學校________________班級____________姓名____________考場____________準考證號學校________________班級____________姓名____________考場____________準考證號…………密…………封…………線…………內…………不…………要…………答…………題…………第1頁，共7頁2024-2025學年山東省菏澤定陶縣聯考九年級數學第一學期開學預測試題題號一二三四五總分得分A卷（100分）一、選擇題（本大題共8個小題，每小題4分，共32分，每小題均有四個選項，其中只有一項符合題目要求）1、（4分）一組從小到大排列的數據：a，3，5，5，6（a為正整數），唯一的眾數是5，則該組數據的平均數是（）A．4.2或4 B．4 C．3.6或3.8 D．3.82、（4分）無論x取什么值，下面的分式中總有意義的是（）A． B． C． D．3、（4分）有31位學生參加學校舉行的“最強大腦”智力游戲比賽，比賽結束后根據每個學生的最后得分計算出中位數、平均數、眾數和方差，如果去掉一個最高分和一個最低分，則一定不發生變化的是（）A．中位數 B．平均數 C．眾數 D．方差4、（4分）下列式子中，屬于最簡二次根式的是（）A． B． C． D．5、（4分）如圖，平行四邊形ABCD中，∠B＝60°，AB⊥AC，AC的垂直平分線交AD于點E，△CDE的周長是15，則平行四邊形ABCD的面積為（）A． B．40 C．50 D．6、（4分）下列函數中，是的正比例函數的是（）A． B． C． D．7、（4分）下列四個多項式中，能因式分解的是（）A．a2+1 B．a2-6a+9 C．x2+5y D．x2-5y8、（4分）若二次根式有意義，則a的取值范圍是（）A．a＜3 B．a＞3 C．a≤3 D．a≠3二、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）9、（4分）如圖，直線y=﹣x+m與y=nx+4n（n≠0）的交點的橫坐標為﹣2，則關于x的不等式﹣x+m＞nx+4n＞0的整數解是__________．10、（4分）將直線平移，使之經過點，則平移后的直線是__________．11、（4分）在直角坐標系中，直線y=x+2與y軸交于點A1，按如圖方式作正方形A1B1C1O、A2B2C2C1、A3B3C1C2…，A1、A2、A3…在直線y=x+2上，點C12、（4分）已知,正比例函數經過點(-1,2),該函數解析式為________________.13、（4分）八個邊長為1的正方形如圖所示的位置擺放在平面直角坐標系中，經過原點的直線l將這八個正方形分成面積相等的兩部分，則這條直線的解析式是_____．三、解答題（本大題共5個小題，共48分）14、（12分）問題情境：在綜合與實踐課上，同學們以“已知三角形三邊的長度，求三角形面積”為主題開展數學活動，小穎想到借助正方形網格解決問題．圖1，圖2都是8×8的正方形網格，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點．操作發現：小穎在圖1中畫出△ABC，其頂點A，B，C都是格點，同時構造正方形BDEF，使它的頂點都在格點上，且它的邊DE，EF分別經過點C，A，她借助此圖求出了△ABC的面積．（1）在圖1中，小穎所畫的△ABC的三邊長分別是AB＝，BC＝，AC＝；△ABC的面積為．解決問題：（2）已知△ABC中，AB＝，BC＝2，AC＝5，請你根據小穎的思路，在圖2的正方形網格中畫出△ABC，并直接寫出△ABC的面積．15、（8分）如圖，在中，分別是的平分線．求證：四邊形是平行四邊形．16、（8分）在甲村至乙村的公路上有一塊山地正在開發，現有一處需要爆破．已知點與公路上的停靠站的距離為300米，與公路上的另一停靠站的距離為400米，且，如圖所示為了安全起見，爆破點周圍半徑250米范圍內不得進入，問在進行爆破時，公路段是否因為有危險而需要暫時封鎖？請說明理由．17、（10分）如圖，E為正方形ABCD內一點，點F在CD邊上，且∠BEF＝90°，EF＝2BE．點G為EF的中點，點H為DG的中點，連接EH并延長到點P，使得PH＝EH，連接DP．（1）依題意補全圖形；（2）求證：DP＝BE；（3）連接EC，CP，猜想線段EC和CP的數量關系并證明．18、（10分）如圖，點在同一直線上，，，．求證：．B卷（50分）一、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）19、（4分）計算：3﹣的結果是_____．20、（4分）如圖，在邊長為的菱形中，，是邊的中點，是對角線上的動點，連接，，則的最小值______．21、（4分）實數a，b在數軸上對應點的位置如圖所示，化簡|b|+＝______．22、（4分）不等式組的解集是，那么的取值范圍是__________．23、（4分）在正方形ABCD中，E在BC上，BE=2，CE=1，P是BD上的動點，則PE+PC的最小值是_____________.二、解答題（本大題共3個小題，共30分）24、（8分）問題：如圖(1)，點E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF=45°，試判斷BE、EF、FD之間的數量關系．（發現證明）小聰把△ABE繞點A逆時針旋轉90°至△ADG,從而發現EF=BE+FD,請你利用圖（1）證明上述結論．（類比引申）如圖(2)，四邊形ABCD中,∠BAD≠90°,AB=AD,∠B+∠D=180°,點E、F分別在邊BC、CD上,則當∠EAF與∠BAD滿足關系時，仍有EF=BE+FD．（探究應用）如圖(3)，在某公園的同一水平面上，四條通道圍成四邊形ABCD．已知AB=AD=80米，∠B=60°，∠ADC=120°，∠BAD=150°，道路BC、CD上分別有景點E、F，且AE⊥AD，DF=40（﹣1）米，現要在E、F之間修一條筆直道路，求這條道路EF的長（結果取整數，參考數據：=1.41，=1.73）25、（10分）黃連是重慶市石柱縣的特產，近幾年黃連的種植在石柱縣脫貧攻堅戰中發揮著重要的作用．今年6月，某藥材公司與黃連種植戶簽訂收購協議：收購5﹣6年期黃連和6年以上期黃連共1000千克，其中5﹣6年期的黃連收購價格為每千克240元，6年以上期的黃連收購價格為每千克200元（1）若藥材公司共支付黃連種植戶224000元，那么藥材公司收購的5﹣6年期黃連和6年以上期黃連各多少千克？（2）預計今年10﹣12月黃連收割上市后，5﹣6年期黃連的售價為每千克280元，6年以上期黃連的售價為每千克250元；藥材公司收購的5﹣6年期黃連的數量不少于6年以上期黃連數量的3倍，藥材公司應收購5﹣6年期黃連多少千克才能使售完這批黃連后獲得的利潤最大，最大利潤是多少？26、（12分）某班“數學興趣小組”對函數y=x?2|x|的圖象和性質進行了探究，探究過程如下，請補充完整：(1)自變量x的取值范圍是全體實數，x與y的幾組對應值列表如下：其中，m=___.(2)根據表中數據，在如圖所示的平面直角坐標系中描點，并畫出了函數圖象的一部分，請畫出該函數圖象的另一部分.(3)探究函數圖象發現：①函數圖象與x軸有___個交點,所以對應的方程x?2|x|=0有___個實數根；②方程x?2|x|=?有___個實數根；③關于x的方程x?2|x|=a有4個實數根時，a的取值范圍是___.

