形紙片ABCD的邊長為2，

∴將正方形ABCD對折后AE=DF=1，

∵△GDH是△GDA沿直線DG翻折而成，

∴AD=DH=2，AG=GH，

在Rt△DFH中，

HF=,∴EH=2-，

在Rt△EGH中，設EG=x，則GH=AG=1-x，

∴GH2=EH2+EG2，

即（1-x）2=（2-）2+x2，

解得x=2-3．故選B.二、填空題（共5小題，每小題4分，滿分20分）11.若一個正數的平方根是2a﹣1和﹣a+2，則這個正數是______．【答案】9解析：依題意得，2a-1+（-a+2）=0解得：a=-1則這個數是（2a-1）2=（-3）2=9故答案為：912.用一組a，b的值說明命題“若，則”是錯誤的，這組值可以是_____，_____．【答案】①②.1解析：解：當，時，，，而，∴命題“若，則”是錯誤的故答案為：；1．（答案不唯一）13.若一次函數與函數的圖象關于x軸對稱，且交點在x軸上，則這個函數的表達式為：_______．【答案】解析：∵兩函數圖象交于軸，解得：，∵與關于軸對稱，故答案為：．14.已知關于x，y的二元一次方程的解互為相反數，則的立方根是_____．【答案】解析：∵關于x，y的二元一次方程組的解互為相反數，∴③把③代入②得：，解得，∴，把代入①得，即，∴，∵，即的立方根是，故答案為：．15.如圖，在平面直角坐標系中，點、點，點P是x軸正半軸上一動點給出4個結論：線段AB的長為5；在中，若，則的面積是；使為等腰三角形的點P有3個；設點P的坐標為，則+的最小值為．其中正確的結論有____．【答案】解析：①如圖1，過B作于C，

