2024年內蒙古包頭市九原區中考數學四模試卷一、選擇題。1．（3分）下列各式中，計算結果為m8的是（）A．m2?m4 B．m4+m4 C．m16÷m2 D．（m2）42．（3分）下列方程中方程的解為x＝2的是（）A．2x＝6 B．﹣x＝1 C．2+x＝0 D．2x﹣1＝33．（3分）如圖是由8個相同的小正方體組成的幾何體，其主視圖是（）A． B． C． D．4．（3分）對于非零的兩個實數a，b，規定a⊕b＝﹣，若2⊕（2x﹣1）＝1，則x的值為（）A． B． C． D．﹣5．（3分）某校團支部組織部分共青團員開展學雷鋒志愿者服務活動，每個志愿者都可以從以下三個項目中任選一項參加：①敬老院做義工；②文化廣場地面保潔；③路口文明崗值勤．則小明和小慧選擇參加同一項目的概率是（）A． B． C． D．6．（3分）已知一次函數y＝kx﹣k經過點（﹣1，4），則下列結論正確的是（）A．函數值y隨x增大而增大 B．圖象經過第一、二、三象限 C．圖象與x軸交于點（1，0） D．當x＝a時，y＝2a+27．（3分）如圖，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM＝3，則CE2+CF2的值為（）A．6 B．9 C．18 D．368．（3分）已知α，β是一元二次方程x2+2x﹣9＝0的兩根，則的值等于（）A． B． C． D．9．（3分）如圖，AB是⊙O的直徑，且經過弦CD的中點H，已知sin∠CDB＝，BD＝5，則AH的長為（）A． B． C． D．10．（3分）如圖，在△ABC中，AB＜AC，將△ABC以點A為中心逆時針旋轉得到△ADE，點D在BC邊上，DE交AC于點F；下列結論：①△AFE∽△DFC；②DA平分∠BDE；③AC平分∠DAE，其中所有正確結論的序號是（）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③二、填空題。11．（3分）某班35名同學一周課外閱讀時間統計如表所示：時間/小時78910人數412136則該班35名同學一周課外閱讀時間的眾數是小時．12．（3分）化簡：（a﹣2）?＝．13．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝4，以點A為圓心，AC長為半徑畫弧，交AB于點D，交AC于點C，以點B為圓心，AC長為半徑畫弧，交AB于點E，交BC于點F，則圖中陰影部分的面積為.14．（3分）如圖，直線y＝mx+n與拋物線y＝ax2+bx+c交于A（﹣1，p），B（4，q）兩點，則關于x的不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集是．15．（3分）若是方程2x+y＝5的一個解，則代數式a2+b+50的最小值為．16．（3分）如圖，兩個大小不同的三角板放在同一平面內，直角頂點重合于點C，點D在AB上，∠BAC＝∠DEC＝30°，AC與DE交于點F，連接AE，若BD＝1，AD＝5，則＝．三、解答題。17．（8分）（1）計算：．（2）解不等式組．并把解集在數軸上表示出來．18．（8分）在一個不透明的布袋里裝有4個標有1，2，3，4的小球，它們的形狀、大小完全相同，小凡從布袋里隨機取出一個小球，記下數字為x，小剛在剩下的3個小球中隨機取出一個小球，記下數字為y．（1）利用樹狀圖或列表法求出由x，y確定的點（x，y）在函數y＝的圖象上的概率；（2）小凡和小剛約定做一個游戲，其規則為：若x，y滿足xy≥6則小凡勝，若x，y滿足xy＜6則小剛勝，這個游戲公平嗎？公平請說明理由；若不公平，請寫出公平的游戲規則．19．（8分）在數學實踐與綜合課上，某興趣小組同學用航拍無人機對某居民小區的1、2號樓進行測高實踐，如圖為實踐時繪制的截面圖．無人機從地面點B垂直起飛到達點A處，測得1號樓頂部E的俯角為67°，測得2號樓頂部F的俯角為40°，此時航拍無人機的高度為60米，已知1號樓的高度為24.6米，且EC和FD分別垂直地面于點C和D，點B為CD的中點，求2號樓的高度．（結果精確到0.1）（參考數據sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36）20．（11分）某工廠計劃在每個生產周期內生產并銷售完某型設備，設備的生產成本為10萬元/件．