銳角三角函數（第5課時）教學目標1．會應用銳角三角函數解決生活中的問題，能構造直角三角形解決實際問題．2．經歷用銳角三角函數解決實際問題的過程，發展分析問題、解決問題的能力．教學重點復習銳角三角函數，并能熟練地運用它們解決生活中的問題．教學難點應用銳角三角函數解決實際問題．教學過程知識回顧1．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°．sinA＝＝；cosA＝＝；tanA＝＝．2．將30°，45°，60°角的正弦值、余弦值和正切值填入下表：銳角A銳角三角函數30°45°60°sinAcosAtanA1【設計意圖】復習銳角三角函數和特殊角的三角函數值，為本節課的學習作鋪墊．新知探究類型一、非特殊角的三角函數值在生活中的應用【問題】1．下圖是一個半圓形橋洞截面的示意圖，圓心為O，直徑AB是河底線，弦CD是水位線，CD∥AB，且CD＝24m，OE⊥CD于點E．已測得sin∠DOE＝．（1）求AB的長；（2）根據需要，水面要以0.5m/h的速度下降，則經過多長時間才能將水排干？【師生活動】學生小組討論，完成作答，教師總結．【答案】解：（1）∵OE⊥CD于點E，CD＝24m，∴ED＝CD＝12（m）．在Rt△DOE中，∵sin∠DOE＝＝，∴OD＝＝13（m）．∴AB＝26（m）．（2）在Rt△DOE中，OE＝＝＝5，∴將水排干需5÷0.5＝10（h）．答：經過10h才能將水排干．【問題】2．如圖，CD是掛在墻上的一幅畫，高為1.5m．畫的下端與地面之間的距離DE為2.5m，一個高1.6m的人在距離墻1.2m處看畫，求此人的視角α的正切值．【師生活動】教師提示：首先求出AD的長，再利用等腰三角形得出視角α＝∠C，求出tanC即可．學生根據提示，思考作答．【答案】解：由題意，得AF＝1.2m，DF＝2.5－1.6＝0.9（m），∴AD＝＝1.5（m）．∴CD＝AD．∴α＝∠C．在Rt△AFC中，tanC＝＝＝，∴視角α的正切值為．【設計意圖】通過解答問題1、問題2，讓學生學會應用非特殊角的三角函數值解決生活中的問題．類型二、特殊角的三角函數值在生活中的應用【問題】3．如圖，在離地面5m的點C處引拉線固定電線桿，拉線與地面成60°角，求拉線AC的長以及拉線下端點A與桿底D的距離AD（結果保留根號）．【師生活動】學生獨立思考作答，請一名學生代表板演，教師指導、講評．【答案】解：在Rt△ADC中，∵sin∠CAD＝，tan∠CAD＝，∴AC＝＝＝（m），AD＝＝＝（m）．答：拉線AC的長是m，拉線下端點A與桿底D的距離AD是m．【問題】4．在數學拓展課程《玩轉學具》課堂中，小陸同學發現：一副三角板中，含45°的三角板的斜邊與含30°的三角板的長直角邊相等．于是，小陸同學提出一個問題：如圖，將一副三角板直角頂點重合拼放在一起，點B，C，E在同一直線上，若BC＝2，求AF（結果保留根號）．【師生活動】學生獨立思考作答，教師指導、講評．【答案】解：在Rt△ABC中，BC＝2，∠A＝30°，tanA＝，∴AC＝＝2．∴EF＝AC＝2．在Rt△CEF中，∠E＝45°，sinE＝，∴FC＝EF·sin45°＝．∴AF＝AC－FC＝2－．【設計意圖】通過解答問題3、問題4，讓學生學會應用特殊角的三角函數值解決生活中的問題．類型三、構造直角三角形解決實際問題【問題】5．如圖，△ABC表示某中學的一塊三角形空地，為美化校園環境，準備在空地內種植草皮，已知某種草皮的售價為a元/m2，則購買這種草皮至少花費多少元？【師生活動】學生小組討論、嘗試作答，教師指導、總結．【答案】解：如圖，作BA邊的高CD，與BA的延長線交于點D．∵∠BAC＝150°，∴∠DAC＝30°．∵在Rt△ADC中，AC＝30m，sin∠DAC＝，∴CD＝AC·sin∠DAC＝15（m）．∵AB＝20m，∴S△ABC＝AB·CD＝×20×15＝150（m2）．∵這種草皮的售價為a元/m2，∴購買這種草皮至少需要150a元．【問題】6．如圖，在相距100m的A，B兩處觀測工廠C，測得∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，求A，B兩處到工廠C的距離．【師生活動】學生獨立思考作答，請一名學生代表板演，教師指導、講評．【答案】解：如圖，過點C作CD⊥AB于點D．在Rt△ACD中，∠A＝60°，tanA＝，∴CD＝AD·tan60°＝AD．在Rt△BCD中，∠B＝45°，∴BD＝CD＝AD．又AB＝100m，∴AD＋BD＝AD＋AD＝100，解得AD＝50(－1)m．∴BD＝CD＝50(3－)m．在Rt△ACD中，∠A＝60°，cosA＝，∴AC＝100(－1)m．在Rt△BCD中，∠B＝45°，cosB＝，∴BC＝50(3－)m．故A，B兩處到工廠C的距離分別為100(－1)m，50(3－)m．【歸納】（1）在作垂線構造直角三角形時，不要破壞特殊角（30°，45°，60°）的完整性，即盡量不要過這些特殊角的頂點作垂線．（2）當題目中出現150°，120°，105°，75°等角度時，要通過“割補”法，把這些角度轉化為30°，45°，60°，再利用這些角的三角函數值解決問題．【設計意圖】通過解答問題5、問題6，讓學生學會構造直角三角形，結合特殊角的三角函數值解決生活中的問題．【問題】7．如圖，一塊三角形的草地，其中BC＝10m，tanB＝2，tanC＝，試求這塊草地的面積．【師生活動】學生小組討論，完成作答，教師總結．【答案】解：如圖，過點A作AD⊥BC于點D．∵tanB＝2，∴＝2．∵tanC＝，∴＝．則設AD＝x，則BD＝x，DC＝2x，故x＋2x＝10，解得x＝4．故這塊草地的面積為·AD·BC＝×4×10＝20（m2）．答：這塊草地的面積為20m2．【設計意圖】