考研數學二分類模擬214一、選擇題1.

設A為三階矩陣，將A的第2列加到第1列得矩陣B，再交換B的第2行與第3行得單位矩陣。記則A=______

A．P1P2

B．

C．P2P1

D．正確答案：D[解析]由題設條件可知，矩陣P1，P2正是和題中所給的初等變換對應的初等矩陣，根據初等矩陣的性質，有B=AP1和E=P2B，從而E=P2(AP1)，即，因此有A=，故選D。

2.

設A為三階矩陣，P為三階可逆矩陣，且若P=(α1，α2，α3)，Q=(α1+α2，α2，α3)，則Q-1AQ=______

A．

B．

C．

D．正確答案：B[解析]方法一：由可知矩陣A可相似對角化，且可逆矩陣P的列向量α1，α2，α3與對角矩陣的特征值1，1，2一一對應。由此可知，λ=1是矩陣A的二重特征值，且λ=1對應的特征向量為α1，α2，則α1+α2還是屬于λ=1的特征向量。從而故選B。

方法二：

3.

設A為三階矩陣，將A的第二行加到第一行得到矩陣B，再將B的第一列的-1倍加到第二列得到矩陣C。記則______A.C=P-1APB.C=PAP-1C.C=PTAPD.C=PAPT正確答案：B[解析]令則Q=P-1。P是將單位矩陣的第二行加到第一行所得的初等矩陣，則B=PA；Q是將單位矩陣第一列的-1倍加到第二列所得的初等矩陣，則C=BQ。所以C=PAQ=PAP-1。故選B。

初等矩陣的考查核心是它們和初等變換的關系，具體內容可以總結如下：

定理：對矩陣A左乘一個初等矩陣，等于對A作相應的初等行變換；對矩陣A右乘一個初等矩陣，等于對A作相應的初等列變換。

推論：所有初等矩陣都是可逆的，并且它們的逆矩陣均為同類的初等矩陣。具體來說，有

4.

設n階矩陣A，B等價，則下列說法中不一定成立的是______A.若|A|＞0，則|B|＞0。B.如果A可逆，則存在可逆矩陣P，使得PB=E。C.如果A與E合同，則|B|≠0。D.存在可逆矩陣P與Q，使得PAQ=B。正確答案：A[解析]兩個矩陣等價的充要條件是兩個矩陣的秩相同。

當A可逆時，r(A)=n，所以r(B)=n，即B是可逆的，故B-1B=E，選項B成立。

矩陣的合同是一種等價關系，若A與E合同，則r(A)=r(E)=n，由選項B可知，選項C成立。

矩陣A，B等價的充要條件是存在可逆矩陣P與Q，使得PAQ=B，選項D成立。

事實上，當|A|＞0(即A可逆)時，我們只能得到|B|≠0(即B可逆)。故選A。

5.

設A是m×n矩陣，C是n階可逆矩陣，矩陣A的秩為r，矩陣B=AC的秩為r1，則______A.r＞r1B.r＜r1C.r=r1D.r與r1的關系依C而定正確答案：C[解析]因為B=AC=EAC，其中E為m階單位矩陣，而E與C均可逆，由矩陣等價的定義可知，矩陣B與A等價，從而r(B)=r(A)。故選C。

6.

設A是m×n矩陣，B是n×m矩陣，則______A.當m＞n，必有行列式|AB|≠0B.當m＞n，必有行列式|AB|=0C.當n＞m，必有行列式|AB|≠0D.當n＞m，必有行列式|AB|=0正確答案：B[解析]因為AB是m階方陣，且

r(AB)≤min{r(A)，r(B)}≤min{m，n}，

所以當m＞n時，必有r(AB)＜m，從而|AB|=0。故選B。

7.

設A為m×n矩陣，B為n×m矩陣，若AB=E，則______A.r(A)=m，r(B)=mB.r(A)=m，r(B)=n。C.r(A)=n，r(B)=mD.r(A)=n，r(B)=n。正確答案：A[解析]因為AB=E，所以r(AB)=m。又r(AB)=m≤min{r(A)，r(B)}，即r(A)≥m，r(B)≥m，而r(A)≤m，r(B)≤m，所以r(A)=m，r(B)=m。故選A。

8.

