第三章整式及其加減3探索與表達規律第1課時圖形中的規律探究練點與圖形有關的規律1.

[2023·重慶]用長度相同的木棍按如圖所示的規律拼圖案，

其中第①個圖案用了9根木棍，第②個圖案用了14根木

棍，第③個圖案用了19根木棍，第④個圖案用了24根木

棍，…，按此規律排列下去，則第⑧個圖案用的木棍根數

是(

B

)A.39B.44C.49D.541234567891011【點撥】由圖可得，第①個圖案有4＋5＝9(根)木棍，第②個圖案有4＋5×2＝14(根)木棍，第③個圖案有4＋5×3＝19(根)木棍，…，所以第

個圖案有(4＋5n)根木棍，所以第⑧個圖案有4＋5×8＝44(根)木棍.B【答案】12345678910112.

[2024·德州樂陵市期末]如圖所示，下列圖形都是由相同的

玫瑰花按照一定的規律擺成的，按此規律擺下去，第n個

圖形中有120朵玫瑰花，則n的值為(

C

)A.28B.29C.30D.31C【點撥】由圖可得，第n個圖形中有4n朵玫瑰花，令4n＝

120，得n＝30.12345678910113.

[母題教材P128隨堂練習T2]如圖是由同樣大小的黑棋子

按一定規律擺出的圖案，圖①中有4枚黑棋子，圖②中有9

枚黑棋子，圖③中有14枚黑棋子，…，依此規律，第n個

圖中有

枚黑棋子.(用含n的代數式表示)(5n－1)

12345678910114.

[2023·山西]如圖是一組有規律的圖案，它由若干個大小相

同的圓片組成.第1個圖案中有4個白色圓片，第2個圖案中

有6個白色圓片，第3個圖案中有8個白色圓片，第4個圖案

中有10個白色圓片，…，依此規律，第n個圖案中

有

個白色圓片.(用含n的代數式表示)2(n＋1)

1234567891011【點撥】第1個圖案中有2×2＝4(個)白色圓片，第2個圖案中有2×3＝6(個)白色圓片，第3個圖案中有2×4＝8(個)白色圓片，第4個圖案中有2×5＝10(個)白色圓片，…，第n個圖案中有2(n＋1)個白色圓片.1234567891011糾易錯找圖形變化規律時易忽視圖形重疊部分而導致重

復計算5.

將灰、白兩種顏色的正六邊形地磚按如圖所示的方式拼成

若干個圖案.(1)第4個圖案中有白色地磚

塊；18

1234567891011(2)第n個圖案中有白色地磚

塊(用含n的代數

式表示).【點撥】第1個圖案中白色地磚的塊數為4×1＋2＝6；第2個圖案中白色地磚的塊數為4×2＋2＝10；第3個圖案中白色地磚的塊數為4×3＋2＝14；第4個圖案中白色地磚的塊數為4×4＋2＝18；…；第n個圖案中白色地磚的塊數為4n＋2.(4n＋2)

12345678910116.

[2024·濟寧兗州區期末]找出如圖所示的圖形的變化規律，

則第2

024個圖形中黑色正方形的數量是(

C

)A.2

024個B.3

035個C.3

036個D.2

023個1234567891011

【點撥】C【答案】12345678910117.

[2024·日照嵐山區期末]如圖，將圖①中的正方形剪開得到

圖②，圖②中共有4個正方形；將圖②中一個正方形剪開

得到圖③，圖③中共有7個正方形；將圖③中一個正方形

剪開得到圖④，圖④中共有10個正方形；…；如此下去，

則第2

024個圖形中共有正方形的個數為(

C

)A.6

066B.6

068C.6

070D.6

0721234567891011【點撥】由所給圖形可知，圖①中正方形的個數為1＝1×3－2；圖②中正方形的個數為4＝2×3－2；圖③中正方形的個數為7＝3×3－2；圖④中正方形的個數為10＝4×3－2；…，1234567891011依此類推，第n個圖形中正方形的個數為3n－2，當n＝2

024時，3n－2＝3×2

024－2＝6

070，即第2

024個圖形中正方形的個數為6

070.C【答案】12345678910118.

[2024·濟南期末]如圖，古希臘人常用小石子在沙灘上擺成

各種形狀來研究數.例如：稱圖中的數1，5，12，22，…

為五邊形數，則第7個五邊形數是(

B

)A.62B.70C.84D.1081234567891011【點撥】由圖可知，第1個五邊形數為1，第2個五邊形數為1＋4＝5，第3個五邊形數為1＋4＋7＝12，第4個五邊形數為1＋4＋7＋10＝22，觀察規律，可得第5個五邊形數為1＋4＋7＋10＋13＝

35，1234567891011第6個五邊形數為1＋4＋7＋10＋13＋16＝51，第7個五邊形數為1＋4＋7＋10＋13＋16＋19＝70.【答案】B12345678910119.

[2024·淄博淄川區期末]如圖是一組有規律的圖案，它們是

由正五角星和圓形鑲嵌而成，第1個圖案有6個圓形，第2

個圖案有11個圓形，第3個圖案有16個圓形，…，依此規

律，第n個圖案有

個圓形(用含n的代數式表

示).(5n＋1)

1234567891011【點撥】第1個圖案有5＋1＝6(個)圓形，第2個圖案有2×5＋1＝11(個)圓形，第3個圖案有3×5＋1＝16(個)圓形，…，則第n個圖案有(5n＋1)個圓形.123456789101110.

在求1＋2＋3＋…＋100的值時，發現：1＋100＝101，2

＋99＝101，…，從而得到1＋2＋3＋…＋100＝101×50

＝5

050.按此方法可解決下面問題.圖①有1個三角形，

記作a1＝1；分別連接這個三角形三邊中點得到圖②，有

5個三角形，記作a2＝5；再分別連接圖②中間的小三角

形三邊中點得到圖③，有9個三角形，記作a3＝9；按此

方法繼續下去，則a1＋a2＋a3＋…＋an＝

?

.(結果用含n的代數式表示)2n2－

n

1234567891011【點撥】因為a1＝1；a2＝5＝1＋4＝1＋4×1；a3＝9＝1＋4＋4＝1＋4×2；…，所以an＝1＋4(n－1)＝4n－3.因為1＋2＋3＋…＋100＝101×50＝5

050，1234567891011所以a1＋a2＋a3＋…＋an＝1＋5＋9＋…＋(4n－3)

＝2n2－n.123456789101111.

[2024·濟南萊蕪區期末]小明下五子棋的時候，用棋子按

一定的規律擺了如下三個圖案，若小明繼續擺下去，請

解決下列問題.(1)擺第5個圖案需用

顆棋子.21

1234567891011【點撥】由所給圖形可知，擺第1個圖案需用的棋子顆數為5＝1×4＋1，擺第2個圖案需用的棋子顆數為9＝2×4＋1，擺第3個圖案需用的棋子顆數為13＝3×4＋1，…，所以擺第n個圖案需用的棋子顆數為4n＋1.1234567891011當n＝5時，4n＋1＝4×5＋1＝21，即擺第5個圖案需用的棋子顆數為21.1234567891011(2)按照此規律擺下去，擺第n個圖案需要

?顆

棋子(用含n