參考答案與詳細解析一、選擇題（本大題共8個小題，每小題4分，共32分，每小題均有四個選項，其中只有一項符合題目要求）1、A【解析】

根據題意得出正整數a的值，再根據平均數的定義求解可得．【詳解】解：∵數據：a，3，5，5，6（a為正整數），唯一的眾數是5，∴a＝1或a＝2，當a＝1時，平均數為：；當a＝2時，平均數為：；故選：A．本題主要考查了平均數的求法，根據數據是從小到大排列得出a的值是解題的關鍵．2、B【解析】

根據分母等于0，分式無意義；分母不等于0，分式有意義對各選項舉反例判斷即可【詳解】解：A.當x=0時，分式無意義，故本選項錯誤；B.對任意實數，x2+1≠0，分式有意義，故本選項正確；C.當x=0時，分母都等于0，分式無意義，故本選項錯誤；D.當x=-1時，分式無意義，故本選項錯誤.故選B本題考查了分式有意義的條件，從以下三個方面透徹理解分式的概念：（1）分式無意義?分母為零；（2）分式有意義?分母不為零；（3）分式值為零?分子為零且分母不為零．3、A【解析】

根據中位數的定義：位于中間位置或中間兩數的平均數可以得到去掉一個最高分和一個最低分不影響中位數．【詳解】去掉一個最高分和一個最低分對中位數沒有影響，故選A．考查了統計量的選擇，解題的關鍵是了解中位數的定義.4、B【解析】