（1）如圖，設第x（0＜x≤20）個生產周期設備售價z萬元/件，z與x之間的關系用圖中的函數圖象表示．求z關于x的函數解析式（寫出x的范圍）．（2）設第x個生產周期生產并銷售的設備為y件，y與x滿足關系式y＝5x+40（0＜x≤20）．在（1）的條件下，工廠第幾個生產周期創造的利潤最大？最大為多少萬元？（利潤＝收入﹣成本）21．（12分）如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，∠BAD＝90°，點E在BC的延長線上，且DE是⊙O的切線．（1）求證：∠DEC＝∠BAC；（2）若AC∥DE，且AD＝，CE＝1時，判斷△ABC的形狀，并說明理由．（請用兩種方法解答）22．（12分）在矩形ABCD中，AD＝AB，E為AD上一點，將△AEB沿BE折疊，得到△FEB．（1）如圖1，若點F恰好在BC邊上，點G在CD上，且DG＝DE，連接EG．求證：EG＝CG．（2）如圖2，若點F在矩形ABCD內部，延長EF交BC邊于點P，延長BF交CD邊于點H，連接DF，且AB＝6，FH＝CH，求證：DF∥EB．23．（13分）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，經過點C的直線l與該拋物線交于另一點D，并且直線l∥x軸，點P（m，y1）為該拋物線上一個動點，點Q（m，y2）為直線l上一個動點．（1）當m＜0，且y1＝y2時，連接AQ，BD，說明：四邊形ABDQ是平行四邊形；（2）當m＞0，連接AQ，線段AQ與線段OC交于點E，OE＜EC，且OE?EC＝2，連接PQ，求線段PQ的長；（3）連接AC，PC，試探究：是否存在點P，使得∠PCQ與∠BAC互為余角？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．參考答案與試題解析一、選擇題。1．（3分）下列各式中，計算結果為m8的是（）A．m2?m4 B．m4+m4 C．m16÷m2 D．（m2）4答案：D．2．（3分）下列方程中方程的解為x＝2的是（）A．2x＝6 B．﹣x＝1 C．2+x＝0 D．2x﹣1＝3答案：D．3．（3分）如圖是由8個相同的小正方體組成的幾何體，其主視圖是（）A． B． C． D．答案：A．4．（3分）對于非零的兩個實數a，b，規定a⊕b＝﹣，若2⊕（2x﹣1）＝1，則x的值為（）A． B． C． D．﹣答案：A．5．（3分）某校團支部組織部分共青團員開展學雷鋒志愿者服務活動，每個志愿者都可以從以下三個項目中任選一項參加：①敬老院做義工；②文化廣場地面保潔；③路口文明崗值勤．則小明和小慧選擇參加同一項目的概率是（）A． B． C． D．答案：A．6．（3分）已知一次函數y＝kx﹣k經過點（﹣1，4），則下列結論正確的是（）A．函數值y隨x增大而增大 B．圖象經過第一、二、三象限 C．圖象與x軸交于點（1，0） D．當x＝a時，y＝2a+2答案：C．7．（3分）如圖，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM＝3，則CE2+CF2的值為（）A．6 B．9 C．18 D．36答案：D．8．（3分）已知α，β是一元二次方程x2+2x﹣9＝0的兩根，則的值等于（）A． B． C． D．答案：A．9．（3分）如圖，AB是⊙O的直徑，且經過弦CD的中點H，已知sin∠CDB＝，BD＝5，則AH的長為（）A． B． C． D．答案：B．10．（3分）如圖，在△ABC中，AB＜AC，將△ABC以點A為中心逆時針旋轉得到△ADE，點D在BC邊上，DE交AC于點F；下列結論：①△AFE∽△DFC；②DA平分∠BDE；③AC平分∠DAE，其中所有正確結論的序號是（）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③答案：A．二、填空題。11．（3分）某班35名同學一周課外閱讀時間統計如表所示：時間/小時78910人數412136則該班35名同學一周課外閱讀時間的眾數是9小時．答案：9．12．（3分）化簡：（a﹣2）?＝a+2．13．