設B是4×2的非零矩陣，且AB=O，則______A.a=1時，B的秩必為2B.a=1時，B的秩必為1C.a≠1時，B的秩必為1D.a≠1時，B的秩必為2正確答案：C[解析]當a=1時，易見r(A)=1；當a≠1時，則

即r(A)=3。

由于AB=O，A是3×4矩陣，所以r(A)+r(B)≤4。

當a=1時，r(A)=1，1≤r(B)≤3。B是4×2矩陣，所以B的秩可能為1也可能為2，因此選項A、B均不正確。

當a≠1時，r(A)=3，必有r(B)=1，選項D不正確。故選C。

9.

設A，B為n階矩陣，記r(X)為矩陣X的秩，(X，Y)表示分塊矩陣，則______A.r(A，AB)=r(A)B.r(A，BA)=r(A)C.r(A，B)=max{r(A)，r(B)}D.r(A，B)=r(AT，BT)正確答案：A[解析]對于選項A，設A=(α1，α2，…，αn)，AB=(β1，β2，…，βn)，則β1，β2，…，βn可由α1，α2，…，αn

線性表示，從而α1，α2，…，αn與α1，α2，…，αn，β1，β2，…，βn等價，故r(A，AB)=r(A)，A選項正確；

對于選項B，令

B選項錯誤；

對于選項C，max{r(A)，r(B))≤r(A，B)≤r(A)+r(B)，C選項錯誤；

對于選項D，令

故D錯。

根據以上分析可知，本題選A。

關于秩的一些常用性質，考生一定要牢記。

①0≤r(Am×n)≤min{m，n}；②r(AT)=r(A)；③若，則r(A)=r(B)；④若P，Q可逆，則r(PAQ)=r(A)；⑤r(A+B)≤r(A)+r(B)；⑥r(AB)≤min{r(A)，r(B)}；⑦若Am×nBn×t=O，則r(A)+r(B)≤n。

二、填空題1.

設(2E-C-1B)AT=C-1，其中E是四階單位矩陣，AT是矩陣A的轉置矩陣，

則A=______。正確答案：[解析]在等式(2E-C-1B)AT=C-1兩邊同時左乘C得(2C-B)AT=E。對上式兩端同時取轉置得A(2CT-BT)=E，則

2.

設矩陣則A3的秩為______。正確答案：1[解析]依矩陣乘法直接計算得

故r(A3)=1。

3.

設r(A)=2，則a=______。正確答案：0[解析]對A作初等行變換，則有

當a=0時，r(A)=2。

4.

已知n階矩陣則r(A2-A)=______。正確答案：1[解析]因為A2-A=A(A-E)，且矩陣可逆，所以r(A2-A)=r(A-E)，而r(A-E)=1，所以r(A2-A)=1。

5.

設A是4×3矩陣，且A的秩r(A)=2，而則r(AB)=______。正確答案：2[解析]因為

所以矩陣B可逆，因此r(AB)=r(A)=2。

6.

已知則秩r(AB+2A)=______。正確答案：2[解析]因為AB+2A=A(B+2E)，且

是可逆矩陣，所以r(AB+2A)=r(A)。

對A作初等行變換，則

因此可得r(AB+2A)=2。

7.

已知且AXA*=B，r(X)=2，則a=______。正確答案：0[解析]根據A可逆可知，其伴隨矩陣A*也是可逆的，因此r(AXA*)=r(X)=2=r(B)，因此可得|B|=0，則

8.

設B是三階非零矩陣，且AB=O，則a=______。正確答案：[解析]因為AB=O，則有r(A)+r(B)≤3，又已知矩陣B≠O，因此r(B)≥1，那么r(A)＜3，則行列式|A|=0。而

所以

9.