根據最簡二次根式是被開方數不含分母，被開方數不含開的盡方的因數或因式，可得答案．【詳解】解：A、被開方數含能開得盡方的因數或因式，故A錯誤；；

B、被開方數5中不含開的盡方的因數，是最簡二次根式，故B正確；

C、被開方數8=2×含能開得盡方的因數或因式，故C錯誤；D、被開方數中含有分母，不是最簡二次根式，故D錯誤；

故選：B．本題考查了最簡二次根式，最簡二次根式是被開方數不含分母，被開方數不含開的盡方的因數或因式．5、D【解析】

首先證明AD+CD=15,再證明AD=2CD,推出CD=5，AD=10,利用勾股定理求出AC即可解決問題;【詳解】∵點E在AC的垂直平分線上∴EA=EC∴△CDB的周長=CD+DE+EC=CD+DE+EA=CD+DA=15∵四邊形ABCD是平行四邊形∴∠B=∠D=60°,AB∥CD∵AB⊥AC,∴AC⊥CD∴∠ACD=90°∴∠CAD=30°∴AD=2CD∴CD=5,AD=10∴AC=S=2S△ADC=2×5×5=25故選D此題考查平行四邊形的性質和勾股定理，解題關鍵在于先證明AD+CD=15,再證明AD=2CD6、A【解析】

根據正比例函數的定義：一般地，形如是常數，的函數叫做正比例函數，其中叫做比例系數可選出答案．【詳解】解：、是的正比例函數，故此選項正確；、是一次函數，故此選項錯誤；、是反比例函數，故此選項錯誤；、是一次函數，故此選項錯誤；故選：．本題主要考查了正比例函數定義，關鍵是掌握正比例函數是形如是常數，的函數．7、B【解析】

根據因式分解是把一個多項式轉化成幾個整式積的形式，可得答案．【詳解】A、C、D都不能把一個多項式轉化成幾個整式積的形式，故A、C、D不能因式分解；B是完全平方公式的形式，故B能分解因式；故選B．8、C【解析】

根據被開方數是非負數，可得答案．【詳解】解：由題意得，3?a?0，解得a?3，故選：C．本題主要考查了二次根式有意義的條件，掌握二次根式有意義的條件是解題的關鍵．二、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）9、﹣3【解析】令時，解得，故與軸的交點為．由函數圖象可得，當時，函數的圖象在軸上方，且其函數圖象在函數圖象的下方，故解集是，所以關于的不等式的整數解為．10、y=2x-1．【解析】

根據平移不改變k的值，可設平移后直線的解析式為y=2x+b，然后將點（9，3）代入即可得出平移后的直線解析式．【詳解】設平移后直線的解析式為y=2x+b．把（9，3）代入直線解析式得3=2×9+b，解得b=-1．所以平移后直線的解析式為y=2x-1．故答案為：y=2x-1．本題考查了一次函數圖象與幾何變換及待定系數法求函數的解析式，掌握直線y=kx+b（k≠0）平移時，k的值不變是解題的關鍵．11、2【解析】

結合正方形的性質結合直線的解析式可得出：A2B1=OC1，A3B2=C1C2，A4B3【詳解】解：令一次函數y=x+2中x=0，則y=2，∴點A1的坐標為(0,2)，O∵四邊形AnBn∴A1B1=OC1令一次函數y=x+2中x=2，則y=4，即A2∴A∴tan∵A∴tan∴A2B1=OC1∴S1=12OC∴Sn=故答案為：22n-1本題考查一次函數圖象上點的坐標特征、正方形的性質、三角形的面積公式的知識，解題關鍵在于找到規律，此題屬規律性題目，比較復雜．12、y=-2x【解析】

把點（-1，2）代入正比例函數的解析式y=kx，即可求出未知數的值從而求得其解析式.【詳解】設正比例函數的解析式為y=kx（k≠0），∵圖象經過點（-1，2），∴2=-k，此函數的解析式是：y=-2x；故答案為：y=-2x此題考查待定系數法確定函數關系式，此類題目需靈活運用待定系數法建立函數解析式，然后將點的坐標代入解析式，利用方程解決問題．13、y=x【解析】

設直線l和八個正方形的最上面交點為A，過點A作AB⊥y軸于點B，過點A作AC⊥x軸于點C，易知OB=1，利用三角形的面積公式和已知條件求出A的坐標，再利用待定系數法可求出該直線l的解析式．【詳解】設直線l和八個正方形的最上面交點為A，過點A作AB⊥y軸于點B，過點A作AC⊥x軸于點C，如圖所示．∵正方形的邊長為1，∴OB=1．∵經過原點的一條直線l將這八個正方形分成面積相等的兩部分，∴兩部分面積分別是4，∴三角形ABO面積是5，∴OB?AB=5，∴AB=，∴OC=，∴點A的坐標為（，1）．設直線l的解析式為y=kx，∵點A（，1）在直線l上，∴1=k，解得：k=，∴直線l解析式為y=x．故答案為：y=x．本題考查了待定系數法求一次函數解析式、正方形的性質以及三角形的面積，利用三角形的面積公式和已知條件求出A的坐標是解題的關鍵．三、解答題（本大題共5個小題，共48分）14、（1）；（2）圖見解析，1【解析】