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝4，以點A為圓心，AC長為半徑畫弧，交AB于點D，交AC于點C，以點B為圓心，AC長為半徑畫弧，交AB于點E，交BC于點F，則圖中陰影部分的面積為4﹣π.答案：4﹣π．14．（3分）如圖，直線y＝mx+n與拋物線y＝ax2+bx+c交于A（﹣1，p），B（4，q）兩點，則關于x的不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集是x＜﹣1或x＞4．答案：x＜﹣1或x＞4．15．（3分）若是方程2x+y＝5的一個解，則代數式a2+b+50的最小值為36．答案：36．16．（3分）如圖，兩個大小不同的三角板放在同一平面內，直角頂點重合于點C，點D在AB上，∠BAC＝∠DEC＝30°，AC與DE交于點F，連接AE，若BD＝1，AD＝5，則＝．答案：．三、解答題。17．（8分）（1）計算：．（2）解不等式組．并把解集在數軸上表示出來．解：（1）＝＝＝；（2），解不等式①，得x＞﹣2，解不等式②，得x≤1，不等式組的解集為﹣2＜x≤1，這個不等式組的解集在數軸上表示為：18．（8分）在一個不透明的布袋里裝有4個標有1，2，3，4的小球，它們的形狀、大小完全相同，小凡從布袋里隨機取出一個小球，記下數字為x，小剛在剩下的3個小球中隨機取出一個小球，記下數字為y．（1）利用樹狀圖或列表法求出由x，y確定的點（x，y）在函數y＝的圖象上的概率；（2）小凡和小剛約定做一個游戲，其規則為：若x，y滿足xy≥6則小凡勝，若x，y滿足xy＜6則小剛勝，這個游戲公平嗎？公平請說明理由；若不公平，請寫出公平的游戲規則．解析：（1）樹狀圖如圖所示，由x，y確定的點（x，y）有：（1，2）（1，3）（1，4）（2，1）（2，3）（2，4）（3，1）（3，2）（3，4）（4，1）（4，2）（4，3）其中在y＝的圖象上有（1，3）（3，1）所以P＝（2）∵使得xy≥6的有（2，3）（2，4）（3，2）（3，4）（4，2）（4，3）∴P（小凡勝）＝又∵使得xy＜6的有，∵使得xy≥6的有：（1，2）（1，3）（1，4）（2，1）（3，1）（4，1）P（小剛勝）＝∴P（小凡勝）＝P（小剛勝）所以公平所以游戲是公平的．19．（8分）在數學實踐與綜合課上，某興趣小組同學用航拍無人機對某居民小區的1、2號樓進行測高實踐，如圖為實踐時繪制的截面圖．無人機從地面點B垂直起飛到達點A處，測得1號樓頂部E的俯角為67°，測得2號樓頂部F的俯角為40°，此時航拍無人機的高度為60米，已知1號樓的高度為24.6米，且EC和FD分別垂直地面于點C和D，點B為CD的中點，求2號樓的高度．（結果精確到0.1）（參考數據sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36）解析：過點E，F分別作EM⊥AB，FN⊥AB，垂足分別為M，N，∴∠EMB＝∠EMA＝∠ANF＝∠BNF＝90°，∵EC和FD分別垂直地面于點C和D，∴∠ECB＝∠FDB＝90°，∵無人機從地面點B垂直起飛到達點A處，∴∠ABD＝90°，∴四邊形ECBM和四邊形NBDF均為矩形，∵點B為CD的中點，∴CB＝DB＝EM＝FN，由題意得，EC＝24.6，∠AEM＝67°，∠AFN＝40°，AB＝60，∴AM＝AB﹣MB＝60﹣24.6＝35.4，∵tan∠AEM＝，∴，∴，∴AN＝tan40°×15≈12.6，∴FD＝NB＝AB﹣AN＝47.4．答：2號樓的高度約為47.4米．20．（11分）某工廠計劃在每個生產周期內生產并銷售完某型設備，設備的生產成本為10萬元/件．（1）如圖，設第x（0＜x≤20）個生產周期設備售價z萬元/件，z與x之間的關系用圖中的函數圖象表示．求z關于x的函數解析式（寫出x的范圍）．（2）設第x個生產周期生產并銷售的設備為y件，y與x滿足關系式y＝5x+40（0＜x≤20）．在（1）的條件下，工廠第幾個生產周期創造的利潤最大？最大為多少萬元？（利潤＝收入﹣成本）解析：（1）由圖可知，當0＜x≤12時，z＝16，當12＜x≤20時，z是關于x的一次函數，設z＝kx+b，則解得：∴z＝﹣x+19，∴z關于x的函數解析式為z＝（2）設第x個生產周期工廠創造的利潤為w萬元，①當0＜x≤12時，w＝（16﹣10）×（5x+40）＝30x+240，∴由一次函數的性質可知，當x＝12時，w最大值＝30×12+240＝600（萬元）；②當12＜x≤20時，w＝（﹣x+19﹣10）（5x+40）＝﹣x2+35x+360＝﹣（x﹣14）2+605，因為﹣＜0，∴當x＝14時，w最大值＝605（萬元）．