點、點，

，，

在中，由勾股定理得：，

故①結論不正確；

②如圖2，在中，，，

，

過B作軸于D，

，，

，

，

，

，

，

故②結論不正確；

③如圖3，

以A為圓心，以AB為半徑畫圓與x軸的正半軸有一交點，得是等腰三角形；

作AB的中垂線，交x軸的正半軸有一交點，得是等腰三角形；

以B為圓心，以AB為半徑畫圓與x軸的正半軸有一交點，得是等腰三角形；

綜上所述，使為等腰三角形的點P有3個；

故③結論正確；

④如圖4，過B作軸于D，

，

，，

由勾股定理得：，，

作A關于x軸的對稱點，連接交x軸于P，則，

∴，

此時的值最小，

過B作于C，

則，，

由勾股定理得：，

的最小值是，

即設點P的坐標為，則的最小值為．

故④結論正確；

綜上所述，其中正確的結論有：③④；

故答案為③④．三、解答題（共10小題，滿分90分）16.化簡：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【小問1解析】；【小問2解析】．17.解方程組（1）（2）【答案】(1)；(2).解析：解：得：，解得：，把代入得：解得：，所以原方程的解為：；，由得：，得：，把代入得：，解得：，把代入得：，解得：，所以方程組的解為．18.如圖，甲輪船以16海里/小時的速度離開港口O向東南方向航行，乙輪船同時同地向西南方向航行，已知他們離開港口一個半小時后分別到達B、A兩點，且知AB=30海里，問乙輪船每小時航行多少海里？【答案】12.解析：解：∵OB=16×1.5=24，AB=30，∠AOB=90°，∴∴18÷1.5=12（海里／時），答：乙船每小時航行12海里.19.如圖所示，點B，E分別在上，均與相交，，，求證：．【答案】見解析解析：證明：如圖，∵，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴．20.如圖，已知．（1）作出關于x軸對稱的；（2）寫出點的坐標（_____），（_____），（_____）；（3）計算的面積．【答案】（1）見解析（2）（3）【小問1解析】解：如圖，即為所求，【小問2解析】點的坐標分別是，故答案為：【小問3解析】的面積為．21.某縣教育行政部門為了了解八年級學生每學期參加綜合實踐活動的情況，隨機抽樣調查了該縣八年級學生一個學期參加綜合實踐活動的天數，并用得到的數據繪制了下面兩幅不完整的統計圖(如圖)．請你根據圖中提供信息，回答下列問題：（1）求出參加抽樣調查的八年級學生人數，并將頻數直方圖補充完整．（2）在這次抽樣調查中，眾數和中位數分別是多少?（3）如果該縣共有八年級學生人，請你估計“活動時間不少于天”的大約有多少人？【答案】（1）調查的初一學生人數200人；補圖見解析；（2）中位數是4（天），眾數是4（天）；（3）估計“活動時間不少于5天”的大約有2700人．解析：解：（1）調查的初一學生人數：20÷10%＝200（人），“活動時間不少于5天”的人數為：200×（1-15%-10%-5%-15%-30%）=50（人），“活動時間不少于7天”的人數為：200×5%=10（人），補全統計圖如下：（2）根據中位數的概念，中位數應是第100人的天數和101人的天數的平均數，即中位數是4（天），根據眾數的概念，則眾數是人數最多的天數，即眾數是4（天）；（3）估計“活動時間不少于5天”的大約有：（200﹣20﹣30﹣60）÷200×6000＝2700（人）．22.達州大酒店客房部有三人間、雙人間和單人間客房，收費數據如下表：普通間（元/人/天）豪華間（元/人/天）貴賓間（元/人/天）三人間50100500雙人間70150800單人間1002001500（例如三人間普通間客房每人每天收費50元）．為吸引客，在十一黃金周期間進行優惠大酬賓，凡團體入住一律五折優惠．一個50人的旅游團在十月二號到該酒店住宿，租住了一些三人間、雙人間普通客房，并且每個客房正好住滿，一天一共花去住宿費1510元．（1）則三人間、雙人間普通客房各住了多少間？（2）如果你作為旅游團團長，你認為上面這種住宿方式是不是費用最少？為什么？【答案】（1）三人間、雙人間普通客房各住了8間，13間；（2）不是費用最少，住宿方式三人間人數為48人時，費用最少為元．【小問1解析】設三人間普通客房住了x間，雙人間普通客房住了y間，由題意可得，解得，∴三人間、雙人間普通客房各住了8間，13間；【小問2解析】不是，理由如下，設三人間共住了x人，則雙人間住了人，∴一天一共花去住宿費用；∵一次函數，，∴y隨著x的增大而減小，∵x應該為3的倍數，∴x最大為48，∴y取最小值時，題中住宿方式三人間人數為48人，∴上面這種住宿方式不是費用最少，費用最少為時，元．23.閱讀下列材料，然后回答問題．在進行二次根式的化簡與運算時，我們有時會碰上如、、一樣的式子，其實我們可以將其進一步化簡：（1）（2）（3）以上這種化簡的步驟叫做分母有理化．還可以用下面的方法化簡：（4）（1）請參照（3）（4）的方法用兩種方法化簡；（2）化簡：．【答案】（1），化簡過程見解析（2）【小問1解析】解：方法（3）：；方法（4）：；【小問2解析】解：．24.小明在學習三角形知識時，發現如下三個有趣的結論：在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，M為直線AC上一點，ME⊥BC，垂足為E，∠AME的平分線交直線AB于點F．（1）如圖①，M為邊AC上一點，則BD、MF的位置關系是

；如圖②，M為邊AC反向延長線上一點，則BD、MF的位置關系是

；如圖③，M為邊AC延長線上一點，則BD、MF的位置關系是

；（2）請就圖①、圖②、或圖③中的一種情況，給出證明.【答案】（1）BD∥MF，BD⊥MF，BD⊥MF；（2）證明見解析．解析：試題分析：（1）平行；垂直；垂直；（2）選①證明BD∥MF理由如下：∵∠A=90°，ME⊥BC，∴∠ABC+∠AME=360°﹣90°×2=180°，∵BD平分∠ABC，MF平分∠AME，∴∠ABD=∠ABC，∠AMF=∠AME，∴∠ABD+∠AMF=（∠ABC+∠AME）=90°，又∵∠AFM+∠AMF=90°，∴∠ABD=∠AFM，∴BD∥MF．選②證明BD⊥MF．理由如下：∵∠A=90°，ME⊥BC，∴∠ABC+∠C=∠AME+∠C=90°，∴∠ABC=∠AME，∵BD平分∠ABC，MF平分∠AME，∴∠ABD=∠AMF，∵∠ABD+∠ADB=90°，∴∠AMF+∠ADB=90°，∴BD⊥MF．選③證明BD⊥MF．理由如下：∵∠A=90°，ME⊥BC，∴∠ABC+∠ACB=∠AME+∠ACB=90°，∴∠ABC=∠AME，∵BD平分∠ABC，MF平分∠AME，∴∠ABD=∠AMF，∵∠AMF+∠F=90°，∴∠ABD+∠F=90°，∴BD⊥MF．考點：1．平行線的判定；2．角平分線的性質25.如圖1，已知直線與y軸，x軸分別交于A，B兩點，以B為直角頂點在第二象限作等腰．（1）求點C的坐標，并求出直線的關系式；（2）如圖2，直線交y軸于E，在直線上取一點D，連接，若，求證：；（3）如圖3，在（1）的條件下，直線交x軸于點M，是線段上一點，在x軸上是否存在一點N，使面積等于面積的一半？若存在，請求出點N