第一章空間向量與立體幾何空間中的點(diǎn)、直線與空間向量人教B版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第一冊(cè)課程標(biāo)準(zhǔn)1.會(huì)利用空間直線上的點(diǎn)求直線的方向向量;2.能用直線的方向向量求空間兩直線所成的角.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過(guò)關(guān)重難探究·能力素養(yǎng)全提升目錄索引

成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過(guò)關(guān)知識(shí)點(diǎn)1點(diǎn)的位置向量、直線的方向向量點(diǎn)的位置向量一般地,如果在空間中指定一點(diǎn)O,那么空間中任意一點(diǎn)P的位置,都可以由向量

唯一確定,此時(shí),

通常稱(chēng)為點(diǎn)P的位置向量直線的方向向量一般地,如果l是空間中的一條直線,v是空間中的一個(gè)非零向量,且表示v的有向線段所在的直線與l平行或重合,則稱(chēng)v為直線l的一個(gè)方向向量.此時(shí),也稱(chēng)向量v與直線l平行,記作v∥l過(guò)關(guān)自診[北師大版教材習(xí)題]已知點(diǎn)A(1,2,1),B(0,1,3),(點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求點(diǎn)C的坐標(biāo),并寫(xiě)出直線BC的一個(gè)方向向量的坐標(biāo).所以直線BC的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)為(1,2,1).知識(shí)點(diǎn)2空間中兩條直線所成的角設(shè)v1,v2分別是空間中直線l1,l2的方向向量,且l1與l2所成角的大小為θ,則θ=<v1,v2>或θ=π-<v1,v2>,特別地,sinθ=

,cosθ=

;l1⊥l2?<v1,v2>=

?v1·v2=0.

過(guò)關(guān)自診已知直線a,b的方向向量分別是m=(1,k,1),n=(k,k+2,2),若a⊥b,則k=

.

sin<v1,v2>

|cos<v1,v2>|-2或-1

解析

∵a⊥b,∴m⊥n,即m·n=0.∴k+k2+2k+2=0,即k2+3k+2=0,∴k=-2或k=-1.重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一利用向量法求解直線的位置關(guān)系角度1.判定直線的位置關(guān)系【例1】

(1)[2023江蘇高二課時(shí)練習(xí)]已知直線l的方向向量為a=(2,1,3),且直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0,y,6)和點(diǎn)B(-2,-4,z),則y=

,z=

.

-33(2)設(shè)a,b分別是兩條不重合的直線l1,l2的方向向量,根據(jù)下列條件判斷l(xiāng)1,l2的位置關(guān)系:①a=(2,3,-1),b=(-6,-9,3);②a=(5,0,2),b=(0,4,0).

規(guī)律方法

解決直線的位置關(guān)系,可用直線對(duì)應(yīng)的方向向量的坐標(biāo)來(lái)刻畫(huà),對(duì)于此類(lèi)問(wèn)題應(yīng)注意先要進(jìn)行宏觀判斷,再合理地選取坐標(biāo)公式.若直線l1的方向向量u1=(a1,b1,c1),直線l2的方向向量為u2=(a2,b2,c2).(注:下面的λ,k∈R)(1)如果l1∥l2,那么u1∥u2?u1=λu2?(a1,b1,c1)=λ(a2,b2,c2);(2)如果l1⊥l2,那么u1⊥u2?u1·u2=0?a1a2+b1b2+c1c2=0.變式訓(xùn)練1[北師大版教材例題]在空間直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(1,1,0),B(2,3,3),C(0,1,2),點(diǎn)D為直線AB上的一點(diǎn),且CD⊥AB,角度2.證明線線垂直問(wèn)題【例2】如圖,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2,∠ABC=∠DBC=120°,E,F分別為AC,DC的中點(diǎn).求證:EF⊥BC.證明

由題意,以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn),在平面DBC內(nèi)過(guò)點(diǎn)B作垂直于BC的直線為x軸,BC所在直線為y軸,在平面ABC內(nèi)過(guò)點(diǎn)B作垂直BC的直線為z軸,建立如圖所示的空間直角坐規(guī)律方法

證明兩直線垂直的基本步驟

對(duì)于幾何體為三棱錐的情況一定要注意建系的合理性,要使已知數(shù)據(jù)和所用的點(diǎn)更多地落在坐標(biāo)平面或坐標(biāo)軸上為標(biāo)準(zhǔn).本例中要充分抓住平面ABC和平面BCD互相垂直這一條件.變式訓(xùn)練2已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長(zhǎng)都為1,M是底面上BC邊的中點(diǎn),N是側(cè)棱CC1上的點(diǎn),且CN=CC1.求證:AB1⊥MN.證明

