第二章線性系統的數學模型主編：張慧妍組編：全國高等教育自學考試指導委員會2.1引言2.2

非線性微分方程的線性化2.3傳遞函數2.4控制系統結構圖及其化簡方法CONTENTS目錄2.5信號流程圖2.6基于MATLAB的控制系統仿真模型2.1引言復雜系統進行定量研究，需要建立其數學模型，即描述這一系統運動規律的數學表達式。對物理系統建立微分方程這一數學模型的過程：確定系統的輸入量和輸出量；根據物理或化學定理列出描述系統運動規律的一組微分方程；消去中間變量，最后求出描述系統輸入與輸出關系的微分方程---數學模型。如微分方程為線性，且其各項系數均為常數，則稱為線性定常系統的數學模型。例2.1如圖所示為一RC網絡，圖中外加輸入電壓ui，電容電壓uc為輸出，求該系統的輸入-輸出描述。

解:(1)定輸入輸出量:

ui(t)----輸入量,

uc(t)----輸出量

(2)列寫微分方程

ui=iR+u2

式中uc=q/c

i=dq/dt（3）消去中間變量,可得電路微分方程式2.2

非線性微分方程的線性化嚴格講，任何實際系統都存在不同程度的非線性。在一定條件下或一定范圍內把非線性微分方程通過線性化處理成線性模型，進而借助線性系統的分析方法開展研究，就會降低系統分析的難度。給定工作點附近近似線性化2.3傳遞函數

拉普拉斯變換作為一種函數變換，可將微分方程變換成代數方程，并且在變換的同時引入初始條件，使微分方程求解過程大為簡化,是自動控制原理的數學基礎。線性定常系統的傳遞函數定義為零初始條件下，系統輸出量的拉普拉斯變換與輸入量的拉普拉斯變換之比。系統的階數：傳遞函數分母多項式中s的最高階次系統的極點：系統的零點：傳遞函數分子多項式=0，求出的根傳遞函數分母多項式=0，求出的根同一系統，對不同的輸入，可求得不同的傳遞函數，但其特征多項式唯一。例2.2求例2.1系統的傳遞函數。設初始狀態為零，對方程兩邊求拉普拉斯變換，得典型環節的傳遞函數

拋開系統的物理特點，研究其運動規律和數學模型的共性，就可以劃分成為幾種典型環節。時間常數形式零極點形式有理分式形式典型環節數學模型注意三點：

（1）系統的典型環節是按數學模型的共性去建立的，它與系統中采用的元件不是一一對應的。（2）分析或設計控制系統必先建立系統或被控對象的數學模型，將其與典型環節的數學模型對比后，即可知其由什么樣的典型環節組成，這將有助于系統動態特性的研究和分析。（3）典型環節的概念只適用于能夠用線性定常數學模型描述的系統。2.4控制系統結構圖及其化簡方法一．結構圖的基本概念

控制系統結構圖是描述組成系統的各元部件之間信號傳遞關系的圖形化數學模型。控制系統結構圖的組成要素有四項：函數方框信號線比較點，又稱綜合點、求和點引出點1．環節的串聯

2．環節的并聯

前向通道傳遞函數開環傳遞函數單位負反饋系統

閉環傳遞函數3．反饋連接

例2.3上述三種基本變換是進行方框圖等效變換的基礎。對于較復雜的系統,例如當系統具有信號交叉或反饋環交叉時,僅靠這三種方法是不夠的。

將信號引出點或信號匯合點移到適當的位置，變為無交錯反饋的圖形。等效變換原則：控制系統結構圖作為一種數學模型，比較點或引出點移動前后不應該改變原系統中各個變量之間的定量關系。測試：框圖化簡方法求該系統的傳遞函數。2.5信號流程圖

信號流圖和框圖類似，都可用來表示系統結構和信號傳送過程中的數學關系。因而信號流圖也是數學模型一種表示。

框圖及其等效變換雖然對分析系統很有效，但是對于比較復雜的系統，方框圖的變換和化簡過程往往顯得繁瑣、費時，并易于出錯。如采用信號流圖，則可利用梅遜公式，不需作變換而直接得出系統中任何兩個變量之間的數學關系。常用術語01節點“”：表示變量支路“”：表示節點間的有向連接起源于一個節點，終止于另一個節點，而這兩個節點之間不包含或經過第三個節點。通道（又稱路徑）：從一個節點出發，沿著支路的箭號方向相繼經過多個節點的支路。源節點、匯節點、混合節點出支路、入支路常用術語01通道（又稱路徑）：從一個節點出發，沿著支路的箭號方向相繼經過多個節點的支路。開通道：如果通道從某個節點出發，終止于另一個節點上，并且通道中每個節點只經過一次，則稱這樣的通道為開通道。

2.閉通道：如果通道的終點就是通道的起始點，并且通道中每個節點只經過一次，則該通道稱為閉通道或回路、回環等。如果一個通道從一個節點開始，只經過一個支路又回到該節點，則稱這樣的通道為自回環。3.不接觸回環：如果一些回路沒有任何公共節點和回路，就稱它們為互不接觸回環。傳輸：通常在支路上標明前后兩變量之間的關系，稱為傳輸。即，兩節點之間的增益。01常用術語1.通道傳輸：指沿通道各支路傳輸的乘積，也稱為通道增益。2.回環傳輸：又稱為回環增益，指閉通道中各支路傳輸的乘積。梅遜公式02梅遜公式：信號流圖上從源節點（輸入節點）到匯節點（輸出節點）的總傳輸公式.式中，n為從源節點到匯節點之間前向通道的總數,P

k為第K條前向通道的傳輸。

為信號流圖特征式，是信號流圖所表示的代數方程組的系數行列式,為式中

L1——信號流圖中所有不同回環的傳輸之和；

L2——所有兩個互不接觸回環傳輸的乘積之和；

L3——所有三個互不接觸回環傳輸的乘積之和；

……………

Lm——所有m個互不接觸回環傳輸的乘積之和；式中，n為從源節點到匯節點之間前向通道的總數,P

k為第k條前向通道的傳輸。

為信號流圖特征式，是信號流圖所表示的代數方程組的系數行列式,為梅遜公式：信號流圖上從源節點（輸入節點）到匯節點（輸出節點）的總傳輸公式.

k為第k條前向通道的信號流圖特征式的余子式，即從

中除去與第k條前向通道相接觸的回環后余下的部分。

利用梅遜公式求系統總傳輸時,只要求出信號流圖中的n