第四章三角恒等變換1同角三角函數(shù)的基本關(guān)系北師大版

數(shù)學(xué)

必修第二冊(cè)目錄索引基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過(guò)重難探究·能力素養(yǎng)速提升成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)課程標(biāo)準(zhǔn)1.掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系.2.能利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系進(jìn)行求值、化簡(jiǎn)與證明.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過(guò)關(guān)知識(shí)點(diǎn)

三角函數(shù)的基本關(guān)系

如圖,任意角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)P的坐標(biāo)是(cosα,sinα),點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離為1,所以sin2α+cos2α=

.

角α是任意的

1另外,由正切函數(shù)的定義,有tanα=

,這兩個(gè)關(guān)系式是同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式.

其中α≠kπ+(k∈Z)名師點(diǎn)睛1.“同角”有兩層含義,一是“角相同”,二是對(duì)“任意”一個(gè)角(在使函數(shù)有意義的前提下)關(guān)系式都成立,與角的表達(dá)形式無(wú)關(guān).2.兩個(gè)公式體現(xiàn)的是同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,其中平方關(guān)系體現(xiàn)的是同一個(gè)角的正弦與余弦之間的關(guān)系;商數(shù)關(guān)系體現(xiàn)的是同一個(gè)角的正弦、余弦和正切三者之間的關(guān)系.3.sin2α與sin

α2之間的區(qū)別:前者是α的正弦的平方,讀作“sin

α的平方”;后者是α的平方的正弦,兩者是截然不同的.4.同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的變形有以下幾種:(1)sin2α=1-cos2α;(2)cos2α=1-sin2α;(3)sin

α=cos

αtan

α;(4)cos

α=(5)(sin

α±cos

α)2=1±2sin

αcos

α.過(guò)關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)(1)sin2α+cos2β=1.(

)×√×××√×2.設(shè)角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y),根據(jù)三角函數(shù)的定義知y=sinα,x=cosα,=tanα.能否根據(jù)x,y的關(guān)系得到sinα,cosα,tanα的關(guān)系?提示

可以,由x2+y2=1,得cos2α+sin2α=1.3.式子sin22023+cos22023=1正確嗎?提示

在等式sin

2x+cos

2x=1中x∈R,所以sin22

023+cos22

023=1正確.重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一簡(jiǎn)單的三角函數(shù)求值問(wèn)題【例1】

(1)若sinα=-,且α是第三象限角,求cosα,tanα的值;(2)若cosα=,求tanα的值;規(guī)律方法

1.(1)已知sin

θ,求cos

θ,tan

θ,常用以下方式求解:(2)已知cos

θ,求sin

θ,tan

θ,常用以下方式求解:(3)已知tan

θ,求sin

θ,cos

θ,常用以下方法求解:2.(1)若沒(méi)有給出角α是第幾象限角,則應(yīng)分類討論,先由已知三角函數(shù)的值推出α的終邊可能位于的象限,再分類求解;(2)利用平方關(guān)系時(shí),應(yīng)根據(jù)角θ的終邊所在的象限確定所求三角函數(shù)值的符號(hào).BC探究點(diǎn)二

關(guān)于sin

α,cos

α的齊次式的求值

規(guī)律方法

1.若待求分式的分子、分母都是含有sin

α,cos

α的齊次式,則可采用分子、分母同時(shí)除以cos

α的若干次方,將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于tan

α的表達(dá)式,比如:2.若一個(gè)式子是關(guān)于sin

α與cos

α的二次齊次式,則可逆用平方關(guān)系sin2α+cos2α=1將其轉(zhuǎn)化為1中的問(wèn)題再求解.比如:asin2α+bsin

αcos

α+ccos2α變式訓(xùn)練2已知2cos2α-3sinαcosα=,求tanα.探究點(diǎn)三

利用sin

θ±cos

θ與sin

θcos

θ間的關(guān)系求值

【例3】

已知sinθ+cosθ=,θ∈(0,π),求:(1)tanθ;(2)sinθ-cosθ.變式探究把條件中的sinθ+cosθ與結(jié)論中的sinθ-cosθ互換.已知sinθ-cosθ=,θ∈(0,π),則sinθ+cosθ=

,tanθ=

.

規(guī)律方法

1.由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,可得(sin

θ±cos

θ)2=1±2sin

θcos

θ,因此sin

θ+cos

θ,sin

θ-cos

θ,sin

θcos

θ三式之間有密切的關(guān)系,知一式的值可求另兩式的值.2.在求解sin

α±cos

α的值時(shí)往往需要用到開方,此時(shí)需要先判斷sin

α±cos

α的正負(fù),判定的方法有:(1)根據(jù)sin

αcos

α的正負(fù)進(jìn)行判斷;(2)可根據(jù)角的范圍進(jìn)行判斷.探究點(diǎn)四三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與求值規(guī)律方法

1.三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)方法三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)就是表達(dá)式的恒等變形,其一般要求如下:(1)盡量使函數(shù)種類最少,項(xiàng)數(shù)最少,次數(shù)最低;(2)盡量使分母不含三角函數(shù)式;(3)根式內(nèi)的三角函數(shù)式盡量開出來(lái);(4)能求得數(shù)值的應(yīng)計(jì)算出來(lái).注意在三角函數(shù)式變形時(shí),常將式子中的“1”作巧妙的變形.2.(1)化切為弦,即把正切函數(shù)都化為正弦、余弦函數(shù),從而減少函數(shù)名稱,達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的目的.(2)對(duì)于含有根號(hào)的,常把根號(hào)里面的部分化成完全平方式,然后去根號(hào)達(dá)到化簡(jiǎn)的目的.(3)對(duì)于化簡(jiǎn)含高次的三角函數(shù)式,往往借助于因式分解,或構(gòu)造sin2α+cos2α=1,以降低函數(shù)次數(shù),達(dá)到化簡(jiǎn)的目的.探究點(diǎn)五證明三角恒等式規(guī)律方法

三角恒等式的證明方法證明三角恒等式,實(shí)際上就是將左右兩端表面看似存在較大差異的式子,通過(guò)巧妙變形后消除差異,使其左右兩端相等.為了達(dá)到這個(gè)目的,我們經(jīng)常采用以下的策略和方法:(1)從一邊開始,證明它等于另一邊;(2)證明左右兩邊都等于同一個(gè)式子;(3)變更論證,采用左右相減、化除為乘等方法,轉(zhuǎn)化成與原結(jié)論等價(jià)的命題形式.本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式;(2)利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系化簡(jiǎn)與證明;(3)sin

α±cos

α型求值問(wèn)題;(4)齊次式問(wèn)題.2.方法歸納:轉(zhuǎn)化法(化切求值)、整體代換法.3.常見誤區(qū):求值時(shí)注意α的范圍,如果無(wú)法確定,一定要對(duì)α所在的象限進(jìn)行分類討論.成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)1234567891011121314151617A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練18D123456789101112131415161718B123456789101112131415161718C123456789101112131415161718C1234567891011121314151617185.(多選)下列結(jié)論中成立的是(

)BC123456789101112131415161718CD1234567891011121314151617187.如果cosα=,且α是第四象限角,那么tan(π-α)=

.

1234567891011121314151617188.化簡(jiǎn)(1+tan215°)cos215°=

.

1123456789101112131415161718123456789101112131415161718123456789101112131415161718B級(jí)關(guān)鍵能力提升練A.-3 B.-1 C.1 D.3A123456789101112131415161718B123456789101112131415161718A123456789101112131415161718C123456789101112131415161718B12345678910111213141516171816.已知tanα=2,則sinαcosα