設(shè)AB中點(diǎn)為O,作OO1∥AA1.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OB所在直線為x軸,OC所在直線為y軸,OO1所在直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz.探究點(diǎn)二異面直線所成的角【例3】

如圖,在三棱柱OAB-O1A1B1中,平面OBB1O1⊥平面OAB,∠O1OB=60°,∠AOB=90°,且OB=OO1=2,OA=,求異面直線A1B與AO1所成角的余弦值的大小.規(guī)律方法

1.求解異面直線夾角方法,常用的就是建系后利用向量的坐標(biāo)處理,除此之外還要注意其他方法的要領(lǐng).(1)傳統(tǒng)法:作出與異面直線所成角相等的平面角,進(jìn)而構(gòu)造三角形求解.這種方法靈活技巧性強(qiáng),強(qiáng)調(diào)對(duì)夾角定義的挖掘;2.運(yùn)用向量法常用兩種途徑(1)基底法在一些不適合建立坐標(biāo)系的題型中,我們經(jīng)常采用取定基底的方法.在由公式cos<a,b>=求向量a,b的夾角時(shí),關(guān)鍵是求出a·b及|a|與|b|,一般是把a(bǔ),b用基向量表示出來(lái),再求有關(guān)的量;(2)坐標(biāo)法根據(jù)題目條件建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,寫(xiě)出各相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),利用坐標(biāo)法求線線角,避免了傳統(tǒng)找角或作角的步驟,使過(guò)程變得簡(jiǎn)單.變式訓(xùn)練3如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,已知M,N分別是BD和AD的中點(diǎn),則B1M與D1N所成角的余弦值為(

)A解析

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則

成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練12345678910111.[探究點(diǎn)一(角度1)]已知l1的方向向量為v1=(1,2,3),l2的方向向量為v2=(λ,4,6),若l1∥l2,則λ等于(

)A.1 B.2

C.3

D.4B12345678910112.[探究點(diǎn)二]空間中異面直線a與b所成角的取值范圍是(

)C解析

根據(jù)異面直線所成角定義,空間中異面直線a與b所成角的取值范圍是

12345678910113.[探究點(diǎn)一·2023陜西寶雞高二期末]在正方體ABCD-A1B1C1D1中,PQ與直線A1D和AC都垂直,則直線PQ與BD1的關(guān)系是(

)A.異面但不垂直 B.平行C.異面垂直

D.垂直且相交B12345678910114.[探究點(diǎn)一·2023湖北丹江口高二階段練習(xí)](多選題)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為棱CC1上不與C1,C重合的任意一點(diǎn),則能作為直線AA1的方向向量的是(

)ABD故選ABD.12345678910115.[探究點(diǎn)二]如圖,在三棱柱OAB-O1A1B1中,平面OBB1O1⊥平面OAB,且∠O1OB=60°,∠AOB=90°,OB=OO1=2,OA=,求異面直線A1B與O1A所成角的余弦值.1234567891011解

以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OA,OB所在直線分別為x軸、y軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,1234567891011B級(jí)關(guān)鍵能力提升練6.(多選題)已知空間中四點(diǎn)A(1,1,0),B(0,1,2),C(0,3,2),D(-1,3,4).下列說(shuō)法中,正確的有(

)C.A,B,C三點(diǎn)共線

D.A,B,C,D四點(diǎn)共面

ABD12345678910117.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=60°,AB=2,BC=CC1=1,則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為(

)B解析

∵直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=60°,AB=2,BC=1,∴在△ABC中,由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2AB×BCcos

60°1234567891011以C為原點(diǎn),CB為x軸,CA為y軸,CC1為z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,∴異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為0.故選B.12345678910118.已知a,b是異面直線,A,B∈a,C,D∈b,AC⊥b,BD⊥b,且AB=2,CD=1,則直線a,b所成的角是

.

12345678910119.

如圖是正四面體的平面展開(kāi)圖,G,H,M,N分別為DE,BE,EF,EC的中點(diǎn),在這個(gè)正四面體中,①GH與EF平行;②BD與MN為異面直線;③GH與MN成60°角;④DE與MN垂直.以上四個(gè)結(jié)論中,正確結(jié)論的序號(hào)是

.

②③④解析

還原成正四面體知GH與EF為異面直線,BD與MN為異面直線,GH與MN成60°角,DE與MN為垂直.123456789101110.

如圖,在四面體ABOC中,OC⊥OA,OC⊥OB,∠AOB=120°,且OA=OB=OC=1,設(shè)P為AC的中點(diǎn),Q在AB上且AB=3AQ,證明:PQ⊥OA.1234567891011證明

如圖,連接OP