根據勾股定理、矩形的面積公式、三角形面積公式計算．【詳解】解：（1）AB＝＝1，BC＝＝，AC＝＝，△ABC的面積為：4×4﹣×3×4-×1×4﹣×3×1＝，故答案為：1;;;;（2）△ABC的面積：7×2﹣×3×1﹣×4×2﹣×7×1＝1．本題考查的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2．15、詳見解析.【解析】

由四邊形ABCD是平行四邊形可得，CE∥AF，∠DAB=∠DCB，又AE、CF分別平分∠DAB、∠BCD，所以∠2=∠3，可證四邊形AFCE是平行四邊形．【詳解】∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴CE∥AF，∠DAB=∠DCB，∵AE、CF分別平分∠DAB、∠BCD，∴∠2=∠3，又∠3=∠CFB，∴∠2=∠CFB，∴AE∥CF，又CE∥AF，∴四邊形AFCE是平行四邊形.16、公路段需要暫時封鎖．理由見解析.【解析】

如圖，本題需要判斷點C到AB的距離是否小于250米，如果小于則有危險，大于則沒有危險．因此過C作CD⊥AB于D，然后根據勾股定理在直角三角形ABC中即可求出AB的長度，然后利用三角形的公式即可求出CD，然后和250米比較大小即可判斷需要暫時封鎖．【詳解】公路段需要暫時封鎖．理由如下：如圖，過點作于點．因為米，米，，所以由勾股定理知，即米．因為，所以（米）．由于240米＜250米，故有危險，因此公路段需要暫時封鎖．本題考查運用勾股定理，掌握勾股定理的運用是解題的關鍵．17、（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）詳見解析【解析】

（1）根據題意可以畫出完整的圖形；

（2）由EF＝2BE，點G為EF的中點可知，要證明DP＝BE，只要證明DP=EG即可，要證明DP=EG，只要證明ΔPDH≌ΔEGH即可，然后根據題目中的條件和全等三角形的判定即可證明結論成立；

（3）首先寫出線段EC和CP的數量關系，然后利用全等三角形的判定和性質即可證明結論成立．【詳解】解：（1）依題意補全圖形如下：（2）∵點H為線段DG的中點，∴DH＝GH．在ΔPDH和ΔEGH中，∵EH=PH，∠EHG=∠PHD，∴ΔPDH≌ΔEGH（SAS）．∴DP＝EG．∵G為EF的中點，∴EF＝2EG．∵EF＝2EB，∴BE＝EG＝DP．（3）猜想：EC=CP．由（2）可知ΔPDH≌ΔEGH．∴∠HEG=∠HPD．∴DP∥EF．∴∠PDC=∠DFE．又∵∠BEF=∠BCD=90°，∴∠EBC+∠EFC=180°．又∵∠DFE+∠EFC=180°，∴∠EBC=∠DFE=∠PDC．∵BC=DC，DP=BE，∴ΔEBC≌ΔPDC（SAS）．∴EC=PC．故答案為（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）詳見解析．本題考查全等三角形的判定與性質、直角三角形的性質，解題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數形結合的思想解答．18、詳見解析【解析】

先證出，由證明Rt△ABC≌Rt△DFE，得出對應邊相等即可．【詳解】解：證明：，∴△ABC和△DEF都是直角三角形，，即，在Rt△ABC和Rt△DFE中，，∴Rt△ABC≌Rt△DFE（HL），∴.本題考查了全等三角形的判定與性質；熟練掌握直角三角形全等的判定方法是解決問題的關鍵．一、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）19、2．【解析】

直接利用二次根式的加減運算法則計算得出答案．【詳解】解：-=.故答案為：．此題主要考查了二次根式的加減運算，正確掌握運算法則是解題關鍵．20、【解析】

根據在直線L上的同側有兩個點A、B，在直線L上有到A、B的距離之和最短的點存在，可以通過軸對稱來確定，即作出其中一點關于直線L的對稱點，對稱點與另一點的連線與直線L的交點就是所要找的點,據此可以作對稱點，找到最小值．【詳解】解：連接AE．∵四邊形ABCD為菱形，∴點C、A關于BD對稱，∴PC=AP，∴PC+EP=AP+PE，∴當P在AE與BD的交點時，AP+PE最小，∵E是BC邊的中點，∴BE=1，∵AB=2，B=60°，∴AE⊥BC，此時AE最小，為，最小值為.本題考查了線段之和的最小值，熟練運用菱形的性質是解題的關鍵．21、﹣a【解析】