綜上所述，工廠第14個生產周期創造的利潤最大，最大是605萬元．21．（12分）如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，∠BAD＝90°，點E在BC的延長線上，且DE是⊙O的切線．（1）求證：∠DEC＝∠BAC；（2）若AC∥DE，且AD＝，CE＝1時，判斷△ABC的形狀，并說明理由．（請用兩種方法解答）解析：（1）證明：連接BD，則∠BDC＝∠BAC，∵∠BAD＝90°，∴BD是⊙O的直徑，∴∠BCD＝∠ECD＝90°，∴∠DEC+∠CDE＝90°，∵DE是⊙O的切線，∴DE⊥BD，∴∠BDC+∠CDE＝∠BDE＝90°，∴∠BDC＝∠DEC，∴∠DEC＝∠BAC．（2）解：△ABC是等邊三角形，證明方法一：∵AC∥DE，∴∠DEC＝∠ACB，由（1）得∠DEC＝∠BAC，∴∠BAC＝∠ACB，∴CB＝AB，＝，∴BD垂直平分AC，∴＝，∴CD＝AD＝，∵∠ECD＝90°，CE＝1，∴tan∠DEC＝＝，∴∠DEC＝∠BAC＝60°，∴△ABC是等邊三角形．證明方法二：設AC交BD于點F，∵AC∥DE，∴∠BFC＝∠BDE＝90°，∵BD是⊙O的直徑，且BD⊥AC，∴＝，＝，∴CB＝AB，CD＝AD＝，∵∠ECD＝90°，CE＝1，∴tan∠DEC＝＝，∴∠ACB＝∠DEC＝60°，∴△ABC是等邊三角形．22．（12分）在矩形ABCD中，AD＝AB，E為AD上一點，將△AEB沿BE折疊，得到△FEB．（1）如圖1，若點F恰好在BC邊上，點G在CD上，且DG＝DE，連接EG．求證：EG＝CG．（2）如圖2，若點F在矩形ABCD內部，延長EF交BC邊于點P，延長BF交CD邊于點H，連接DF，且AB＝6，FH＝CH，求證：DF∥EB．解析：證明：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ABC＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC，由折疊可得：∠ABE＝∠ABC＝45°，∠AEB＝∠BEF＝45°，設AB＝AE＝a，則DG＝DE＝AD﹣AE＝a﹣a＝（﹣1）a，在Rt△DEG中，EG＝DE＝（2﹣）a，∵CG＝CD﹣DG＝a﹣（﹣1）a＝（2﹣）a，∴EG＝CG；（2）連接AF，如圖：根據折疊的性質得∠AEB＝∠FEB，AE＝EF，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBP，∴∠FEB＝∠EBP，∴BP＝EP，設FH＝HC＝x，在Rt△BCH中，BC2+CH2＝BH2，∴（6）2+x2＝（6+x）2，解得x＝3，∴HC＝3＝FH，∴DH＝DC﹣HC＝6﹣3＝3，BH＝BF+FH＝9，∵∠BFP＝∠BCH＝90°，∠HBC＝∠PBF，∴△BFP∽△BCH，∴＝＝，即＝＝，∴BP＝，FP＝，∴EP＝BP＝，∴EF＝EP﹣FP＝﹣＝3，∴AE＝EF＝3，∴DE＝AD﹣AE＝6﹣3＝3，∴AE＝EF＝DE＝3，∴∠EAF＝∠EFA，∠EFD＝∠EDF，∴∠EAF+∠EDF＝∠EFA+∠EFD＝90°，∴AF⊥DF．由折疊可知AF⊥BE，∴DF∥BE．23．（13分）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，經過點C的直線l與該拋物線交于另一點D，并且直線l∥x軸，點P（m，y1）為該拋物線上一個動點，點Q（m，y2）為直線l上一個動點．（1）當m＜0，且y1＝y2時，連接AQ，BD，說明：四邊形ABDQ是平行四邊形；（2）當m＞0，連接AQ，線段AQ與線段OC交于點E，OE＜EC，且OE?EC＝2，連接PQ，求線段PQ的長；（3）連接AC，PC，試探究：是否存在點P，使得∠PCQ與∠BAC互為余角？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．解析：（1）證明：當y＝