已知B是三階非零矩陣，且BAT=O，則a=______。正確答案：[解析]根據BAT=O可知，r(B)+r(AT)≤3，即r(A)+r(B)≤3。又因為B≠O，因此r(B)≥1，從而有r(A)＜3，即|A|=0，因此

于是可得

10.

設A是一個n階矩陣，且A2-2A-8E=O，則r(4E-A)+r(2E+A)=______。正確答案：n[解析]已知A2-2A-8E=O，可得(4E-A)(2E+A)=O，根據矩陣秩的性質可知

r(4E-A)+r(2E+A)≤n，

同時

r(4E-A)+r(2E+A)≥r[(4E-A)+(2E+A)]=r(6E)=n，

因此

r(4E-A)+r(2E+A)=n。

三、解答題1.

設矩陣A的伴隨矩陣且ABA-1=BA-1+3E，其中E為四階單位矩陣，求矩陣B。正確答案：解：由AA*=A*A=|A|E，知|A*|=|A|n-1，因此有8=|A*|=|A|3，于是|A|=2。

在等式ABA-1=BA-1+3E兩邊先右乘A，再左乘A*，得2B=A*B+3A*A，即

(2E-A*)B=6E。

于是

2.

已知矩陣A的伴隨矩陣A*=diag(1，1，1，8)，且ABA-1=BA-1+3E，求矩陣B。正確答案：解：在A*=|A|A-1兩端取行列式可得|A*|=|A|4|A-1|=|A|3，因為A*=diag(1，1，1，8)，所以|A*|=8，即|A|=2。由ABA-1=BA-1+3E移項并提取公因式得(A-E)BA-1=3E，右乘A得(A-E)B=3A，左乘A-1得(E-A-1)B=3E。

由已求結果|A|=2，知

得

因此

B=3(E-A-1)-1=diag(6，6，6，-1)。

3.

設A，B滿足A*BA=2BA-8E，其中求矩陣B。正確答案：解：|A|=-2，利用恒等式AA*=|A|E，在等式A*BA=2BA-8E兩邊同時左乘A右乘A-1得|A|B=2AB-8E，移項合并得(A+E)B=4E，則

4.

設A是n階可逆方陣，將A的第i行和第j行對換后得到的矩陣記為B。

(Ⅰ)證明B可逆；

(Ⅱ)求AB-1。正確答案：解：(Ⅰ)設Eij是由n階單位矩陣的第i行和第j行對換后得到的初等矩陣，則有B=EijA，因此有

|B|=|Eij||A|=-|A|≠0，

所以矩陣B可逆。

(Ⅱ)

5.

設A=(α1，α2，α3)為三階矩陣，且|A|=1。已知B=(α2，α1，2α3)，求B*A。正確答案：解：根據題意可知

其中所以|B|=|A|·|P|=-2。于是

B≈A=|B|·B-1·A=-2P-1·(A-1A)=-2P-1=

6.

設問k為何值時，可使得：

(Ⅰ)r(A)=1；

(Ⅱ)r(A)=2；

(Ⅲ)r(A)=3。正確答案：解：對A作初等變換，即

(Ⅰ)當k=1時，r(A)=1。

(Ⅱ)當k=-2時，r(A)=2。

(Ⅲ)當k≠1且k≠-2時，r(A)=3。

7.

設α，β為三維列向量，矩陣A=ααT+ββT，其中αT，βT分別為α，β的轉置。證明r(A)≤2。正確答案：證明：方法一：r(A)=r(ααT+ββT)≤r(ααT)+r(ββT)≤r(α)+r(β)≤2。

方法二：因為A=ααT+ββT，A為3×3矩陣，所以r(A)≤3。

因為α，β為三維列向量，所以存在三維列向量ξ≠0，使得

αTξ=0，βTξ=0，

于是

Aξ=ααTξ+

βTξ=0，

所以Ax=0有非零解，從而r(A)≤2。

8.

設A為n階矩陣(n≥2)，A*為A的伴隨矩陣，證明

正確答案：證明：當r(A)=n時，|A|≠0，則有|A*|=|A|n-1≠0，從而A*可逆，即r(A*)=n。