根據各點在數軸上的位置判斷出a、b的符號及絕對值的大小，再根據有理數的加法法則和二次根式的性質，把原式進行化簡即可．【詳解】解：由數軸可知a＜0＜b，且|a|＞|b|，則a+b＜0，∴原式＝b+|a+b|=b﹣（a+b）＝b﹣a﹣b＝﹣a，故答案為﹣a．本題考查的是實數與數軸，二次根式的性質，以及有理數的加法法則，熟知實數與數軸上各點是一一對應關系及絕對值性質是解答此題的關鍵．22、m≤4【解析】試題解析：由①得：x>4.當x>m時的解集是x>4，根據同大取大，所以故答案為23、13【解析】

根據題意畫出圖形，連接AC、AE，由正方形的性質可知A、C關于直線BD對稱，故AE的長即為PE+PC的最小值，再根據勾股定理求出AE的長即可．【詳解】如圖所示：連接AC、AE，∵四邊形ABCD是正方形，∴A、C關于直線BD對稱，∴AE的長即為PE+PC的最小值，∵BE=2，CE=1，∴BC=AB=2+1=3，在Rt△ABE中，∵AE=AB∴PE與PC的和的最小值為13．故答案為：13．本題考查的是軸對稱-最短路線問題及正方形的性質，熟知“兩點之間，線段最短”是解決問題的關鍵．二、解答題（本大題共3個小題，共30分）24、【發現證明】證明見解析；【類比引申】∠BAD=2∠EAF；【探究應用】1．2米．【解析】【發現證明】根據旋轉的性質可以得到△ADG≌△ABE，則GF=BE+DF，只要再證明△AFG≌△AFE即可．【類比引申】延長CB至M，使BM=DF，連接AM，證△ADF≌△ABM，證△FAE≌△MAE，即可得出答案；【探究應用】利用等邊三角形的判定與性質得到△ABE是等邊三角形，則BE=AB=80米．把△ABE繞點A逆時針旋轉150°至△ADG，根據旋轉的性質可以得到△ADG≌△ABE，則GF=BE+DF，只要再證明△AFG≌△AFE即可得出EF=BE+FD．解：如圖（1），∵△ADG≌△ABE，∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，DG=BE，又∵∠EAF=45°，即∠DAF+∠BEA=∠EAF=45°，∴∠GAF=∠FAE，在△GAF和△FAE中，AG=AE，∠GAF=∠FAE，AF=AF，∴△AFG≌△AFE（SAS）．∴GF=EF．又∵DG=BE，∴GF=BE+DF，∴BE+DF=EF．【類比引申】∠BAD=2∠EAF．理由如下：如圖（2），延長CB至M，使BM=DF，連接AM，∵∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠ABM=180°，∴∠D=∠ABM，在△ABM和△ADF中，AB=AD，∠ABM=∠D，BM=DF，∴△ABM≌△ADF（SAS），∴AF=AM，∠DAF=∠BAM，∵∠BAD=2∠EAF，∴∠DAF+∠BAE=∠EAF，∴∠EAB+∠BAM=∠EAM=∠EAF，在△FAE和△MAE中，AE=AE，∠FAE=∠MAE，AF=AM，∴△FAE≌△MAE（SAS），∴EF=EM=BE+BM=BE+DF，即EF=BE+DF．故答案是：∠BAD=2∠EAF．【探究應用】如圖3，把△ABE繞點A逆時針旋轉150°至△ADG，連接AF．∵∠BAD=150°，∠DAE=90°，∴∠BAE=60°．又∵∠B=60°，∴△ABE是等邊三角形，∴BE=AB=80米．根據旋轉的性質得到：∠ADG=∠B=60°，又∵∠ADF=120°，∴∠GDF=180°，即點G在CD的延長線上．易得，△ADG≌△ABE，∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，DG=BE，又∵∠EAG=∠BAD=150°，∴∠GAF=∠FAE，在△GAF和△FAE中，AG=AE，∠GAF=∠FAE，AF=AF，∴△AFG≌△AFE（SAS）．∴GF=EF．又∵DG=BE，∴GF=BE+DF，∴EF=BE+DF=80+40（﹣1）≈1.2（米），即這條道路EF的長約為1.2米．“點睛”此題主要考查了四邊形綜合題，關鍵是正確畫出圖形，證明△AFG≌△AE